108 年 國立成功大學醫學資訊研究所《應用電子學》

核心觀念

本題重點包括：

1. 半導體中的漂移電流與擴散電流。
2. 不同二極體的結構、$i$-$v$ 特性與應用。
3. 分壓電路與定電壓模型二極體分析。
4. 二極體箝位電路的電容充放電與直流電位平移。

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(a) 漂移電流與擴散電流

1. 漂移電流（drift current）

半導體中的載子受到外加電場 $E$ 作用而產生定向運動，所形成的電流稱為漂移電流。

電子與電洞的漂移電流密度分別為

$$J_{n,\text{drift}}=q n\mu_n E$$ $$J_{p,\text{drift}}=q p\mu_p E$$

因此總漂移電流密度為

$$J_{\text{drift}}=q(n\mu_n+p\mu_p)E$$

其中：

• $q$：基本電荷量
• $n,p$：電子與電洞濃度
• $\mu_n,\mu_p$：電子與電洞遷移率

外加電場越大，漂移電流通常越大。

2. 擴散電流（diffusion current）

當半導體內部的載子濃度不均勻時，載子會由高濃度區向低濃度區移動，所形成的電流稱為擴散電流。

電子與電洞的擴散電流密度為

$$J_{n,\text{diffusion}}=qD_n\frac{dn}{dx}$$ $$J_{p,\text{diffusion}}=-qD_p\frac{dp}{dx}$$

其中 $D_n,D_p$ 為擴散係數。

漂移電流由電場造成，擴散電流由載子濃度梯度造成。兩者在熱平衡時彼此抵消，使總電流為零。

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(b) 四種二極體比較

二極體	製造方式與結構	$i$-$v$ 特性	主要應用
一般 $pn$ 接面二極體	以 $p$ 型與 $n$ 型半導體形成接面	正向偏壓時導通，矽二極體約需 $0.7\text{ V}$；反向時僅有極小漏電流	整流、開關、波形整形
發光二極體 LED	使用直接能隙材料，如 GaAs、GaP、GaN，使電子與電洞再結合時放出光	正向導通電壓依顏色而定，通常約 $1.8\sim3.5\text{ V}$；反向耐壓通常較低	指示燈、顯示器、照明、光通訊
Zener 二極體	以高摻雜方式製造，使耗盡區很窄，能在反向偏壓下產生崩潰	反向電壓達到 $V_Z$ 後，電流大幅增加而電壓近似固定	穩壓、電壓參考、過電壓保護
Schottky barrier diode	以金屬與半導體形成金屬—半導體接面，屬於多數載子元件	正向壓降低，約 $0.2\sim0.4\text{ V}$；切換速度快；反向漏電流較大	高速開關、整流、鉗位、電源電路

一般二極體的正向特性可用 Shockley 方程式表示：

$$I_D=I_S\left(e^{V_D/(nV_T)}-1\right)$$

其中 $I_S$ 為逆向飽和電流，$n$ 為理想因子，$V_T$ 為熱電壓。

判斷重點

• 需要低正向壓降：選 Schottky 二極體。
• 需要發光：選 LED。
• 需要反向穩壓：選 Zener 二極體。
• 一般整流與開關：使用 $pn$ 接面二極體。
• Schottky 沒有少數載子儲存效應，因此反向恢復時間短，適合高速切換。
• Zener 二極體必須搭配限流電阻，避免崩潰電流過大而損壞。

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(c) 圖一二極體電流與電壓

1. 先假設二極體截止

左側分壓點電壓為

$$V_L=5\left(\frac{2\,\text{k}\Omega}{3\,\text{k}\Omega+2\,\text{k}\Omega}\right)=2.0\text{ V}$$

右側分壓點電壓為

核心觀念

本題考查 PMOS 源極隨耦器（source follower） 的直流偏壓、中頻小訊號增益、輸出電阻，以及耦合電容造成的低頻截止頻率。

採用標準 PMOS 飽和區公式：

$$I_D=\frac{K_p}{2}\left(V_{SG}-|V_{TP}|\right)^2$$ $$g_m=K_p\left(V_{SG}-|V_{TP}|\right)$$

其中：

• $V_{TP}=-2\text{ V}$，故 $|V_{TP}|=2\text{ V}$
• $K_p=0.5\text{ mA/V}^2$
• $\lambda=0$，故 $r_o=\infty$
• $R_S=12\text{ k}\Omega$
• $R_G=50\text{ k}\Omega$
• $R_L=10\text{ k}\Omega$

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(a) 等效電路

直流等效電路

直流分析時，耦合電容 $C_C$ 視為開路，因此負載 $R_L$ 不接入電路。

由於輸入電壓源的直流值為零，閘極經由 $R_G$ 接地：

$$V_G=0$$

PMOS 的源極經由 $R_S$ 接至 $+9\text{ V}$，汲極接至 $-9\text{ V}$。

直流電路關係為：

$$V_S=9-I_D R_S$$

且

$$V_{SG}=V_S-V_G=V_S$$

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中頻小訊號等效電路

中頻時：

• $C_C$ 視為短路
• $+9\text{ V}$ 與 $-9\text{ V}$ 皆為交流接地
• $r_o=\infty$
• $R_L$ 接至源極交流節點

