111 年 國立臺灣大學生物環境系統工程學系碩士班甲組《水文學（B）》

本題考驗學生對於集水區水文響應的基本理解，特別是線性水庫模型的概念及其應用。

核心觀念：集水區的水平衡可以透過水量收支來描述，其中基流量 $Q(t)$ 被假設為地下儲水的函數，而地下儲水則隨時間衰減。線性水庫模型將此關係簡化為一個一階線性常微分方程式。

解題步驟：

(a) 建立水平衡方程式
集水區的水平衡可以表示為：
$\frac{dS}{dt} = I(t) - Q(t)$
其中 $S$ 為地下儲水量， $I(t)$ 為入流量（降雨滲入地下或地表逕流進入集水區）， $Q(t)$ 為出流量（基流量）。

題目假設基流量 $Q(t)$ 與地下儲水量 $S$ 成正比，且為線性水庫模型，即：
$Q(t) = kS$
其中 $k$ 為退水系數。

由 $Q(t) = kS$，我們可以得到 $S = \frac{Q(t)}{k}$。
將此關係代入水平衡方程式，並對時間 $t$ 微分：
$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{k} \frac{dQ(t)}{dt}$

將此結果代回水平衡方程式：
$\frac{1}{k} \frac{dQ(t)}{dt} = I(t) - Q(t)$

整理後得到以 $Q(t)$ 為應變數的常微分方程式：
$\frac{dQ(t)}{dt} + kQ(t) = kI(t)$
這就是該區域的水平衡方程式。

【答案】 $\frac{dQ(t)}{dt} + kQ(t) = kI(t)$

(b) 推導與求解 $Q(t)$
此為一階線性常微分方程式，可使用積分因子法求解。
積分因子為 $e^{\int k dt} = e^{kt}$。

將方程式兩邊同乘以積分因子：
$e^{kt} \frac{dQ(t)}{dt} + k e^{kt} Q(t) = k I(t) e^{kt}$

左式即為 $\frac{d}{dt}(Q(t)e^{kt})$：
$\frac{d}{dt}(Q(t)e^{kt}) = k I(t) e^{kt}$

對兩邊積分：
$Q(t)e^{kt} = \int k I(t) e^{kt} dt + C$
其中 $C$ 為積分常數。

本題考驗學生對濕空氣基本物理參數計算的能力，包括飽和水氣壓、實際水氣壓、相對濕度、比濕及空氣密度。

核心觀念：

1. 飽和水氣壓 (Saturation Vapor Pressure, $e_s$): 在特定溫度下，空氣中水氣能達到的最大分壓。
2. 實際水氣壓 (Actual Vapor Pressure, $e$): 空氣中水氣的實際分壓。
3. 露點溫度 (Dew Point Temperature, $T_d$): 空氣冷卻到水氣達到飽和時的溫度。實際水氣壓等於該溫度下的飽和水氣壓。
4. 相對濕度 (Relative Humidity, RH): 實際水氣壓與同溫度下飽和水氣壓的比值，通常以百分比表示。
5. 比濕 (Specific Humidity, $q$): 空氣中水氣的質量與濕空氣總質量的比值。
6. 空氣密度 (Air Density, $\rho$): 濕空氣的質量與其體積的比值。

解題步驟：

已知條件：

• 大氣壓力 $P = 101.1$ kPa
• 空氣溫度 $T = 26$ ℃
• 露點溫度 $T_d = 22$ ℃
• 飽和蒸氣壓方程式：$e_s(T) = 611 \exp\left(\frac{17.27T}{237.3+T}\right)$ (其中 $T$ 為攝氏溫度， $e_s$ 單位為 Pa)

轉換單位：

• 溫度 $T = 26$ ℃ $\rightarrow$ $T = 26$ (用於公式，公式中的 $T$ 指攝氏溫度)
• 露點溫度 $T_d = 22$ ℃ $\rightarrow$ $T_d = 22$ (用於計算實際水氣壓)
• 大氣壓力 $P = 101.1$ kPa $= 101.1 \times 1000$ Pa $= 101100$ Pa

