112 年 國立臺灣大學生物環境系統工程學系碩士班甲組《水文學（B）》

本題主要在考察學生對於水文系統基本概念的理解，包括系統的定義、邊界、輸入、輸出以及介質的辨識能力。

水文系統可以被定義為一個特定地理區域內，與水循環相關的各種組成部分及其交互作用的集合。理解一個水文系統，需要界定其空間範圍（邊界）、辨識進入系統的水量與能量（輸入）、確定離開系統的水量與能量（輸出），以及了解水在系統中流動與儲存的媒介。

舉例來說，我們可以考慮一個「集水區」作為一個水文系統。

• 邊界 (Boundary)：集水區的邊界通常由地形上的分水嶺（watershed divide）所定義。在這個邊界內，所有的降水最終都會匯流到同一個出口斷面。
• 輸入 (Input)：進入集水區系統的主要輸入是降水（雨、雪），也可能包含來自鄰近區域的地下水補注。能量的輸入則主要來自太陽輻射。

本題旨在考察學生對水文系統中「停留時間」概念的理解及其計算方法。

水文上的停留時間 (Residence Time)

水文上的停留時間是指一個水分子或一定量的水在水循環某個特定儲存庫（如湖泊、土壤、地下水層、大氣、海洋等）中平均停留的時間。這個概念對於理解水體的更新速率、污染物在系統中的滯留時間、以及水資源的可利用性非常重要。停留時間越長，表示該水庫的水更新越慢，污染物也越容易累積。

計算方法

停留時間的計算通常基於一個儲存庫的平均水量以及通過該儲存庫的平均流量。基本公式為：

$\text{停留時間} (T) = \frac{\text{儲存庫的平均水量} (S)}{\text{通過儲存庫的平均流量} (Q)}$

其中：

• $S$ 是儲存庫中水的平均體積（或質量）。
• $Q$ 是進出儲存庫的平均淨流量（例如，對於湖泊，可以是入流量減去蒸發量；對於集水區，可以是平均降水量）。

舉例說明：

• 湖泊的停留時間：
  假設一個湖泊的平均蓄水量為 $S_{lake}$，其平均入流量（包含河流、降水等）為 $Q_{in}$，平均出流量（包含河流、蒸發、滲漏等）為 $Q_{out}$。如果我們假設湖泊處於一個準穩態（quasi-steady state），即平均入流量約等於平均出流量（$Q_{in} \approx Q_{out} = Q$），那麼湖泊的平均停留時間為：

本題旨在考察學生對「合理化公式」(Rational Method) 的理解，包括其公式內容、應用目的以及所依賴的基本假設。

合理化公式 (Rational Method)

合理化公式是水文學中一種簡單且廣泛應用於計算設計洪峰流量（peak discharge）的方法，特別適用於較小規模的集水區（通常小於 50 平方公里）。該公式的目的是估算在特定降雨強度下，集水區可能產生的最大洪峰流量。

其公式表示為：
$Q_p = C \times I \times A$
其中：

• $Q_p$：設計洪峰流量（例如，$m^3/s$ 或 $cfs$）。
• $C$：逕流係數（runoff coefficient），是一個無因次參數，代表降雨轉化為地表逕流的比例。它的大小取決於集水區的土地利用、地表覆蓋、土壤類型以及降雨強度等因素。例如，不透水地區（如都市區）的 $C$ 值較高，而植被茂密的地區 $C$ 值較低。
• $I$：設計降雨強度（例如，$mm/hr$ 或 $in/hr$）。這個強度通常是針對集水區「集流時間」（time of concentration）來選擇的，意味著這是持續一段足以讓整個集水區貢獻水量至出口斷面的最小降雨強度。
• $A$：集水區面積（例如，$km^2$ 或 $acres$）。

基本假設 (Basic Assumptions)

