核心觀念

本題考查「剛體旋轉流體」的壓力分布。水體隨圓桶以角速度 $\omega$ 等速旋轉後，水體相對圓桶靜止，但受到：

• 徑向離心力；
• 垂向重力與外加向下加速度的合成作用。

取圓桶底面為 $z=0$，$z$ 軸向上，圓桶半徑由圖得 $R=0.3\ \text{m}$。水的密度取 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$。

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解題方法

在旋轉座標系中取一個微小水體元素，對徑向與垂向分別使用靜力平衡方程式，再由自由液面壓力為大氣壓的條件，求出水面方程式與壓力分布。

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(a) 徑向與垂向壓力梯度

徑向平衡

半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的微小水體，其質量為 $\rho\,dV$。旋轉時所需向心加速度為 $\omega^2r$，在旋轉座標系中表現為向外的離心力。

徑向壓力力差必須平衡離心力，因此：

$$\frac{\partial P}{\partial r}=\rho\omega^2r$$

垂向平衡

向下的有效加速度為重力加速度與外加加速度之和：

$$g_{\text{eff}}=g+a_z$$

由垂向靜力平衡：

$$\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho(g+a_z)$$

因此本題的兩個壓力梯度為：

$$\boxed{\frac{\partial P}{\partial r}=\rho\omega^2r}$$ $$\boxed{\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho(g+a_z)}$$

---

(b) 水面曲線與壓力分布

水面曲線方程式

自由液面上的壓力皆為大氣壓，因此沿著自由液面有：

$$dP=0$$

又因為 $P=P(r,z)$，所以：

$$dP=\frac{\partial P}{\partial r}dr+ \frac{\partial P}{\partial z}dz=0$$

代入前述壓力梯度：

$$\rho\omega^2r\,dr-\rho(g+a_z)\,dz=0$$

整理得：

$$dz=\frac{\omega^2r}{g+a_z}\,dr$$

積分：

$$z=\frac{\omega^2r^2}{2(g+a_z)}+C$$

令圓心處 $r=0$ 的水深為 $z_0$，即可得水面方程式：

$$\boxed{Z(r)=z_0+\frac{\omega^2r^2}{2(g+a_z)}}$$

因此桶緣水深為：

$$z_1=Z(R) =z_0+\frac{\omega^2R^2}{2(g+a_z)}$$

所以：

$$\boxed{z_1-z_0=\frac{\omega^2R^2}{2(g+a_z)}}$$

利用體積守恆求 $z_0,z_1$

初始水深為 $1.6\ \text{m}$，旋轉前後水量不變。

旋轉後水深為拋物面，平均水深為圓心與桶緣水深的平均值：

$$\frac{z_0+z_1}{2}=1.6$$

因此：

$$z_0+z_1=3.2$$

壓力分布可由垂向積分求得。對任意位置 $(r,z)$，該點上方自由液面高度為 $Z(r)$，故：

$$P(r,z)-P_{\text{atm}} =\rho(g+a_z)\,[Z(r)-z]$$

代入 $Z(r)$：

$$P(r,z) =P_{\text{atm}} +\rho(g+a_z) \left[ z_0+\frac{\omega^2r^2}{2(g+a_z)}-z \right]$$

整理得：

核心觀念

本題分為兩部分：

• (a) 使用控制體的線動量方程與角動量方程，求管路系統固定於 $A$ 點所需承受的力與轉矩。
• (b) 使用火箭推力公式
  $T=\dot m V_e$
  以及變質量系統的運動方程，求太空船的瞬時減速度。

以下取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，並假設水為不可壓縮流體、噴嘴出口為大氣壓、管路損失及噴嘴重量忽略。