因此源極對交流地所見的負載為：

$$R_X=R_S\parallel R_L$$

閘極由理想輸入電壓源直接驅動，且 $R_G$ 接地。

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直流工作點

由

$$V_S=9-12I_D$$

其中 $I_D$ 以 mA、電阻以 k$\Omega$ 表示，可得：

$$V_S=9-12I_D$$

又因為：

$$I_D=\frac{0.5}{2}(V_S-2)^2$$

代入 $V_S$：

$$I_D=0.25(7-12I_D)^2$$

令 $x=\sqrt{I_D}$，則：

$$x=0.5(7-12x^2)$$ $$12x^2+2x-7=0$$

取正根：

$$x=\frac{-2+\sqrt{340}}{24}=0.685$$

所以：

$$I_D=x^2\approx 0.469\text{ mA}$$

源極電壓：

$$V_S=9-(0.469)(12)$$ $$V_S\approx 3.37\text{ V}$$

因此：

$$V_{SG}=3.37\text{ V}$$ $$V_{OV}=V_{SG}-|V_{TP}|=3.37-2=1.37\text{ V}$$

跨導為：

$$g_m=K_pV_{OV}$$ $$g_m=(0.5)(1.37) \approx 0.685\text{ mS}$$

工作區檢查：

$$V_{SD}=V_S-V_D=3.37-(-9)=12.37\text{ V}$$

且：

$$V_{SD}>V_{OV}$$

故 PMOS 確實工作於飽和區。

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(b) 中頻增益與輸出電阻

中頻增益

源極交流等效電阻為：

$$R_X=R_S\parallel R_L$$ $$R_X=12\text{ k}\Omega\parallel10\text{ k}\Omega =5.455\text{ k}\Omega$$

PMOS 源極隨耦器的電壓增益為：

核心觀念

本題考查 BJT 共射極放大器的三個頻率區域：

• 低頻：由輸入耦合電容 $C_C$ 造成低頻截止。
• 中頻：$C_C$ 視為短路，$C_L$ 視為開路。
• 高頻：外接負載電容 $C_L$ 造成高頻截止；題目已說忽略電晶體內部電容。
• 中頻增益使用 hybrid-$\pi$ 小訊號模型。
• $V_A=\infty$，故 $r_o=\infty$。

由圖 4：

$$V_{CC}=12\text{ V},\quad R_B=1\text{ M}\Omega,\quad R_C=5.1\text{ k}\Omega$$ $$R_L=500\text{ k}\Omega,\quad C_C=10\ \mu\text{F},\quad C_L=10\text{ pF},\quad R_s=1\text{ k}\Omega$$

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(a) 三種等效電路

低頻等效電路

在低頻時：

• $C_C$ 必須保留為電抗 $1/(j\omega C_C)$。
• $C_L$ 的阻抗很大，視為開路。
• $V_{CC}$ 為交流接地。
• BJT 使用 $r_\pi$ 與受控電流源 $g_mv_\pi$，且 $r_o=\infty$。

文字表示如下：

vi ─ Rs ─ CC ── base
                 │
                RB
                 │
                GND

collector ─ RC ─ GND
collector ─ RL ─ GND
collector ─ controlled current source gm·vπ ─ emitter
emitter ─ GND

中頻等效電路

在中頻時：

• $C_C$ 視為短路。
• $C_L$ 視為開路。
• $V_{CC}$ 為交流接地。

vi ─ Rs ── base
            │
           RB
            │
           GND

collector ─ RC ─ GND
collector ─ RL ─ GND
collector ─ gm·vπ ─ emitter
emitter ─ GND

其中 $r_\pi$ 接在 base 與 emitter 之間。

高頻等效電路

在高頻時：

• $C_C$ 視為短路。
• $C_L$ 必須保留，接在輸出端與地之間。
• 題目忽略 BJT 內部電容，因此高頻效應只由 $C_L$ 決定。

vi ─ Rs ── base
            │
           RB
            │
           rπ
            │
           GND

collector ─ RC ─ GND
collector ─ RL ─ GND
collector ─ CL ─ GND
collector ─ gm·vπ ─ emitter
emitter ─ GND

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(b) 中頻增益與截止頻率

1. 直流工作點

基極電流為

$$I_B=\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R_B} =\frac{12-0.7}{1\text{ M}\Omega} =11.3\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_C=\beta I_B =100(11.3\ \mu\text{A}) =1.13\text{ mA}$$

取 $V_T=25\text{ mV}$，跨導為

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1.13\text{ mA}}{25\text{ mV}} =45.2\text{ mS}$$ $$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{45.2\text{ mS}} \approx 2.21\text{ k}\Omega$$

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2. 中頻增益

集極端的等效負載為

$$R_C\parallel R_L =5.1\text{ k}\Omega\parallel 500\text{ k}\Omega \approx 5.05\text{ k}\Omega$$

由於 $r_o=\infty$，電晶體本身的電壓增益為

$$A_v'=-g_m(R_C\parallel R_L)$$ $$A_v'=-45.2\text{ mS}\times 5.05\text{ k}\Omega \approx -228.3$$

輸入端等效電阻為

$$R_{in}=R_B\parallel r_\pi =1\text{ M}\Omega\parallel 2.21\text{ k}\Omega \approx 2.21\text{ k}\Omega$$

題目未指定阻帶衰減量，採一階主動帶通濾波器，並將 $60\,\text{Hz}$ 與 $1.5\,\text{kHz}$ 設為低、高截止頻率（各為 $-3\,\text{dB}$）。

採反相運算放大器：

Vin ── C1 ── R1 ──●────(−) OP Amp ─── Vout
                  │          (+)
                  └─ R2 ∥ C2 ─┘│
                               GND

其轉移函數為

$$H(s)=- \frac{R_2}{R_1} \frac{sR_1C_1} {(1+sR_1C_1)(1+sR_2C_2)}$$

通帶增益要求為

$$20\log_{10}|A_v|=20\,\text{dB} \Rightarrow |A_v|=10 \Rightarrow \frac{R_2}{R_1}=10$$

選定

$$R_1=10\,\text{k}\Omega,\qquad R_2=100\,\text{k}\Omega$$