108 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《物理化學》

此題主要在探討焓 (Enthalpy, H) 的定義與其在熱力學中的應用，特別是與內能 (Internal Energy, U) 的關係，以及在定壓過程中的特性。

核心觀念：焓的定義、熱力學第一定律、定壓過程的熱量變化。

解題步驟：
(a) 由焓的定義 $H = U + pV$ 開始。
在定壓過程中，系統的體積可能發生變化，所以 $\Delta H$ 的變化包含內能的變化 $\Delta U$ 和體積功的變化。
$\Delta H = \Delta(U + pV)$
由於壓力 $p$ 是常數，我們可以將其提出：
$\Delta H = \Delta U + p\Delta V$
因此，在定壓下，焓的變化 $\Delta H$ 取決於內能的變化 $\Delta U$ 和體積的變化 $\Delta V$。

(b) 根據熱力學第一定律，系統內能的變化 $\Delta U$ 等於系統吸收的熱量 $q$ 減去系統對外做的功 $w$，即 $\Delta U = q - w$。題目中給出的公式為 $\Delta U = w + q$，這裡的 $w$ 指的是「系統對外做的功」，而熱力學第一定律的標準形式是 $\Delta U = q_{rev} + w_{rev}$，其中 $q_{rev}$ 是系統吸收的熱量，$w_{rev}$ 是「對系統做的功」。若題目中的 $w$ 是指「系統對外做的功」，則熱力學第一定律應寫為 $\Delta U = q - w_{by\_system}$。我們假設題目中的 $w$ 是指「系統對外做的功」。

在定壓過程中，系統對外做的體積功 $w$ 可以表示為 $w = p\Delta V$。
將熱力學第一定律 $\Delta U = q - w$ 和 $w = p\Delta V$ 代入 (a) 的結果 $\Delta H = \Delta U + p\Delta V$：
$\Delta H = (q - w) + p\Delta V$

此題探討熱力學第二定律在生命系統中的適用性，特別是關於熵增原理與生命體由無序趨向有序的表象之間的關係。

核心觀念：熱力學第二定律、熵 (Entropy)、孤立系統 (Isolated System)、開放系統 (Open System)、生命系統。

解題步驟：
熱力學第二定律指出，一個孤立系統的總熵總是趨於增加，或者在可逆過程中保持不變。這裡的關鍵詞是「孤立系統」。

生命體，例如生物體，並不是一個孤立系統。它們是開放系統，不斷地與外界環境交換物質和能量。生命體通過攝取食物（能量和物質）並將其轉化，來維持其高度有序的結構和生命活動。在這個過程中，生命體內部變得更加有序（熵減少），但這個過程必然伴隨著向環境釋放出更多的熱量和更高熵的廢物。

因此，雖然生命體內部通過新陳代謝等過程，將複雜的分子組織成更為有序的形式（例如蛋白質的合成、細胞結構的形成），導致生命體本身的熵減少，但這並不是孤立系統的熵在減少。

此題探討滲透作用 (Osmosis) 的原理，並應用於解釋靜脈輸液時為何需要使用與血液等滲透壓的溶液。

核心觀念：滲透作用、半透膜、滲透壓、等張溶液 (Isotonic Solution)、低張溶液 (Hypotonic Solution)、高張溶液 (Hypertonic Solution)。

解題步驟：
滲透作用是指溶劑分子（通常是水）通過半透膜，從低濃度溶液（或純溶劑）一側向高濃度溶液一側移動的現象。這是因為高濃度溶液側的水位勢較低，而低濃度溶液側的水位勢較高，水會從水位勢高的地方流向水位勢低的地方，直到達到平衡或半透膜破損。

半透膜只允許溶劑分子通過，不允許溶質分子通過。當我們將純水或低濃度溶液注入血液中時，血液的濃度（包含各種鹽類、葡萄糖等溶質）相對較高。如果輸液的溶液濃度遠低於血液，那麼血液中的水就會通過紅血球的細胞膜（這相當於半透膜）進入紅血球內，導致紅血球吸水膨脹，甚至破裂（溶血，hemolysis）。