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（a）管路與噴嘴受力

1. 流量與管內速度

噴嘴出口直徑為 $d_2=0.15\ \text{m}$，出口速度為 $V_2=22\ \text{m/s}$。

$$A_2=\frac{\pi d_2^2}{4} =\frac{\pi(0.15)^2}{4} =0.01767\ \text{m}^2$$

因此體積流率為

$$Q=A_2V_2 =0.01767(22) =0.03888\ \text{m}^3/\text{s}$$

管徑為 $d_1=0.25\ \text{m}$，故管內速度

$$A_1=\frac{\pi(0.25)^2}{4} =0.04909\ \text{m}^2$$ $$V_1=\frac{Q}{A_1} =7.92\ \text{m/s}$$

質量流率為

$$\dot m=\rho Q =1000(0.03888) =38.88\ \text{kg/s}$$

噴流方向與垂直方向夾角為 $60^\circ$，故出口速度分量為

$$V_{2x}=22\sin60^\circ=19.05\ \text{m/s}$$ $$V_{2y}=-22\cos60^\circ=-11.00\ \text{m/s}$$

入口流速由圖示向右，因此

$$\vec V_1=(7.92,0)\ \text{m/s}$$

---

2. $A$ 斷面壓力

以入口與出口套用伯努力方程，忽略損失，取出口壓力為大氣壓：

$$\frac{p_A}{\rho} +\frac{V_1^2}{2} +gz_A = \frac{V_2^2}{2} +gz_2$$

取高程差約為 $z_2-z_A=6\ \text{m}$，則

$$p_A = \rho\left[ \frac{V_2^2-V_1^2}{2} +g(6) \right]$$ $$p_A = 1000\left[ \frac{22^2-7.92^2}{2} +9.81(6) \right] \approx 2.68\times10^5\ \text{Pa}$$

入口壓力作用力為

$$F_p=p_AA_1 =(2.68\times10^5)(0.04909) \approx 1.32\times10^4\ \text{N}$$

方向向右。

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3. 管路系統重量

管路總長度為

$$L=6+4=10\ \text{m}$$

已知管路加水的單位長度質量為 $78\ \text{kg/m}$，所以總重量為

$$W=(78)(10)(9.81) =7652\ \text{N}$$

方向向下。

---

4. 線動量方程求 $F_x,F_y$

對整個管路、彎頭及其中水體取控制體：

$$\sum \vec F = \dot m(\vec V_2-\vec V_1)$$

速度變化量為

$$\vec V_2-\vec V_1 = (19.05-7.92,\,-11.00) = (11.13,\,-11.00)$$

因此動量通量變化為

$$\dot m(\vec V_2-\vec V_1) = 38.88(11.13,\,-11.00) = (433,\,-428)\ \text{N}$$

令 $\vec R_A$ 為彎頭對管路系統的作用力，則在 $x$ 方向：

$$R_{Ax}+F_p=433$$ $$R_{Ax}=433-13180 \approx -1.27\times10^4\ \text{N}$$

故

$$\boxed{R_{Ax}\approx -12.7\ \text{kN}}$$

即彎頭對管路的作用力向左。

在 $y$ 方向：

$$R_{Ay}-W=-428$$ $$R_{Ay}=7652-428 \approx 7224\ \text{N}$$

故

$$\boxed{R_{Ay}\approx 7.22\ \text{kN}}$$

即彎頭對管路的作用力向上。

因此，若題目所稱的「彎接頭所承受之力」是指管路作用在彎頭上的力，依牛頓第三定律方向相反：

本題考驗流體力學中的動量守恆定律應用於計算管道接頭的受力與力矩，以及火箭推進的基本原理。

(a) 管道接頭受力與力矩計算

此部分利用動量守恆定律，分析流體在彎頭中的動量變化，進而計算彎頭承受的力與力矩。我們假設流體為不可壓縮的牛頓流體，密度 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$。

1. 計算彎頭承受之力 $F_x$ 與 $F_y$

首先，確定控制體積內的流體參數。
管徑 $D = 25 \text{ cm} = 0.25 \text{ m}$，截面積 $A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.25)^2}{4} \approx 0.04909 \text{ m}^2$。
噴嘴口徑 $d = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}$，截面積 $A_2 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.15)^2}{4} \approx 0.01767 \text{ m}^2$。
噴嘴出口流速 $V_2 = 22 \text{ m/s}$。

