108 年 國立成功大學醫學資訊研究所《工程數學》

核心觀念

對初值問題的唯一解判斷，主要使用存在唯一性定理：

• 一階方程 $y'=f(x,y)$：若 $f$ 與 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在初始點附近連續，則初值問題有唯一局部解。
• 二階方程 $y''=F(x,y,y')$：若 $F$ 對 $x,y,y'$ 連續，且相關偏導數在初始點附近連續，則有唯一局部解。
• 線性微分方程只要最高階導數的係數在初始點不為零，且其他係數與右端函數在初始點附近連續，即可判定唯一性。

需注意：定理條件是「充分條件」，不符合定理條件不代表一定沒有唯一解，選項 $(c)$ 正是此陷阱。

選項分析

（a）$\dfrac{dy}{dx}-y=6x,\ y(0)=1$

整理為標準型：

$$y'=y+6x.$$

令

$$f(x,y)=y+6x.$$

則

$$\frac{\partial f}{\partial y}=1.$$

$f$ 與 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在整個平面皆連續，因此根據存在唯一性定理，此初值問題有唯一解。

若直接求解，積分因子為 $e^{-x}$：

$$e^{-x}y'-e^{-x}y=6xe^{-x},$$

因此

$$\frac{d}{dx}(e^{-x}y)=6xe^{-x}.$$

解得

$$y=7e^x-6x-6,$$

且滿足 $y(0)=1$。故 $(a)$ 正確。

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（b）$(x^2+1)\dfrac{dy}{dx}=x^2,\ y(3)=1$

因為

$$x^2+1>0$$

對所有實數 $x$ 成立，所以可整理為

$$y'=\frac{x^2}{x^2+1}.$$

右端函數只含 $x$，且在整個實數範圍連續，因此解必唯一。

實際積分為

$$y'=\frac{x^2+1-1}{x^2+1} =1-\frac{1}{x^2+1},$$

所以

$$y=x-\tan^{-1}x+C.$$

代入 $y(3)=1$：

$$C=1-3+\tan^{-1}3.$$

故 $(b)$ 正確。

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（c）$\sqrt{y-1}\dfrac{dy}{dx}=x,\ y(0)=1$

若直接整理成顯式形式，得到

$$y'=\frac{x}{\sqrt{y-1}},$$

但在初始點 $(0,1)$，分母為 $0$，因此標準存在唯一性定理無法直接套用。

然而，不能因此判定沒有唯一解。由於平方根要求 $y\geq 1$，對於 $x\neq 0$，若 $y=1$，原方程左側為 $0$，右側為 $x\neq 0$，矛盾。

核心觀念

本題考查向量空間中的：

• 純量消去律
• 子空間
• 線性相依與線性獨立
• 生成空間（span）
• 空集合的生成空間定義

判斷是非題時，遇到「任何」「每一個」等全稱敘述，只要找出一個反例即可判定錯誤。

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解題方法與選項分析

(1) In any vector space, $ax=ay$ implies $x=y$.

判斷：錯誤。

由

$$ax=ay$$

可得

$$a(x-y)=0.$$

只有在純量 $a\neq 0$ 時，才能利用純量消去律得到

$$x-y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=y.$$

題目沒有規定 $a\neq 0$。取 $a=0$，則對任意 $x,y$ 都有

$$0x=0y=\mathbf{0},$$

但不一定有 $x=y$。

例如在 $\mathbb{R}$ 中取 $x=1$、$y=2$、$a=0$，則

$$0\cdot 1=0\cdot 2,$$

但 $1\neq 2$。

因此本敘述錯誤。

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(2) If $V$ is a vector space other than the zero vector space, $V$ contains a subspace $W$ such that $W\neq V$.

判斷：正確。

任何向量空間 $V$ 都包含平凡子空間

$$W=\{\mathbf{0}\}.$$

由於 $V$ 不是零向量空間，所以 $V$ 至少含有一個非零向量，故

$$\{\mathbf{0}\}\neq V.$$

因此可取

$$W=\{\mathbf{0}\},$$

其確實是 $V$ 的子空間，且 $W\neq V$。

因此本敘述正確。

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(3) Each element of a set $S$ is a linear combination of the other elements of $S$ if $S$ is a linearly dependent set.

