108 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《統計學（G）》

本題考驗分層抽樣 (Stratified Random Sampling) 的應用，包含樣本數配置、比例配置原則、估計量之平均數與變異數計算，以及與單純隨機抽樣的比較。

核心觀念：
分層抽樣旨在提高抽樣效率，特別是在各層的變異數不同時。樣本數的配置與變異數、成本等因素有關，而估計量的變異數則與樣本數配置及各層變異數有關。

(a) 樣本數配置

在分層抽樣中，樣本數的配置原則通常是考慮到效率 (efficiency) 和成本 (cost)。

1. 比例配置 (Proportionate Allocation): 樣本數與各層的比例成正比。
2. 最優配置 (Optimal Allocation): 考慮到各層的變異數 $\sigma_h$ 和抽樣成本 $c_h$，以最小化總體估計量的變異數。公式為 $n_h \propto \frac{N_h \sigma_h}{\sqrt{c_h}}$。

在本題中，各層的抽樣成本相同 ($c_L = c_M = c_S = 100$)。因此，最優配置的公式簡化為 $n_h \propto N_h \sigma_h$。
其中 $N_h$ 是各層的總體大小 (Population Size)，$\sigma_h$ 是各層的標準差。

首先，計算各層的總體大小 $N_h$：
總醫院數 $N = 5000$。
$N_L = N \times Proportion_L = 5000 \times 10\% = 500$
$N_M = N \times Proportion_M = 5000 \times 20\% = 1000$
$N_S = N \times Proportion_S = 5000 \times 70\% = 3500$

各層的標準差 (Standard Deviation) 已知：
$\sigma_L = 40$
$\sigma_M = 3$
$\sigma_S = 2$

根據最優配置原則 ($n_h \propto N_h \sigma_h$)，計算各層的比例值：
$N_L \sigma_L = 500 \times 40 = 20000$
$N_M \sigma_M = 1000 \times 3 = 3000$
$N_S \sigma_S = 3500 \times 2 = 7000$

總比例值 $= 20000 + 3000 + 7000 = 30000$。

總樣本數 $n = 300$。

各層應配置的樣本數 $n_h$ 為：
$n_L = n \times \frac{N_L \sigma_L}{\sum N_h \sigma_h} = 300 \times \frac{20000}{30000} = 300 \times \frac{2}{3} = 200$
$n_M = n \times \frac{N_M \sigma_M}{\sum N_h \sigma_h} = 300 \times \frac{3000}{30000} = 300 \times \frac{1}{10} = 30$
$n_S = n \times \frac{N_S \sigma_S}{\sum N_h \sigma_h} = 300 \times \frac{7000}{30000} = 300 \times \frac{7}{30} = 70$

驗證總樣本數：$n_L + n_M + n_S = 200 + 30 + 70 = 300$。

因此，建議的樣本數配置為 Large: 200, Medium: 30, Small: 70。

【答案】建議將 300 個訪談機會分配為：Large stratum 200 個，Medium stratum 30 個，Small stratum 70 個。

(b) Large stratum 樣本數超過 30 的原因

在 (a) 的最優配置中，我們將 200 個樣本分配給 Large stratum，遠超過其總體比例 (10%) 所暗示的 30 個樣本。這是因為 Large stratum 的標準差 $\sigma_L = 40$ 遠大於 Medium stratum ($\sigma_M = 3$) 和 Small stratum ($\sigma_S = 2$)。

在分層抽樣中，為了達到最小的總體估計量變異數，我們應該在變異數較大的層分配較多的樣本，以更精確地估計該層的平均數。Large stratum 的訂單量變異極大 (標準差 40)，若僅抽樣 30 個，將無法有效捕捉其變異性，導致對 Large stratum 平均數的估計誤差較大，進而影響整體 population mean 的估計。因此，儘管 Large stratum 的比例僅為 10%，但因其高變異性，我們需要分配更多的樣本 (200 個) 來確保估計的準確性。

【答案】因為 Large stratum 的訂單標準差 (40) 遠大於其他兩個 stratum，為了有效降低總體平均數估計量的變異數，應分配較多樣本至變異數較大的 stratum，以更精確地估計其平均值。

(c) 總體平均數的估計

分層抽樣中，總體平均數 $\mu$ 的估計量 $\hat{\mu}$ 為各層平均數 $\bar{X}_h$ 的加權平均，權重為各層的比例 $W_h = N_h/N$：