合理化公式的應用基於以下幾個關鍵的基本假設：

1. 降雨均勻性 (Uniform Rainfall)：假設在整個集水區範圍內，降雨的強度和時間是均勻的。也就是說，在設計降雨歷時內，降雨在空間上沒有顯著差異。

本題旨在考察學生對水文頻率分析中兩種常用資料序列：年超越序列 (Annual Exceedance Series) 和年最大值序列 (Annual Maximum Series) 的理解及其差異。

年最大值序列 (Annual Maximum Series, AMS)

年最大值序列是指從一個長期水文觀測記錄（例如，某河流的日平均流量）中，每年僅取一個最大值所組成的序列。
例如，若有一河流連續觀測了 30 年的日平均流量，那麼年最大值序列將包含 30 個數值，每個數值代表該年中的最高日平均流量。

年超越序列 (Annual Exceedance Series, AES)

年超越序列是指從一個長期水文觀測記錄中，選取一個預設的閾值（threshold value），並記錄每年所有超過該閾值的觀測值所組成的序列。
例如，若我們設定一個流量閾值為 300 $m^3/s$，且該河流觀測了 30 年，那麼年超越序列可能包含 30 個數值（如果每年都有流量超過 300 $m^3/s$），也可能包含少於 30 個數值（如果某些年份沒有任何日平均流量超過 300 $m^3/s$）。

兩者的差異

1. 取值數量：
   • AMS：對於 $N$ 年的觀測記錄，AMS 必定包含 $N$ 個數值。
   • AES：對於 $N$ 年的觀測記錄，AES 包含的數值個數 $k$ 可能小於或等於 $N$ ($k \le N$)。每年超過閾值的事件的發生次數是隨機的。

核心觀念

本題考查水文洪水演算中的「連續方程」與「蓄水量—出流量單一關係」。

對一個集總式河段或水庫，主要定義如下：

• $I(t)$：入流量
• $O(t)$：出流量
• $S(t)$：河段或水庫內的蓄水量

依質量守恆原理，蓄水量變化率為

$$\frac{dS}{dt}=I-O$$

題目所稱「出流量與儲水量為單一關係」，表示在任何時刻，出流量 $O$ 可由蓄水量 $S$ 唯一決定，即

$$S=f(O)$$

對一般水庫而言，蓄水量增加時水位上升，出流量也隨之增加，因此通常具有

$$\frac{dS}{dO}>0$$

此一條件表示 $S$ 與 $O$ 為單調遞增關係。

---

解題方法與推導

洪水通過河段或水庫時，出流量的最大值發生在出流歷線的峰值處。若在峰值時刻記為 $t_p$，則出流量對時間的變化率為零：

$$\left.\frac{dO}{dt}\right|_{t=t_p}=0$$

由於蓄水量與出流量具有單一函數關係 $S=f(O)$，利用鏈鎖律可得

$$\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dO}\frac{dO}{dt}$$

在出流量達到最大值的時刻，

$$\frac{dO}{dt}=0$$

因此

$$\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dO}\times 0 =0$$

再代入集總式河段的連續方程：

$$\frac{dS}{dt}=I-O$$

可得

$$I-O=0$$

所以

$$\boxed{I=O}$$

因此，當河段具有較大的蓄水能力，且蓄水量與出流量為單一關係時，最大出流量發生於入流量等於出流量的時刻。

---

物理意義

洪水上升段中，通常有

$$I>O$$

此時

$$\frac{dS}{dt}>0$$

表示入流大於出流，水量持續蓄積，出流量逐漸增加。

當出流量達到最大值時，出流量暫時不再增加，因此其變化率為零。由於 $S$ 與 $O$ 是單一關係，蓄水量的變化率也為零：

本題主要考察學生對飽和水氣壓、飽和水汽含量以及大氣垂直結構的理解，並應用這些概念計算不同高度範圍內大氣柱的可降水量。

核心觀念

1. 飽和水汽壓 (Saturation Vapor Pressure)：水汽壓隨溫度升高而顯著增加。在給定溫度下，空氣所能容納的最大水汽壓稱為飽和水汽壓。
2. 飽和水汽含量 (Saturation Mixing Ratio)：在飽和狀態下，單位質量乾空氣中所含水蒸氣的質量。它也是溫度的函數。
3. 氣溫垂直遞減率 (Lapse Rate)：指大氣溫度隨高度增加而降低的速率。題目給定的是 6.5°C/km，這是一個平均的絕熱遞減率。
4. 可降水量 (Precipitable Water)：指從地面到某一高度的大氣柱中所含有的全部水蒸氣，如果這些水蒸氣全部凝結成液態水，所形成的總深度。

