111 年 國立臺灣大學生物環境系統工程學系碩士班甲組《工程數學（I）》

核心觀念

本題考查一階線性微分方程，以及「瞬間投入」與「持續投入」對族群數量的影響。

設兔子數量為 $y(t)$：

• 自然成長率為 $ay(t)$；
• 自然死亡率為 $\beta y(t)$；
• 因為 $\beta>a>0$，淨變化率為 $$ay(t)-\beta y(t)=-(\beta-a)y(t)<0。$$

定義

$$r=\beta-a>0。$$

因此，沒有外力補充時，兔子數量會以衰減率 $r$ 指數下降。

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（a）建立微分方程

自然成長與自然死亡皆與族群數量成正比，因此

$$\frac{dy}{dt}=ay-\beta y。$$

整理得

$$\boxed{\frac{dy}{dt}=(a-\beta)y=-ry}$$

其中 $r=\beta-a>0$。

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（b）在 $t=T_1$ 瞬間釋放 $H_1$ 隻兔子

解題方法

$t=T_1$ 是瞬間釋放，因此數量會產生跳躍：

$$y(T_1^+)=y(T_1^-)+H_1。$$

在釋放前後，兔子皆只受到自然成長與自然死亡作用，所以兩段都滿足

$$\frac{dy}{dt}=-ry。$$

釋放前：$0\le t<T_1$

由初始條件 $y(0)=H_0$，

$$\frac{dy}{y}=-r\,dt。$$

積分得

$$\ln y=-rt+C。$$

代入 $y(0)=H_0$，得到

$$\boxed{y(t)=H_0e^{-rt}},\qquad 0\le t<T_1。$$

因此釋放前一刻的族群數量為

$$y(T_1^-)=H_0e^{-rT_1}。$$

$t=T_1$ 瞬間釋放後

釋放後的初始數量為

$$y(T_1^+)=H_0e^{-rT_1}+H_1。$$

從 $T_1$ 開始重新解微分方程：

$$y(t)=y(T_1^+)e^{-r(t-T_1)}。$$

所以

$$\boxed{ y(t)=\left(H_0e^{-rT_1}+H_1\right)e^{-r(t-T_1)} },\qquad t>T_1。$$

也可寫成

$$\boxed{ y(t)=H_0e^{-rt}+H_1e^{-r(t-T_1)} },\qquad t>T_1。$$

完整答案為

$$\boxed{ y(t)= \begin{cases} H_0e^{-rt}, & 0\le t<T_1,\\[6pt] \left(H_0e^{-rT_1}+H_1\right)e^{-r(t-T_1)}, & t>T_1, \end{cases} }$$

其中 $r=\beta-a$。

在 $t=T_1$ 當下，若採用「釋放完成後」的定義，則

$$y(T_1)=H_0e^{-rT_1}+H_1。$$

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（c）從 $T_1$ 到 $T_2$ 每日釋放 $H_2$ 隻兔子

此處將「每天釋放 $H_2$ 隻」視為連續補充速率 $H_2$ 隻／日。若嚴格視為每天固定時刻的離散釋放，模型會改成差分方程；本題採用微分方程的標準連續輸入模型。

