109 年 國立臺灣大學生物環境系統工程學系碩士班甲組《水文學（B）》

截留損失是指降雨最初接觸到植被、建築物或其他表面時，被暫時截留而未能到達地面的水量。這部分水量之後可能以蒸發或蒸騰的方式散失。

在SCS Method 中，截留損失主要與以下數值相關：

1. 植被類型與密度 (Vegetation type and density): 不同種類的植被（如樹林、草地）其葉面積指數 (Leaf Area Index, LAI) 和結構不同，對降雨的截留能力也不同。植被越茂密，截留量越大。
2. 降雨強度與歷時 (Rainfall intensity and duration): 截留容量是有限的，初期降雨強度較低、歷時較長時，截留量相對較大；若降雨強度極高或歷時很短，降雨可能直接穿透植被。

此題考驗對孔口排水及水量平衡的觀念。

題型： 應用題 (孔口排水、水量平衡)

核心觀念：

• 孔口流量公式：$Q = C_d A \sqrt{2gh}$
• 水量平衡方程式：$\frac{dV}{dt} = \text{Inflow} - \text{Outflow}$

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Part I: 推導水池水位 h 與孔口流量 Q 的關係式

解題步驟：

1. 確認已知條件：

   • 水池面積 $A_{pool} = 300 \, \text{m}^2$ (不隨深度改變)
   • 孔口直徑 $d = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$
   • 孔口面積 $A_{orifice} = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.1 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.01}{4} \, \text{m}^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$
   • 孔口係數 $C = 0.6$ (此處的 C 通常是指流量係數 $C_d$)
   • 孔口距離池底 $z_{bottom} = 1 \, \text{m}$
   • 水池總深度 = 3 m

2. 孔口流量公式：
   孔口通過的流量 $Q$ 與孔口處的壓力水頭有關。壓力水頭是水池水位 $h$ 到孔口中心的距離。
   假設水池水位為 $h$ (以池底為基準)，則孔口中心的有效水頭為 $h_{eff} = h - z_{bottom} = h - 1 \, \text{m}$。
   根據孔口流量公式：
   $Q = C_d A_{orifice} \sqrt{2 g h_{eff}}$
   將已知值代入：
   $Q = 0.6 \times A_{orifice} \sqrt{2 g (h - 1)}$
   $Q = 0.6 \times \left(\frac{\pi (0.1)^2}{4}\right) \sqrt{2 \times 9.81 \times (h - 1)}$
   $Q \approx 0.6 \times 0.00785 \sqrt{19.62 (h - 1)}$
   $Q \approx 0.00471 \sqrt{19.62 (h - 1)}$
   $Q \approx 0.00471 \times 4.429 \sqrt{h - 1}$
   $Q \approx 0.02086 \sqrt{h - 1}$

   此公式適用於 $h > 1 \, \text{m}$ (即水面高於孔口)。當 $h \le 1 \, \text{m}$ 時，孔口不再排水，流量為 0。

3. 推導關係式：
   我們需要的是水位 $h$ 與流量 $Q$ 的關係式。上述公式已經是 $Q$ 關於 $h$ 的函數。如果需要表示 $h$ 關於 $Q$ 的函數，可以將公式改寫：
   $\frac{Q}{0.02086} = \sqrt{h - 1}$
   $\left(\frac{Q}{0.02086}\right)^2 = h - 1$
   $h = 1 + \left(\frac{Q}{0.02086}\right)^2$
   $h = 1 + \frac{Q^2}{0.02086^2}$
   $h \approx 1 + \frac{Q^2}{0.000435}$
   $h \approx 1 + 2296 \, Q^2$

   請注意： 題目要求的是「水位 $h$ 與孔口流量 $Q$ 的關係式」。通常這個關係式是指流量 $Q$ 如何隨水位 $h$ 變化。因此，$Q \approx 0.02086 \sqrt{h - 1}$ 是較直接的表示方式。但如果題目意指反向關係，則 $h \approx 1 + 2296 \, Q^2$ 亦可。一般而言，孔口排水的特性曲線是 $Q$ 隨 $h$ 變化。