計算步驟：

1. 計算實際水氣壓 $(e)$
   實際水氣壓等於露點溫度下的飽和水氣壓。將 $T_d = 22$ ℃ 代入飽和蒸氣壓公式：
   $e = e_s(T_d=22) = 611 \exp\left(\frac{17.27 \times 22}{237.3 + 22}\right)$
   $e = 611 \exp\left(\frac{380.04}{259.3}\right)$
   $e = 611 \exp(1.4656)$
   $e = 611 \times 4.3308 \text{ Pa}$
   $e \approx 2646.1 \text{ Pa}$
   將結果轉換為 kPa：
   $e \approx 2.646 \text{ kPa}$

   【答案】 實際水氣壓 $e \approx 2.646$ kPa (或 2646.1 Pa)

2. 計算該溫度下的飽和水氣壓 $(e_s(T))$
   將空氣溫度 $T = 26$ ℃ 代入飽和蒸氣壓公式：
   $e_s(T=26) = 611 \exp\left(\frac{17.27 \times 26}{237.3 + 26}\right)$
   $e_s(T=26) = 611 \exp\left(\frac{449.02}{263.3}\right)$
   $e_s(T=26) = 611 \exp(1.7054)$
   $e_s(T=26) = 611 \times 5.5032 \text{ Pa}$
   $e_s(T=26) \approx 3362.5 \text{ Pa}$
   將結果轉換為 kPa：
   $e_s(T=26) \approx 3.363 \text{ kPa}$

本題考驗學生對地表能量平衡的理解，特別是蒸發散量與輻射平衡的關係，並應用於水體蒸發的計算。

核心觀念：
能量平衡法假設地表接收到的總能量等於地表散失的總能量。在簡化的條件下，我們可以列出以下能量收支方程式。

已知條件：

• 太陽短波輻射入射 (Incoming solar radiation, $K \downarrow$) = $150$ W/m$^2$
• 大氣長波輻射入射 (Incoming atmospheric radiation, $L \downarrow$) = $50$ W/m$^2$
• 返照率 (Albedo, $\alpha$) = $0.5$
• 空氣溫度 $T$ = $25$ ℃
• 水的潛熱 $l = 2500 - 2.36 \times T$ kJ/kg
• 不考慮可感熱 (Sensible heat flux, $H$)
• 不考慮地面輻射 (Surface radiation, $L_{out}$)
• 不考慮地面熱通量 (Ground heat flux, $G$)

目標： 計算蒸發散的潛熱通量 (Latent heat flux, $LE$)，進而求得蒸發率。

能量平衡方程式：
地表能量平衡方程式可以寫成：
$K \downarrow + L \downarrow = K \uparrow + L_{out} + H + G + LE$
其中：

• $K \uparrow$ 為地表反射的太陽短波輻射。
• $L_{out}$ 為地表向外輻射的長波輻射。
• $H$ 為可感熱通量。
• $G$ 為地面熱通量。
• $LE$ 為蒸發散的潛熱通量。

簡化條件下的能量平衡：
題目要求在不考慮 $H$, $L_{out}$, $G$ 的情況下進行計算。
因此，能量平衡方程式簡化為：
$K \downarrow + L \downarrow = K \uparrow + LE$

計算步驟：

1. 計算反射的太陽短波輻射 ($K \uparrow$)
   反射的太陽短波輻射等於入射的太陽短波輻射乘以返照率：
   $K \uparrow = \alpha \times K \downarrow$
   $K \uparrow = 0.5 \times 150 \text{ W/m}^2$
   $K \uparrow = 75 \text{ W/m}^2$