判斷：錯誤。

線性相依的正確定義是：集合 $S$ 中至少有一個元素可以表示成其他元素的線性組合。

若

$$S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$$

線性相依，則存在不全為零的純量 $c_1,\ldots,c_n$，使得

$$c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=\mathbf{0}.$$

其中至少有一個係數不為零。假設 $c_k\neq 0$，則

觀念重點

本題為 一階線性微分方程式 (First-Order Linear Ordinary Differential Equation)，標準式為：
$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
利用 積分因子 (Integrating Factor) $I(x) = e^{\int P(x)dx}$ 求解通解，再代入初值條件 $y(1) = 1$ 求出特解。

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詳細推導過程

Step 1：確定 $P(x)$ 與 $Q(x)$

原微分方程式重寫為：
$\frac{dy}{dx} + \left( -\frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \right) y = \frac{1}{\sqrt{x}}$
對照標準式可知：
$P(x) = -\frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}, \quad Q(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Step 2：計算積分因子 $I(x)$

先計算 $\int P(x) dx$：
利用變數變換，設 $u = -2\sqrt{x}$，則 $du = -\frac{1}{\sqrt{x}} dx$：
$\int P(x) dx = \int -\frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = \int e^{u} du = e^u = e^{-2\sqrt{x}}$

故積分因子為：
$I(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{e^{-2\sqrt{x}}}$

Step 3：求解通解

原式同乘以積分因子 $I(x)$：

觀念重點

本題為 Legendre 線性微分方程式（Cauchy-Euler 方程式之推廣型）。
令 $3x + 2 = e^t$（即 $t = \ln(3x + 2)$），利用微分運算子 $D = \frac{d}{dt}$ 進行變數變換化為常係數微分方程式。

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解題步驟

1. 變數變換與式子化簡
令 $3x + 2 = e^t$，其各階微分項轉換為：
$(3x + 2) y' = 3 Dy$
$(3x + 2)^2 y'' = 9 D(D - 1) y$

代入原微分方程式：
$9 D(D - 1) y + 4 \cdot 3 Dy - 6y = e^{-t}$
$9D^2 y + 3Dy - 6y = e^{-t}$

同除以 $3$ 得：
$(3D^2 + D - 2)y = \frac{1}{3}e^{-t}$

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2. 求齊次解 $y_h$
列出特徵方程式：
$3r^2 + r - 2 = 0 \implies (3r - 2)(r + 1) = 0$
解得根 $r_1 = \frac{2}{3}, r_2 = -1$。

觀念重點：
本題為含單位階梯函數（Unit Step Function）之二階非同次常微分方程初值問題，使用**拉普拉斯變換（Laplace Transform）與第二位移定理（Second Shifting Theorem）**求解最為簡捷。

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精簡推導步驟

Step 1：對微分方程兩邊同取拉普拉斯變換

設 $\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$。左式代入初始條件 $y(0)=0, y'(0)=1$ 得：
$\mathcal{L}\{y'' + 9y\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 9Y(s) = (s^2 + 9)Y(s) - 1$

右式利用和角公式與第二位移定理 $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$，將 $\cos(3t)$ 改寫為 $t-1$ 的函數：
$\cos(3t) = \cos(3(t-1)+3) = \cos(3(t-1))\cos(3) - \sin(3(t-1))\sin(3)$
因此：
$\mathcal{L}\{u(t-1)\cos(3t)\} = e^{-s} \mathcal{L}\{\cos(3t+3)\} = e^{-s} \left[ \cos(3)\frac{s}{s^2+9} - \sin(3)\frac{3}{s^2+9} \right]$

Step 2：整理求解 $Y(s)$

$(s^2 + 9)Y(s) - 1 = e^{-s} \frac{s\cos(3) - 3\sin(3)}{s^2+9}$
$Y(s) = \frac{1}{s^2+9} + e^{-s} \frac{s\cos(3) - 3\sin(3)}{(s^2+9)^2}$

核心觀念

矩陣方程式中的各項必須具有相同的尺寸，才能進行加減。若 $X$ 是 $n\times n$ 方陣，則

$$X^2-3X+4I_n$$

也是 $n\times n$ 方陣。因此，等式右側的矩陣也必須是方陣。

題目右側矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} -6 & 19 & -2 & -16\\ -40 & 0 & -40 & 20\\ -8 & -8 & 14 & 12 \end{bmatrix},$$

共有 $3$ 列、$4$ 欄，所以 $A$ 是 $3\times4$ 矩陣，並非方陣。

解題方法

因為 $X^2$ 有定義，$X$ 必須是方陣。設 $X$ 為 $n\times n$ 方陣，則：

• $X^2$ 是 $n\times n$；
• $3X$ 是 $n\times n$；
• $4I_n$ 是 $n\times n$；

故左側必為 $n\times n$ 方陣：

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 零空間（Null Space）
   $N(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^4:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$

