112 年 國立臺灣大學國際企業學系碩士班乙組《微積分（C）》

此題主要考驗對多元常態分佈的線性轉換性質的理解。當一個隨機向量經過線性轉換後，其結果仍然服從常態分佈，且其均值和共變異數矩陣會隨之改變。

(a) 線性轉換與多元常態分佈

題目給定一個標準雙變數常態分佈的隨機向量 $\begin{bmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{bmatrix} \sim \text{ND}\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$，其中 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是獨立的標準常態隨機變數。
我們需要將其轉換為另一個雙變數常態分佈 $\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{ND}\left(\begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \rho\sigma_x\sigma_y \\ \rho\sigma_x\sigma_y & \sigma_y^2 \end{bmatrix}\right)$，透過以下線性轉換：
$x = \alpha z_1 + \beta$
$y = \gamma z_1 + \delta z_2 + \varepsilon$

我們知道，如果一個隨機向量 $\mathbf{Z} \sim \text{ND}(\boldsymbol{\mu}_Z, \boldsymbol{\Sigma}_Z)$，則經過線性轉換 $\mathbf{X} = \mathbf{A}\mathbf{Z} + \mathbf{b}$ 後，新的隨機向量 $\mathbf{X}$ 也服從常態分佈，其均值和共變異數矩陣分別為：
$E[\mathbf{X}] = \mathbf{A}E[\mathbf{Z}] + \mathbf{b}$
$\text{Cov}(\mathbf{X}) = \mathbf{A}\text{Cov}(\mathbf{Z})\mathbf{A}^T$

在此問題中，我們可以將轉換寫成矩陣形式：
$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ \gamma & \delta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta \\ \varepsilon \end{bmatrix}$

所以，$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ \gamma & \delta \end{bmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} \beta \\ \varepsilon \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\mu}_Z = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\Sigma}_Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。

我們需要計算 $\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$ 的均值和共變異數矩陣，並與目標的 $\begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \rho\sigma_x\sigma_y \\ \rho\sigma_x\sigma_y & \sigma_y^2 \end{bmatrix}$ 進行比較。

計算均值：
$E\left[\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}\right] = \mathbf{A}E\left[\begin{bmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{bmatrix}\right] + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ \gamma & \delta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta \\ \varepsilon \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta \\ \varepsilon \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta \\ \varepsilon \end{bmatrix}$

核心觀念

本題需先知道 $(X,Y)$ 的聯合分布，才能計算

$$E\left[e^{X+Y}I\{X\le 0\}\right].$$

題目目前未提供 $X,Y$ 的分布，因此嚴格而言，$a,b,c,\ldots,n$ 無法唯一決定。此外，即使期望值已知，指定的表示式也可能有多組係數，除非題目另有規定各係數的取得方式。

以下採用最常見且與題目中的 $n_1,N_1,N_2$ 符號一致的假設：

$$X,Y\overset{\text{ind}}{\sim}N(0,1).$$

其中 $n_1(\cdot;0,1)$ 為標準常態密度函數，$N_1(\cdot;0,1)$ 為標準常態累積分布函數。

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解題方法

由於 $X$ 與 $Y$ 相互獨立，且指示函數只涉及 $X$，可將期望值分解：

$$\begin{aligned} E\left[e^{X+Y}I\{X\le 0\}\right] &=E\left[e^XI\{X\le 0\}\right]E(e^Y). \end{aligned}$$

先計算 $E(e^Y)$。若 $Y\sim N(0,1)$，其動差生成函數為

$$E(e^{tY})=e^{t^2/2}.$$

令 $t=1$，得到

$$E(e^Y)=e^{1/2}.$$

接著計算

$$E\left[e^XI\{X\le 0\}\right] =\int_{-\infty}^{0}e^x n_1(x;0,1)\,dx.$$

由標準常態密度

$$n_1(x;0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},$$

因此

此題考驗常微分方程的求解以及極限的計算。第一部分是求解兩個一階線性常微分方程，第二部分是求解當時間趨近無窮大時，兩個函數比值的極限。

核心觀念：

• 一階線性常微分方程的求解。
• 指數函數的極限行為。

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Part (a): 求解微分方程

我們有兩個微分方程：

1. $\frac{dI}{dt} = rI$
2. $\frac{dD}{dt} = aI$

求解 $\frac{dI}{dt} = rI$：
這是一個標準的一階齊次線性常微分方程，其解的形式為 $I(t) = Ce^{rt}$。
利用初始條件 $I(0) = I_0$，我們可以找到常數 $C$。
$I(0) = Ce^{r \cdot 0} = C \cdot 1 = C$
所以，$C = I_0$。
因此，國家收入 $I(t)$ 的解為：
$I(t) = I_0 e^{rt}$

