108 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查狹義相對論的時間膨脹與長度收縮，以及不穩定粒子在相對論高速運動下的壽命變化。

• $\tau_0=2.2\,\mu\text{s}$ 是繆子的自身壽命，也就是在繆子靜止參考系中測得的平均壽命。

• 地球上的觀察者測得的繆子壽命會因時間膨脹而變長：

  $\tau=\gamma\tau_0,\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

• 繆子在大氣中運動的平均距離為：

  $d=v\tau=\gamma v\tau_0=\gamma\beta c\tau_0$

其中 $\beta=v/c$。由於宇宙線產生的繆子速度極接近光速，$\beta\approx1$。

解題方法

若不考慮相對論效應，繆子在自身壽命內可移動的平均距離約為

$d_0=c\tau_0$

代入數值：

$d_0=(3.00\times10^8\ \text{m/s})(2.2\times10^{-6}\ \text{s})$

$d_0\approx6.6\times10^2\ \text{m}=660\ \text{m}$

因此，經典力學會預測繆子大多無法穿越數公里的大氣層到達地面。

但繆子通常以接近光速的速度運動。對地球上的觀察者而言，繆子的時鐘變慢，壽命延長為

$\tau=\gamma\tau_0$

所以其平均飛行距離變成

$d=\gamma v\tau_0$

由於 $\gamma$ 可以大於 $1$ 很多，飛行距離可遠大於 $660\ \text{m}$。

例如，若繆子由約 $10\ \text{km}$ 高空產生，要讓其平均飛行距離達到此高度，需滿足

$\gamma c\tau_0\approx10^4\ \text{m}$

因此

$\gamma\approx\frac{10^4}{660}\approx15$

這只需繆子具有相當高的相對論能量即可。此時地球觀察者測得的平均壽命約為

$\tau\approx15(2.2\,\mu\text{s})\approx33\,\mu\text{s}$

而平均飛行距離約為

$$d\approx(3.00\times10^8)(33\times10^{-6}) \approx9.9\times10^3\ \text{m}$$

因此，許多繆子能夠在衰變前抵達地表。

核心觀念

本題旨在測驗 19 世紀末至 20 世紀初古典物理體系的崩潰與量子物理的誕生。考生須掌握以下關鍵物理觀念：

1. 黑體輻射（Blackbody Radiation）：能量均分定理與瑞立-金斯定律（Rayleigh-Jeans Law）在高頻區域造成的「紫外災變（Ultraviolet Catastrophe）」，以及普朗克（Max Planck）提出的「能量量子化假說（Quantization of Energy）」。
2. 光電效應（Photoelectric Effect）：古典電磁波動說無法解釋光電子動能與頻率的相依性、底限頻率以及發射的即時性；愛因斯坦（Albert Einstein）提出「光子假說（Photon Hypothesis）」與光電方程式成功詮釋該現象。
3. **光的波粒二象性（Wave-Particle Duality）**與微觀系統能量的離散性。

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解題方法

本題為申論與觀念比較題。評分標準著重於：

1. 清楚定義並描述實驗現象。
2. 說明古典物理採用何種理論進行預測，以及該預測為何與實驗結果產生嚴重矛盾（古典物理的失敗）。
3. 說明近代物理提出了何種突破性的假說與數學模型，以及如何精確吻合實驗結果（近代物理的成功）。

建議選取近代物理發展史上最關鍵的兩大經典實驗：黑體輻射實驗與光電效應實驗進行論述。

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申論詳解

實驗一：黑體輻射實驗（Blackbody Radiation Experiment）

1. 實驗現象描述：
   黑體是一個能完全吸收所有外來電磁輻射的理想物體。在恆溫 $T$ 下，測量其空腔內熱平衡電磁輻射的能量密度隨波長（或頻率）的分佈曲線 $u(\nu, T)$。實驗發現：

   • 輻射能量譜呈現單峰分佈，峰值頻率 $\nu_{\max}$ 隨溫度升高向高頻移動（維恩位移定律）。
   • 在高頻（極短波長，如紫外光波段）區域，輻射能量密度迅速遞減並趨近於零，總輻射能量為有限值（符合斯特凡-波茲曼定律）。

2. 古典物理的失敗原因：

   • 理論基礎：古典電磁學視空腔輻射為連續電磁波的駐波疊加，結合古典統計力學的「能量均分定理（Equipartition Theorem）」，每個駐波自由度的平均能量恆為：
     $\langle \epsilon \rangle = k_B T$
     （其中 $k_B$ 為波茲曼常數）
   • 古典推導（瑞立-金斯定律）：
     空腔內的輻射能量密度為：
     $u(\nu, T) d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \, d\nu$
   • 失敗處（紫外災變）：
     根據此公式，當頻率 $\nu \to \infty$（紫外光及更高頻區域）時，能量密度 $u(\nu) \propto \nu^2 \to \infty$。這代表黑體會在高頻處輻射出無窮大的能量，且總輻射能量發散，這與實驗在短波長處能量密度趨於零的結果徹底矛盾。