   最終表達式 (以 $Q$ 為 $h$ 的函數)：
   $Q = 0.6 \times \frac{\pi (0.1)^2}{4} \sqrt{2 \times 9.81 \times (h - 1)}$
   $Q \approx 0.02086 \sqrt{h - 1}$ (其中 $h$ 是從池底算起的水位，單位為公尺，且 $h > 1 \, \text{m}$)

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Part II: 計算第40分鐘時的水池水位

解題步驟：

1. 確認已知條件：

   • 水池面積 $A_{pool} = 300 \, \text{m}^2$
   • 初始水位 $h(0) = 1 \, \text{m}$
   • 孔口流量與水位關係式 (從 Part I)：$Q_{out}(h) = 0.02086 \sqrt{h - 1} \, \text{cms}$ (注意單位是 cms，即 $\text{m}^3/\text{s}$)
   • 降雨入流量數據 (單位：cms)：
     • $Q_{in}(0) = 0$
     • $Q_{in}(10) = 0.01$
     • $Q_{in}(20) = 0.05$
     • $Q_{in}(30) = 0.1$
     • $Q_{in}(40) = 0.1$

2. 水量平衡方程式：
   水池體積的變化率等於流入量減去流出量：
   $\frac{dV}{dt} = Q_{in}(t) - Q_{out}(t)$
   由於水池面積 $A_{pool}$ 是常數，體積 $V = A_{pool} \times h$。因此，$\frac{dV}{dt} = A_{pool} \frac{dh}{dt}$。
   $A_{pool} \frac{dh}{dt} = Q_{in}(t) - Q_{out}(h)$

3. 轉換單位：
   時間是以分鐘 (min) 為單位，但流量是以 $\text{cms} (\text{m}^3/\text{s})$ 為單位。需要將時間單位統一。
   1 分鐘 = 60 秒。
   $A_{pool} = 300 \, \text{m}^2$
   $Q_{out}(h) = 0.02086 \sqrt{h - 1} \, \text{m}^3/\text{s}$
   若要計算每分鐘體積變化，則：
   $A_{pool} \frac{dh}{dt_{min}} \times 60 \, \text{s/min} = (Q_{in}(t) \, \text{m}^3/\text{s} \times 60 \, \text{s/min}) - (Q_{out}(h) \, \text{m}^3/\text{s} \times 60 \, \text{s/min})$
   $300 \times 60 \frac{dh}{dt_{min}} = (Q_{in}(t) \times 60) - (Q_{out}(h) \times 60)$
   $18000 \frac{dh}{dt_{min}} = 60 Q_{in}(t) - 60 Q_{out}(h)$
   $\frac{dh}{dt_{min}} = \frac{60 Q_{in}(t) - 60 Q_{out}(h)}{18000} = \frac{Q_{in}(t) - Q_{out}(h)}{300}$

   或者，將流量單位也轉換為 $\text{m}^3/\text{min}$：
   $Q_{out}(h) \, [\text{m}^3/\text{min}] = Q_{out}(h) \, [\text{m}^3/\text{s}] \times 60 \, [\text{s/min}] = 0.02086 \sqrt{h - 1} \times 60 \approx 1.2516 \sqrt{h - 1}$
   $A_{pool} \frac{dh}{dt_{min}} = Q_{in}(t) \, [\text{m}^3/\text{min}] - Q_{out}(h) \, [\text{m}^3/\text{min}]$
   $300 \frac{dh}{dt_{min}} = Q_{in}(t)_{min} - 1.2516 \sqrt{h - 1}$
   $\frac{dh}{dt_{min}} = \frac{Q_{in}(t)_{min}}{300} - \frac{1.2516 \sqrt{h - 1}}{300}$

   我們將使用後者，並將入流量也轉換為 $\text{m}^3/\text{min}$：
   $Q_{in}(10)_{min} = 0.01 \times 60 = 0.6 \, \text{m}^3/\text{min}$
   $Q_{in}(20)_{min} = 0.05 \times 60 = 3.0 \, \text{m}^3/\text{min}$
   $Q_{in}(30)_{min} = 0.1 \times 60 = 6.0 \, \text{m}^3/\text{min}$
   $Q_{in}(40)_{min} = 0.1 \times 60 = 6.0 \, \text{m}^3/\text{min}$