本題考驗對數學關係的理解，特別是函數關係 (functional relation) 和統計關係 (statistical relation) 的區別。

核心觀念：

• 函數關係 (Functional Relation): 一個變數的值完全由另一個變數的值唯一確定。數學上表示為 $Y = f(X)$，對於每一個 $X$ 值，只有一個對應的 $Y$ 值。
• 統計關係 (Statistical Relation): 一個變數的值與另一個變數的值相關，但這種相關性不是絕對的，一個 $X$ 值可能對應多個 $Y$ 值，或者 $Y$ 的值是 $X$ 的一個期望值或趨勢。通常用迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 來表示，其中 $\epsilon$ 是隨機誤差項。

解題步驟：

1. 表達 X 與 Y 的數學關係：
   題目描述：年會員費為 $10,000 美元，每次 visit 收費$100 美元。
   令 $Y$ 為一年的總花費，令 $X$ 為一年的 visit 次數。
   總花費 $Y$ 由兩部分組成：固定的年費和變動的 visit 費用。
   固定年費 = $10,000$

本題探討高階多項迴歸模型 (higher-order polynomial regression models) 中，參數估計 (estimation) 相較於假設檢定 (hypothesis testing) 重要性較低的原因。

核心觀念：

• 多項迴歸模型 (Polynomial Regression): 當自變數與應變數之間的關係非線性時，我們可以使用多項式來擬合數據，例如二次迴歸 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$，或三次迴歸 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \beta_3 X^3 + \epsilon$。
• 參數估計 (Parameter Estimation): 估計模型中的係數 $\beta$ 的值，例如使用最小平方法 (OLS)。
• 假設檢定 (Hypothesis Testing): 對模型的係數 $\beta$ 進行顯著性檢定，判斷其是否與零有顯著差異，例如檢定 $H_0: \beta_i = 0$ vs $H_a: \beta_i \neq 0$。
• 多重共線性 (Multicollinearity): 在高階多項迴歸中，自變數之間 (如 $X, X^2, X^3$) 往往存在高度相關性，這會導致參數估計的變異數增大，使得估計值變得不穩定且難以解釋。

解題思路：

在高階多項迴歸模型中，我們通常不是對模型中的每一個單獨項（如 $X, X^2, X^3$）的係數 $\beta$ 進行精確的、有意義的解釋。原因如下：

1. 多重共線性問題 (Multicollinearity):
   當我們使用 $X, X^2, X^3, \dots, X^k$ 作為自變數時，這些變數之間存在高度相關性。例如，$X^2$ 可以由 $X$ 的線性組合來近似，或者 $X^3$ 與 $X$ 和 $X^2$ 相關。這種高度相關性（多重共線性）會導致：

   • 參數估計的變異數增大： 即使總體模型擬合得很好，單獨估計每個 $\beta_i$ 的值也會變得非常不準確，其標準誤 (standard error) 會很大。
   • 參數估計值的解釋困難： 由於多重共線性，單獨的 $\beta_i$ 值（例如 $\beta_2$ 代表 $X^2$ 的影響）很難被解釋為「在其他所有變數固定不變的情況下，X 變為 $X^2$ 對 Y 的影響」，因為 $X^2$ 本身就與 $X$ 緊密相關，無法將其效應從 $X$ 的效應中分離出來。

2. 模型目的與解釋重點：
   在社會科學和管理學應用中，開發高階多項迴歸模型通常是為了捕捉變數間複雜的非線性關係，例如邊際效應的變化（例如，廣告投入增加到一定程度後，其邊際效益開始遞減）。

本題考驗指數分佈 (Exponential Distribution) 的一個重要性質：無記憶性 (Memoryless Property)。

核心觀念：

• 指數分佈 (Exponential Distribution): 常用於描述事件發生之間的時間間隔，或電子元件壽命等。其機率密度函數 (pdf) 為 $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$ for $x>0$，其中 $\theta$ 是尺度參數 (scale parameter)，也是其平均值 $E(X)$ 和變異數 $Var(X)$。
• 累積分佈函數 (Cumulative Distribution Function, CDF): $F(x; \theta) = P(X \le x) = \int_0^x \frac{1}{\theta} e^{-t/\theta} dt = 1 - e^{-x/\theta}$ for $x>0$.
• 補存活函數 (Survival Function / Complementary CDF): $P(X > x) = 1 - F(x; \theta) = e^{-x/\theta}$ for $x>0$.
• 條件機率 (Conditional Probability): $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
• 無記憶性 (Memoryless Property): 指數分佈的關鍵性質是，過去的等待時間對未來的等待時間沒有影響。也就是說，如果我們已經等待了 $a$ 的時間，那麼未來再等待 $t$ 的時間的機率，與從頭開始等待 $t$ 的時間的機率是相同的。數學上表示為 $P[X>a+t|X>a]=P[X>t]$。

證明步驟：

我們要證明 $P[X>a+t|X>a]=P[X>t]$。
根據條件機率的定義，$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，我們令 $A$ 為事件 $X > a+t$，$B$ 為事件 $X > a$。

