109 年 國立臺灣大學生物環境系統工程學系碩士班甲組《流體力學（G）》

此題考查流體靜力學、壓縮性效應以及牛頓黏滯流體的應用。

(a) 密度、靜壓與彈性模數的關係

流體的可壓縮性通常由彈性模數 $E$ 來描述，其定義為體積應力（壓力變化）與體積應變率的比值。對於靜止流體，壓力變化即為靜壓變化。
$E = -\frac{dp}{dV/V}$
其中 $p$ 為壓力，$V$ 為體積。負號表示壓力增加時，體積會減小。
若假設流體為不可壓縮的（即 $E \to \infty$），則密度 $\rho$ 為常數。
若考慮流體的壓縮性，密度 $\rho$ 與壓力 $p$ 相關。對於許多液體，我們可以近似地將密度視為壓力的函數。
考慮一個流體微元，其質量為 $dm = \rho \, dV$。若壓力變化 $dp$ 導致體積變化 $dV$，則質量保持不變。
$d(m) = d(\rho V) = \rho \, dV + V \, d\rho = 0$
$\rho \, dV = -V \, d\rho$
$\frac{dV}{V} = -\frac{d\rho}{\rho}$
將此代入彈性模數的定義：
$E = -\frac{dp}{-\frac{d\rho}{\rho}} = \frac{\rho}{\frac{d\rho}{dp}}$
$\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dp}{E}$
對此式積分，假設 $E$ 為常數，且已知海面密度為 $\rho_0$ 在壓力 $p_0$ 時，可得：
$\int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d\rho'}{\rho'} = \int_{p_0}^{p} \frac{dp'}{E}$
$\ln(\rho) - \ln(\rho_0) = \frac{p - p_0}{E}$
$\ln\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right) = \frac{p - p_0}{E}$
$\rho = \rho_0 e^{\frac{p - p_0}{E}}$
在大多數情況下，對於液體，壓力變化 $p-p_0$ 相對於 $E$ 較小，可以進行泰勒級數展開：
$\rho \approx \rho_0 \left( 1 + \frac{p - p_0}{E} \right)$
這就是密度、靜壓和彈性模數之間的關係式。

【答案】$\rho \approx \rho_0 \left( 1 + \frac{p - p_0}{E} \right)$

(b) 海水密度變化

已知海水彈性模數 $E = 2.2 \times 10^9 \, \text{N/m}^2$。
海面壓力 $p_0$ (大氣壓力) 可設為 $1 \, \text{atm} \approx 10^5 \, \text{Pa}$。
海下 $10,000 \, \text{m}$ 的壓力 $p$ 可由靜水壓力計算：
$p = p_0 + \rho_{avg} g h$，其中 $\rho_{avg}$ 為平均密度，$g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$，$h = 10,000 \, \text{m}$。
由於海水密度變化不大，我們可以近似使用海面密度 $\rho_0 \approx 1025 \, \text{kg/m}^3$ 來估計壓力。
$p \approx 10^5 \, \text{Pa} + (1025 \, \text{kg/m}^3)(9.8 \, \text{m/s}^2)(10000 \, \text{m}) \approx 10^5 + 1.0045 \times 10^8 \, \text{Pa} \approx 1.0055 \times 10^8 \, \text{Pa}$。
壓力差 $p - p_0 \approx 1.0045 \times 10^8 \, \text{Pa}$。

利用近似公式 $\rho \approx \rho_0 \left( 1 + \frac{p - p_0}{E} \right)$：
$\frac{\rho}{\rho_0} \approx 1 + \frac{p - p_0}{E}$
$\frac{\rho}{\rho_0} \approx 1 + \frac{1.0045 \times 10^8 \, \text{Pa}}{2.2 \times 10^9 \, \text{N/m}^2}$
$\frac{\rho}{\rho_0} \approx 1 + \frac{1.0045}{22} \approx 1 + 0.04566$
$\frac{\rho}{\rho_0} \approx 1.04566$

