108 年 國立臺灣大學生物環境系統工程學系碩士班甲組《水文學（B）》

核心觀念

本題第（1）小題考查「$q$-index（常寫作 $\phi$-index，逕流指數）」的定義。

$q$-index 是指：在降雨期間，假設集水區的截留、下滲、窪蓄等損失率為一固定值 $q$，則降雨強度超過 $q$ 的部分形成有效降雨，累積有效降雨深度即為直接逕流深度。

其基本公式為：

$$R=\sum (i-q)^+\Delta t$$

其中：

• $R$：直接逕流深度；
• $i$：各時段降雨強度；
• $q$：$q$-index；
• $\Delta t$：各時段長度；
• $(i-q)^+=\max(i-q,0)$。

當 $i\le q$ 時，該時段不產生有效降雨；當 $i>q$ 時，超過 $q$ 的部分才形成逕流。

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（1）求 $q$-index

解題方法

先將各降雨時段整理如下：

時段	時間長度 $\Delta t$	降雨強度 $i$
0–1 小時	$1$ 小時	$2.8$ cm/hr
1–3 小時	$2$ 小時	$4.6$ cm/hr
3–5 小時	$2$ 小時	$6.6$ cm/hr
5–8 小時	$3$ 小時	$3.3$ cm/hr

已知總逕流深度為：

$$R=16\text{ cm}$$

先計算總降雨深度：

$$P=2.8(1)+4.6(2)+6.6(2)+3.3(3)$$ $$P=2.8+9.2+13.2+9.9=35.1\text{ cm}$$

若 $q$ 小於最低降雨強度 $2.8$ cm/hr，則全部 8 小時均有有效降雨，因此：

$$R=P-qT$$

其中總降雨時間：

$$T=8\text{ 小時}$$

代入已知資料：

$$16=35.1-8q$$ $$8q=19.1$$ $$q=\frac{19.1}{8}=2.3875\text{ cm/hr}$$

因此：

$$\boxed{q\text{-index}\approx 2.39\text{ cm/hr}}$$

合理性檢查

求得：

$$q=2.3875<2.8\text{ cm/hr}$$

確實小於所有時段的降雨強度，因此 8 小時均應計入有效降雨。各時段有效降雨深度為：

$$\begin{aligned} R &=(2.8-2.3875)(1)\\ &\quad +(4.6-2.3875)(2)\\ &\quad +(6.6-2.3875)(2)\\ &\quad +(3.3-2.3875)(3) \end{aligned}$$

$R=0.4125+4.425+8.425+2.7375=16.0\text{ cm}$

與題目給定的逕流深度完全相符。

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（2）鋒面雨、對流雨與地形雨的形成機制

此題考驗對 Penman 方程式及其應用範圍的理解，以及影響實際蒸發散量的其他重要因子。

核心觀念：

• Penman 方程式： 是一種結合能量平衡和空氣動力學的理論模型，用於計算「潛勢蒸發散量 (Potential Evapotranspiration, PET)」。潛勢蒸發散量是指在充足水源供應下，特定地表（如草皮）可能達到的最大蒸發散速率。
• 實際蒸發散量 (Actual Evapotranspiration, AET)： 實際蒸發散量受限於可用水量，通常小於或等於潛勢蒸發散量。

解題過程：

Penman 方程式主要考慮了以下因素來計算潛勢蒸發散量：

1. 能量平衡： 太陽輻射提供蒸發所需能量 (淨輻射 $R_n$)。
2. 空氣動力學： 空氣的乾燥程度（飽和水汽壓差）和風速影響水汽從地表向大氣擴散的能力。

然而，Penman 方程式計算的是「潛勢」蒸發散量，它假設水源充足。當計算「實際」蒸發散量時，必須考慮水源的限制以及其他影響蒸發散過程的因素。

影響實際蒸發散量的因子（列舉至少五項）：

1. 土壤含水量 (Soil Moisture Content):

   • 說明： 這是最關鍵的因子。當土壤含水量不足時，植物根系無法充分吸收水分，蒸散作用會受到限制，實際蒸發散量會遠低於潛勢蒸發散量。土壤含水量低於某個閾值（如田間持水量）後，蒸發散量將與土壤含水量呈強烈相關。