$0\le t<T_1$

尚未開始補充，因此

$$\boxed{y(t)=H_0e^{-rt}}。$$

在 $t=T_1$ 時，

$$y(T_1)=H_0e^{-rT_1}。$$

$T_1\le t\le T_2$

此時每單位時間補充 $H_2$ 隻，微分方程變為

$$\frac{dy}{dt}=-ry+H_2。$$

改寫為

$$\frac{dy}{dt}+ry=H_2。$$

其積分因子為

$$\mu(t)=e^{rt}。$$

兩邊乘以積分因子：

$$e^{rt}\frac{dy}{dt}+re^{rt}y=H_2e^{rt}.$$

左側為乘積微分：

$$\frac{d}{dt}\left(e^{rt}y\right)=H_2e^{rt}.$$

由 $T_1$ 積分至 $t$：

$$e^{rt}y(t)-e^{rT_1}y(T_1) = H_2\int_{T_1}^{t}e^{rs}\,ds。$$

解一階常微分方程式（ODE）：

$(3y^2 - 2xy^3) dx + (4x - 3x^2y^2) dy = 0$

步驟一：觀察與拆項分組
將微分方程式重新分組：
$(3y^2 dx + 4x dy) - (2xy^3 dx + 3x^2y^2 dy) = 0$

注意到第二組可化為全微分：
$2xy^3 dx + 3x^2y^2 dy = d(x^2 y^3)$

原式改寫為：
$3y^2 dx + 4x dy - d(x^2 y^3) = 0$

步驟二：乘入積分因子
全式同乘以積分因子 $\mu(x,y) = \frac{1}{xy^2}$：

核心觀念

本題是變係數的二階 Euler–Cauchy 微分方程：

$$x^2y''+2xy'+4y=10\sin(\ln x),\qquad x>0.$$

其關鍵特徵是係數含有 $x^2$ 與 $x$，且右側含 $\ln x$。因此令

$$t=\ln x,\qquad Y(t)=y(x)=y(e^t),$$

即可將方程轉換為常係數二階微分方程。

由 $t=\ln x$ 得

$$\frac{dt}{dx}=\frac1x.$$

因此

$$y'=\frac{dY}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{Y'}x,$$

所以

$$xy'=Y'.$$

再微分一次：

$$y''=\frac{d}{dx}\left(\frac{Y'}x\right) =\frac{Y''-Y'}{x^2},$$

故

$$x^2y''=Y''-Y'.$$

這是 Euler–Cauchy 方程常用的對數變數代換。

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解題方法

一、將方程化為常係數方程

代入

$$x^2y''=Y''-Y',\qquad 2xy'=2Y'$$

可得

$$(Y''-Y')+2Y'+4Y=10\sin t,$$

整理為

$$Y''+Y'+4Y=10\sin t.$$

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二、求齊次解

先解對應的齊次方程：

$$Y''+Y'+4Y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+r+4=0.$$

解得

$$r=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}2 =\frac{-1\pm i\sqrt{15}}2.$$

令

$$\alpha=-\frac12,\qquad \beta=\frac{\sqrt{15}}2,$$

則齊次解為

$$Y_h=e^{-t/2} \left(C_1\cos\frac{\sqrt{15}}2t +C_2\sin\frac{\sqrt{15}}2t\right).$$

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三、求特解

右側為 $10\sin t$，設特解為

$$Y_p=A\sin t+B\cos t.$$

則

$$Y_p'=A\cos t-B\sin t,$$ $$Y_p''=-A\sin t-B\cos t.$$

代入 $Y''+Y'+4Y$：

$$Y_p''+Y_p'+4Y_p =(3A-B)\sin t+(A+3B)\cos t.$$

與

$$10\sin t$$

比較係數，得到

$$3A-B=10,$$ $$A+3B=0.$$

由第二式 $A=-3B$，代入第一式：

$$-9B-B=10,$$ $$B=-1,\qquad A=3.$$

因此

$$Y_p=3\sin t-\cos t.$$

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四、組合通解

$$Y(t)=e^{-t/2} \left(C_1\cos\frac{\sqrt{15}}2t +C_2\sin\frac{\sqrt{15}}2t\right) +3\sin t-\cos t.$$

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五、代入初始條件

核心觀念

Sturm–Liouville 特徵值問題的標準形式為

$$-\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right)+q(x)y=\lambda w(x)y,$$

其中：

• $p(x)$ 為微分項係數；
• $q(x)$ 為位勢項；
• $w(x)>0$ 為權重函數；
• 不同特徵值所對應的特徵函數，在權重 $w(x)$ 下彼此正交。

本題關鍵是將 Bessel 方程中的參數視為特徵值。

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(a) 證明 Bessel 方程為 Sturm–Liouville 方程

考慮一般化的 Bessel 方程：

$$x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-n^2)y=0.$$

原題給定的方程相當於 $\lambda=1$ 的情形。

兩邊除以 $x$，得

$$xy''+y'+\left(\lambda^2x-\frac{n^2}{x}\right)y=0.$$

由

$$xy''+y'=(xy')',$$

可改寫為

$$(xy')'+\left(\lambda^2x-\frac{n^2}{x}\right)y=0.$$

移項並整理為

$$-(xy')'+\frac{n^2}{x}y=\lambda^2xy.$$

與 Sturm–Liouville 標準形式

$$-(p(x)y')'+q(x)y=\mu w(x)y$$

比較，其中令 $\mu=\lambda^2$，可得到

$$p(x)=x, \qquad q(x)=\frac{n^2}{x}, \qquad w(x)=x.$$

因此，Bessel 方程確實可寫成 Sturm–Liouville 方程。

在 $x>0$ 的區間上，

$$p(x)=x>0, \qquad w(x)=x>0,$$

符合 Sturm–Liouville 問題的基本要求。

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(b) 證明 Bessel 函數的正交性

解題方法

取相同階數 $n$、不同特徵值 $\lambda_m^2$ 與 $\lambda_k^2$ 所對應的兩個解：

$$u_m(x)=J_n(\lambda_m x), \qquad u_k(x)=J_n(\lambda_k x),$$

其中 $J_n$ 為第一類 Bessel 函數。

它們分別滿足

$$-(xu_m')'+\frac{n^2}{x}u_m =\lambda_m^2xu_m,$$

以及

$$-(xu_k')'+\frac{n^2}{x}u_k =\lambda_k^2xu_k.$$

第一式乘以 $u_k$，第二式乘以 $u_m$，相減可得

$$-u_k(xu_m')'+u_m(xu_k')' =(\lambda_m^2-\lambda_k^2)x u_m u_k.$$

左側可寫成全微分：

$$\frac{d}{dx} \left[ x\left(u_m u_k'-u_k u_m'\right) \right] = (\lambda_m^2-\lambda_k^2)x u_m u_k.$$

在區間 $[0,a]$ 上積分：

$$\left[ x\left(u_m u_k'-u_k u_m'\right) \right]_0^a = (\lambda_m^2-\lambda_k^2) \int_0^a x u_m(x)u_k(x)\,dx.$$

若兩個特徵函數滿足相同的自伴邊界條件，邊界項即為零。因此，當 $\lambda_m^2\ne\lambda_k^2$ 時，