此題考查流體力學中的流場描述、運動學（流線、連續方程式、渦度）以及流體微團的變形。

(a) 全導數與局部導數

• 局部導數 (Local Derivative) / તત્કાલીન ફેરફાર (Instantaneous Change) $\partial B / \partial t$:
  此導數描述在固定空間點上，流場特性 $B$ 隨時間的變化率。它代表了流場在某一點的暫態變化。例如，測量固定在橋墩上的壓力計，記錄壓力隨時間的變化。

• 全導數 (Total Derivative) / 實質導數 (Material Derivative) $D B / D t$:
  此導數描述一個隨流體質點運動的觀察者所感受到的流場特性 $B$ 隨時間的變化率。它包含了流體質點在空間移動時，因流場特性本身具有空間梯度所造成的變化，以及該質點所在位置的局部時間變化。
  全導數可以表示為：
  $\frac{DB}{Dt} = \frac{\partial B}{\partial t} + u \frac{\partial B}{\partial x} + v \frac{\partial B}{\partial y} + w \frac{\partial B}{\partial z}$
  在二維情況下，對於特性 $B$：
  $\frac{DB}{Dt} = \frac{\partial B}{\partial t} + u \frac{\partial B}{\partial x} + v \frac{\partial B}{\partial y}$
  其中 $u, v$ 是流體質點在 $x, y$ 方向的速度。

  觀測方式：

  • $\partial B / \partial t$：歐拉觀測法 (Eulerian approach)。觀察者固定在空間中某一點，記錄流場特性隨時間的變化。
  • $D B / D t$：拉格朗日觀測法 (Lagrangian approach)。觀察者隨同流體質點一起運動，記錄該質點所經歷的流場特性變化。

【答案】局部導數 $\partial B / \partial t$ 描述固定空間點上的時間變化，屬於歐拉觀測法；全導數 $D B / D t$ 描述隨流體質點運動的觀察者所感受的時間變化，包含了局部變化和對流變化，屬於拉格朗日觀測法。

(b) 流線方程式

流線是瞬時速度向量場的積分曲線，其切線方向與該點的瞬時速度方向一致。在二維情況下，流線的微分方程為：
$\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}$
給定的速度分量為 $u = a + bx$ 和 $v = -by$。
$\frac{dx}{a + bx} = \frac{dy}{-by}$
分離變數並積分：
$\int \frac{dx}{a + bx} = \int \frac{dy}{-by}$
$\frac{1}{b} \ln|a + bx| = -\frac{1}{b} \ln|y| + C_1$
將常數 $C_1$ 寫成 $\frac{1}{b} \ln|C_2|$：
$\frac{1}{b} \ln|a + bx| = -\frac{1}{b} \ln|y| + \frac{1}{b} \ln|C_2|$
$\ln|a + bx| = -\ln|y| + \ln|C_2|$
$\ln|a + bx| = \ln\left|\frac{C_2}{y}\right|$
$a + bx = \frac{C_2}{y}$
$y(a + bx) = C_2$
我們可以將常數 $C_2$ 替換為 $C'$。
$y(a + bx) = C'$
這就是流線的方程式。

【答案】$y(a + bx) = C'$ (其中 $C'$ 為積分常數)。

(c) 可壓縮性與旋渦性

可壓縮性判斷：
流體是否可壓縮，取決於其密度是否隨時間或空間變化。對於不可壓縮流體，其連續方程式的簡化形式為：
$\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$
在二維情況下：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
我們計算給定的速度分量的散度：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(a + bx) = b$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-by) = -b$
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = b + (-b) = 0$
由於連續方程式 $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$ 滿足，因此此流體為不可壓縮流體。

旋渦性判斷：
流場是否為旋流（有旋），取決於其渦度 (vorticity) 是否為零。渦度定義為速度的旋度 $\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{V}$。
對於二維情況，渦度向量只有 $z$ 分量：
$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$
計算：
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-by) = 0$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(a + bx) = 0$
$\omega_z = 0 - 0 = 0$
由於渦度 $\boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}$，因此此流場為非旋流 (irrotational flow)。