計算步驟

首先，我們需要利用飽和水汽壓隨溫度變化的關係來計算不同高度的溫度，然後根據溫度計算該高度的飽和混合比（即飽和水汽含量），最後積分求得可降水量。

1. 計算不同高度的溫度

已知地面（0 km）溫度 $T_0 = 25^\circ C$ (298.15 K)，大氣壓力 $P_0 = 101.5 kPa$。
氣溫垂直遞減率 $\Gamma = 6.5^\circ C/km$。

• 0-2 km 高度範圍：

  • 0 km 高度溫度 $T_0 = 25^\circ C$。
  • 2 km 高度溫度 $T_2 = T_0 - \Gamma \times 2 km = 25^\circ C - 6.5^\circ C/km \times 2 km = 25^\circ C - 13^\circ C = 12^\circ C$。

• 8-10 km 高度範圍：

  • 8 km 高度溫度 $T_8 = T_0 - \Gamma \times 8 km = 25^\circ C - 6.5^\circ C/km \times 8 km = 25^\circ C - 52^\circ C = -27^\circ C$。
  • 10 km 高度溫度 $T_{10} = T_0 - \Gamma \times 10 km = 25^\circ C - 6.5^\circ C/km \times 10 km = 25^\circ C - 65^\circ C = -40^\circ C$。

2. 計算不同高度的大氣壓力

我們需要知道不同高度的壓力來計算飽和水汽壓。這裡我們假設大氣是靜態的，並且使用標準大氣模型關係（或近似計算）。對於絕熱遞減率 $\Gamma$ 的情況，壓力隨高度的變化近似為：
$P(z) = P_0 \left( 1 - \frac{\Gamma z}{T_0} \right)^{\frac{g}{R\Gamma}}$
其中 $g \approx 9.81 m/s^2$ (重力加速度)，$R \approx 287 J/(kg \cdot K)$ (乾空氣的氣體常數)。
指數部分 $\frac{g}{R\Gamma} = \frac{9.81 m/s^2}{(287 J/(kg \cdot K)) \times (0.0065 K/m)} \approx 5.256$。

• 0-2 km 高度範圍：

  • 0 km 高度壓力 $P_0 = 101.5 kPa$。
  • 2 km 高度壓力 $P_2 = 101.5 kPa \left( 1 - \frac{0.0065 K/m \times 2000 m}{298.15 K} \right)^{5.256} = 101.5 kPa \left( 1 - \frac{13}{298.15} \right)^{5.256} = 101.5 kPa (1 - 0.0436)^{5.256} \approx 101.5 kPa \times (0.9564)^{5.256} \approx 101.5 kPa \times 0.795 \approx 80.7 kPa$。

• 8-10 km 高度範圍：

  • 8 km 高度壓力 $P_8 = 101.5 kPa \left( 1 - \frac{0.0065 K/m \times 8000 m}{298.15 K} \right)^{5.256} = 101.5 kPa \left( 1 - \frac{52}{298.15} \right)^{5.256} = 101.5 kPa (1 - 0.1744)^{5.256} \approx 101.5 kPa \times (0.8256)^{5.256} \approx 101.5 kPa \times 0.408 \approx 41.4 kPa$。
  • 10 km 高度壓力 $P_{10} = 101.5 kPa \left( 1 - \frac{0.0065 K/m \times 10000 m}{298.15 K} \right)^{5.256} = 101.5 kPa \left( 1 - \frac{65}{298.15} \right)^{5.256} = 101.5 kPa (1 - 0.2180)^{5.256} \approx 101.5 kPa \times (0.7820)^{5.256} \approx 101.5 kPa \times 0.307 \approx 31.1 kPa$。