此題詢問超離心機 (Ultracentrifugation) 分離粒子所依據的不同性質。

核心觀念：超離心機原理、沉降係數 (Sedimentation Coefficient)、密度 (Density)、形狀 (Shape)。

解題步驟：
超離心機是利用高速旋轉產生的強大離心力來分離生物大分子（如蛋白質、核酸）或細胞器。粒子在離心場中的行為，主要受到以下幾個性質的影響：

1. 沉降係數 (Sedimentation Coefficient, s)：這是最主要的依據。沉降係數定義為粒子在單位離心加速度下的沉降速度。它由粒子的質量（或大小）、形狀以及它在離心介質中的密度所決定。
   $s = \frac{v}{a} = \frac{m(1-\bar{v}\rho_0)}{f}$
   其中 $v$ 是沉降速度，$a$ 是離心加速度，$m$ 是粒子質量，$\bar{v}$ 是粒子的比體積（或稱部分體積），$\rho_0$ 是介質密度，$f$ 是摩擦係數。
   較大的粒子、較高的密度、較規則的形狀會導致較大的沉降係數。

此題比較 X 光繞射 (X-ray Diffraction) 和光學顯微鏡 (Light Microscopy) 在解析蛋白質結構時的解析度差異，並解釋 X 光為何能達到埃 (Angstrom) 等級的解析度。

核心觀念：解析度 (Resolution)、波長 (Wavelength)、繞射 (Diffraction)、X 光、可見光。

解題步驟：
解析度是指顯微鏡或成像技術能夠分辨的兩個獨立物體的最小距離。解析度通常受到所使用的探測波長的限制。一個成像系統的理論解析度極限大約等於所用波長的一半。

1. 光學顯微鏡 (Light Microscopy)：
   光學顯微鏡使用可見光作為光源。可見光的波長範圍大約在 400 奈米 (nm) 到 700 奈米 (nm) 之間。根據解析度與波長的關係，光學顯微鏡的理論解析度極限大約是波長的一半，即約 200-350 奈米 (nm)。
   蛋白質的尺寸通常在幾奈米到幾十奈米之間，而蛋白質的原子尺寸更小，約為 1-3 埃 (Å, Angstrom)。即使是解析度最高的顯微鏡，也無法分辨出原子級別的細節，更不用說蛋白質的精確三維結構。光學顯微鏡的解析度不足以分辨出蛋白質的原子排列。

2. X 光繞射 (X-ray Diffraction)：
   X 光的波長範圍非常短，通常在 0.01 奈米 (nm) 到 10 奈米 (nm) 之間，常用於蛋白質結構分析的 X 光波長約為 1-2 埃 (Å)。

此題要求解釋螢光 (Fluorescence) 的發生機制。

核心觀念：螢光、電子激發、基態 (Ground State)、激態 (Excited State)、光子吸收、光子發射、螢光壽命。

解題步驟：
螢光是一種光致發光現象，發生在某些分子吸收光能後，其電子從較低的能階躍遷到較高的能階，然後又從較高的能階回到較低的能階，並在此過程中發射出光子的現象。

螢光的發生過程可以分為以下幾個步驟：

1. 吸收光能 (Absorption)：
   當一個分子處於基態（最低能量狀態）時，如果它吸收了一個能量恰好等於其基態與某個較高激發態能階差的光子，其外層電子的能量就會增加，從而躍遷到這個較高的電子激發態 (Excited State)。這個過程是瞬間發生的。
   吸收的光子的能量 $E_{photon}$ 必須滿足 $E_{photon} = h\nu = E_{excited} - E_{ground}$，其中 $h$ 是普朗克常數，$\nu$ 是光的頻率，$E_{excited}$ 是激發態的能量，$E_{ground}$ 是基態的能量。