4. 逐步計算水位變化 (使用梯形法則或中點法則近似)：
   我們需要計算到第 40 分鐘的水位。由於入流量是分段常數，我們可以近似計算每 10 分鐘的變化。

   • 時間 0 到 10 分鐘：

     • 初始水位 $h(0) = 1.0 \, \text{m}$。
     • 此期間入流量 $Q_{in}$ 平均值約為 $(0 + 0.01)/2 = 0.005 \, \text{cms}$。
     • 流出量 $Q_{out}(h)$ 在此期間，水位從 1m 開始。當 $h=1m$，流出量為 0。水位會略微上升，流出量才會開始增加。
     • 更精確的做法是積分：$\int_{h(0)}^{h(10)} dh = \int_{0}^{10} \frac{Q_{in}(t) - Q_{out}(h)}{A_{pool}} dt$
     • 由於 $h(0)=1$，在 $t=0$ 時， $Q_{out}(h(0)) = 0$。
     • 在此 10 分鐘內，入流量為 0.01 cms，流出量很小。水位會上升。
     • 我們假設在 10 分鐘內，水位從 $h(0)=1$ 上升到 $h(10)$。
     • 利用水量平衡：$A_{pool} \times (h(10)-h(0)) = \int_0^{10} Q_{in}(t) dt - \int_0^{10} Q_{out}(h(t)) dt$
     • 將時間單位統一為分鐘：$300 \times (h(10)-1) = \int_0^{10} Q_{in}(t)_{min} dt - \int_0^{10} Q_{out}(h(t))_{min} dt$
     • 入流量平均：$Q_{in,avg} = 0.01 \, \text{cms} = 0.6 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 流出量：由於水位從 1m 上升，流出量會從 0 開始增加。
     • 近似方法： 假設在 10 分鐘內，入流量為 0.01 cms，流出量假設為從 0 增加到某值。
     • 更簡單近似： 假設在每個時間間隔內，入流量和流出量均為該區間開始時的值。
       • $t=0$ to $t=10$: $h(0)=1$. $Q_{in}=0.01$. $Q_{out}(h(0)=1)=0$.
         $300 \frac{dh}{dt} = 0.01 \times 60 - 0 = 0.6 \, \text{m}^3/\text{min}$
         $\frac{dh}{dt} = \frac{0.6}{300} = 0.002 \, \text{m/min}$
         $h(10) \approx h(0) + 0.002 \times 10 = 1 + 0.02 = 1.02 \, \text{m}$

   • 時間 10 到 20 分鐘：

     • 初始水位 $h(10) \approx 1.02 \, \text{m}$。
     • 入流量 $Q_{in} = 0.05 \, \text{cms} = 3.0 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 流出量 $Q_{out}(h(10)) = 1.2516 \sqrt{1.02 - 1} = 1.2516 \sqrt{0.02} \approx 1.2516 \times 0.1414 \approx 0.177 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 水量平衡：$300 \frac{dh}{dt} = Q_{in} - Q_{out} = 3.0 - 0.177 = 2.823 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • $\frac{dh}{dt} = \frac{2.823}{300} \approx 0.00941 \, \text{m/min}$。
     • $h(20) \approx h(10) + 0.00941 \times 10 = 1.02 + 0.0941 = 1.1141 \, \text{m}$。

   • 時間 20 到 30 分鐘：

     • 初始水位 $h(20) \approx 1.1141 \, \text{m}$。
     • 入流量 $Q_{in} = 0.1 \, \text{cms} = 6.0 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 流出量 $Q_{out}(h(20)) = 1.2516 \sqrt{1.1141 - 1} = 1.2516 \sqrt{0.1141} \approx 1.2516 \times 0.3378 \approx 0.423 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 水量平衡：$300 \frac{dh}{dt} = Q_{in} - Q_{out} = 6.0 - 0.423 = 5.577 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • $\frac{dh}{dt} = \frac{5.577}{300} \approx 0.01859 \, \text{m/min}$。
     • $h(30) \approx h(20) + 0.01859 \times 10 = 1.1141 + 0.1859 = 1.300 \, \text{m}$。