3. 計算飽和水汽壓 (Saturation Vapor Pressure, $e_s$)

我們使用 Tetens 公式或類似的經驗公式來計算飽和水汽壓。一個常用的公式是：
$e_s(T) = 0.6108 \exp\left(\frac{17.27 T}{T + 237.3}\right) \quad (kPa)$
其中 $T$ 是攝氏溫度。

• 0-2 km 高度範圍：

  • 在 2 km 高度，溫度 $T_2 = 12^\circ C$。
    $e_{s2} = 0.6108 \exp\left(\frac{17.27 \times 12}{12 + 237.3}\right) = 0.6108 \exp\left(\frac{207.24}{249.3}\right) \approx 0.6108 \exp(0.8313) \approx 0.6108 \times 2.296 \approx 1.40 kPa$。
  • 在 0 km 高度，溫度 $T_0 = 25^\circ C$。
    $e_{s0} = 0.6108 \exp\left(\frac{17.27 \times 25}{25 + 237.3}\right) = 0.6108 \exp\left(\frac{431.75}{262.3}\right) \approx 0.6108 \exp(1.646) \approx 0.6108 \times 5.187 \approx 3.17 kPa$。

• 8-10 km 高度範圍：

  • 在 8 km 高度，溫度 $T_8 = -27^\circ C$。
    $e_{s8} = 0.6108 \exp\left(\frac{17.27 \times (-27)}{-27 + 237.3}\right) = 0.6108 \exp\left(\frac{-466.29}{210.3}\right) \approx 0.6108 \exp(-2.217) \approx 0.6108 \times 0.1086 \approx 0.066 kPa$。
  • 在 10 km 高度，溫度 $T_{10} = -40^\circ C$。
    $e_{s10} = 0.6108 \exp\left(\frac{17.27 \times (-40)}{-40 + 237.3}\right) = 0.6108 \exp\left(\frac{-690.8}{197.3}\right) \approx 0.6108 \exp(-3.501) \approx 0.6108 \times 0.0303 \approx 0.0185 kPa$。

4. 計算飽和混合比 (Saturation Mixing Ratio, $w_s$)

飽和混合比的公式為：
$w_s = \frac{0.622 e_s}{P - e_s}$
其中 $e_s$ 是飽和水汽壓，$P$ 是總大氣壓力。

• 0-2 km 高度範圍：

  • 在 0 km 高度：$P_0 = 101.5 kPa$, $e_{s0} \approx 3.17 kPa$。
    $w_{s0} = \frac{0.622 \times 3.17}{101.5 - 3.17} = \frac{1.972}{98.33} \approx 0.02006 kg/kg$。
  • 在 2 km 高度：$P_2 \approx 80.7 kPa$, $e_{s2} \approx 1.40 kPa$。
    $w_{s2} = \frac{0.622 \times 1.40}{80.7 - 1.40} = \frac{0.8708}{79.3} \approx 0.01098 kg/kg$。

• 8-10 km 高度範圍：

  • 在 8 km 高度：$P_8 \approx 41.4 kPa$, $e_{s8} \approx 0.066 kPa$。
    $w_{s8} = \frac{0.622 \times 0.066}{41.4 - 0.066} = \frac{0.04105}{41.334} \approx 0.000993 kg/kg$。
  • 在 10 km 高度：$P_{10} \approx 31.1 kPa$, $e_{s10} \approx 0.0185 kPa$。
    $w_{s10} = \frac{0.622 \times 0.0185}{31.1 - 0.0185} = \frac{0.01151}{31.0815} \approx 0.000370 kg/kg$。

5. 計算可降水量 (Precipitable Water, PW)

