109 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《物理化學》

核心觀念

本題考查定溫、定組成下，壓力對莫耳 Gibbs 自由能與相平衡的影響。

對不可壓縮液體或固體：

$$G(p_f)=G(p_i)+(p_f-p_i)V$$

因此在 $G$–$p$ 圖上：

$$\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V$$

也就是說，$G$–$p$ 圖中直線的斜率等於該相的莫耳體積。相同溫度與壓力下，Gibbs 自由能較低的相較穩定。

---

解題方法

分別比較固體與液體的莫耳體積，利用斜率關係畫出兩條直線，再以兩相 Gibbs 自由能的高低判斷穩定相與相變化方向。

---

(A) 一般物質的 $G$–$p$ 圖

對大多數物質：

$$V_l>V_s$$

其中 $V_l$ 為液體莫耳體積，$V_s$ 為固體莫耳體積。因此：

$$\left(\frac{\partial G_l}{\partial p}\right)_T=V_l > V_s= \left(\frac{\partial G_s}{\partial p}\right)_T$$

液體線的斜率較大，固體線的斜率較小。兩條線在某一平衡壓力 $p_{\mathrm{eq}}$ 相交：

G
│                 液體 G_l
│                /
│               /
│              ●  相平衡點
│             / \
│            /   \
│   固體 G_s/     \
│          /
└──────────────────── p
          p_eq

更精確地說，在 $p_{\mathrm{eq}}$ 左側，液體線較低；在右側，固體線較低。

---

(B) 為何高壓下會由液體轉變為固體

在相平衡壓力 $p_{\mathrm{eq}}$ 時：

$$G_l=G_s$$

考慮兩相 Gibbs 自由能差：

$$\Delta G=G_l-G_s$$

由於 $V_l>V_s$，提高壓力時，液體的 Gibbs 自由能增加得較快。因此：

• 當 $p<p_{\mathrm{eq}}$ 時：

$$G_l<G_s$$

液體為穩定相。

• 當 $p=p_{\mathrm{eq}}$ 時：

$$G_l=G_s$$

兩相達到相平衡。

• 當 $p>p_{\mathrm{eq}}$ 時：

$$G_s<G_l$$

固體成為穩定相，液體會轉變為固體。

此題考查 Gibbs free energy (ΔG) 的計算與自發性判斷，以及溫度對反應自發性的影響。

核心觀念：
Gibbs free energy 變化的計算：$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$
反應自發性判斷：

• $\Delta G < 0$：反應為自發的 (spontaneous)。
• $\Delta G > 0$：反應為非自發的 (non-spontaneous)。
• $\Delta G = 0$：反應處於平衡狀態 (equilibrium)。
  溫度對反應自發性的影響：$\Delta G$ 的符號和大小會隨溫度 T 變化。

解題步驟：

(A) 計算 37°C 時的 Gibbs free energy 變化 ($\Delta G$)。
已知：
$\Delta H = 30.5 \, \text{KJ mol}^{-1}$
$\Delta S = 100 \, \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1}$
$T = 37^\circ\text{C} = 37 + 273.15 = 310.15 \, \text{K}$ (通常計算時取 273)
為了計算方便，我們將 $\Delta S$ 轉換為 KJ/mol·K：
$\Delta S = 100 \, \text{J K}^{-1}\text{mol}^{-1} = 0.100 \, \text{KJ K}^{-1}\text{mol}^{-1}$

使用公式 $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$:
$\Delta G = 30.5 \, \text{KJ mol}^{-1} - (310.15 \, \text{K})(0.100 \, \text{KJ K}^{-1}\text{mol}^{-1})$

此題考查熱力學中定容莫耳熱容 ($C_{v,m}$) 與定容莫耳熱容 ($C_{p,m}$) 的關係，以及其微觀解釋。

核心觀念：
焓的定義：$H = U + pV$
熱力學第一定律：$\Delta U = q + w$
定容過程：$w = -\int p dV = 0$ (因為 $dV=0$)，所以 $\Delta U = q_v$
定容莫耳熱容：$C_{v,m} = \frac{1}{n}\frac{\partial U}{\partial T}$ (對於單原子理想氣體，U 僅是 T 的函數)
定壓過程：$w = -p\Delta V$
定壓莫耳熱容：$C_{p,m} = \frac{1}{n}\frac{\partial H}{\partial T}$
理想氣體狀態方程式：$pV = nRT$