   • 時間 30 到 40 分鐘：

     • 初始水位 $h(30) \approx 1.300 \, \text{m}$。
     • 入流量 $Q_{in} = 0.1 \, \text{cms} = 6.0 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 流出量 $Q_{out}(h(30)) = 1.2516 \sqrt{1.300 - 1} = 1.2516 \sqrt{0.300} \approx 1.2516 \times 0.5477 \approx 0.685 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • 水量平衡：$300 \frac{dh}{dt} = Q_{in} - Q_{out} = 6.0 - 0.685 = 5.315 \, \text{m}^3/\text{min}$。
     • $\frac{dh}{dt} = \frac{5.315}{300} \approx 0.01772 \, \text{m/min}$。

核心觀念

本題考查兩個概念：

1. Horton 入滲方程式

   土壤入滲容量隨時間衰減，可表示為

   $f_p(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}$

   其中：

   • $f_p(t)$：時間 $t$ 時的入滲容量，單位為 $\mathrm{cm/hr}$
   • $f_0$：初始入滲容量
   • $f_c$：最終入滲容量
   • $k$：入滲消退常數，單位為 $\mathrm{min^{-1}}$ 或 $\mathrm{hr^{-1}}$

2. 實際入滲率與降雨強度的關係

   任一時段的實際入滲率為

   $f=\min(i,f_p)$

   其中 $i$ 為降雨強度。若降雨強度大於入滲容量，超過部分形成地表逕流。

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Ⅰ. Horton 入滲方程式與參數計算

1. 判定 $f_0$ 與 $f_c$

由表中資料可知：

• 初始時刻的入滲容量為 $1.86\ \mathrm{cm/hr}$，因此取

  $f_0=1.86\ \mathrm{cm/hr}$

• 後期入滲容量趨近於 $0.10\ \mathrm{cm/hr}$，因此取

  $f_c=0.10\ \mathrm{cm/hr}$

故 Horton 方程式為

$f_p(t)=0.10+(1.86-0.10)e^{-kt}$

即

$f_p(t)=0.10+1.76e^{-kt}$

2. 計算消退常數 $k$

將方程式整理為

$\frac{f_p-f_c}{f_0-f_c}=e^{-kt}$

取自然對數：

$\ln\left(\frac{f_p-f_c}{f_0-f_c}\right)=-kt$

由於實驗資料經四捨五入，並非完全落在同一條指數曲線上，因此以 $t=0,10,20,30$ 分鐘的資料進行固定 $f_0$ 後的對數最小平方法估計。

各時刻的對數值為：

$t$（min）	$f_p$	$\ln\left(\dfrac{f_p-0.10}{1.76}\right)$
0	1.86	0
10	1.86	0
20	0.49	$-1.506$
30	0.15	$-3.561$

令

$y=\ln\left(\frac{f_p-f_c}{f_0-f_c}\right)$

由 $y=-kt$ 且通過原點，斜率為

$-k=\frac{\sum ty}{\sum t^2}$

因此

$$k =-\frac{20(-1.506)+30(-3.561)} {0^2+10^2+20^2+30^2}$$

$k\approx 0.0978\ \mathrm{min^{-1}}$

所以可取

$\boxed{k\approx 0.098\ \mathrm{min^{-1}}}$

若以小時表示：

$$k\approx 0.098\times 60 =5.87\ \mathrm{hr^{-1}}$$

因此實驗結果可用下式表示：

$\boxed{f_p(t)=0.10+1.76e^{-0.098t}}$

其中 $t$ 以分鐘計，$f_p$ 單位為 $\mathrm{cm/hr}$。

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Ⅱ. 該場降雨的入滲指數

1. 計算各時段降雨強度

累積雨量換算成每 10 分鐘的降雨量：

此題為概念性問題，主要測試對水循環中蒸發散、水文現象與氣候變遷影響的理解。

題型： 概念問答題

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Part (1): 湖泊蒸發量與森林蒸發散量之影響因子差異