2. 植物種類與生理狀態 (Plant Type and Physiological Condition):

   • 說明： 不同植物有不同的葉面積指數 (Leaf Area Index, LAI)、氣孔密度、氣孔開閉機制等。例如，闊葉樹的蒸散量通常高於針葉樹。植物的生長階段、健康狀況（如是否受病蟲害影響）也會影響其蒸散能力。

3. 氣孔導度 (Stomatal Conductivity/Conductance):

   • 說明： 植物葉片上的氣孔是水分蒸散的主要通道。氣孔的開閉程度直接影響水分從葉片內部散失到大氣的速率。

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 蓄洪池與滯洪池的功能分類。
2. 以水池水量平衡進行水庫（池）演算，求出流歷線尖峰。

水池連續方程式為

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

其中：

• $S$：水池蓄水量；
• $I$：入流量；
• $Q$：出流量。

因水池面積固定為 $A=500\ \text{m}^2$，故

$$S=Ay=500y$$

因此

$$500\frac{dy}{dt}=I-Q$$

或以分鐘為時間單位表示為

$$\frac{dy}{dt}=0.12(I-Q)$$

堰流公式為

$$Q=1.838LH^{3/2}$$

本題堰寬 $L=0.5\ \text{m}$，故

$$Q=1.838(0.5)H^{3/2} =0.919H^{3/2}$$

其中 $H$ 為堰頂以上的水深。

堰頂距池底 $2\ \text{m}$，所以當池水深為 $y$ 時，

$$H=y-2 \qquad (y>2)$$

若 $y\leq 2$，水面尚未高過堰頂，則

$$Q=0$$

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（1）水池分類

此水池在降雨時暫時儲存地表逕流，並透過矩形堰逐漸排放至都市排水系統；降雨停止後，池內水量會逐步排出。

因此其主要功能是削減洪峰、延遲洪峰到達時間，而非長期蓄水供後續使用。

故本水池應歸類為：

$$\boxed{\text{滯洪池（Detention pond）}}$$

蓄洪池通常具有長期維持的水體，主要目的包括景觀、遊憩或水資源利用；本題水池則以暫時儲存及洪水控制為主。

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（2）出流歷線尖峰與入流歷線是否相交

解題方法

當池水深尚未達到堰頂，即 $y\leq2\ \text{m}$ 時，出流量為零，水池蓄水量完全由入流累積。

初始水深為 $1\ \text{m}$，到達堰頂尚需蓄水量

$$\Delta S=500(2-1)=500\ \text{m}^3$$

由入流歷線以梯形法計算累積入流量：

$$\begin{aligned} V_{0-10}&=\frac{0+0.05}{2}(600)=15\\ V_{10-20}&=\frac{0.05+0.10}{2}(600)=45\\ V_{20-30}&=90\\ V_{30-40}&=132\\ V_{40-50}&=150\\ V_{50-60}&=168 \end{aligned}$$

截至 $60$ 分鐘的累積入流量為

$$15+45+90+132+150+168=600\ \text{m}^3$$

因此水面約於 $54$ 分鐘時到達堰頂，之後才開始產生出流。

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水池演算

池水深超過 $2\ \text{m}$ 後，採用

$$\frac{dy}{dt}=0.12\left[I-0.919(y-2)^{3/2}\right]$$

核心觀念

本題考查兩種入滲模式：

1. Horton 入滲方程式：描述降雨入滲容量隨時間由初始值逐漸衰減至穩定值。
2. Green–Ampt 模式：均質土壤在長時間入滲後，入滲容量趨近於土壤的飽和水力傳導係數。

Horton 方程式為

$$f_p(t)=f_c+(f_o-f_c)e^{-kt}$$

其中：

• $f_p(t)$：時間 $t$ 時的入滲容量，單位為 $\mathrm{cm/hr}$
• $f_o$：初始入滲容量
• $f_c$：最終入滲容量或穩定入滲容量
• $k$：入滲消退常數
• $t$：時間