【答案】此流體為不可壓縮流體，此流場為非旋流。

(d) 線變形率 $\epsilon_{xx}$

設兩質點在 $x$ 方向的初始距離為 $\Delta x_0$。
質點 $A$ 的位置為 $x_A(t)$，質點 $B$ 的位置為 $x_B(t)$。
初始位置：$x_A(0) = x_0$, $x_B(0) = x_0 + \Delta x_0$。

核心觀念

本題使用：

1. 連續方程式
   $Q=A_2V_2=A_1V_1$

2. 線性動量方程
   $\sum \mathbf F=\dot m(\mathbf V_{\text{out}}-\mathbf V_{\text{in}})$

3. 角動量方程
   $\sum M_A=\dot m\left(\mathbf r_{\text{out}}\times\mathbf V_{\text{out}}\right)$

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。題目給定的 $78\ \text{kg/m}$ 視為管內水與水管的合計單位長度質量。

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解題方法

1. 流量與質量流率

噴嘴直徑為 $d=0.15\ \text{m}$，因此

$$A_2=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.15)^2}{4} =0.01767\ \text{m}^2$$ $$Q=A_2V_2 =(0.01767)(22) =0.3888\ \text{m}^3/\text{s}$$

水的質量流率為

$$\dot m=\rho Q =(1000)(0.3888) =388.8\ \text{kg/s}$$

管徑為 $D=0.25\ \text{m}$，因此 A 斷面流速為

$$V_A=\frac{Q}{\pi D^2/4} =7.92\ \text{m/s}$$

故

$$\mathbf V_A=(0,\ 7.92)\ \text{m/s}$$

噴流與垂直方向夾角 $60^\circ$，方向向右下方，所以

$$\mathbf V_2 = (22\sin60^\circ,\ -22\cos60^\circ) = (19.05,\ -11.00)\ \text{m/s}$$

2. A 斷面所需反力

管路總長為

$$L=6+4=10\ \text{m}$$

管路與水的總重量為

$$W=(78)(10)(9.81) =7651.8\ \text{N}$$

對「管路＋管內水」系統套用動量方程：

$$\mathbf R_A+(0,-W) = \dot m(\mathbf V_2-\mathbf V_A)$$

$x$ 方向：

$$R_{Ax} = 388.8(19.05) = 7407\ \text{N}$$

$y$ 方向：

此題考查穩態、層流、牛頓黏滯流體在斜坡上的流動，並結合了平板向上運動的效應。需要應用連續方程式、Navier-Stokes 方程式及邊界條件來求解速度分布，並進行無因次化。

假設條件：

1. 穩態流 (Steady Flow)：所有變數不隨時間變化 ($\partial/\partial t = 0$)。
2. 不可壓縮流體 (Incompressible Fluid)：密度 $\rho$ 為常數。
3. 牛頓黏滯流體 (Newtonian Fluid)：剪應力與速度梯度成正比，$\tau = \mu (du/dy)$。
4. 二維流動 (2D Flow)：流動僅發生在 $s-y$ 平面，速度分量 $u_n = 0$，且速度不隨 $n$ 方向變化 ($\partial/\partial n = 0$)。
5. 薄膜流動 (Thin Film Flow)：油膜厚度 $h$ 相對於流動方向的尺度很小。
6. 僅受重力與平板運動影響：忽略其他外力。
7. 坡度不大 (Small Slope)：角度 $\theta$ 較小，可以簡化某些三角函數（但此題未明確說明，需謹慎）。
8. 平板向上運動：平板以速度 $V$ 沿 $s$ 方向向上移動。

座標系設定：

• $s$ 軸：平行於平板向上。
• $y$ 軸：垂直於平板向上。
• $n$ 軸：垂直於紙面。
• 流速向量 $\mathbf{V} = (u_s, u_y, u_n)$。