解題步驟：

(A) 證明 $C_{p,m} - C_{v,m} = R$ 對於理想氣體。
首先，我們從焓的定義 $H = U + pV$ 出發。
對溫度 T 微分，得到：
$\frac{\partial H}{\partial T} = \frac{\partial U}{\partial T} + \frac{\partial (pV)}{\partial T}$
在定壓下 (p 為常數)，上式變為：
$\frac{\partial H}{\partial T}\bigg|_p = \frac{\partial U}{\partial T}\bigg|_p + p\frac{\partial V}{\partial T}\bigg|_p$

我們知道定壓莫耳熱容的定義是 $C_{p,m} = \frac{1}{n}\frac{\partial H}{\partial T}\bigg|_p$ (假設 n=1 mol，則 $C_{p,m} = \frac{\partial H}{\partial T}\bigg|_p$)。
定容莫耳熱容的定義是 $C_{v,m} = \frac{1}{n}\frac{\partial U}{\partial T}\bigg|_v$ (假設 n=1 mol，則 $C_{v,m} = \frac{\partial U}{\partial T}\bigg|_v$)。
對於理想氣體，其內能 U 僅是溫度的函數，與壓力或體積無關，因此 $\frac{\partial U}{\partial T}\bigg|_p = \frac{\partial U}{\partial T}\bigg|_v = C_{v,m}$ (對於 1 mol)。

所以，我們有：
$C_{p,m} = C_{v,m} + p\frac{\partial V}{\partial T}\bigg|_p$

現在，我們需要處理理想氣體的部分：$pV = RT$ (假設 n=1 mol)。
在定壓下，對 T 微分：
$p\frac{\partial V}{\partial T}\bigg|_p = R$

將此結果代入上面的 $C_{p,m}$ 方程式：
$C_{p,m} = C_{v,m} + R$
整理後得到：
$C_{p,m} - C_{v,m} = R$

【答案】：透過焓的定義 $H = U + pV$，對溫度微分並利用理想氣體狀態方程式 $pV=RT$ 在定壓下的微分形式 $p\frac{\partial V}{\partial T}\bigg|_p = R$，可推導出 $C_{p,m} - C_{v,m} = R$。

(B) 從分子動力學觀點解釋 $C_{p,m} > C_{v,m}$。
熱容代表吸收相同熱量時，溫度上升的幅度。熱容越大，溫度越不容易升高。
$C_{v,m}$ 代表在定容條件下，將熱量 q 傳遞給系統時，系統內能 U 的變化率。

核心觀念

受激放射是原子處於較高能階 $E_2$ 時，受到頻率符合能階差的光子作用，躍遷至較低能階 $E_1$，並放出一個光子的過程。能量守恆要求入射光子的頻率滿足

$$h\nu=E_2-E_1$$

放出的光子與誘發躍遷的光子具有相同的頻率、傳播方向、偏振與相位，因此受激放射會使光訊號增強。

解題方法

以 $N_2$ 表示處於高能階的原子數，$\rho(\nu)$ 表示頻率 $\nu$ 附近的輻射能量密度，$B_{21}$ 表示由能階 $E_2$ 到 $E_1$ 的愛因斯坦受激放射係數。受激放射的總躍遷速率為

$$R_{\mathrm{stim}}=B_{21}\rho(\nu)N_2$$

若以單一原子表示，其受激放射機率率為

$$W_{\mathrm{stim}}=B_{21}\rho(\nu)$$

每次受激放射會使一個原子由 $E_2$ 躍遷至 $E_1$，因此若只考慮受激放射造成的高能階原子數變化，

此題考查 X 射線繞射 (X-ray diffraction) 中的布拉格定律 (Bragg's Law) 的推導。

核心觀念：
X 射線繞射：當 X 射線入射到晶體結構時，由於晶體中原子或離子的週期性排列，會發生繞射現象。
建設性干涉 (Constructive Interference)：來自不同原子層的繞射波，如果它們的相位相同，則會發生建設性干涉，產生增強的繞射波。
布拉格定律：描述了 X 射線繞射滿足建設性干涉的條件。

