112 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查宇宙膨脹造成的宇宙學紅移，以及紅移如何使早期宇宙天體的光線由可見光移至紅外線。

光的波長、頻率與能量關係為

$$c=\lambda \nu$$ $$E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$$

其中 $c$ 為光速、$\lambda$ 為波長、$\nu$ 為頻率。當宇宙膨脹時，光在傳播途中波長會被拉長，頻率降低、光子能量減少，因此光譜整體向紅色端及紅外線方向移動，稱為紅移。

紅移參數定義為

$$z=\frac{\lambda_{\rm obs}-\lambda_{\rm emit}}{\lambda_{\rm emit}}$$

因此

$$\lambda_{\rm obs}=(1+z)\lambda_{\rm emit}$$

其中：

• $\lambda_{\rm emit}$：天體發光時的波長；
• $\lambda_{\rm obs}$：地球或望遠鏡實際接收到的波長；
• $z$：紅移量，$z$ 越大表示波長被拉長得越明顯。

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解題方法

判斷 JWST 為何能觀測到更遙遠、年齡更老的天體，可依序分析：

1. 遙遠天體的光需要較長時間才能抵達地球。
2. 因此觀測遙遠天體，等於觀測它在更早期宇宙的狀態。
3. 早期宇宙至今經歷較長時間的膨脹，光波長被拉長得更多。
4. 這些天體原本發出的紫外光或可見光，抵達地球時可能已變成近紅外光。
5. JWST 主要設計來接收近紅外線，因此比主要觀測可見光的哈伯太空望遠鏡更適合研究這些早期天體。

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宇宙膨脹造成的紅移

對於非常遙遠的星系，紅移主要不是普通的「天體在空間中遠離觀測者」所造成的多普勒紅移，而是空間本身膨脹，使光的波長被拉長。

若天體發光時波長為 $\lambda_{\rm emit}$，經過宇宙膨脹後，今日觀測到的波長為 $\lambda_{\rm obs}$，則

$$\frac{\lambda_{\rm obs}}{\lambda_{\rm emit}}=1+z$$

在低紅移情況下，紅移與距離及退行速度可近似用哈伯定律表示：

$$v\approx H_0d$$

但對早期宇宙的高紅移天體，必須使用宇宙學模型描述距離與宇宙年齡，不能直接將所有情況視為一般低速多普勒效應。

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為什麼遙遠天體等於古老天體

光速有限，光不可能瞬間抵達地球。若某個星系距離地球 $100$ 億光年，我們現在接收到的光，是它約 $100$ 億年前發出的。因此：

• 觀測較近的星系，看到的是較接近其現在狀態的影像；
• 觀測較遠的星系，看到的是它更早期的狀態；
• 觀測宇宙中極遙遠的高紅移星系，等於回望宇宙早期。

這種現象稱為回望時間。紅移越大，通常代表光來自越早期的宇宙，因此常可用高紅移天體研究第一代星系、早期恆星形成，以及宇宙結構的演化。

須注意，「紅外線本身會讓望遠鏡看得更遠」並不完全正確。真正原因是早期遙遠天體的光經宇宙膨脹後，已被紅移至紅外波段；若望遠鏡沒有適合的紅外線偵測能力，就可能接收不到這些光。

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可見光如何被紅移成紅外光

假設某個早期星系發出波長

$$\lambda_{\rm emit}=500\ {\rm nm}$$

的可見光，若其紅移為 $z=5$，則今日觀測到的波長為

$$\lambda_{\rm obs}=(1+z)\lambda_{\rm emit}$$ $$\lambda_{\rm obs}=6(500\ {\rm nm})=3000\ {\rm nm}$$

即

$$\lambda_{\rm obs}=3.0\ \mu{\rm m}$$

這已經屬於紅外線，而非可見光。

另一個常用例子是氫的萊曼 $\alpha$ 譜線，其發射波長約為

$$\lambda_{\rm emit}=121.6\ {\rm nm}$$

若星系紅移為 $z=10$，則

核心觀念

本題考查：

1. 核融合的定義與基本反應機制。
2. 質量虧損、束縛能與核反應能量來源。
3. 核融合與核分裂的反應產物、放射性廢料及安全性比較。
4. 核融合成為能源所需的高溫、約束與能量增益條件。

核反應的能量來源是質量虧損：

$$E=\Delta mc^2$$

若反應後所有原子核的總質量小於反應前，減少的質量便轉換成能量。

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A. 什麼是核融合？

1. 核融合的定義

核融合是指兩個或多個輕原子核，在極高溫與適當約束條件下克服彼此之間的電斥力，靠近到核力能夠作用的距離，融合成較重的原子核，並釋放大量能量的核反應。

輕核融合成較重的核時，生成物的每核子平均束縛能增加，系統總質量降低，因此釋放能量。

平均束縛能隨質量數增加，大致在鐵、鎳附近達到最大值。因此：

• 輕原子核透過核融合釋放能量；
• 很重的原子核則可透過核分裂釋放能量。

2. 典型的氘—氚核融合

目前最常被研究的核融合反應是氘與氚的融合：

$${}^2_1\mathrm{H}+{}^3_1\mathrm{H} \rightarrow {}^4_2\mathrm{He}+{}^1_0\mathrm{n}+17.6\ \mathrm{MeV}$$