3. 近代物理的成功解釋：

   • 普朗克假說（1900 年）：
     普朗克提出原子諧振子與輻射場交換能量時，能量不是連續的，而必須以離散的量子（Quanta）形式進出，每個能量量子的值為：
     $E = nh\nu \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$
     （其中 $h$ 為普朗克常數）
   • 平均能量推導：
     利用波茲曼統計分佈，諧振子的平均能量修正為：
     $\langle \epsilon \rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} nh\nu e^{-\frac{nh\nu}{k_B T}}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\frac{nh\nu}{k_B T}}} = \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}} - 1}$
   • 成功處（普朗克輻射定律）：
     $u(\nu, T) d\nu = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}} - 1} \, d\nu$
     • 當 $\nu \to \infty$（高頻區）時，$e^{\frac{h\nu}{k_B T}} \gg 1$，分母指數項爆炸性增長，使能量密度 $u(\nu) \to 0$，完美消除了「紫外災變」。
     • 當 $\nu \to 0$（低頻區）時，利用泰勒展開 $e^{\frac{h\nu}{k_B T}} \approx 1 + \frac{h\nu}{k_B T}$，可自然還原為古典的瑞立-金斯定律。

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實驗二：光電效應實驗（Photoelectric Effect Experiment）

1. 實驗現象描述：
   以特定單色光照射金屬表面時，電子吸收能量自金屬表面逸出的現象稱為光電效應。實驗測得四大關鍵特徵：

核心觀念

本題考查電子顯微鏡（electron microscopy, EM）的量子物理基礎，以及顯微鏡解析度受限的原因，核心包括：

1. 電子的波粒二象性。
2. 德布羅意波長
   $\lambda=\frac{h}{p}$
3. 電子經電位差加速後，動量增加、波長縮短。
4. 顯微鏡解析度與照明波長的關係，可由 Abbe 解析度公式表示：
   $d\approx \frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}}$

其中 $d$ 為最小可分辨距離，$\lambda$ 為照明波長，$\mathrm{NA}$ 為數值孔徑。

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解題方法

解題時從「電子波長比可見光短很多」切入，再說明電子如何取代光波形成影像，最後以解析度公式解釋其優勢。

1. 電子的波動性

根據量子力學，電子不僅具有粒子性，也具有波動性，其物質波波長為

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

其中 $h$ 是普朗克常數，$p$ 是電子動量。

電子顯微鏡利用電子束照射樣品。電子通過樣品時，會受到樣品內部原子、分子與電磁場的散射；不同位置的散射程度不同，經由電子透鏡聚焦後形成放大影像。

透射式電子顯微鏡（TEM）主要分析穿透樣品的電子；掃描式電子顯微鏡（SEM）則以聚焦電子束逐點掃描樣品表面，偵測二次電子或背向散射電子形成影像。兩者皆建立在電子具有物質波與可被電磁場操控的基礎上。

2. 加速電子使波長大幅縮短

電子由電位差 $V$ 加速時，獲得動能

$$K=eV$$

在非相對論近似下，

$$K=\frac{p^2}{2m_e}$$

因此電子動量為

$$p=\sqrt{2m_e eV}$$

代入德布羅意關係式，可得

$$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$$

這表示

$$\lambda\propto \frac{1}{\sqrt{V}}$$

加速電壓越高，電子動量越大，物質波波長越短。

以可見光波長約 $500\ \mathrm{nm}$ 為例，電子顯微鏡常使用數十至數百千伏的加速電壓。當電子以 $100\ \mathrm{kV}$ 加速時，考慮相對論修正後，其德布羅意波長約為

$$\lambda_e\approx 3.7\ \mathrm{pm} =0.0037\ \mathrm{nm}$$

這遠小於可見光波長，因此電子顯微鏡具有更高的理論解析度。

3. 由波長決定解析度

光學顯微鏡的解析度受到繞射限制。依 Abbe 公式，

$$d\approx \frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}}$$

在數值孔徑相近的條件下，照明波長越短，最小可分辨距離 $d$ 越小。

圖面與題幹說明

所附掃描圖實際顯示的是國立清華大學 112 學年度生物化學選擇題第 1–7 題，並非本題所述的 108 年近代物理第 4 題。以下依題幹文字及補充的勢能圖描述作答。