求解 $\frac{dD}{dt} = aI$：
我們已經得到了 $I(t)$ 的表達式，將其代入第二個微分方程：
$\frac{dD}{dt} = a(I_0 e^{rt})$
$\frac{dD}{dt} = aI_0 e^{rt}$

這是一個一階非齊次線性常微分方程。我們可以通過積分來求解。
$D(t) = \int \frac{dD}{dt} dt = \int aI_0 e^{rt} dt$
$D(t) = aI_0 \int e^{rt} dt$
$D(t) = aI_0 \left(\frac{1}{r} e^{rt}\right) + K$
其中 $K$ 是積分常數。

利用初始條件 $D(0) = D_0$，我們可以找到常數 $K$。
$D(0) = aI_0 \left(\frac{1}{r} e^{r \cdot 0}\right) + K$
$D_0 = aI_0 \left(\frac{1}{r} \cdot 1\right) + K$
$D_0 = \frac{aI_0}{r} + K$
所以，$K = D_0 - \frac{aI_0}{r}$。

將 $K$ 代回 $D(t)$ 的表達式：
$D(t) = aI_0 \left(\frac{1}{r} e^{rt}\right) + D_0 - \frac{aI_0}{r}$
$D(t) = \frac{aI_0}{r} e^{rt} + D_0 - \frac{aI_0}{r}$
$D(t) = \frac{aI_0}{r}(e^{rt} - 1) + D_0$

需要注意的特殊情況：
如果 $r=0$ 時，微分方程 $\frac{dI}{dt} = rI$ 變成 $\frac{dI}{dt} = 0$，則 $I(t) = I_0$ (常數)。
此時，$\frac{dD}{dt} = aI_0$，積分得到 $D(t) = aI_0 t + K'$。
利用 $D(0) = D_0$，得到 $D_0 = aI_0 \cdot 0 + K'$，所以 $K' = D_0$。
因此，當 $r=0$ 時，$D(t) = aI_0 t + D_0$。
我們的公式 $D(t) = \frac{aI_0}{r}(e^{rt} - 1) + D_0$ 在 $r \to 0$ 時，使用 L'Hôpital's Rule 對 $\frac{e^{rt}-1}{r}$ 求極限：
$\lim_{r \to 0} \frac{e^{rt}-1}{r} = \lim_{r \to 0} \frac{\frac{d}{dr}(e^{rt}-1)}{\frac{d}{dr}(r)} = \lim_{r \to 0} \frac{te^{rt}}{1} = t$.
所以，當 $r \to 0$ 時，公式結果為 $aI_0 t + D_0$，與直接計算結果一致。

總結 Part (a) 的結果：
$I(t) = I_0 e^{rt}$
$D(t) = \frac{aI_0}{r}(e^{rt} - 1) + D_0 \quad (\text{若 } r \neq 0)$
$D(t) = aI_0 t + D_0 \quad (\text{若 } r = 0)$

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Part (b): 計算極限

我們需要計算 $\lim_{t \to \infty} \frac{D(t)}{I(t)}$。
我們分兩種情況討論 $r$ 的值。

情況 1：$r > 0$
此時，$e^{rt} \to \infty$ 當 $t \to \infty$。
$I(t) = I_0 e^{rt}$
$D(t) = \frac{aI_0}{r}(e^{rt} - 1) + D_0 = \frac{aI_0}{r}e^{rt} - \frac{aI_0}{r} + D_0$
$\frac{D(t)}{I(t)} = \frac{\frac{aI_0}{r}e^{rt} - \frac{aI_0}{r} + D_0}{I_0 e^{rt}}$