解題步驟：

布拉格定律的推導：
考慮一個晶體，其中原子排列成平行的平面，這些平面之間的距離為 $d$。
當一束 X 射線以入射角 $\theta$（相對於晶體平面）入射到晶體上時，X 射線會與晶體中的電子發生相互作用並發生繞射。
我們關注來自相鄰晶體平面上原子所發生的繞射波的干涉。
設 R1 和 R2 是來自兩個相鄰晶體平面上原子的繞射波。
為了使這兩個繞射波發生建設性干涉，它們之間的相位差必須是 $2\pi$ 的整數倍，也就是它們的程差 (path difference) 必須是波長 $\lambda$ 的整數倍。

讓我們從圖中觀察程差：
設入射 X 射線與晶體平面夾角為 $\theta$。
來自第一個晶體平面的繞射波 (R1) 沿著第一個平面反射方向傳播。
來自第二個晶體平面的繞射波 (R2) 沿著第二個平面反射方向傳播。
為了使 R1 和 R2 發生建設性干涉，它們必須是同相的。

在圖中，我們可以看到：

1. 從入射點到第一個原子 A 的路徑。
2. 從入射點到第二個原子 B 的路徑。
3. 從原子 A 沿著反射方向傳播的路徑。
4. 從原子 B 沿著反射方向傳播的路徑。

我們需要比較從 A 發出的繞射波與從 B 發出的繞射波之間的程差。
在圖中，點 A 和點 C 位於同一晶體平面上，點 B 位於下一個相鄰的晶體平面上。
兩相鄰晶體平面之間的距離為 $d_{hkl}$。

考慮從入射點到達 A 的 X 射線，以及從入射點到達 B 的 X 射線。
為了簡化，我們將入射方向和反射方向都考慮與晶體平面成 $\theta$ 角。
從 A 發出的繞射波與從 B 發出的繞射波之間的程差，是通過作從 A 發出的繞射波的反射方向線，與從 B 發出的繞射波的反射方向線之間的垂直距離來確定的。
在圖中，點 A 和點 C 在同一平面。點 B 在下一個平面。
從 A 發出的反射波和從 B 發出的反射波要發生建設性干涉，它們的程差必須是 $n\lambda$。
我們可以在圖中找到這個程差。
從 B 發出的 X 射線，比從 A 發出的 X 射線，多走了程差。
這個程差可以分解為兩部分。
從 B 點出發，作一條垂直於入射 X 射線方向的垂線，交於點 X。
作一條從 A 點出發，沿著反射方向的垂線，交於點 Y。
這個程差是從 B 到 X 的距離，加上從 Y 到 B 的距離。
然而，更常見的推導方式是：
從 B 點作兩條輔助線：一條垂直於入射 X 射線，另一條垂直於反射 X 射線。
設入射 X 射線與晶體平面夾角為 $\theta$。
設反射 X 射線與晶體平面夾角為 $\theta$。
從 B 點畫一條垂線到 A 點的入射路徑上，假設交點為 P。
從 B 點畫一條垂線到 A 點的反射路徑上，假設交點為 Q。
則程差為 BP + BQ。

此題考查分子振動光譜學，特別是紅外線 (IR) 和拉曼 (Raman) 光譜的活性。

核心觀念：
分子振動：分子中的原子會以特定的頻率進行振動，這些振動模式稱為「正常模式」(normal modes)。
紅外線 (IR) 活性：一個振動模式如果會導致分子的偶極矩 (dipole moment) 發生改變，則該振動模式對紅外線是活性的，能夠吸收紅外光。
拉曼 (Raman) 活性：一個振動模式如果會導致分子的極化率 (polarizability) 發生改變，則該振動模式對拉曼光譜是活性的，能夠與入射光發生拉曼散射。
CO2 分子：CO2 是一個線性的三原子分子，結構為 O=C=O。