2. 非輻射弛豫 (Non-radiative Relaxation)：
   一旦電子躍遷到激發態，它通常會非常快速（在飛秒到皮秒的時間尺度內）通過分子振動、碰撞等方式將部分或全部多餘的能量以熱能的形式散失，並弛豫到激發態的最低振動能階 (vibrational ground state of the excited electronic state)。這個過程稱為非輻射弛豫，它不發射光子。

3. 發射光子 (Emission)：
   處於激發態最低振動能階的電子，在相對較短的時間尺度內（螢光壽命通常在奈秒級別，約 $10^{-9}$ 秒），會自發地躍遷回基態的某個振動能階。在這個過程中，電子將其多餘的能量以光子的形式釋放出來。

此題要求解釋比爾-朗伯定律 (Beer-Lambert Law)。

核心觀念：比爾-朗伯定律、吸光度 (Absorbance)、透光度 (Transmittance)、摩爾吸光係數 (Molar Absorptivity)、濃度 (Concentration)、光徑長度 (Path Length)。

解題步驟：
比爾-朗伯定律（Beer-Lambert Law），也稱為比爾定律，是描述光在均勻介質中傳播時，其強度隨介質吸收特性和傳播距離的關係。它主要用於光譜學，例如紫外-可見光譜 (UV-Vis Spectroscopy)，來定量分析溶液中的吸光物質。

該定律的數學表達式為：
$A = \epsilon bc$
其中：

• $A$ 是吸光度 (Absorbance)，它是一個無量綱的量。吸光度與透光度 (Transmittance, $T$) 的關係為 $A = -\log_{10} T$。透光度定義為透射光強度 ($I$) 與入射光強度 ($I_0$) 的比值，即 $T = I/I_0$。因此，$A = -\log_{10}(I/I_0) = \log_{10}(I_0/I)$。
• $\epsilon$ 是摩爾吸光係數 (Molar Absorptivity)，也稱為摩爾消光係數。它是一個與吸光物質的種類、光的波長以及溫度等因素有關的常數，單位通常為 $L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}$。它表示在特定波長下，每單位濃度、每單位光徑長度時，物質對光的吸收能力。
• $b$ 是光徑長度 (Path Length)，即光通過樣品溶液的距離，通常是比色皿的寬度，單位通常為 $cm$。

核心觀念

本題考查 DNA 雙股解離平衡：

$$D \rightleftharpoons F+B$$

其中 $D$ 為 DNA 雙股，$F$、$B$ 為兩條單股 DNA。題目給出的

$$K_D=\frac{[F][B]}{[D]}$$

實際上是「解離常數」；數值越小，表示雙股 DNA 越穩定、越不容易解離。

在平衡狀態下，反應遵守化學計量關係：

$$[D]\text{ 減少量}=[F]\text{ 生成量}=[B]\text{ 生成量}$$

解題方法

初始只有 $1\ \mathrm{mM}$ 的雙股 DNA：

$$[D]_0=1.0\ \mathrm{mM}$$

假設初始沒有游離的 $F$ 與 $B$。加熱後測得：

$$[F]_{\mathrm{eq}}=[B]_{\mathrm{eq}}=0.5\ \mathrm{mM}$$

由於每解離 $1$ 個 $D$，會生成 $1$ 個 $F$ 與 $1$ 個 $B$，因此解離量為 $0.5\ \mathrm{mM}$，平衡時剩餘的雙股 DNA 為：

$$[D]_{\mathrm{eq}}=1.0-0.5=0.5\ \mathrm{mM}$$

代入解離常數：

$$K_D=\frac{(0.5\ \mathrm{mM})(0.5\ \mathrm{mM})}{0.5\ \mathrm{mM}}$$ $$K_D=0.5\ \mathrm{mM}$$

