109 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《近代物理》

核心觀念

本題考查黑體輻射的定義，以及普朗克黑體輻射定律在長波長極限下如何退化為瑞利–金斯定律。

相關公式為：

• 瑞利–金斯定律：

  $p_{\mathrm{RJ}}(\lambda)=\frac{8\pi kT}{\lambda^4}$

• 普朗克定律：

  $p_{\mathrm{P}}(\lambda)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5\left(e^{hc/(\lambda kT)}-1\right)}$

其中 $p(\lambda)$ 表示以波長為變數的黑體輻射能量分布，$\lambda$ 為波長，$T$ 為絕對溫度。

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A. 黑體輻射的定義

黑體是理想化的物體，具有以下特性：

1. 能完全吸收所有波長、所有方向入射的電磁輻射，不反射也不透射。
2. 在熱平衡下，其所放出的熱輻射只由溫度決定，與物體的材料種類及表面性質無關。
3. 黑體所放出的輻射稱為黑體輻射，其光譜分布只取決於溫度 $T$。

實際上，帶有小孔的空腔可近似為黑體。進入小孔的輻射會在空腔內多次反射與吸收，幾乎不會再由小孔逸出，因此小孔具有近似完全吸收與放射的性質。

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B. 長波長極限下的推導

解題方法

在固定溫度 $T$ 下，當波長 $\lambda$ 很大時，

$\frac{hc}{\lambda kT}\ll 1$

令

$x=\frac{hc}{\lambda kT}$

則 $x\ll 1$。此時可使用指數函數的泰勒展開：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$

因此在 $x$ 很小的情況下，

$e^x-1\approx x$

也就是

$$e^{hc/(\lambda kT)}-1 \approx \frac{hc}{\lambda kT}$$

將此近似代入普朗克定律：

$$p_{\mathrm{P}}(\lambda) = \frac{8\pi hc} {\lambda^5\left(e^{hc/(\lambda kT)}-1\right)}$$

得到

$$p_{\mathrm{P}}(\lambda) \approx \frac{8\pi hc} {\lambda^5\left(\dfrac{hc}{\lambda kT}\right)}$$

整理分母：

$$\lambda^5\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right) = \frac{hc\lambda^4}{kT}$$

因此

核心觀念

本題考查「物質波」與「波粒二象性」。

• 經典物理將電子視為具有明確位置與運動軌跡的粒子。
• 波動則具有繞射與干涉等特徵。
• Louis de Broglie 提出：任何具有動量 $p$ 的物質都伴隨波長

$$\lambda=\frac{h}{p},$$

其中 $h$ 為普朗克常數。

Davisson–Germer 實驗觀察到電子束經鎳晶體表面散射後形成繞射圖樣，直接證明電子具有波動性。

解題方法

鎳晶體中的原子排列具有週期性，晶格可視為天然的三維繞射光柵。當電子的 de Broglie 波長與晶格間距同量級時，不同晶格平面散射出的電子波會發生建設性干涉，形成明顯的繞射峰。

繞射峰可用布拉格定律表示：

$$2d\sin\theta=n\lambda,$$

其中 $d$ 是晶格平面間距，$\theta$ 是入射波與晶面的夾角，$n$ 是繞射階數。

因此，實驗中觀察到有特定角度的電子強度峰值，表示電子不是單純沿著經典粒子軌跡運動，而是具有可干涉、可繞射的波動性。

A. 為何此發現挑戰古典的粒子觀？

在古典觀點中，粒子被視為局部化的物體，具有明確位置與運動路徑。電子撞擊鎳晶體後，古典粒子模型只能預期電子依照碰撞與散射定律分布，無法自然產生由週期性晶格造成的規則繞射峰。

繞射是波的典型現象，其形成原因是：

1. 電子波抵達鎳晶體的不同原子或晶格平面。
2. 各處散射出的電子波彼此疊加。
3. 某些方向上波峰與波峰重合，產生建設性干涉，電子計數率較高。
4. 其他方向上發生破壞性干涉，電子計數率較低。