CO2 分子的正常振動模式：
CO2 分子共有 $3N-5 = 3(3)-5 = 4$ 個正常振動模式 (因為是線性分子)。
這四個模式是：

1. 對稱伸縮 (Symmetric Stretching)：兩個氧原子同時向外伸展，或同時向內收縮。
   O ← C → O
   在振動過程中，分子的偶極矩始終為零，因為分子是對稱的。
   但是，在振動時，分子的電子雲分佈會發生變化，導致極化率發生改變。
2. 反對稱伸縮 (Asymmetric Stretching)：一個氧原子向外伸展，另一個氧原子同時向內收縮。
   O ← C → O →
   在振動過程中，分子的偶極矩由零變為非零，然後又變為零（方向相反）。
   由於偶極矩發生改變，這個模式是 IR 活性的。
   同時，極化率也會發生改變，因此也是 Raman 活性的。
3. 彎曲 (Bending)：兩個氧原子沿垂直於分子軸線的方向同向或反向移動。

此題考查核磁共振光譜學 (NMR spectroscopy) 中的化學位移 (chemical shift)。

核心觀念：
核磁共振 (NMR)：利用原子核在磁場中吸收特定頻率的電磁波而產生訊號的現象。
化學位移 (Chemical Shift)：在 NMR 光譜中，相同種類的原子核，由於它們所處的化學環境不同，其共振頻率也會有所差異。這種共振頻率的差異，相對於一個標準參考訊號，稱為化學位移。
屏蔽效應 (Shielding Effect)：原子核周圍的電子雲會對外加磁場產生感應磁場，這個感應磁場會抵消一部分外加磁場，從而降低原子核實際感受到的磁場強度。這種效應稱為屏蔽效應。
去屏蔽效應 (Deshielding Effect)：當原子核周圍的電子雲密度降低時，屏蔽效應減弱，原子核感受到的實際磁場強度增加。

定義「化學位移」：
化學位移 ($\delta$) 是用來量化 NMR 光譜中訊號位置的參數。它表示一個原子核的共振頻率相對於一個標準參考物質（例如四甲基矽烷, TMS）的頻率偏移量。
化學位移的定義公式為：
$\delta = \frac{\nu_{sample} - \nu_{ref}}{\nu_{spectrometer}} \times 10^6 \, \text{ppm}$
其中：

• $\nu_{sample}$ 是樣品中待測原子核的共振頻率。
• $\nu_{ref}$ 是參考物質（通常是 TMS）中原子核的共振頻率。
• $\nu_{spectrometer}$ 是儀器的工作頻率（例如 300 MHz, 500 MHz）。
• 單位是 ppm (parts per million)，這樣可以使化學位移的值與儀器的工作頻率無關，具有普適性。

化學位移的值通常是正值（TMS 的 $\delta=0$）。

• $\delta$ 值越大，表示該原子核的共振頻率越高，它所感受到的實際磁場越強，即越「去屏蔽」(deshielded)。
• $\delta$ 值越小，表示該原子核的共振頻率越低，它所感受到的實際磁場越弱，即越「屏蔽」(shielded)。

影響化學位移的因素：
化學位移主要反映了原子核周圍電子雲的密度和分佈，進而影響原子核感受到的有效磁場強度。以下是幾個主要影響因素：

1. 電子密度 (Electron Density)：

   • 屏蔽效應：電子雲密度越高，對原子核的屏蔽作用越強，原子核感受到的有效磁場越弱，共振頻率越低，化學位移 ($\delta$) 越小。
   • 去屏蔽效應：電子雲密度越低，屏蔽作用越弱，原子核感受到的有效磁場越強，共振頻率越高，化學位移 ($\delta$) 越大。
   • 例如，飽和烴的質子 ($\text{CH}_3, \text{CH}_2$) 通常在較小的 $\delta$ 值範圍 (0-2 ppm)，因為它們周圍的電子密度較高。

2. 連接基團的電負度 (Electronegativity of Adjacent Groups)：

   • 如果一個原子核連接了一個電負度較強的基團（例如 O, N, halogen），該基團會吸引相鄰原子核的電子雲，導致該原子核周圍的電子密度降低。
   • 這會造成去屏蔽效應，使該原子核的化學位移增大。

此題考查酶動力學 (Enzyme Kinetics) 中的 Michaelis-Menten 方程式，以及如何利用它來區分不同類型的酶抑制劑。

核心觀念：
酶催化反應機理：
$E + S \rightleftharpoons ES \rightarrow E + P$
其中 E 是酶，S 是基質，ES 是酶-基質複合物，P 是產物。