根據連續性方程式 $A_1 V_1 = A_2 V_2$，垂直管的流速 $V_1 = V_2 \frac{A_2}{A_1} = 22 \text{ m/s} \times \frac{0.01767}{0.04909} \approx 7.92 \text{ m/s}$。

假設 A 斷面是垂直管的底部，流體向上流動，速度向量為 $\mathbf{v}_1 = 7.92 \mathbf{j} \text{ m/s}$ (y 軸向上)。
彎頭將流體從向上轉向向右，噴嘴出口速度向量為 $\mathbf{v}_2 = 22 \mathbf{i} \text{ m/s}$ (x 軸向右)。
質量流量 $\dot{m} = \rho A_1 V_1 = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 0.04909 \text{ m}^2 \times 7.92 \text{ m/s} \approx 388.75 \text{ kg/s}$。

根據動量守恆定律，作用在流體上的合外力等於動量變化率：
$\sum \mathbf{F}_{\text{ext}} = \dot{m} (\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1)$
此處 $\sum \mathbf{F}_{\text{ext}}$ 包括壓力力、重力以及彎頭對流體的作用力 $\mathbf{F}_{\text{elbow on fluid}}$。
若忽略壓力差和重力，則 $\mathbf{F}_{\text{elbow on fluid}} = \dot{m} (\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1)$。
$\mathbf{F}_{\text{elbow on fluid}} = 388.75 \text{ kg/s} \times (22 \mathbf{i} - 7.92 \mathbf{j}) \text{ m/s}$
$\mathbf{F}_{\text{elbow on fluid}} = (388.75 \times 22) \mathbf{i} - (388.75 \times 7.92) \mathbf{j}$
$\mathbf{F}_{\text{elbow on fluid}} = 8552.5 \mathbf{i} - 3078.9 \mathbf{j} \text{ N}$。

彎頭承受的力是流體對彎頭的作用力，方向相反：
$\mathbf{F}_{\text{fluid on elbow}} = -\mathbf{F}_{\text{elbow on fluid}} = -8552.5 \mathbf{i} + 3078.9 \mathbf{j} \text{ N}$。
因此，$F_x = -8552.5 \text{ N}$， $F_y = 3078.9 \text{ N}$。

方向：$F_x$ 指向左方， $F_y$ 指向上方。

2. 計算彎頭承受之轉矩

以 A 斷面為參考點 (原點 $\mathbf{r}_1 = \mathbf{0}$)。
假設彎頭的曲率半徑為 $r_c = 6 \text{ m}$ (由垂直管長度 6 m 推斷)。
則噴嘴出口相對於 A 斷面的位置向量為 $\mathbf{r}_2 = r_c \mathbf{i} + r_c \mathbf{j} = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} \text{ m}$。
根據動量通量矩守恆定律，作用在流體上的總外力矩 $\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}$ 為：

核心觀念

本題以白金漢 $\pi$ 定理將伏流交換率寫成無因次關係，再由垂直方向的 Navier–Stokes 方程式判斷重力與慣性力的相對重要性。兩者合併後，可判斷物理模型須符合的弗勞德數與雷諾數相似條件。

(a) 白金漢 $\pi$ 定理

影響伏流交換率 $q$ 的變數為 $q,V,h,g,\rho,\mu$，共 6 個變數。基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，故有 $6-3=3$ 個無因次參數。

依題意選 $\rho,h,V$ 為重複變數。各變數的因次為

$$[q]=[V]=LT^{-1},\qquad [h]=L,\qquad [g]=LT^{-2},$$ $$[\rho]=ML^{-3},\qquad [\mu]=ML^{-1}T^{-1}.$$

分別建立其餘三個變數的無因次群：

$$\pi_1=q\rho^a h^b V^c$$

令其因次指數皆為零，可得 $a=b=0,\ c=-1$，因此

$$\pi_1=\frac{q}{V}.$$

同理，

$$\pi_2=g\rho^a h^b V^c \quad\Longrightarrow\quad \pi_2=\frac{gh}{V^2},$$ $$\pi_3=\mu\rho^a h^b V^c \quad\Longrightarrow\quad \pi_3=\frac{\mu}{\rho Vh}.$$