本題考驗對泊松分佈 (Poisson Distribution) 機率質量函數 (pmf) 的性質的理解，特別是函數值隨參數 $\mu$ 和變數 $x$ 的變化關係。

核心觀念：

• 泊松分佈 (Poisson Distribution): 常用於描述在固定時間或空間內，某事件發生的次數。其機率質量函數 (pmf) 為 $f(x; \mu) = \frac{e^{-\mu}\mu^x}{x!}$，其中 $\mu$ 是平均發生次數 (也是變異數)，$x$ 是事件發生的次數 ($x=0, 1, 2, \dots$)。
• 機率值比較： 題目要求比較 $f(x-1; \mu)$ 和 $f(x; \mu)$ 的大小，並與 $x$ 和 $\mu$ 的大小關係連結。這實際上是在探討泊松分佈 pmf 的單峰性質 (unimodal property)。

證明步驟：

我們要比較 $f(x-1; \mu)$ 和 $f(x; \mu)$。
$f(x; \mu) = \frac{e^{-\mu}\mu^x}{x!}$
$f(x-1; \mu) = \frac{e^{-\mu}\mu^{x-1}}{(x-1)!}$

考慮比較兩者之比值：
$\frac{f(x; \mu)}{f(x-1; \mu)} = \frac{\frac{e^{-\mu}\mu^x}{x!}}{\frac{e^{-\mu}\mu^{x-1}}{(x-1)!}}$

分子分母中的 $e^{-\mu}$ 可以消去。
$\frac{f(x; \mu)}{f(x-1; \mu)} = \frac{\mu^x / x!}{\mu^{x-1} / (x-1)!}$
$\frac{f(x; \mu)}{f(x-1; \mu)} = \frac{\mu^x}{\mu^{x-1}} \times \frac{(x-1)!}{x!}$

化簡：
$\mu^x / \mu^{x-1} = \mu^{x - (x-1)} = \mu^1 = \mu$
$(x-1)! / x! = (x-1)! / (x \times (x-1)!) = \frac{1}{x}$

所以，
$\frac{f(x; \mu)}{f(x-1; \mu)} = \mu \times \frac{1}{x} = \frac{\mu}{x}$。

現在我們根據 $\frac{f(x; \mu)}{f(x-1; \mu)}$ 與 1 的大小關係來判斷 $f(x; \mu)$ 與 $f(x-1; \mu)$ 的大小關係。

第一部分：證明 $f(x-1; \mu) < f(x; \mu)$ for $x < \mu$

本題考驗中心極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用，特別是樣本平均數的抽樣分佈。

核心觀念：

• 中心極限定理 (CLT): 當樣本數 $n$ 足夠大時 (通常 $n \ge 30$)，不論母體分佈為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈 (Normal Distribution)，其平均值等於母體平均值 $\mu$，標準差等於母體標準差 $\sigma$ 除以樣本數的平方根 $\sqrt{n}$ (稱為標準誤, Standard Error)。
• 常態分佈的機率計算： 利用標準常態分佈表 (Z-table) 或統計軟體計算機率。

解題步驟：

1. 確認母體參數：
   題目給出母體平均值 $\mu = 4$ 小時，母體標準差 $\sigma = 1.5$ 小時。
   樣本大小 $n = 36$。

2. 判斷樣本平均數的抽樣分佈：
   由於樣本大小 $n=36 \ge 30$，根據中心極限定理，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈。

   • 樣本平均數的平均值：$E(\bar{X}) = \mu = 4$ 小時。

本題考驗對統計假設檢定 (Hypothesis Testing) 基本概念的理解。

核心觀念：

• 假設檢定 (Hypothesis Testing): 一種統計推論方法，用來判斷樣本數據是否足以支持某個關於母體參數的假設。
• 虛無假說 (Null Hypothesis, $H_0$): 通常代表「沒有效果」、「沒有差異」或「現狀」的假設。它是一個關於母體參數的陳述。
• 對立假說 (Alternative Hypothesis, $H_a$ 或 $H_1$): 與虛無假說相反，代表研究者希望證明或支持的假設。
• 檢定統計量 (Test Statistic): 根據樣本數據計算出來的統計量，用於評估樣本數據與虛無假說的符合程度。
• 抽樣分配 (Sampling Distribution): 檢定統計量在虛無假說為真時的機率分佈。
• P 值 (p-value): 在虛無假說為真的條件下，觀察到現有樣本數據或更極端數據的機率。
• 顯著水準 ($\alpha$): 預先設定的機率值，用來決定是否拒絕虛無假說。