Michaelis-Menten 方程式：
描述了酶促反應的初始反應速率 ($v_0$) 與基質濃度 ([S]) 之間的關係。
$v_0 = \frac{V_{max}[S]}{K_m + [S]}$
其中：

• $v_0$ 是酶促反應的初始速率。
• $V_{max}$ 是最大反應速率，當酶被基質飽和時達到。
• $[S]$ 是基質濃度。
• $K_m$ (Michaelis constant) 是酶與基質的親和力指標。它等於當反應速率為 $V_{max}/2$ 時的基質濃度。$K_m$ 越小，表示酶對基質的親和力越大。

酶抑制劑 (Enzyme Inhibitors)：
抑制劑是能夠降低酶活性濃度的物質。
主要有三種類型：

1. 競爭性抑制劑 (Competitive Inhibitor)：

   • 結構類似於基質，能與酶的活性位點結合，阻止基質結合。
   • 抑制劑 (I) 與游離酶 (E) 競爭結合活性位點：$E + I \rightleftharpoons EI$。
   • 抑制劑與酶-基質複合物 (ES) 不結合。

2. 非競爭性抑制劑 (Non-competitive Inhibitor)：

   • 可以與游離酶 (E) 或酶-基質複合物 (ES) 結合，通常結合在活性位點以外的其他位點。
   • 結合後會改變酶的構象，降低催化效率，但不影響基質與活性位點結合。
   • $E + I \rightleftharpoons EI$
   • $ES + I \rightleftharpoons ESI$

3. 反競爭性抑制劑 (Uncompetitive Inhibitor)：

   • 只能與酶-基質複合物 (ES) 結合，不能與游離酶 (E) 結合。
   • $ES + I \rightleftharpoons ESI$

區分不同抑制劑的方法：
我們可以通過觀察抑制劑存在時，Michaelis-Menten 方程式中的參數 $V_{max}$ 和 $K_m$ 如何變化來區分不同類型的抑制劑。
為了更方便分析，通常使用 Lineweaver-Burk 雙倒數圖 (Double Reciprocal Plot)，即 $\frac{1}{v_0}$ 對 $\frac{1}{[S]}$ 作圖。
線性方程式為：
$\frac{1}{v_0} = \frac{K_m}{V_{max}}\frac{1}{[S]} + \frac{1}{V_{max}}$
此圖的 y 軸截距為 $\frac{1}{V_{max}}$，x 軸截距為 $-\frac{1}{K_m}$，斜率為 $\frac{K_m}{V_{max}}$。

1. 競爭性抑制劑 (Competitive Inhibitor)：

• 機理：抑制劑與基質競爭活性位點。
• Michaelis-Menten 方程式變化：抑制劑的存在會增加表觀的 $K_m$ (稱為 $K_{m,app}$)，但 $V_{max}$ 不變。
  $v_0 = \frac{V_{max}[S]}{K_{m,app} + [S]}$
  其中 $K_{m,app} = K_m(1 + \frac{[I]}{K_i})$， $K_i$ 是抑制劑與酶結合的解離常數。
• Lineweaver-Burk 圖：
  • $V_{max}$ 不變，所以 y 軸截距 $\frac{1}{V_{max}}$ 不變。

此題考查蛋白質交互作用 (Protein-Protein Interaction, PPI) 的測定方法及其原理，以及結合常數 ($K_D$) 的概念。

核心觀念：
蛋白質交互作用 (PPI)：蛋白質之間通過非共價鍵（如氫鍵、離子鍵、範德華力、疏水作用）或共價鍵（較少見）相互結合的過程。
結合常數 ($K_D$)：表示蛋白質 A 與蛋白質 B 結合的平衡常數。它反映了結合的強度。
$A + B \rightleftharpoons AB$
$K_D = \frac{[A][B]}{[AB]}$
$K_D$ 越小，表示結合越強。
$K_D$ 的倒數 $\frac{1}{K_D}$ 是結合親和力常數 ($K_A$)。