其中：

• 氘核 ${}^2_1\mathrm{H}$ 含有 1 個質子與 1 個中子；
• 氚核 ${}^3_1\mathrm{H}$ 含有 1 個質子與 2 個中子；
• 生成氦-4 原子核，也稱為 $\alpha$ 粒子；
• 生成 1 個高能中子；
• 每次反應釋放 $17.6\ \mathrm{MeV}$ 能量。

能量主要分配為：

$$E_\alpha \approx 3.5\ \mathrm{MeV}$$ $$E_n \approx 14.1\ \mathrm{MeV}$$

氦核帶正電，可被電磁場約束並將能量留在高溫電漿中；中子不帶電，會離開磁場約束並將能量傳給反應爐壁，最後用來加熱工作流體、推動渦輪發電。

3. 為何需要極高溫？

氘核與氚核都帶正電，彼此接近時會受到庫侖斥力：

$$F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1Z_2e^2}{r^2}$$

若要使兩個原子核進入約 $10^{-15}\ \mathrm{m}$ 的核力作用範圍，就必須提供很高的動能。實際反應溫度約為數千萬至上億開爾文。

即使熱能未完全達到古典計算的庫侖障壁，原子核仍可透過量子穿隧效應穿越位能障壁，因此仍能發生融合反應。

4. 核融合成為能源的必要條件

要使核融合反應成為淨能源，必須同時滿足：

• 足夠高的溫度，使融合反應率提高；
• 足夠高的電漿密度，使原子核碰撞機率增加；
• 足夠長的約束時間，使能量不致迅速散失。

這三者通常以 Lawson criterion，也就是三乘積條件表示：

$$nT\tau_E$$

其中：

• $n$ 是電漿密度；
• $T$ 是溫度；
• $\tau_E$ 是能量約束時間。

常見的約束方式包括：

• 磁約束融合，例如 tokamak 與 stellarator；
• 慣性約束融合，以高能雷射或粒子束壓縮燃料小球。

Lawrence Livermore National Laboratory 採用的是慣性約束融合。雷射將能量集中照射在含有氘氚燃料的靶丸上，使靶丸迅速內爆，在極短時間內達到高溫與高密度，促使核融合發生。

5. 「輸出能量大於輸入能量」的意義

核融合實驗中的能量增益通常定義為：

$$Q=\frac{E_{\text{fusion}}}{E_{\text{laser}}}$$

當

$$Q>1$$

表示核融合產生的能量大於直接打入靶丸的雷射能量，稱為靶增益大於一。

但若從整座發電系統來看，還必須計入雷射設備、冷卻系統、磁場設備與電力轉換的損耗。因此，真正商業化發電還需滿足更嚴格的條件：

$$E_{\text{electricity,out}} > E_{\text{electricity,in}}$$

這也是實驗室達到點火與未來核融合發電之間的重要差異。

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B. 為何核融合比現有核分裂電廠更乾淨？

1. 反應產物主要不是長壽命放射性核種

氘氚融合的主要反應為：

$${}^2_1\mathrm{H}+{}^3_1\mathrm{H} \rightarrow {}^4_2\mathrm{He}+n$$

主要生成物是穩定的氦-4。氦氣是惰性氣體，不具放射性，也不會形成需要長期隔離的高放射性裂變產物。

核心觀念

本題考查「現代物理如何轉化為生命科學研究工具」，重點包括：

1. 波粒二象性與德布羅意波長：電子具有波動性，可用極短波長提升顯微鏡解析度。
2. 量子穿隧效應：電子可穿越經典力學禁止通過的勢壘，形成掃描穿隧顯微鏡的電流訊號。
3. 力學與原子尺度作用力：原子間作用力會造成微小懸臂偏折，可用於原子力顯微鏡成像。
4. 量子化能階與核磁共振：原子核自旋在磁場中具有離散能階，吸收特定頻率的電磁波後產生共振。
5. 繞射極限與螢光成像：光學顯微鏡的解析度受繞射限制，光片顯微鏡利用選擇性照明降低背景與光毒性。

以下選擇五種技術說明，其中任兩種完整作答即可涵蓋題目要求。

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一、電子顯微鏡 Electron Microscopy

1. 物理原理

電子具有德布羅意波長：

$$\lambda=\frac{h}{p}$$

其中 $h$ 為普朗克常數，$p$ 為電子動量。若電子由電位差 $V$ 加速，非相對論近似下：

$$eV=\frac{p^2}{2m_e}$$

因此

$$p=\sqrt{2m_e eV}$$

電子波長為：

$$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$$

加速電壓越高，電子動量越大，德布羅意波長越短，因此可得到比可見光顯微鏡更高的解析度。

可見光顯微鏡的解析度受阿貝繞射極限限制：

$$d\approx \frac{0.61\lambda}{NA}$$

其中 $NA$ 是數值孔徑。可見光波長約為數百奈米，而高能電子的波長可遠小於奈米，因此電子顯微鏡能觀察細胞器、病毒與蛋白質超微結構。

2. 成像方式

電子顯微鏡以電子束取代可見光，並使用電磁透鏡聚焦電子束。常見形式包括：

• 穿透式電子顯微鏡 TEM：電子穿透極薄樣品，依據不同區域的散射程度形成影像。
• 掃描式電子顯微鏡 SEM：電子束掃描樣品表面，偵測二次電子或反射電子，得到表面形貌。