此題考驗多元函數的最佳化問題，特別是利用偏導數求解利潤最大化的條件。

核心觀念：

• 利潤函數的建立。
• 利用一階偏導數等於零求極值點。
• 利用二階偏導數判斷極值點的性質（最大值、最小值或鞍點）。

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1. 建立利潤函數 $P(x, y)$

利潤等於總收益減去總成本。
總收益 (Revenue) $R(x, y)$ 是銷售單價乘以銷售數量。
單價 $p$ 隨 A 的產量 $x$ 變化，單價 $q$ 隨 B 的產量 $y$ 變化。
$p(x) = 20 - 5x$
$q(y) = 4 - 2y$

總收益 $R(x, y) = x \cdot p(x) + y \cdot q(y)$
$R(x, y) = x(20 - 5x) + y(4 - 2y)$
$R(x, y) = 20x - 5x^2 + 4y - 2y^2$

總成本 (Cost) $C(x, y)$ 已給定：
$C(x, y) = 2xy + 4$

利潤函數 $P(x, y) = R(x, y) - C(x, y)$
$P(x, y) = (20x - 5x^2 + 4y - 2y^2) - (2xy + 4)$
$P(x, y) = 20x - 5x^2 + 4y - 2y^2 - 2xy - 4$

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2. 求解一階偏導數並令其為零

為了找到利潤最大化的點，我們需要計算 $P(x, y)$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導數，並令它們等於零。

$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(20x - 5x^2 + 4y - 2y^2 - 2xy - 4)$
$\frac{\partial P}{\partial x} = 20 - 10x - 2y$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(20x - 5x^2 + 4y - 2y^2 - 2xy - 4)$
$\frac{\partial P}{\partial y} = 4 - 4y - 2x$

令偏導數等於零，得到一個方程組：
(1) $20 - 10x - 2y = 0 \implies 10x + 2y = 20 \implies 5x + y = 10$
(2) $4 - 4y - 2x = 0 \implies 2x + 4y = 4 \implies x + 2y = 2$

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3. 解方程組

我們需要解以下方程組：
$5x + y = 10 \quad (1)$
$x + 2y = 2 \quad (2)$

從方程 (1) 中，我們可以得到 $y = 10 - 5x$。
將此代入方程 (2)：
$x + 2(10 - 5x) = 2$
$x + 20 - 10x = 2$
$-9x = 2 - 20$
$-9x = -18$
$x = \frac{-18}{-9} = 2$

現在，將 $x=2$ 代回 $y = 10 - 5x$：
$y = 10 - 5(2)$
$y = 10 - 10$
$y = 0$

此題考驗隱函數微分法 (Implicit Differentiation)。

核心觀念：

• 對隱函數進行微分時，將 $y$ 視為 $x$ 的函數。
• 對含有 $y$ 的項微分時，應用連鎖法則 (Chain Rule)。
• 將所有含 $\frac{dy}{dx}$ 的項移到一邊，不含 $\frac{dy}{dx}$ 的項移到另一邊，然後求解 $\frac{dy}{dx}$。

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步驟：

給定方程：
$y^3 + y^2 - 5y - x^2 = -4$

對方程的兩邊同時關於 $x$ 進行微分：
$\frac{d}{dx}(y^3 + y^2 - 5y - x^2) = \frac{d}{dx}(-4)$

應用微分的線性性質：
$\frac{d}{dx}(y^3) + \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(5y) - \frac{d}{dx}(x^2) = 0$

現在，對每一項應用連鎖法則（因為 $y$ 是 $x$ 的函數）：

1. $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}$
2. $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$
3. $\frac{d}{dx}(5y) = 5 \cdot \frac{dy}{dx}$
4. $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

此題考驗積分技巧，特別是換元積分法 (u-substitution)。

核心觀念：

• 換元積分法的應用。
• 選擇合適的變數進行替換，使得積分變得簡單。

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步驟：

我們要計算積分 $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$。

觀察被積函數，我們注意到 $\sqrt{x}$ 的導數 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 與積分中出現的 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 相關。這提示我們可以使用換元積分法。

令 $u = \sqrt{x}$。
然後，我們需要找到 $du$ 與 $dx$ 的關係。
對 $u = \sqrt{x}$ 兩邊微分：
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