因此伏流交換率的無因次關係為

$$\frac{q}{V} = \Phi\left( \frac{gh}{V^2}, \frac{\mu}{\rho Vh} \right) = \Phi\left( \frac{1}{Fr^2}, \frac{1}{Re} \right),$$

其中

$$Fr=\frac{V}{\sqrt{gh}}, \qquad Re=\frac{\rho Vh}{\mu}=\frac{Vh}{\nu}.$$

所以三個無因次參數為 $q/V$、$1/Fr^2$ 與 $1/Re$。

(b) 垂直方向 Navier–Stokes 方程式無因次化

採用特性速度 $V$、特性長度 $h$，設定

$$w=Vw^*,\qquad z=hz^*,\qquad t=\frac{h}{V}t^*, \qquad p=\rho V^2p^*.$$

代入題給方程式：

$$\frac{\partial w}{\partial t} +w\frac{\partial w}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g.$$

各項尺度如下：

$$\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{V^2}{h}\frac{\partial w^*}{\partial t^*}, \qquad w\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{V^2}{h}w^*\frac{\partial w^*}{\partial z^*},$$ $$\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} = \frac{V^2}{h}\frac{\partial p^*}{\partial z^*}.$$

全式除以 $V^2/h$，得到

核心觀念

本題以白金漢 $\pi$ 定理將伏流交換率寫成無因次關係，再由垂直方向的 Navier–Stokes 方程式判斷重力與慣性力的相對重要性。兩者合併後，可判斷物理模型須符合的弗勞德數與雷諾數相似條件。

(a) 白金漢 $\pi$ 定理

影響伏流交換率 $q$ 的變數為 $q,V,h,g,\rho,\mu$，共 6 個變數。基本因次為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$，故有 $6-3=3$ 個無因次參數。

依題意選 $\rho,h,V$ 為重複變數。各變數的因次為

$$[q]=[V]=LT^{-1},\qquad [h]=L,\qquad [g]=LT^{-2},$$ $$[\rho]=ML^{-3},\qquad [\mu]=ML^{-1}T^{-1}.$$

分別建立其餘三個變數的無因次群：

$$\pi_1=q\rho^a h^b V^c$$

令其因次指數皆為零，可得 $a=b=0,\ c=-1$，因此

$$\pi_1=\frac{q}{V}.$$

同理，

$$\pi_2=g\rho^a h^b V^c \quad\Longrightarrow\quad \pi_2=\frac{gh}{V^2},$$ $$\pi_3=\mu\rho^a h^b V^c \quad\Longrightarrow\quad \pi_3=\frac{\mu}{\rho Vh}.$$

因此伏流交換率的無因次關係為

$$\frac{q}{V} = \Phi\left( \frac{gh}{V^2}, \frac{\mu}{\rho Vh} \right) = \Phi\left( \frac{1}{Fr^2}, \frac{1}{Re} \right),$$

其中

$$Fr=\frac{V}{\sqrt{gh}}, \qquad Re=\frac{\rho Vh}{\mu}=\frac{Vh}{\nu}.$$

所以三個無因次參數為 $q/V$、$1/Fr^2$ 與 $1/Re$。

(b) 垂直方向 Navier–Stokes 方程式無因次化

採用特性速度 $V$、特性長度 $h$，設定

$$w=Vw^*,\qquad z=hz^*,\qquad t=\frac{h}{V}t^*, \qquad p=\rho V^2p^*.$$

代入題給方程式：

$$\frac{\partial w}{\partial t} +w\frac{\partial w}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g.$$

各項尺度如下：

$$\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{V^2}{h}\frac{\partial w^*}{\partial t^*}, \qquad w\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{V^2}{h}w^*\frac{\partial w^*}{\partial z^*},$$ $$\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} = \frac{V^2}{h}\frac{\partial p^*}{\partial z^*}.$$

全式除以 $V^2/h$，得到