核心觀念

在有限勢壘區域 $0\le x\le d$ 中，勢能為

$$V(x)=V_0$$

且粒子能量滿足 $E<V_0$。定態薛丁格方程式為

$$E\Psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} + V_0\Psi(x).$$

由於 $E<V_0$，此區域的波數不是實數，而是衰減常數

$$\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.$$

因此波函數在勢壘內不是振盪形式，而是雙曲函數或指數函數的組合。

解題方法

將 $V(x)=V_0$ 代入薛丁格方程式：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi}{dx^2} + V_0\Psi = E\Psi.$$

整理得

$$\frac{d^2\Psi}{dx^2} = \frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}\Psi = \kappa^2\Psi.$$

所以一般解為

$$\Psi(x)=A e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x}, \qquad 0\le x\le d.$$

也可寫成以 $x=0$ 為基準的形式：

$$\Psi(x)=C\cosh(\kappa x)+D\sinh(\kappa x).$$

由邊界條件 $\Psi(0)=\Psi_0$，可得

$$C=\Psi_0.$$

因此

$$\Psi(x) = \Psi_0\cosh(\kappa x)+D\sinh(\kappa x).$$

利用左側勢阱的邊界條件

在 $-L\le x\le0$ 內，勢能為 $0$，薛丁格方程式的解為

$$\Psi_{\rm well}(x) = F\sin[k(x+L)],$$

其中

$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.$$

此形式自動滿足 $\Psi(-L)=0$。再利用 $\Psi(0)=\Psi_0$：

$$F\sin(kL)=\Psi_0,$$

所以

$$\Psi_{\rm well}(x) = \Psi_0\frac{\sin[k(x+L)]}{\sin(kL)}.$$

波函數及其一階導數在有限勢能不連續處必須連續，因此在 $x=0$：

$$\Psi'_{\rm barrier}(0)=\Psi'_{\rm well}(0).$$

左側導數為

$$\Psi'_{\rm well}(x) = \Psi_0 \frac{k\cos[k(x+L)]}{\sin(kL)},$$

故

$$\Psi'_{\rm well}(0) = k\cot(kL)\Psi_0.$$

而

$$\Psi'_{\rm barrier}(x) = \kappa\Psi_0\sinh(\kappa x) + \kappa D\cosh(\kappa x),$$

因此

核心觀念

放射性核種的數量會依指數律衰變：

$$N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}$$

其中：

• $N_0$：初始數量
• $N(t)$：經過時間 $t$ 後的數量
• $T_{1/2}$：半衰期

題意中的「A is twice more abundant than B」採通常考試語意，表示初始時：

$$N_{A0}=2N_{B0}$$

三天後兩者數量相等。

解題方法

核種 A 的半衰期為 $1$ 天，因此經過 $3$ 天後，A 經歷三個半衰期：

$$N_A(3)=N_{A0}\left(\frac12\right)^3 =\frac18N_{A0}$$

設核種 B 的半衰期為 $T_B$，則三天後：

$$N_B(3)=N_{B0}\left(\frac12\right)^{3/T_B}$$

三天後 A、B 等量，因此：

$$\frac18N_{A0} = N_{B0}\left(\frac12\right)^{3/T_B}$$

代入 $N_{A0}=2N_{B0}$：

核心觀念

本題考查「放射性生成與衰變同時發生」的模型。

• 放射性原子以固定速率 $R$ 生成。
• 放射性原子以速率 $\lambda N$ 衰變，其中 $\lambda$ 為衰變常數。
• 在時間 $dt$ 內，原子數的變化量為

$$dN=(\text{生成量})-(\text{衰變量})$$

因此建立微分方程：

$$\frac{dN}{dt}=R-\lambda N$$

題目所給答案形式表示初始時沒有放射性原子，即

$$N(0)=0$$

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解題方法與推導

將微分方程整理為

$$\frac{dN}{dt}+\lambda N=R$$

這是一階線性微分方程。使用積分因子

$$\mu(t)=e^{\int \lambda\,dt}=e^{\lambda t}$$

方程式兩側同乘以 $e^{\lambda t}$：

$$e^{\lambda t}\frac{dN}{dt}+\lambda e^{\lambda t}N =Re^{\lambda t}$$

左側可合併為乘積微分：

$$\frac{d}{dt}\left(Ne^{\lambda t}\right)=Re^{\lambda t}$$

由 $t=0$ 積分至 $t$：

$$N(t)e^{\lambda t}-N(0) =R\int_0^t e^{\lambda t'}\,dt'$$

由於 $N(0)=0$，且

$$\int_0^t e^{\lambda t'}\,dt' =\frac{1}{\lambda}\left(e^{\lambda t}-1\right)$$

故

$$N(t)e^{\lambda t} =\frac{R}{\lambda}\left(e^{\lambda t}-1\right)$$

兩側乘以 $e^{-\lambda t}$：

$$N(t)=\frac{R}{\lambda} \left(1-e^{-\lambda t}\right)$$

因此得到