111 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查狹義相對論的長度收縮。物體在自身靜止參考系中測得的長度稱為固有長度，記為 $L_0$；在相對於物體運動的參考系中，測得的長度會沿運動方向縮短：

$$L=\frac{L_0}{\gamma} =L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$$

其中

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$

題目指出太空船上的觀察者測得長度為 $L$，因此 $L$ 是固有長度。

解題方法

太空船相對地面速度為

$$v=0.8c.$$

地面觀察者測得的長度沿運動方向發生收縮，因此

$$L_{\text{ground}} =L\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

代入 $v=0.8c$：

核心觀念

本題考查兩個概念：

1. 紅移（redshift）：天體接收到的光，其波長相對於光源發射時變長、頻率變低的現象。
2. 宇宙學紅移與觀測波段：宇宙膨脹會拉長光的波長，使遠古天體發出的紫外光、可見光逐漸移至紅外線；因此觀測紅外線有利於研究高紅移、距離遙遠且年代久遠的天體。

光的基本關係為

$$c=f\lambda$$

其中 $c$ 為光速、$f$ 為頻率、$\lambda$ 為波長。因此波長變長時，頻率會降低。

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解題方法

（A）紅移的定義與成因

1. 紅移的定義

若天體發出的某條光譜線，原本波長為 $\lambda_{\rm emit}$，地球上觀測到的波長為 $\lambda_{\rm obs}$，則紅移量定義為

$$z=\frac{\lambda_{\rm obs}-\lambda_{\rm emit}}{\lambda_{\rm emit}}$$

因此

$$1+z=\frac{\lambda_{\rm obs}}{\lambda_{\rm emit}}$$

紅移時

$$\lambda_{\rm obs}>\lambda_{\rm emit},\qquad f_{\rm obs}<f_{\rm emit}$$

所以光譜線會向較長波長、較低頻率的紅光方向移動。

若速度遠小於光速，且紅移主要由相對運動造成，則可近似寫成

$$z\approx \frac{v}{c}$$

其中 $v$ 是天體遠離觀測者的速度。

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2. 紅移的主要成因

（1）都卜勒紅移

若光源與觀測者彼此遠離，光波的波峰間距被拉大，造成波長增加、頻率降低，形成都卜勒紅移。

在低速近似下，

$$z\approx \frac{v}{c}$$

若速度接近光速，必須使用狹義相對論公式：

$$1+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}, \qquad \beta=\frac{v}{c}$$

都卜勒紅移描述的是光源與觀測者之間的相對運動。

（2）重力紅移

根據廣義相對論，光從強重力場向外傳播時，必須消耗部分能量，因此光子的頻率降低、波長增加，形成重力紅移。

例如，光從恆星表面、黑洞附近向遠處傳播時，會產生重力紅移。對於弱重力場，可概念性地表示為

$$\frac{\Delta f}{f}\approx -\frac{\Delta\Phi}{c^2}$$

其中 $\Phi$ 是重力位能。

（3）宇宙學紅移

宇宙空間本身正在膨脹。光在長距離傳播期間，空間尺度持續變大，光的波長也隨之被拉長，因此產生宇宙學紅移。

宇宙學紅移滿足

$$1+z=\frac{a_{\rm obs}}{a_{\rm emit}}$$

其中 $a$ 是宇宙尺度因子。由於目前宇宙比光發射時更膨脹，所以

$$a_{\rm obs}>a_{\rm emit}$$

進而得到 $z>0$。

在低紅移情況下，哈伯定律為

$$v\approx H_0d$$

其中 $H_0$ 是目前的哈伯常數，$d$ 是天體距離。這表示遠方星系通常具有更大的退行速度，也往往具有更大的宇宙學紅移。

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（B）為何紅外線能觀測更古老、更遙遠的天體

1. 遙遠天體的光需要很久才抵達地球

光速雖然非常快，但宇宙尺度極大。當我們觀測距離遙遠的星系時，接收到的是它很久以前發出的光。

因此：

• 距離越遠，光的飛行時間越長；
• 光的飛行時間越長，看到的宇宙年代越早；
• 觀測高紅移天體，就等於觀測宇宙較年輕時的狀態。

所以「看得更遠」也代表「看得更久以前」。

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核心觀念

經典力學中的能量守恆式為

$$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)$$

在量子力學中，物理量 $E$、$p$ 與 $V(x)$ 對應到作用於波函數 $\psi(x,t)$ 的算符：

• 能量算符：$\hat{E}$
• 動量算符：$\hat{p}$
• 位能算符：$\hat{V}(x)$

將這些算符代入經典能量式，即可得到一維含時薛丁格方程式。

解題方法與算符推導

1. 能量算符

波函數的時間依賴通常可寫成

$$\psi(x,t)=\phi(x)e^{-iEt/\hbar}$$

對時間微分：

$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{iE}{\hbar}\psi$$

整理得

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=E\psi$$

因此，能量算符為

$$\boxed{\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}}$$

其中 $\hbar$ 為約化普朗克常數。

2. 動量算符

自由粒子的平面波可表示為

$$\psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$$

對位置微分：

$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=ik\psi$$

由德布羅意關係

$$p=\hbar k$$

可得

$$-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial x} = \hbar k\psi = p\psi$$