因此，Davisson–Germer 實驗說明：

$$\boxed{\text{電子除了具有粒子性，也具有波動性。}}$$

這項結果挑戰了「電子只是具有明確軌跡的經典粒子」之觀點，成為物質波假說的重要實驗驗證。

B. 為何只能在微觀尺度觀察到？

由 de Broglie 關係式，

$$\lambda=\frac{h}{p},$$

可知物體的動量越大，其物質波波長越短。

對於低速粒子，

$$p=mv,$$

所以

$$\lambda=\frac{h}{mv}.$$

若要產生明顯繞射，物質波波長必須與繞射結構的間距同量級。晶體的原子間距約為

$$d\sim 10^{-10}\ \text{m},$$

A. 允許的德布羅意波長推導

1. 德布羅意關係式：
   動量為 $p$ 的粒子，其德布羅意波長 $\lambda$ 為：
   $\lambda = \frac{h}{p}$

2. 週期性邊界條件：
   粒子在半徑為 $r$ 的平面圓形軌道上運動，圓周長為 $2\pi r$。若波動在軌道上形成穩定駐波，圓周長必須為波長 $\lambda$ 的整數倍：
   $2\pi r = n\lambda \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$

3. 允許波長：
   移項即可得可接受的粒子波長為：
   $\lambda = \frac{2\pi r}{n} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$

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B. 允許的能量等級推導

1. 經典力學能量簡化：
   已知能量表示式為 $E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2r^2$。
   因圓周運動質點切向速度 $v = \omega r$，動量 $p = mv = m\omega r$，故：
   $\frac{1}{2}m\omega^2r^2 = \frac{p^2}{2m}$
   代入總能量式可得：

核心觀念

本題考查顯微鏡解析度的物理限制，核心是：

1. 光具有波動性，成像會受到繞射限制。
2. 顯微鏡解析度由照明波長 $\lambda$ 與物鏡數值孔徑 $\mathrm{NA}$ 決定。
3. 電子也具有波動性，其德布羅意波長可遠小於可見光，因此電子顯微鏡能分辨更細微的結構。

常用的解析度公式為 Abbe 極限：

$$d \approx \frac{\lambda}{2\mathrm{NA}}$$

其中：

• $d$：最小可分辨距離，$d$ 越小代表解析度越高；
• $\lambda$：照明波長；
• $\mathrm{NA}=n\sin\theta$：物鏡的數值孔徑；
• $n$：介質折射率；
• $\theta$：物鏡可接收的最大半角。

Rayleigh 判準則給出的形式為：

$$d_{\mathrm{Rayleigh}}\approx \frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}}$$

兩者雖然係數不同，但都表明解析度主要受波長與數值孔徑限制。

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解題方法

本題分成兩部分：

• A 問說明可見光顯微鏡為何有解析度極限；
• B 問說明電子顯微鏡如何降低此極限。

切入方式是比較兩種顯微鏡的照明波長，並使用解析度公式判斷最小可分辨距離。

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A. 光學顯微鏡的解析度限制

1. 光具有波動性，通過透鏡後會發生繞射

光學顯微鏡不是將物體上的每一個點完美地映射成影像上的一個點。當光通過物鏡的有限孔徑時，會因繞射形成一個具有有限大小的繞射斑，而非理想的幾何光學點。

因此，物體上一個點在影像中會形成 Airy disk。若兩個物點距離太近，兩個 Airy disk 會互相重疊，造成影像無法清楚判斷是兩個獨立結構。

依 Rayleigh 判準則，兩個點能被分辨的條件約為：

$$d\approx \frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}}$$

當兩個物點間距小於此距離時，兩個影像重疊程度太高，無法分辨。

2. 可見光波長具有基本尺度

可見光的波長約為：

$$\lambda \approx 400\text{--}700\ \mathrm{nm}$$

即使使用波長較短的紫藍光，$\lambda$ 仍約為數百奈米。因此，光學顯微鏡的解析度通常只能達到約 $200\ \mathrm{nm}$ 左右，無法清楚分辨小於此尺度的結構。

以高數值孔徑物鏡為例，若：

$$\lambda=500\ \mathrm{nm},\qquad \mathrm{NA}=1.4$$

則 Rayleigh 解析度約為：

$$d\approx \frac{0.61(500\ \mathrm{nm})}{1.4} \approx 218\ \mathrm{nm}$$

這說明即使使用高品質的油浸物鏡，解析度仍受到可見光波長的根本限制。

3. 數值孔徑也無法無限增加

由

$$\mathrm{NA}=n\sin\theta$$

可知，提高介質折射率 $n$ 或增加物鏡收光角 $\theta$，可以提高數值孔徑，進而改善解析度。然而：

• 空氣的折射率約為 $1$；
• 油浸介質雖可使 $n$ 提高至約 $1.5$；
• $\sin\theta$ 的最大值不會超過 $1$；
• 物鏡的設計、像差與製造限制也會限制實際數值孔徑。