從這個關係式，我們可以得到 $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$。
為了匹配積分中的項，我們將其改寫為：
$2 du = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

現在，我們將原積分中的變數替換為 $u$ 和 $du$：
原積分：$\int \sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

核心觀念

本題考查三角函數恆等式與瑕積分。利用

$$\csc u-\cot u =\frac{1-\cos u}{\sin u} =\tan\frac{u}{2},$$

可將被積分函數化簡。由於上限 $x=\frac{\pi}{4}$ 時，$4x=\pi$，$\csc 4x$ 與 $\cot 4x$ 均無定義，因此本題必須視為瑕積分處理。

解題方法

令 $u=4x$，則

$$\csc 4x-\cot 4x =\frac{1-\cos 4x}{\sin 4x} =\tan 2x.$$

因此

$$\int_{\pi/8}^{\pi/4}(\csc 4x-\cot 4x)\,dx = \int_{\pi/8}^{\pi/4}\tan 2x\,dx.$$

因為 $x=\frac{\pi}{4}$ 為奇異點，應寫成極限：

$$\int_{\pi/8}^{\pi/4}\tan 2x\,dx = \lim_{b\to(\pi/4)^-}\int_{\pi/8}^{b}\tan 2x\,dx.$$

計算原始函數：

$$\int \tan 2x\,dx =-\frac12\ln|\cos 2x|+C.$$

所以

核心觀念

本題考查指數函數的 Maclaurin 展開式：

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

因為

$$\sqrt e=e^{1/2},$$

所以只要將 $x=\frac12$ 代入適當階數的 Maclaurin 多項式即可。

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解題方法

取 $e^x$ 的五次 Maclaurin 多項式：

$$P_5(x)=1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} +\frac{x^5}{5!}.$$

代入 $x=\frac12$：

$$\begin{aligned} P_5\left(\frac12\right) &=1+\frac12+\frac{(1/2)^2}{2!} +\frac{(1/2)^3}{3!} +\frac{(1/2)^4}{4!} +\frac{(1/2)^5}{5!}\\ &=1+\frac12+\frac18+\frac1{48} +\frac1{384}+\frac1{3840}\\ &=1.6486979167. \end{aligned}$$

因此，

$$\sqrt e\approx 1.6486979167.$$

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此題考驗多元函數的混合偏導數計算。

核心觀念：

• 偏導數的計算。
• 混合偏導數的性質：在適當條件下，混合偏導數的次序可以交換。

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步驟：

我們要計算 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y^2}$。這表示我們需要對函數 $f(x, y)$ 先對 $y$ 求兩次偏導數，然後再對 $x$ 求偏導數。

給定函數：
$f(x, y) = e^x \sin y + \ln(xy)$

第一步：計算 $\frac{\partial f}{\partial y}$
對 $f(x, y)$ 關於 $y$ 求偏導數，將 $x$ 視為常數：
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y + \ln(xy))$
$= \frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(\ln(xy))$
$= e^x \cos y + \frac{1}{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy)$
$= e^x \cos y + \frac{1}{xy} \cdot x$
$= e^x \cos y + \frac{1}{y}$

第二步：計算 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$
對 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 關於 $y$ 求偏導數，將 $x$ 視為常數：
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(e^x \cos y + \frac{1}{y}\right)$
$= \frac{\partial}{\partial y}(e^x \cos y) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right)$
$= e^x (-\sin y) + (-1) y^{-2}$
$= -e^x \sin y - \frac{1}{y^2}$

第三步：計算 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y^2}$
對 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ 關於 $x$ 求偏導數，將 $y$ 視為常數：
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-e^x \sin y - \frac{1}{y^2}\right)$
$= \frac{\partial}{\partial x}(-e^x \sin y) - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y^2}\right)$
$= -\sin y \frac{\partial}{\partial x}(e^x) - 0$ (因為 $\frac{1}{y^2}$ 不含 $x$)
$= -\sin y \cdot e^x$
$= -e^x \sin y$

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驗證（交換偏導數次序）：

我們也可以先計算 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$，然後再對 $y$ 求偏導數。
第一步（再次）：計算 $\frac{\partial f}{\partial x}$
對 $f(x, y)$ 關於 $x$ 求偏導數，將 $y$ 視為常數：