2. 計算接收到的淨輻射 (Net radiation, $R_n$)
   在這裡，我們將入射的長波輻射視為接收到的能量。
   淨輻射 $R_n$ 可以定義為：
   $R_n = (K \downarrow - K \uparrow) + (L \downarrow - L_{out})$
   在題目簡化條件下，我們將 $L_{out}$ 視為 0，並且 $K \downarrow - K \uparrow$ 是太陽輻射的淨吸收。
   因此，我們關注的是「淨接收能量」等於「淨散失能量」。
   淨接收能量 = 入射太陽輻射 - 反射太陽輻射 + 入射大氣長波輻射
   $\text{Net Incoming Energy} = (K \downarrow - K \uparrow) + L \downarrow$
   $\text{Net Incoming Energy} = (150 \text{ W/m}^2 - 75 \text{ W/m}^2) + 50 \text{ W/m}^2$
   $\text{Net Incoming Energy} = 75 \text{ W/m}^2 + 50 \text{ W/m}^2$
   $\text{Net Incoming Energy} = 125 \text{ W/m}^2$

核心觀念

本題使用 Green-Ampt 入滲模型。降雨初期土壤入滲能力較大，全部降雨均可入滲；隨著土壤逐漸濕潤，入滲能力下降，直到入滲能力等於降雨強度時，地表開始積水。

Green-Ampt 入滲能力為

$$f=K\left(1+\frac{\psi_f\Delta\theta}{F}\right)$$

其中：

• $f$：入滲能力，單位為 $\mathrm{cm/h}$
• $K$：土壤水力傳導係數
• $\psi_f$：有效土壤吸水水頭
• $F$：累積入滲水深
• $\Delta\theta=\theta_s-\theta_i$：有效含水量差

地表開始積水的臨界條件為

$$f_p=i$$

其中 $i$ 為降雨強度。

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解題方法與計算

1. 計算有效含水量差

孔隙率可視為飽和含水量：

$$\theta_s=n=0.4$$

初始含水量為

$$\theta_i=0.3$$

因此

$$\Delta\theta=\theta_s-\theta_i =0.4-0.3=0.1$$

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2. 求開始積水時的累積入滲水深

開始積水時，入滲能力等於降雨強度：

$$i=K\left(1+\frac{\psi_f\Delta\theta}{F_p}\right)$$

整理得

$$F_p=\frac{K\psi_f\Delta\theta}{i-K}$$

代入題目資料：

$$F_p= \frac{(0.65)(17)(0.1)}{1-0.65}$$ $$F_p=\frac{1.105}{0.35} =3.157\ \mathrm{cm}$$

因此，地表開始積水時的累積入滲水深為

$$F_p\approx 3.16\ \mathrm{cm}$$

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3. 求積水時間

積水前尚未有地表積水，故降雨量全部入滲：

$$F=it$$

因此積水時間為

$$t_p=\frac{F_p}{i}$$

代入：

本題考驗學生對於極端值統計理論的應用，特別是重現期距的概念，以及如何利用時間序列資料計算特定時段的最大降雨強度。

核心觀念：

1. 重現期距 (Return Period, T)：某個極端事件（例如降雨量）發生的平均時間間隔。例如，2 年重現期降雨是指平均每 2 年發生一次的降雨事件。
2. 極值統計 (Extreme Value Statistics)：用於分析極端事件頻率的方法。常用模型包括 Gumbel 分佈（極值 I 型分佈）、Frechet 分佈（極值 II 型分佈）和 Weibull 分佈（極值 III 型分佈）。
3. 經驗累積分佈函數 (Empirical Cumulative Distribution Function, ECDF)：從觀測數據估計累積分佈函數。
4. 年最大值法 (Annual Maxima Method)：每年取一個最大值進行分析。
5. 塊極值法 (Block Maxima Method)：選擇一個固定時段（如一年）的最大值。
6. 極限期事件 (Peaks Over Threshold, POT)：選擇超過某一閾值的所有事件進行分析。
7. 降雨延時 (Rainfall Duration)：降雨事件持續的時間。
8. 降雨深度 (Rainfall Depth)：在特定延時內累積的降雨量。

解題步驟：

步驟 1：資料整理與篩選

1. 資料時間尺度統一： 原始資料是每 5 分鐘的累積降雨量。題目要求計算 15 分鐘的最大降雨深度。因此，我們需要將每 5 分鐘的累積資料轉換成 15 分鐘的累積降雨量。