在 TEM 中，樣品厚度、原子序與密度會影響電子散射。較厚或較重元素聚集的區域，通常使穿透電子數減少，在影像中呈現較深的對比。

3. 生命科學應用

電子顯微鏡可用於觀察：

• 粒線體、內質網、核糖體等細胞內部結構；
• 病毒顆粒與病毒感染造成的細胞變化；
• 細胞膜、纖毛、鞭毛與突觸結構；
• 蛋白質複合體的高解析度結構。

電子顯微鏡通常需要真空環境，樣品也常須固定、脫水、包埋與切片，因此樣品製備可能改變原本的生物狀態。冷凍電子顯微鏡則利用快速冷凍保留接近天然狀態的結構，並可藉由大量粒子影像重建三維結構。

4. 解題重點

電子顯微鏡的得分核心是：

$$\text{高加速電壓}\Rightarrow \text{高動量}\Rightarrow \text{短德布羅意波長}\Rightarrow \text{高解析度}$$

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二、掃描穿隧顯微鏡 Scanning Tunneling Microscopy, STM

1. 量子穿隧效應

在經典力學中，若電子能量低於勢壘高度，電子無法通過勢壘；在量子力學中，電子波函數會進入勢壘並呈指數衰減，因此仍有機率出現在勢壘另一側，這就是量子穿隧效應。

對於尖端與樣品之間的真空勢壘，穿隧電流可近似寫成：

$$I\propto V e^{-2\kappa s}$$

其中：

• $I$ 為穿隧電流；
• $V$ 為尖端與樣品間的偏壓；
• $s$ 為尖端與樣品間距；
• $\kappa$ 與電子有效質量及勢壘高度有關。

常用近似式為：

$$\kappa=\frac{\sqrt{2m\Phi}}{\hbar}$$

$\Phi$ 是有效功函數。

由於電流與距離呈指數關係，尖端只要移動極小距離，穿隧電流便會明顯改變，因此 STM 對表面高度具有極高敏感度。

2. 操作方式

STM 使用極尖銳的導電探針，使探針靠近導電樣品表面，但不直接接觸。控制系統維持固定穿隧電流，並掃描探針位置：

• 表面較高處使距離變小，電流增加；
• 回饋系統將探針移開；
• 表面較低處使距離變大，電流減少；
• 回饋系統將探針移近。

記錄探針在各位置的垂直位移，即可重建樣品表面形貌。

3. 生命科學應用

STM 可研究：

• DNA、蛋白質與脂質膜在導電基板上的排列；
• 生物分子在奈米尺度的表面結構；
• 生物分子與金屬、半導體表面的交互作用；
• 分子電子學與奈米生物材料。

STM 的限制是樣品通常必須具備導電性或置於導電基板上，因此不適合直接觀察一般絕緣性的活細胞。

4. 解題技巧與常見陷阱

STM 的關鍵不是「探針接觸表面」，而是「探針與樣品間存在穿隧電流」。其物理特色可濃縮為：

$$I\propto e^{-2\kappa s}$$

距離變化造成電流劇烈變化，是 STM 能達到原子級解析度的原因。

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三、原子力顯微鏡 Atomic Force Microscopy, AFM

1. 物理原理

AFM 使用帶有尖端的微小懸臂。當尖端接近樣品表面時，會受到凡得瓦力、靜電力、液體中的作用力及化學鍵作用力，造成懸臂彎曲。

懸臂可近似為彈簧，遵守胡克定律：

$$F=-kx$$

其中 $F$ 為作用力，$k$ 為懸臂彈簧常數，$x$ 為懸臂偏折量。

懸臂偏折通常由雷射反射至位置感測器測量。樣品表面高度不同，會造成尖端受力不同，進而改變懸臂位置。掃描整個表面後，即可得到奈米尺度的三維地形圖。

2. 主要操作模式

接觸模式

尖端直接接觸樣品表面，維持固定作用力。解析度高，但容易產生摩擦力與剪切力，可能破壞柔軟的生物樣品。

非接觸模式

尖端在表面上方振盪，藉由作用力造成的振幅或頻率改變成像，可減少樣品損傷。

輕敲模式

尖端週期性接觸樣品表面，兼具較低破壞性與良好解析度，常用於細胞、DNA、蛋白質與膜結構研究。

3. 共振頻率

懸臂可視為簡諧振子，其共振角頻率為：

$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

共振頻率為：

$$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

當尖端與樣品間的作用力改變時，等效彈簧常數及共振頻率會發生變化，因此可藉由振幅、相位或頻率改變分析樣品表面性質。

4. 生命科學應用

AFM 可在空氣甚至液體環境中工作，因此能觀察：