因此，一維動量算符為

$$\boxed{\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}}$$

動量平方算符則為

$$\hat{p}^{\,2} = \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

3. 位能算符

若位能是位置的函數 $V(x)$，則位能算符以乘法方式作用在波函數上：

$$\hat{V}(x)\psi(x,t)=V(x)\psi(x,t)$$

因此

$$\boxed{\hat{V}(x)=V(x)}$$

此處的 $V(x)$ 不是微分算符，而是將波函數乘上位置函數 $V(x)$ 的乘法算符。

代入薛丁格方程式

將

$$E\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

以及

核心觀念

本題考查一維無限深方井中的定態薛丁格方程式，重點包括：

• 二階常微分方程式的正弦、餘弦解。
• 無限深位阱的邊界條件。
• 波函數的歸一化條件。
• 能量量子化：粒子能量只能取離散值。

題目所列方程式

$$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi$$

若依字面使用，會得到指數函數解。要得到題目要求的正弦函數，應採用標準的定態薛丁格方程式：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi$$

以下依此正確形式作答。

解題方法

將波函數代入薛丁格方程式，先求出能量與波數 $k$ 的關係；再利用無限深位阱兩端波函數必須為零的邊界條件，決定允許的 $k$ 值；最後使用歸一化條件求出常數 $A$。

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（A）證明 $E=\dfrac{\hbar^2k^2}{2m}$

假設波函數為

$$\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$$

對 $x$ 微分兩次：

$$\frac{d\psi}{dx} =Ak\cos(kx)-Bk\sin(kx)$$ $$\frac{d^2\psi}{dx^2} =-Ak^2\sin(kx)-Bk^2\cos(kx)$$

因此

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2\psi(x)$$

代入標準定態薛丁格方程式：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} =E\psi$$

得到

$$-\frac{\hbar^2}{2m}(-k^2\psi) =E\psi$$ $$\frac{\hbar^2k^2}{2m}\psi=E\psi$$

對非零波函數 $\psi$，可約去 $\psi$，因此

$$\boxed{E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}}$$

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（B）利用邊界條件求 $\psi(x)$ 與 $k$

設無限深位阱範圍為

$$0<x<L$$

在無限高位能牆上，粒子不可能存在，因此邊界上的波函數必須為零：

$$\psi(0)=0,\qquad \psi(L)=0$$

原本的波函數為

$$\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$$

套用 $x=0$ 的邊界條件

$$\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)$$ $$\psi(0)=B$$

由 $\psi(0)=0$ 可得

$$B=0$$

所以波函數化為

$$\psi(x)=A\sin(kx)$$

套用 $x=L$ 的邊界條件

$$\psi(L)=A\sin(kL)=0$$

為使波函數不為處處為零，必須有 $A\neq 0$，因此

$$\sin(kL)=0$$

核心觀念

本題考查量子力學在生物研究工具中的實際應用，重點包括：

1. 德布羅意物質波：電子具有波動性，其波長為

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

其中 $h$ 為普朗克常數，$p$ 為電子動量。

2. 波長與解析度的關係：顯微鏡能分辨的最小距離受照明粒子波長限制。波長越短，理論解析度越高。

3. 電子的加速與偏轉：電子經高電壓加速後，動量增大、物質波波長縮短；電子束再由電磁透鏡聚焦成像。

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解題方法：以穿透式電子顯微鏡為例

一項重要應用是穿透式電子顯微鏡（Transmission Electron Microscope, TEM）。TEM 利用具有波動性的高速電子取代可見光，觀察細胞與生物分子的細微結構。

1. 電子經高電壓加速

電子由電位差 $V$ 加速，若先採用非相對論近似，其動能為

$$eV=\frac{p^2}{2m_e}$$

因此電子動量為

$$p=\sqrt{2m_e eV}$$

代入德布羅意關係式，可得電子波長：

$$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$$

例如電子經 $100\ \text{kV}$ 加速時，電子波長約為

$$\lambda \approx 3.7\ \text{pm}$$

這遠小於可見光波長約 $400$–$700\ \text{nm}$，因此電子顯微鏡具有極高的理論解析度。

在較高加速電壓下，應使用相對論修正公式：

$$\lambda = \frac{h} {\sqrt{2m_e eV\left(1+\frac{eV}{2m_e c^2}\right)}}$$

其中 $c$ 為光速。相對論修正能更精確地計算高速電子的波長。

2. 電磁透鏡聚焦電子波

電子帶有電荷，因此可利用磁場使電子束偏轉與聚焦。電子顯微鏡中的電磁透鏡扮演類似光學玻璃透鏡的角色，依序完成：

• 聚焦電子束；
• 使電子穿過極薄的生物樣品；
• 將穿透電子投射到螢光屏、相機或電子偵測器；
• 形成樣品的放大影像。

電子束通過樣品時，不同區域因厚度、密度與原子序不同，對電子的散射程度不同。散射較強的區域抵達偵測器的電子較少，在影像中呈現較暗；散射較弱的區域則較亮，因此形成細胞器、膜結構或病毒顆粒的對比。

3. 為何能觀察生物的細微結構

顯微鏡的繞射極限可用 Abbe 關係式表示：

$$d\approx\frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}}$$

其中：

• $d$ 為可分辨的最小距離；
• $\lambda$ 為波長；
• $\mathrm{NA}$ 為數值孔徑。

由於電子的德布羅意波長非常短，$d$ 的理論值可遠小於光學顯微鏡。因此 TEM 能觀察：