可降水量 $PW$ 可以通過對飽和混合比（視為空氣中的水汽含量）隨高度的積分來計算。在實際計算中，我們通常將大氣柱分成若干層，並在每層的平均混合比來近似計算。

$PW = \int_{z_{bottom}}^{z_{top}} \rho_{air}(z) w_s(z) dz$
其中 $\rho_{air}(z)$ 是該高度的空氣密度。
空氣密度 $\rho_{air} = \frac{P}{R_d T}$，其中 $R_d = R/0.622$ 是水蒸氣的氣體常數。
更方便的計算方法是利用混合比 $w$ 的定義：$w = \frac{m_{water}}{m_{dry\_air}}$。
則 $m_{water} = w \cdot m_{dry\_air}$。
總質量 $M = m_{dry\_air} + m_{water} = m_{dry\_air} (1+w)$。
乾空氣的質量 $m_{dry\_air} = M / (1+w)$。
所以，水蒸氣的質量 $m_{water} = w \cdot M / (1+w)$。

我們知道 $M = \int \rho_{air} dV$。
對於一個單位面積的大氣柱，其總質量（乾空氣+水蒸氣）為 $\int \rho_{air} dz$。
或者，我們可以考慮水蒸氣的質量為 $dm_{water} = w \cdot dm_{dry\_air}$。

本題主要考察學生對集水區能量平衡的理解，並應用能量平衡原理計算蒸發散量。

核心觀念

1. 能量平衡 (Energy Balance)：在任何系統（包括集水區）的邊界上，進入系統的能量、離開系統的能量以及系統內能量的儲存變化率之間必須滿足守恆關係。
2. 蒸發散 (Evapotranspiration, ET)：水分從地表和植物蒸騰進入大氣的過程，是能量轉化（潛熱）和水分循環的重要環節。
3. Bowen Ratio (包溫比)：潛熱通量 (Latent Heat Flux, $LE$) 與感熱通量 (Sensible Heat Flux, $H$) 的比值，用於描述地表能量分配。

計算步驟

(a) 集水區的能量平衡方程式

對於集水區而言，進入系統的能量主要包括太陽淨輻射。離開系統的能量包括感熱通量、潛熱通量（蒸發散）、長波輻射交換等。同時，系統的能量儲存也可能隨時間變化（例如土壤溫度變化）。

一個完整的能量平衡方程式可以寫成：
$R_n = H + LE + G + \Delta S$
其中：

• $R_n$：淨輻射 (Net Radiation)，是進入系統的主要能量來源。題目給定集水區吸收的太陽平均淨輻射能量為 300 $W/m^2$。
• $H$：感熱通量 (Sensible Heat Flux)，將熱量從地表傳遞到空氣中。
• $LE$：潛熱通量 (Latent Heat Flux)，與蒸發散過程中的相變（水變為水蒸氣）相關，消耗能量。
• $G$：土壤熱通量 (Ground Heat Flux)，能量進入或離開土壤的速率。
• $\Delta S$：系統內儲存的能量變化率（例如，地表、植被、土壤、大氣的溫度變化導致的能量儲存變化）。

集水區的能量平衡方程式為：
$R_n = H + LE + G + \Delta S$
（注意：此處 $R_n$ 通常指地表吸收的淨輻射，題目已給定為 300 $W/m^2$）。

(b) 簡化後的能量方程式

題目要求在「不考慮能量從地表下流失」且「整個集水區保有的能量不隨時間而變」的條件下，寫出簡化後的能量方程式。

• 「不考慮能量從地表下流失」意味著 $G \approx 0$。
• 「整個集水區保有的能量不隨時間而變」意味著系統的能量儲存變化為零，即 $\Delta S = 0$。

因此，簡化後的能量平衡方程式為：
$R_n = H + LE$

這表示在穩態且無土壤熱通量影響下，所有進入集水區的淨輻射能量都轉化為感熱通量和潛熱通量。

(c) 推估七月的總蒸發散量

已知條件：

• 集水區面積 $A = 30 km^2 = 30 \times 10^6 m^2$。
• 平均七月淨輻射 $R_n = 300 W/m^2$。
• Bowen ratio $B = H/LE = 0.2$。
• 水分供給充足（意味著蒸發散潛力得到滿足）。
• 水的汽化熱 $\lambda = 2.45 \times 10^6 J/kg$。
• 計算時間段為整個七月，即 30 天。