(a) 油液流速分布 $u_s(y)$

1. 連續方程式 (Continuity Equation)
對於穩態、不可壓縮流體：
$\nabla \cdot \mathbf{V} = \frac{\partial u_s}{\partial s} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_n}{\partial n} = 0$
根據假設 4 (二維流動，$u_n=0$ 且 $\partial/\partial n = 0$)，且假設流速不隨 $s$ 方向變化 (流動是完全發展的，Fully Developed Flow)，即 $\partial u_s/\partial s = 0$。
$\frac{\partial u_s}{\partial s} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0$
由於 $\partial u_s/\partial s = 0$，則 $\partial u_y/\partial y = 0$。這意味著 $u_y$ 是常數。
流體微團在 $y$ 方向沒有加速度，因此 $u_y$ 在整個油膜厚度內是相同的。
如果我們假設油膜的底部（接觸平板）的速度為 $V$，而頂部（自由表面）的速度分量 $u_y$ 為零，那麼 $u_y$ 必須為零。
更嚴謹地說，如果流動是穩態且沿 $s$ 方向完全發展，那麼 $u_y$ 必須是常數。由於油膜的頂部（自由表面）通常假設為零法向速度（相對於自由表面本身），或者說 $u_y$ 在自由表面的值可以推斷，若假設自由表面上的 $u_y=0$，則 $u_y$ 在整個油膜厚度內都為 $0$。

2. Navier-Stokes 方程式 (N-S Equations)
在 $(s, y, n)$ 座標系下，考慮 $s$ 方向的 N-S 方程式。
$\rho \left( \frac{\partial u_s}{\partial t} + u_s \frac{\partial u_s}{\partial s} + u_y \frac{\partial u_s}{\partial y} + u_n \frac{\partial u_s}{\partial n} \right) = -\frac{\partial p}{\partial s} + \rho g_s + \mu \left( \frac{\partial^2 u_s}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 u_s}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_s}{\partial n^2} \right)$
根據假設：

• 穩態：$\partial/\partial t = 0$。
• 完全發展流：$u_s$ 不隨 $s$ 變化，$\partial u_s/\partial s = 0$。
• 二維流：$u_n = 0$, $\partial/\partial n = 0$, $\partial u_s/\partial n = 0$。
• $u_y = 0$。
• $g_s$ 是重力在 $s$ 方向的分量。設重力加速度為 $g$。平板與水平夾角為 $\theta$。則 $s$ 方向（平行於平板向上）的重力分量為 $-g \sin\theta$。
• 薄膜流假設：$\partial^2 u_s / \partial s^2 \approx 0$ (相對於 $\partial^2 u_s / \partial y^2$)。

簡化後的 N-S 方程式 ($s$ 方向)：
$0 = -\frac{\partial p}{\partial s} + \rho (-g \sin\theta) + \mu \frac{\partial^2 u_s}{\partial y^2}$
$\frac{\partial p}{\partial s} = -\rho g \sin\theta + \mu \frac{\partial^2 u_s}{\partial y^2}$

再考慮 $y$ 方向的 N-S 方程式：
$\rho \left( \frac{\partial u_y}{\partial t} + u_s \frac{\partial u_y}{\partial s} + u_y \frac{\partial u_y}{\partial y} + u_n \frac{\partial u_y}{\partial n} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y + \mu \left( \frac{\partial^2 u_y}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 u_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_y}{\partial n^2} \right)$
根據假設：

• 穩態：$\partial/\partial t = 0$。
• 完全發展流：$\partial u_y/\partial s = 0$。
• $u_y = 0$, $u_n = 0$, $\partial/\partial n = 0$。
• $g_y$ 是重力在 $y$ 方向的分量。垂直於平板向上的方向，重力分量為 $-g \cos\theta$。
• 薄膜流假設：$\partial^2 u_y / \partial s^2 \approx 0$。

簡化後的 N-S 方程式 ($y$ 方向)：
$0 = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho (-g \cos\theta) + 0$
$\frac{\partial p}{\partial y} = -\rho g \cos\theta$
這表示壓力沿 $y$ 方向（垂直於平板）是線性變化的。

3. 邊界條件 (Boundary Conditions)