換算成莫耳濃度：

$$K_D=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{M}$$

接著利用標準自由能與平衡常數的關係：

$$\Delta G^\circ=-RT\ln K_D$$

熱力學計算時，平衡常數應以相對於標準狀態 $1\ \mathrm{M}$ 的無因次活性表示，因此使用：

$$K_D=5.0\times10^{-4}$$

溫度為：

$$T=50+273.15=323.15\ \mathrm{K}$$

取

$$R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$$

則：

此題是關於酶動力學 (Enzyme Kinetics) 的基本概念，包括 Michaelis-Menton 方程式、Michaelis 常數 ($K_M$)、催化常數 ($K_{cat}$)，以及最大反應速率 ($V_{max}$) 的計算。

核心觀念：酶催化反應機理、Michaelis-Menton 方程式、穩態近似 (Steady-State Approximation)、Michaelis 常數 ($K_M$)、催化常數 ($K_{cat}$)、最大反應速率 ($V_{max}$)。

反應機理：
$E + S \xrightarrow{k_1} ES \xrightarrow{k_{-1}} E + S$
$ES \xrightarrow{k_2} P + E$
其中 E 是酶，S 是基質，ES 是酶-基質複合物，P 是產物。

(a) Michaelis-Menton 方程式
Michaelis-Menton 方程式描述了酶催化反應的初始反應速率 ($v_0$) 與基質濃度 ([S]) 之間的關係。它是在穩態近似下推導出來的。穩態近似假設在反應的絕大部分時間裡，酶-基質複合物 (ES) 的生成速率等於其分解速率，即 $\frac{d[ES]}{dt} = 0$。
根據穩態近似：
生成 ES 的速率 = $k_1[E][S]$
分解 ES 的速率 = $k_{-1}[ES] + k_2[ES] = (k_{-1} + k_2)[ES]$
所以，$k_1[E][S] = (k_{-1} + k_2)[ES]$
由此可得 $[ES] = \frac{k_1[E][S]}{k_{-1} + k_2}$

反應速率 $v_0$ 是由 ES 轉化為產物 P 的速率決定的：
$v_0 = k_2[ES]$
將 $[ES]$ 代入：
$v_0 = k_2 \frac{k_1[E][S]}{k_{-1} + k_2} = \frac{k_1k_2[E][S]}{k_{-1} + k_2}$

為了得到 Michaelis-Menton 方程式，我們通常將其形式化為：
$v_0 = V_{max} \frac{[S]}{K_M + [S]}$
其中 $V_{max}$ 是當酶被基質飽和時的最大反應速率，$V_{max} = k_2[E]_0$（[E]_0 是總酶濃度）。
$K_M$ 是 Michaelis 常數，定義為 $K_M = \frac{k_{-1} + k_2}{k_1}$。

所以，Michaelis-Menton 方程式是：
$v_0 = \frac{V_{max}[S]}{K_M + [S]}$

(b) 計算 $K_M$ 和 $K_{cat}$
根據上面的推導，我們有：
$K_M = \frac{k_{-1} + k_2}{k_1}$
給定：
$k_1 = 5 \times 10^8 \text{ M}^{-1} \text{ sec}^{-1}$
$k_{-1} = 2 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}$
$k_2 = 3 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}$

計算 $K_M$：
$K_M = \frac{(2 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}) + (3 \times 10^3 \text{ sec}^{-1})}{5 \times 10^8 \text{ M}^{-1} \text{ sec}^{-1}}$
$K_M = \frac{5 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}}{5 \times 10^8 \text{ M}^{-1} \text{ sec}^{-1}}$
$K_M = 1 \times 10^{-5} \text{ M} = 10 \times 10^{-6} \text{ M} = 10 \text{ µM}$

$K_{cat}$ 是催化常數，定義為酶從 ES 複合物生成產物 P 的平均速率，當酶被基質飽和時。它等於 $k_2$。
$K_{cat} = k_2$
$K_{cat} = 3 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}$

(c) 計算 $V_{max}$
$V_{max}$ 是最大反應速率，發生在基質濃度遠大於 $K_M$ 時，此時酶被基質飽和。
$V_{max} = k_{cat} [E]_0$
其中 $[E]_0$ 是總酶濃度。
題目給定的酶濃度是 5 µM。
$[E]_0 = 5 \text{ µM} = 5 \times 10^{-6} \text{ M}$
$K_{cat} = 3 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}$