   • 對於每一個 15 分鐘的時段（例如，0:00-0:15, 0:05-0:20, ..., 0:10-0:25），計算該時段內的總降雨量。
   • 例如，若 5 分鐘累積降雨量為 $r_1, r_2, r_3$ (分別代表三個連續的 5 分鐘時段)，則該 15 分鐘的總降雨量為 $R_{15} = r_1 + r_2 + r_3$。
   • 由於資料是「連續紀錄了過去 25 年每 5 分鐘紀錄一筆的降雨深度(累積5分鐘)資料」，這意味著我們有大量的 5 分鐘累積值。我們需要從這些連續的 5 分鐘累積值中，計算出所有可能的 15 分鐘累積值。
   • 假設總共有 $N$ 個 5 分鐘的觀測值。一年有 $365 \times 24 \times 12 = 10512$ 個 5 分鐘時段。25 年總共有 $25 \times 10512 \approx 262800$ 個 5 分鐘觀測值。
   • 可以滑動計算 15 分鐘的累積降雨量。例如，從第 1 個 5 分鐘到第 3 個 5 分鐘，計算總量；然後從第 2 個 5 分鐘到第 4 個 5 分鐘，計算總量，以此類推。這樣可以得到非常多的 15 分鐘降雨事件。

2. 識別獨立事件 (Independent Events)：為避免時間上連續的強降雨事件互相影響，通常會採用「年最大值法」或「塊極值法」。

   • 年最大值法 (Annual Maxima Method)：對於每一個年份，找出該年份內所有 15 分鐘時段的最大降雨深度。這樣，我們就得到 25 個 15 分鐘最大降雨深度值 (對應 25 年)。
   • 塊極值法 (Block Maxima Method)：如果我們將時間段定義為「年」，那麼這就與年最大值法相同。

步驟 2：選擇極值分佈模型

• 最常用的模型是 Gumbel 分佈 (極值 I 型分佈)。該分佈的累積分佈函數為：
  $F(x) = \exp\left(-\exp\left(-\frac{x - \mu}{\alpha}\right)\right)$
  其中 $\mu$ 是位置參數， $\alpha$ 是尺度參數。
• 也可以使用廣義極值分佈 (Generalized Extreme Value, GEV)，它包含 Gumbel, Frechet, Weibull 三種情況。

步驟 3：估計分佈參數
使用收集到的 25 個年最大 15 分鐘降雨深度值，估計 Gumbel 分佈的參數 $\mu$ 和 $\alpha$。
常用的參數估計方法包括：

• 矩量法 (Method of Moments, MOM)：
  • 計算樣本均值 $\bar{x}$ 和樣本標準差 $s$。
  • $\mu = \bar{x} - 0.5772 \alpha$
  • $\alpha = \frac{\sqrt{6}}{\pi} s$
• 最大似然估計法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)：通常更精確，但計算較複雜。

本題考驗學生對 Muskingum 河道洪水演算法的理解與應用，特別是如何利用給定的參數和上游流量歷線，計算下游的流量歷線。

核心觀念：
Muskingum 方法是一種常用的河道洪水演算法，它將河道視為一個貯存體，並考慮了河道貯存量與上游和下游流量之間的關係。其基本假設是河道貯存量 $S$ 是上游流量 $Q$ 和下游流量 $Q'$ 的線性組合：
$S = K [XQ + (1-X)Q']$
其中：

• $S$：河道貯存量
• $K$：洪水波傳播時間 (或稱貯存係數)
• $X$：加權係數，表示上游流量和下游流量對貯存量的影響比例
• $Q$：上游流量 (河段入口的流量)
• $Q'$：下游流量 (河段出口的流量)

流量的變化率（水平衡）可以表示為：
$\frac{dS}{dt} = Q - Q'$
在離散形式下，對於一個時間間隔 $\Delta t$：
$\frac{\Delta S}{\Delta t} = Q - Q'$
$\Delta S = (Q - Q') \Delta t$