逐項分析：

(A) 研究假說是針對母體參數(如參數、分配)做一種推論性的描述
這句話是正確的。研究假說 (Research Hypothesis) 通常是我們想要驗證的、關於母體特徵（如平均值、比例、分佈形狀等）的陳述。它通常會轉化為對立假說 $H_a$。

(B) 假說檢定之目的是宣稱虛無假說成立
這句話是錯誤的。假說檢定的目的不是「宣稱虛無假說成立」。相反，假說檢定的邏輯是：

1. 假設虛無假說 $H_0$ 為真。
2. 計算樣本數據出現的機率（或更極端數據的機率，即 p 值）。

核心觀念

本題考查四種測量尺度的定義，以及李克特量表（Likert scale）的資料特性。

四種測量尺度如下：

1. 名目尺度（nominal scale）：只能分類或標記，類別之間沒有大小順序。
2. 順序尺度（ordinal scale）：除了分類之外，類別具有順序關係，但相鄰等級之間的差距不一定相等。
3. 區間尺度（interval scale）：類別之間具有順序，且相鄰數值的差距相等，但沒有真正的零點。
4. 比率尺度（ratio scale）：具有順序、相等間距及真正的零點，因此可以比較倍數關係。

李克特量表的選項具有明顯順序：

$$\text{非常不滿意} < \text{不滿意} < \text{普通} < \text{滿意} < \text{非常滿意}$$

因此，單一李克特題項最標準的測量尺度是順序尺度。

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解題方法

判斷測量尺度時，依序檢查三件事：

1. 類別是否能分類？
2. 類別是否有順序？
3. 等級間距是否相等，且是否存在真正的零點？

本題的「非常滿意、滿意、普通、不滿意、非常不滿意」：

• 可以將受訪者分類，因此具有名目尺度的基本分類功能。
• 類別之間具有滿意程度的高低順序，因此符合順序尺度。
• 但無法保證「非常滿意」到「滿意」的差距，等於「滿意」到「普通」的差距，因此不具備嚴格的區間尺度性質。
• 「非常不滿意」也不代表滿意度為零，更不存在可用來比較倍數的真正零點，因此不屬於比率尺度。

所以，四個選項中最不可能的是比率尺度。

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選項分析

(A) 名目尺度（nominal scale）

名目尺度只要求資料能夠分成不同類別。李克特量表的五個回答選項確實可以視為五個類別，因此具備名目尺度的分類功能。

不過，李克特量表不只是單純分類，還具有順序關係。因此名目尺度不是最適合的描述，但不能說完全不具名目尺度的性質。

此選項不正確。

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本題考驗對大數據 (Big Data) 特性「4V」的認識。

核心觀念：
大數據的「4V」模型是描述大數據特徵的經典模型，通常指：

1. 量 (Volume): 資料的龐大規模。
2. 速 (Velocity): 資料產生、處理和傳輸的速度。
3. 多樣性 (Variety): 資料來源和類型的多樣性（結構化、半結構化、非結構化）。
4. 價值 (Value): 從數據中提取有價值的資訊和洞察。

有時也會加入其他 V，例如：

• 真實性 (Veracity): 資料的準確性和真實性。
• 可視性 (Visualization): 資料的呈現方式。
• 變異性 (Variability): 資料值的波動性或不確定性。
• 易逝性 (Vulnerability): 資料的安全性與隱私。
• 可訪問性 (Accessibility): 資料的可獲取性。

解題步驟：

本題考驗對不同統計分析方法的適用性判斷，特別是針對多因子交互作用的探討。

核心觀念：

• t檢定 (t-test): 用於比較兩組樣本的平均數是否存在顯著差異。適用於一個連續型應變數和一個二元自變數（分組變數）。
• 卡方分析 (Chi-squared test): 用於分析類別型變數之間的關聯性，或檢定觀察頻率與期望頻率的差異。適用於兩個類別型變數。
• 變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA): 用於比較三個或三個以上樣本的平均數是否存在顯著差異。
  • 單因子變異數分析 (One-way ANOVA): 檢定一個類別型自變數（因子）對一個連續型應變數的影響。
  • 雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA): 檢定兩個類別型自變數（因子）對一個連續型應變數的影響，並且可以檢定這兩個因子之間是否存在交互作用 (interaction)。
• 交互作用 (Interaction Effect): 當一個因子的效應取決於另一個因子的水準時，就存在交互作用。例如，促銷方案 A 對男性銷售的影響可能與對女性銷售的影響不同。

解題步驟：

題目要求探討：

1. 不同類型促銷方案 (應為類別型自變數，至少有兩種以上方案) 對產品銷售 (應為連續型應變數) 的影響。
2. 這種影響是否因顧客性別而異 (另一類別型自變數，有兩種水準：男性、女性)。