因此，單靠增加 $\mathrm{NA}$ 無法突破由可見光波長所造成的解析度極限。

A 小結

光學顯微鏡的解析度限制來自光的繞射，而繞射程度由光波長決定。其解析度約為：

$$d\sim \frac{\lambda}{\mathrm{NA}}$$

由於可見光波長在數百奈米的尺度，即使使用高數值孔徑物鏡，解析度仍約為數百奈米，這就是傳統光學顯微鏡的繞射極限。

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B. 電子顯微鏡具有更高解析度的原因

1. 電子具有德布羅意波長

電子雖然是粒子，但也具有波動性，其德布羅意波長為：

$$\lambda_e=\frac{h}{p}$$

其中 $h$ 是普朗克常數，$p$ 是電子動量。

電子經電壓 $V$ 加速後，其動能為：

$$eV=\frac{p^2}{2m_e}$$

因此：

$$p=\sqrt{2m_e eV}$$

代入德布羅意關係式，可得非相對論近似下的電子波長：

$$\lambda_e=\frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$$

常用近似式為：

$$\lambda_e(\text{\AA})\approx \frac{12.27}{\sqrt{V(\text{volt})}}$$

例如電子由 $100\ \mathrm{kV}$ 電壓加速：

$$\lambda_e\approx \frac{12.27}{\sqrt{100000}}\ \text{\AA} \approx 0.039\ \text{\AA}$$

也就是：

$$\lambda_e\approx 0.0039\ \mathrm{nm}$$

核心觀念

本題考查：

1. 狹義相對論與廣義相對論的適用範圍與核心原理。
2. 黑洞、事件視界與史瓦西半徑的定義。
3. 黑洞影像中明亮環狀結構的形成原因，包括吸積盤輻射、重力透鏡效應與光子環。

題目文字所稱的黑洞附圖未出現在所附掃描頁中；掃描圖實際顯示的是 HIV 題目。因此以下依題目所指的 2019 年事件視界望遠鏡（Event Horizon Telescope, EHT）黑洞影像作答。

解題方法

回答三小題時，依序從「理論差異」→「黑洞定義」→「影像成因」說明：

• 先比較狹義與廣義相對論的時空觀及適用情況。
• 再利用逃逸速度或史瓦西解說明黑洞的形成條件。
• 最後說明黑洞本身不發光，但周圍高溫吸積物質會發光，且黑洞強重力會彎曲光線，使黑洞陰影周圍形成明亮環狀結構。

A. 狹義相對論與廣義相對論的主要差異

狹義相對論

狹義相對論適用於慣性座標系，也就是沒有重力場或可忽略重力影響的情況。其兩項基本假設為：

1. 所有慣性觀察者所測得的物理定律形式相同。
2. 真空中的光速 $c$ 對所有慣性觀察者皆相同，與光源或觀察者的運動狀態無關。

由此得到：

• 時間延遲
• 長度收縮
• 同時性的相對性
• 質能等價關係

$$E=mc^2$$

狹義相對論中的時空為平直時空，常用 Minkowski 時空描述。

廣義相對論

廣義相對論將狹義相對論推廣到：

• 加速座標系
• 重力場
• 非慣性運動

其核心是等效原理：在足夠小的區域內，均勻重力場的效應與等加速度座標系的效應不可區分。

廣義相對論認為，重力不是傳統意義上的力，而是質量與能量造成時空彎曲，物體與光線沿彎曲時空中的測地線運動。時空幾何由 Einstein 場方程決定：

$$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

其中：

• $G_{\mu\nu}$ 描述時空曲率；
• $T_{\mu\nu}$ 描述物質與能量的分布；
• $G$ 為萬有引力常數；
• $c$ 為光速；
• $\Lambda$ 為宇宙學常數。

主要差異整理

比較項目	狹義相對論	廣義相對論
適用範圍	慣性運動、無重力或可忽略重力	加速運動與重力場
時空	平直時空	可被質量與能量彎曲的時空
重力觀	不處理重力	重力是時空幾何效應
基本原理	相對性原理、光速不變	等效原理
代表結果	$E=mc^2$、時間延遲	黑洞、重力透鏡、重力波、宇宙膨脹

B. 什麼是黑洞

黑洞是時空彎曲極為強烈的天體，使得在某個邊界內，連光也無法逃逸到遠方觀察者。

這個不可逃逸的邊界稱為事件視界（event horizon）。事件視界不是實體表面，而是因果結構上的邊界：一旦物體進入其中，任何未來方向的光或訊息都無法返回外界。

對於不旋轉、不帶電的黑洞，事件視界半徑為史瓦西半徑：

$$r_s=\frac{2GM}{c^2}$$

其中 $M$ 是黑洞質量。

由牛頓力學估算逃逸速度：