核心觀念： 蒸發 (Evaporation) 與蒸騰 (Transpiration) 的差異，以及影響它們的環境因子。

• 湖泊蒸發量 (Lake Evaporation):
  湖泊蒸發是指液態水直接轉化為水蒸氣散失到大氣中的過程。其主要影響因子包括：

  1. 太陽輻射 (Solar Radiation): 提供蒸發所需能量。輻射越強，蒸發越快。
  2. 空氣溫度 (Air Temperature): 溫度越高，水的飽和水汽壓越高，蒸發越快。
  3. 濕度 (Humidity): 空氣越乾燥 (水汽壓差越大)，蒸發越快。
  4. 風速 (Wind Speed): 風吹走水面附近的飽和空氣，補充乾燥空氣，促進蒸發。
  5. 水體表面積 (Surface Area): 表面積越大，可蒸發的水量越多。
  6. 水體溫度 (Water Temperature): 水溫越高，水分子動能越大，越容易蒸發。

• 森林蒸發散量 (Forest Evapotranspiration, ET):
  森林蒸發散是植被蒸騰 (Transpiration) 和森林表面（如樹冠、地面）蒸發 (Evaporation) 的總和。

  1. 植被蒸騰 (Transpiration): 植物通過根部吸收水分，經由莖幹運輸到葉片，再通過葉片上的氣孔釋放到大氣中。其影響因子除了上述環境因子（輻射、溫度、濕度、風速）外，還包括：
     • 植被特性 (Vegetation Characteristics):
       • 葉面積指數 (Leaf Area Index, LAI): 葉片總面積與投影面積的比值。LAI 越大，蒸騰量越大。
       • 氣孔密度與開放程度 (Stomatal Density and Opening): 氣孔是水分釋放的通道，其密度和開放程度直接影響蒸騰速率。
       • 植物種類 (Plant Species): 不同植物的生理特性不同。
       • 生長階段 (Growth Stage): 植物生長旺盛時蒸騰量較大。
     • 土壤水分有效性 (Soil Moisture Availability): 土壤水分充足時，植物根系能順利吸收水分；若土壤乾旱，植物會關閉氣孔以減少水分散失，進而降低蒸騰量。
  2. 森林表面蒸發 (Evaporation from forest surfaces): 包括樹冠截留雨水的蒸發、林下地表（土壤、枯枝落葉）的蒸發。其影響因子與一般蒸發類似，但受植被覆蓋影響。

  主要差異總結：

  • 蒸發 vs 蒸發散： 湖泊蒸發是純粹的水體表面蒸發；森林蒸發散包含植被蒸騰和地表蒸發，其中蒸騰是主要部分，且與植物生理活動高度相關。
  • 生理因子： 森林蒸發散受植物本身的生理特性（LAI, 氣孔開度, 根系吸收能力）影響極大，這是湖泊蒸發所沒有的。
  • 土壤水分： 湖泊蒸發主要受水體水量影響；森林蒸發散受土壤水分狀況影響，因為植物需要從土壤中吸收水分。
  • 複雜性： 森林蒸發散過程比湖泊蒸發更為複雜，受到的環境和生物因子交互作用更多。

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Part (2): 裸土與森林何者蒸發散量大

核心觀念： 比較裸土蒸發與森林蒸發散的潛力。

一般而言，在相同的氣候條件下，森林的蒸發散量通常大於裸土的蒸發量。

原因分析：

1. 植被蒸騰 (Transpiration): 森林具有龐大的蒸騰能力。樹木通過其廣泛的根系從土壤中吸收水分，並通過大量的葉片和氣孔將水分蒸騰到大氣中。這是森林蒸發散量遠超裸土蒸發的主要原因。
2. 葉面積指數 (LAI): 森林的 LAI 通常遠大於裸土的表面積，意味著有更大的總表面積可以進行蒸騰和蒸發。
3. 樹冠截留 (Canopy Interception): 樹冠會截留一部分降雨，這些截留的水分會通過蒸發散失，增加了總的水分散失量。