2. 奇異值（Singular Values）
   矩陣 $A$ 的奇異值為 $AA^T$ 的特徵值平方根。若
   $AA^T\mathbf{u}=\lambda\mathbf{u},$
   則對應奇異值為
   $\sigma=\sqrt{\lambda}.$

3. Moore–Penrose 偽逆矩陣
   若 $A$ 為滿列秩或滿行秩，且本題 $A\in\mathbb{R}^{3\times4}$、秩為 $3$，則
   $A^+=A^T(AA^T)^{-1}.$

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解題方法

令

$$A= \begin{bmatrix} -6&19&-2&-16\\ -40&0&-40&20\\ -8&-8&14&12 \end{bmatrix}.$$

（1）求零空間 $N(A)$

令

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix},$$

則 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 等價於

$$\begin{cases} -6x_1+19x_2-2x_3-16x_4=0,\\ -40x_1-40x_3+20x_4=0,\\ -8x_1-8x_2+14x_3+12x_4=0. \end{cases}$$

第二式除以 $-20$：

$$2x_1+2x_3-x_4=0,$$

因此

$$x_4=2x_1+2x_3.$$

代入第一式：

$$-6x_1+19x_2-2x_3-16(2x_1+2x_3)=0,$$

整理得

$$-38x_1+19x_2-34x_3=0,$$

所以

$$x_2=2x_1+\frac{34}{19}x_3.$$

代入第三式：

$$-8x_1-8x_2+14x_3+12(2x_1+2x_3)=0.$$

整理：

$$16x_1-8x_2+38x_3=0.$$

再代入 $x_2$：

$$16x_1-8\left(2x_1+\frac{34}{19}x_3\right)+38x_3=0,$$ $$\left(-\frac{272}{19}+38\right)x_3=0,$$ $$\frac{450}{19}x_3=0.$$

故

$$x_3=0.$$

因此

$$x_2=2x_1,\qquad x_4=2x_1.$$

令 $x_1=t$，則

$$\mathbf{x} =t \begin{bmatrix} 1\\2\\0\\2 \end{bmatrix}.$$

所以

$$\boxed{ N(A)=\operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1\\2\\0\\2 \end{bmatrix} \right\} }.$$

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（2）求奇異值

先計算 $AA^T$。三個列向量的內積結果為

$$AA^T= \begin{bmatrix} 657&0&-324\\ 0&3600&0\\ -324&0&468 \end{bmatrix}.$$

其中第二列與其他列正交，因此一個特徵值立即為

$$\lambda_1=3600.$$

其餘兩個特徵值由

$$\det \begin{bmatrix} 657-\lambda&-324\\ -324&468-\lambda \end{bmatrix}=0$$

決定：

$$(657-\lambda)(468-\lambda)-324^2=0.$$

展開：

$$\lambda^2-1125\lambda+202500=0.$$

因式分解為

$$(\lambda-900)(\lambda-225)=0.$$

因此 $AA^T$ 的特徵值為

$$3600,\quad 900,\quad 225.$$

核心觀念

本題考查對稱矩陣的基本性質：

• 矩陣 $A$ 為對稱矩陣，表示
  $A^T=A.$
• 若 $x$ 為特徵值 $\lambda$ 對應的特徵向量，則
  $Ax=\lambda x,\qquad x\ne 0.$
• 若 $y$ 為另一特徵值 $\mu$ 對應的特徵向量，則
  $Ay=\mu y,\qquad y\ne 0.$
• 兩個向量正交的定義為
  $x^Ty=0.$

欲證明的結論是：當 $\lambda\ne\mu$ 時，必有 $x^Ty=0$。

解題方法

設 $x$ 與 $y$ 分別為對稱矩陣 $A$ 對應於相異特徵值 $\lambda$ 與 $\mu$ 的特徵向量，即

$Ax=\lambda x,\qquad Ay=\mu y,$

其中

$\lambda\ne\mu.$

先考慮內積 $x^TAy$。由於 $A$ 為對稱矩陣，$A^T=A$，因此

$x^TAy=(A^Tx)^Ty=(Ax)^Ty.$

代入 $Ax=\lambda x$，得到

$x^TAy=(\lambda x)^Ty=\lambda x^Ty.$

另一方面，由 $Ay=\mu y$ 可得

$x^TAy=x^T(\mu y)=\mu x^Ty.$

因此同一個量 $x^TAy$ 同時滿足

$\lambda x^Ty=\mu x^Ty.$

移項後可得