步驟：

1. 計算總淨輻射能量：
   在整個七月期間，集水區吸收的總淨輻射能量 $E_{total\_Rn}$ 為：
   $E_{total\_Rn} = R_n \times A \times \Delta t$
   其中 $\Delta t$ 是七月的天數，$\Delta t = 30$ 天。
   將時間單位轉換為秒：$\Delta t = 30 \text{ 天} \times 24 \text{ 小時/天} \times 3600 \text{ 秒/小時} = 2,592,000$ 秒。
   $E_{total\_Rn} = (300 J/(s \cdot m^2)) \times (30 \times 10^6 m^2) \times (2,592,000 s)$
   $E_{total\_Rn} = 300 \times 30 \times 10^6 \times 2.592 \times 10^6 J = 2.3328 \times 10^{16} J$。

2. 分配總淨輻射能量為感熱和潛熱：
   我們有 $R_n = H + LE$ 且 $B = H/LE = 0.2$。
   從 $B = H/LE$，我們可以得到 $H = B \times LE = 0.2 \times LE$。
   將此代入能量平衡方程式：
   $R_n = (0.2 \times LE) + LE = 1.2 \times LE$
   因此，$LE = R_n / 1.2$。

本題考察學生對機率統計概念，特別是重現期 (Return Period) 和機率 (Probability) 之間關係的理解，以及如何計算獨立事件發生至少一次的機率。

核心觀念

1. 重現期 (Return Period)：指某個極端事件（例如，流量超過某個值）平均需要多少年才能發生一次。如果一個事件的重現期是 $n$ 年，這意味著在很長一段時間內，該事件平均每 $n$ 年發生一次。
2. 機率 (Probability)：指某個事件在一次試驗（例如，一年）中發生的可能性。機率值介於 0 和 1 之間。
3. 獨立事件 (Independent Events)：一個事件的發生不影響另一個事件的發生。在水文學中，通常假設不同年份的洪水事件是獨立的。
4. 至少一次的機率 (Probability of at Least Once)：對於一系列獨立事件，發生「至少一次」某事件的機率，通常通過計算其補集的機率（即「一次都未發生」的機率）來獲得。

(a) 證明或說明該流域每年發生超過 300 cms 流量的機率為 1/n

證明：

設某事件 $E$ 的重現期為 $n$ 年。重現期 $n$ 的定義是，在長期觀測中，事件 $E$ 平均每 $n$ 年發生一次。

考慮一個很長的觀測時間段 $N$ 年（其中 $N \gg n$）。
根據重現期的定義，在這 $N$ 年中，事件 $E$ 大約會發生 $N/n$ 次。

現在，我們想知道在一次試驗（即一年）中，事件 $E$ 發生的機率 $P(E)$。
如果我們將這 $N$ 年的總發生次數除以總年數，就可以得到平均每年的發生次數，這就對應於事件發生的機率。
$P(E) = \frac{\text{事件 } E \text{ 在 } N \text{ 年中發生的總次數}}{N}$
根據重現期定義，事件 $E$ 在 $N$ 年中發生的總次數約為 $N/n$。
所以，
$P(E) \approx \frac{N/n}{N} = \frac{1}{n}$

因此，該流域每年發生流量超過 300 cms 的機率 $P$ 為 $1/n$。

說明：
重現期 $n$ 年的事件，意味著在任何給定的年份，該事件發生的機率是 $1/n$。例如，一個 100 年重現期的洪水，意味著每年發生該洪水的機率是 1/100。這個機率是基於長期統計平均的結果。

數學表達：
令 $P$ 為事件「流量超過 300 cms」在一年內發生的機率。
令 $n$ 為該事件的重現期。
則 $P = 1/n$。