測定 PPI 的方法有很多種，這裡介紹三種常見且重要的方法：

方法一：酵母雙雜交 (Yeast Two-Hybrid, Y2H) 系統

• 原理：
  Y2H 系統是一種「體內」(in vivo) 的基因表達篩選方法，利用轉錄因子 (transcription factor) 的結構域分離原理來檢測蛋白質之間的相互作用。
  一個完整的轉錄因子通常包含兩個結構域：
  1. DNA 結合結構域 (DNA-Binding Domain, DBD)：負責識別並結合到啟動子 (promoter) 的特定 DNA 序列上。
  2. 活化結構域 (Activation Domain, AD)：負責招募 RNA 聚合酶等轉錄機器，啟動基因轉錄。
     在 Y2H 系統中，這兩個結構域被「分離」開來，分別與兩個待測的蛋白質結合。
  • 將蛋白質 X (bait protein) 融合到 DBD 上。
  • 將蛋白質 Y (prey protein) 融合到 AD 上。
    如果蛋白質 X 和蛋白質 Y 之間存在相互作用，它們就會在細胞核內被拉近，使得 DBD-X 和 AD-Y 形成一個功能性的轉錄因子複合物。
    這個複合物能夠結合到一個含有 DBD 識別序列的報告基因啟動子上，從而啟動報告基因（如 LacZ 或 HIS3）的表達。
    報告基因的表達就表明蛋白質 X 和 Y 之間存在相互作用。
• 優點：
  • 可在細胞內進行，模擬生理條件。
  • 可進行高通量篩選，尋找新的 PPI。
  • 靈敏度高。
• 缺點：
  • 假陽性率可能較高（例如，蛋白質在核內非特異性結合）。
  • 只能檢測「體內」的、在細胞核內發生的交互作用。
  • 無法直接測定結合常數 $K_D$。
• 測定 $K_D$：
  Y2H 系統本身不直接測定 $K_D$。但可通過變異 Y2H 報告基因的表達量，或結合其他定量方法（如定量 PCR 檢測報告基因 mRNA 水平，或流式細胞儀檢測報告基因產物），來間接評估 PPI 的強度，進而推測 $K_D$ 的範圍。

方法二：表面電漿共振 (Surface Plasmon Resonance, SPR)

• 原理：
  SPR 是一種無標記 (label-free) 的「體外」(in vitro) 互作動力學分析技術，用於實時監測蛋白質-蛋白質結合的動力學參數（結合速率 $k_{on}$ 和解離速率 $k_{off}$）以及平衡結合親和力 ($K_D$)。
  其基本原理是利用金屬薄膜（通常是金）表面的電漿子共振現象。
  1. 將其中一個蛋白質（例如，配體 Ligand, L）固定在 SPR 感測晶片（通常是金膜塗層）的表面。
  2. 將另一個蛋白質（例如，分析物 Analyte, A）以不同濃度溶解在流動緩衝液中，通過感測晶片流過。
  3. 當分析物 A 與固定在表面的配體 L 結合時，會引起感測晶片表面折射率的變化。
  4. 這種折射率的變化會改變 SPR 的共振角度或波長，通過檢測這個變化（稱為響應單位, Response Unit, RU），可以實時監測結合事件的發生。
  5. 動力學測定：
     • 在結合階段 (Association phase)，分析物 A 流過，與配體 L 結合，RU 值增加。
     • 在解離階段 (Dissociation phase)，停止加入分析物 A，改用緩衝液流過，A 與 L 解離，RU 值下降。
  6. 通過擬合結合和解離曲線，可以計算出結合速率常數 $k_{on}$ 和解離速率常數 $k_{off}$。
  7. 結合常數 $K_D$ 可以從動力學參數計算得出：$K_D = \frac{k_{off}}{k_{on}}$。
• 優點：
  • 無標記技術，無需對蛋白質進行標記，減少了標記對蛋白質結構和功能的影響。
  • 可實時監測結合動力學，提供豐富的參數 ($k_{on}, k_{off}, K_D$)。
  • 對結合親和力範圍廣（從 $\text{nM}$ 到 $\text{mM}$）。
• 缺點：
  • 需要將其中一個蛋白質固定在表面，可能影響其活性。
  • 蛋白質在固定的表面上可能存在非特異性吸附。
  • 通常是「體外」實驗。