由表中後期資料可知，入滲容量穩定在

$$f_c=0.30\ \mathrm{cm/hr}$$

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（1）利用 Horton 方程式求 $k$ 與 $f_o$

解題方法

將 Horton 方程式扣除穩定入滲容量：

$$f_p-f_c=(f_o-f_c)e^{-kt}$$

兩邊取自然對數：

$$\ln(f_p-f_c)=\ln(f_o-f_c)-kt$$

因此，以 $\ln(f_p-f_c)$ 對時間 $t$ 作圖時，應近似為一直線，其斜率為 $-k$，截距為 $\ln(f_o-f_c)$。

表中 $t=30$ 分鐘以後皆為 $0.30\ \mathrm{cm/hr}$，扣除 $f_c$ 後為零，因此估算 $k$ 時採用前期尚未達穩定值的資料：

$t$（min）	$f_p$（cm/hr）	$f_p-f_c$	$\ln(f_p-f_c)$
0	3.76	3.46	1.241
10	1.07	0.77	-0.261
20	0.40	0.10	-2.303

以這三個前期資料進行直線擬合，可得近似關係

$$\ln(f_p-f_c)\approx 1.33-0.177t$$

若時間以分鐘計，則

$$k\approx 0.177\ \mathrm{min^{-1}}$$

截距給出

$$\ln(f_o-f_c)\approx 1.33$$

因此

$$f_o-f_c=e^{1.33}\approx 3.78$$ $$f_o\approx 3.78+0.30=4.08\ \mathrm{cm/hr}$$

考慮題目資料取至小數點後兩位，且實驗值具有量測及四捨五入誤差，工程上可取

$$\boxed{k\approx 0.18\ \mathrm{min^{-1}}}$$ $$\boxed{f_o\approx 4.1\ \mathrm{cm/hr}}$$

故 Horton 入滲方程式可表為

$$\boxed{ f_p(t)=0.30+(4.1-0.30)e^{-0.18t} }$$

其中 $t$ 的單位為分鐘，$f_p$ 的單位為 $\mathrm{cm/hr}$。

若以小數位較少的工程近似值表示，也可寫成

$$\boxed{ f_p(t)\approx 0.30+3.8e^{-0.18t} }$$

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本題考驗對 SCS (Soil Conservation Service) 逕流曲線數 (Curve Number, CN) 方法的應用，以估算降雨事件的逕流量。

核心觀念：

• SCS CN Method： 一種基於集水區特徵（土壤類型、土地利用、前期濕潤狀況）來估計降雨逕流的方法。
• CN 值： 決定逕流量的關鍵參數，代表集水區對降雨產生逕流的能力。CN 值越高，表示逕流越多。
• 前期濕潤狀況 (Antecedent Moisture Condition, AMC)： 影響 CN 值的因素。AMC I (乾土)、AMC II (正常)、AMC III (濕土)。題目指定 AMC II，無需修正。
• 逕流公式：
  $Q = \frac{(P - 0.2S)^2}{P + 0.8S} \quad \text{for } P > 0.2S$
  $Q = 0 \quad \text{for } P \le 0.2S$
  其中，$Q$ 是逕流量 (in)，$P$ 是總降雨量 (in)，$S$ 是最大潛藏逕流潛力 (in)。
  $S$ 與 CN 的關係為：
  $S = \frac{1000}{CN} - 10 \quad \text{(單位為 in)}$
  $S = \frac{25400}{CN} - 254 \quad \text{(單位為 mm)}$

解題過程：

步驟 1：計算集水區的加權平均 CN 值。

集水區總面積 $A = 300$ 公頃 $= 300 \times 10^4$ m²。
土壤分布：50% B 類，50% C 類。
土地利用分布：森林地 65%，住宅區 20%，空地 15%。

首先，我們需要根據土地利用和土壤類型，確定各個子區域的 CN 值。

土地利用	土壤類別	CN 值	面積比例
森林地	B	66	50% * 65% = 32.5%
森林地	C	79	50% * 65% = 32.5%
住宅區	B	70	50% * 20% = 10%
住宅區	C	89	50% * 20% = 10%
空地	B	61	50% * 15% = 7.5%
空地	C	74	50% * 15% = 7.5%