將貯存量的定義代入，並考慮兩個相鄰的時間步長 $t$ 和 $t+\Delta t$：
$S_{t+\Delta t} - S_t = (Q_{t+\Delta t} - Q'_{t+\Delta t}) \Delta t$
$S_t = K [XQ_t + (1-X)Q'_t]$
$S_{t+\Delta t} = K [XQ_{t+\Delta t} + (1-X)Q'_{t+\Delta t}]$

將上式代入流量變化率方程：
$K [XQ_{t+\Delta t} + (1-X)Q'_{t+\Delta t}] - K [XQ_t + (1-X)Q'_t] = (Q_{t+\Delta t} - Q'_{t+\Delta t}) \Delta t$

整理此方程，可以得到計算下游流量 $Q'_{t+\Delta t}$ 的公式。
若 $\Delta t = K$，則方程簡化為：
$XQ_{t+\Delta t} + (1-X)Q'_{t+\Delta t} - XQ_t - (1-X)Q'_t = Q_{t+\Delta t} - Q'_{t+\Delta t}$
$Q'_{t+\Delta t} - Q'_{t+\Delta t} X = Q_{t+\Delta t} - Q_{t+\Delta t} X - Q_t + Q_t X - Q'_t + Q'_t X$
$Q'_{t+\Delta t} (1-X) = Q_{t+\Delta t} (1-X) - (Q_{t+\Delta t} - Q_t) X - (Q'_t - Q'_t X)$
$Q'_{t+\Delta t} (1-X) = Q_{t+\Delta t} (1-X) - X(Q_{t+\Delta t} - Q_t) - (1-X)Q'_t$
$Q'_{t+\Delta t} = Q_{t+\Delta t} - \frac{X}{1-X}(Q_{t+\Delta t} - Q_t) - Q'_t$
這不是標準形式。

標準 Muskingum 離散方程：
通過對上式進行代數推導，可以得到計算下游流量 $Q'$ 的標準形式：
$Q'_{t+\Delta t} = C_0 Q_{t+\Delta t} + C_1 Q_t + C_2 Q'_t$
其中係數 $C_0, C_1, C_2$ 依賴於 $X, K, \Delta t$。
$C_0 = \frac{\Delta t - KX + kxX}{2K(1-X) + \Delta t + kxX}$
$C_1 = \frac{\Delta t + KX - kxX}{2K(1-X) + \Delta t + kxX}$
$C_2 = \frac{2K(1-X) - \Delta t - kxX}{2K(1-X) + \Delta t + kxX}$
其中 $kx = K(1-X)$。
令 $m = \frac{\Delta t}{2K(1-X)}$。
$C_0 = \frac{m - X + mX}{1 + m + mX}$
$C_1 = \frac{m + X - mX}{1 + m + mX}$
$C_2 = \frac{1 - m - mX}{1 + m + mX}$
這組係數看起來也很複雜。

另一種更常見的推導形式：
$Q'_{t+\Delta t} = \frac{\Delta t - KX + kxX}{2K(1-X) + \Delta t + kxX} Q_{t+\Delta t} + \frac{\Delta t + KX - kxX}{2K(1-X) + \Delta t + kxX} Q_t + \frac{2K(1-X) - \Delta t - kxX}{2K(1-X) + \Delta t + kxX} Q'_t$
令 $m = \frac{\Delta t}{2K(1-X)}$。
$C_0 = \frac{m - X + mX}{1 + m + mX}$
$C_1 = \frac{m + X - mX}{1 + m + mX}$
$C_2 = \frac{1 - m - mX}{1 + m + mX}$
這些係數的計算比較繁瑣。

一個更簡潔、更常用的 Muskingum 離散方程：
$Q'_{t+\Delta t} = Q_{t+\Delta t} \left( \frac{\Delta t - 2KX}{2K(1-X) + \Delta t} \right) + Q_t \left( \frac{2KX - \Delta t}{2K(1-X) + \Delta t} \right) + Q'_t \left( \frac{2K(1-X) - \Delta t}{2K(1-X) + \Delta t} \right)$
這個形式也被稱為 Muskingum-Cunge 方法。

最標準的 Muskingum 方法離散形式：