核心觀念

本題考查合理化公式、集流時間、設計降雨強度與重現期的關係。

合理化公式為

$$Q=CIA$$

其中：

• $Q$：排水系統尖峰流量
• $C$：逕流係數
• $I$：設計降雨強度
• $A$：集水區排水面積

合理化公式的基本假設是：當降雨延續時間達到集流時間 $t_c$ 時，集水區各處的逕流可同時抵達出口，流量達到尖峰。因此，設計降雨強度通常採用「延時等於集流時間」的降雨強度。

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解題方法

（1）設計降雨強度如何決定？

設計降雨強度須依下列步驟決定：

1. 決定設計重現期 $T$

   依排水設施的重要性、保護標準、可能損失及經濟性選定設計重現期。例如，重要公共設施可採較長重現期，一般小型排水設施則可採較短重現期。

2. 計算或估計集流時間 $t_c$

   集流時間是集水區最遠處的雨水流至排水出口所需的時間。設計降雨延時通常取為

   $$d=t_c$$

3. 由當地降雨強度—延時—頻率曲線查得降雨強度

   根據設計重現期 $T$ 與降雨延時 $t_c$，由當地的 IDF 曲線查得設計降雨強度：

   $$I=I(T,t_c)$$

因此，設計降雨強度並非任意選定，而是由「設計重現期」及「集流時間」共同決定。

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（2）30 分鐘平均雨量至少多少？

已知設計降雨強度為

$$I=80\ \text{mm/hr}$$

集流時間為

$$t_c=30\ \text{分鐘}=0.5\ \text{小時}$$

30 分鐘平均雨量為降雨強度乘以降雨時間：

$$P=It_c$$

代入數值：

$$P=80\times 0.5=40\ \text{mm}$$

因此，當 30 分鐘平均雨量達到至少 $40$ mm 時，其平均降雨強度即達到：

$$\frac{40}{0.5}=80\ \text{mm/hr}$$

此時會產生相當於設計條件的逕流量。若其他條件相同，排水系統即可能發生排水不及與積水。

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（3）重現期及連續三年發生機率

重現期的定義

對於 30 分鐘雨量達到或超過 $40$ mm 的事件，設其年超越機率為 $p$，則重現期為

$$T=\frac{1}{p}$$

但是，題目只給出「30 分鐘設計降雨強度為 $80$ mm/hr」，未提供該降雨強度所對應的設計重現期，也未提供當地 IDF 曲線或年超越機率。

核心觀念

本題考查「單位歷線的延時轉換」。已知 $2$ 小時單位歷線，欲求 $3$ 小時單位歷線，可利用 $S$ 曲線法：

$$U_{D_2}(t)=\frac{D_1}{D_2} \left[S(t)-S(t-D_2)\right]$$

其中：

• $D_1=2$ 小時：已知單位歷線之有效降雨延時；
• $D_2=3$ 小時：欲求單位歷線之有效降雨延時；
• $S(t)$：由已知 $2$ 小時單位歷線，以 $2$ 小時為間隔連續錯開相加所得。

因此：

$$U_3(t)=\frac{2}{3}\left[S(t)-S(t-3)\right]$$

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解題方法

已知 $2$ 小時單位歷線如下：

$t$（小時）	0	1	2	3	4	5	6
$U_2(t)$（m³/s）	0	15	30	50	40	10	0

$S$ 曲線的每一點為：

$$S(t)=U_2(t)+U_2(t-2)+U_2(t-4)+\cdots$$

不足部分視為 $0$，可得：

$t$（小時）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$S(t)$	0	15	30	65	70	75	70	75	70	75

例如：

$$S(5)=U_2(5)+U_2(3)+U_2(1) =10+50+15=75$$

接著將 $S(t)$ 與延遲 $3$ 小時的 $S(t-3)$ 相減，再乘以 $2/3$：

$t$（小時）	$S(t)$	$S(t-3)$	$S(t)-S(t-3)$	$U_3(t)=\frac23[S(t)-S(t-3)]$
0	0	0	0	0