計算 $V_{max}$：
$V_{max} = (3 \times 10^3 \text{ sec}^{-1}) \times (5 \times 10^{-6} \text{ M})$
$V_{max} = 15 \times 10^{-3} \text{ M/sec}$

這裡的單位 M/sec 表示莫耳/升/秒。在酶動力學中，速率的單位通常是莫耳/升/秒 (M/s) 或納莫耳/分鐘 (nmol/min) 等。
$V_{max} = 15 \text{ mM/sec}$

此題要求利用史托克斯-愛因斯坦方程式 (Stokes-Einstein Equation)，估算不同分子量蛋白質的擴散係數。

核心觀念：史托克斯-愛因斯坦方程式、擴散係數 (Diffusion Coefficient, D)、水力學半徑 (Hydrodynamic Radius, r)、溫度 (T)、介質黏度 ($\eta$)、波茲曼常數 (k)。

解題步驟：
史托克斯-愛因斯坦方程式描述了球形粒子在黏性流體中的擴散係數與其水力學半徑之間的關係：
$D = \frac{kT}{6\pi\eta r}$
其中：

• $D$ 是擴散係數。
• $k$ 是波茲曼常數 ($1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$)。
• $T$ 是絕對溫度。
• $\eta$ 是流體的黏度。
• $r$ 是粒子的水力學半徑。

題目中提到「在相同的條件下」，這意味著溫度 $T$ 和介質黏度 $\eta$ 對於蛋白質 X 和蛋白質 Y 都是相同的。因此，史托克斯-愛因斯坦方程式可以簡化為：
$D \propto \frac{1}{r}$
或者 $D \cdot r = \text{constant}$ (假設 $k, T, \eta$ 不變)。

我們需要估算蛋白質 X 和蛋白質 Y 的水力學半徑 $r$ 與其氨基酸數量之間的關係。題目假設蛋白質的形狀接近球形。
對於一個球形，其質量 $m$ 與其體積 $V$ 成正比，而體積又與半徑的立方成正比：$V \propto r^3$。
假設蛋白質的密度是恆定的，那麼其質量 $m$ 也與 $r^3$ 成正比：$m \propto r^3$。
蛋白質的質量通常與其所含氨基酸的數量成正比。設 $N$ 為氨基酸數量。
所以，$m \propto N$。
因此，$r^3 \propto N$，或者 $r \propto N^{1/3}$。

現在我們可以將這個關係代入 $D \cdot r = \text{constant}$：
$D \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{N^{1/3}}$

設蛋白質 X 的氨基酸數量為 $N_X = 125$，擴散係數為 $D_X = 1.5 \times 10^{-10} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}$。
設蛋白質 Y 的氨基酸數量為 $N_Y = 1000$，擴散係數為 $D_Y$。

根據 $D \propto N^{-1/3}$，我們可以建立比例關係：
$\frac{D_Y}{D_X} = \frac{N_Y^{-1/3}}{N_X^{-1/3}} = \left(\frac{N_Y}{N_X}\right)^{-1/3}$

代入數值：
$N_X = 125$
$N_Y = 1000$
$\frac{N_Y}{N_X} = \frac{1000}{125} = 8$

$\frac{D_Y}{D_X} = (8)^{-1/3}$
$8^{1/3} = 2$
所以，$\frac{D_Y}{D_X} = \frac{1}{2}$

$D_Y = D_X \times \frac{1}{2}$
$D_Y = (1.5 \times 10^{-10} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}) \times \frac{1}{2}$
$D_Y = 0.75 \times 10^{-10} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}$
$D_Y = 7.5 \times 10^{-11} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}$

詳細步驟與驗證：

1. 理解史托克斯-愛因斯坦方程式：$D = \frac{kT}{6\pi\eta r}$。在相同條件下，$D \propto 1/r$。