• 底部邊界 (y=0)：接觸平板，油液的速度必須與平板速度相同。
  $u_s(y=0) = V$ (平板以速度 $V$ 沿 $s$ 方向向上移動)。
• 頂部邊界 (y=h)：自由表面。通常假設自由表面上沒有剪切應力作用（若上方是空氣且空氣速度可忽略），或者自由表面的速度分量 $u_y$ 為零。
  • 剪切應力條件：$\mu \frac{\partial u_s}{\partial y} |_{y=h} = 0$ (若上方為空氣且可忽略)。
  • 速度條件：$u_y(y=h) = 0$ (此條件已被 $u_y=0$ 的假設所包含)。

4. 求解速度分布 $u_s(y)$
從 $y$ 方向的 N-S 方程式，積分得到壓力分布：
$p(y) = -\rho g \cos\theta \cdot y + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。

將 $\partial p/\partial s$ 代入 $s$ 方向的 N-S 方程式：
$\frac{\partial}{\partial s} (-\rho g \cos\theta \cdot y + C_1) = -\rho g \sin\theta + \mu \frac{\partial^2 u_s}{\partial y^2}$
由於 $y$ 是獨立變數，$\partial/\partial s$ 作用在 $y$ 上的常數 $C_1$ 為零。
$0 = -\rho g \sin\theta + \mu \frac{\partial^2 u_s}{\partial y^2}$
$\mu \frac{d^2 u_s}{d y^2} = \rho g \sin\theta$
$\frac{d^2 u_s}{d y^2} = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu}$
對此式積分兩次以求解 $u_s(y)$：
第一次積分：
$\frac{d u_s}{d y} = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} y + C_2$
第二次積分：
$u_s(y) = \frac{1}{2} \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} y^2 + C_2 y + C_3$

應用邊界條件：

• BC 1: $u_s(y=0) = V$
  $V = \frac{1}{2} \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} (0)^2 + C_2 (0) + C_3 \implies C_3 = V$
• BC 2: $\mu \frac{d u_s}{d y} |_{y=h} = 0$ (假設自由表面無剪應力)
  從第一次積分結果：$\frac{d u_s}{d y} = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} y + C_2$。
  $\mu \left( \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} h + C_2 \right) = 0$
  $\rho g \sin\theta \cdot h + \mu C_2 = 0$
  $C_2 = -\frac{\rho g \sin\theta \cdot h}{\mu}$

將 $C_2$ 和 $C_3$ 代入 $u_s(y)$ 的表達式：
$u_s(y) = \frac{1}{2} \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} y^2 - \frac{\rho g \sin\theta \cdot h}{\mu} y + V$
$u_s(y) = V - \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left( hy - \frac{1}{2} y^2 \right)$
$u_s(y) = V - \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} h \left( y - \frac{1}{2} y \right)$
$u_s(y) = V - \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right)$

流速剖面繪製：
速度分布 $u_s(y)$ 是一個關於 $y$ 的二次函數（開口向下的拋物線），因為 $y^2$ 項的係數為負。

• 在 $y=0$ 處，速度為 $V$。
• 在 $y=h$ 處，速度為 $u_s(h) = V - \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} (h^2 - \frac{h^2}{2}) = V - \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \frac{h^2}{2}$。
  此值可能大於、等於或小於 $V$，取決於 $\rho, g, \sin\theta, h, \mu$ 的值。
  如果 $\rho g \sin\theta / \mu > 0$ (例如 $\theta > 0$)，則 $u_s(h) < V$。
  如果 $\rho g \sin\theta / \mu < 0$ (例如 $\theta < 0$，即平板向上傾斜)，則 $u_s(h) > V$。
  此題中 $\theta$ 是平板與水平夾角，油液受重力影響往下流動，所以 $\sin\theta$ 應為正。
  因此，自由表面的速度 $u_s(h)$ 會小於平板速度 $V$。
  最大速度出現在 $y=0$ (平板表面)。
  剖面圖：y 軸垂直向上，s 軸平行於平板。速度 $u_s$ 隨 $y$ 增加而減小（或先減小後增大，取決於 $\theta$ 的符號，這裡 $\theta>0$）。

【答案】
流速分布：$u_s(y) = V - \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right)$。