109 年 國立成功大學醫學資訊研究所《應用電子學》

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第 1 題

For an input signal, vi(t)=a(t)+b(t)v_i(t) = a(t) + b(t); a(t)=0.5sin⁡(62832⋅t)a(t) = 0.5 \sin(62832 \cdot t); b(t)=0.8sin⁡(157080⋅t)b(t) = 0.8 \sin(157080 \cdot t) where the units of viv_i and tt are respectively V and second.
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(a) What are the frequencies of a(t)a(t) and b(t)b(t)? (4%)
(b) Assuming an ideal OP-Amp was used in the circuit Figure 1 for filtering the input signal vi(t)v_i(t), derive the transfer function of the circuit. (8%)
(c) If the circuit is a Butterworth filter derive the relation between C3C_3 and C4C_4? (6%)
(d) If we want to apply the circuit such that the bandwidth is 20 kHz and let R=100kΩR = 100k\Omega, what are values of capacitors? (6%) Plot the Bode transfer function magnitude. (4%)

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核心觀念

本題考查：

  • 正弦波角頻率與頻率的換算：f=ω/(2π)f=\omega/(2\pi)。
  • 二階 Sallen–Key 主動低通濾波器。
  • 標準二階 Butterworth 濾波器條件：Q=1/2Q=1/\sqrt{2}。
  • 截止角頻率與電容值的設計：
ω0=1RC3C4\omega_0=\frac{1}{R\sqrt{C_3C_4}}

題目附圖的 Figure 1 未出現在提供的掃描頁面中。以下依照常見的「R1=R2=RR_1=R_2=R、非反相增益 K=2K=2 的 Sallen–Key 二階低通濾波器」作答；電容標示採用 C3C_3 為前級電容、C4C_4 為回授側電容。

(a) 求 a(t)a(t) 與 b(t)b(t) 的頻率

正弦波形式為

x(t)=Asin⁡(ωt)x(t)=A\sin(\omega t)

其中 ω\omega 是角頻率，頻率為

f=ω2πf=\frac{\omega}{2\pi}

對於 a(t)a(t)：

ωa=62832 rad/s\omega_a=62832\ \text{rad/s} fa=628322π=10000 Hzf_a=\frac{62832}{2\pi}=10000\ \text{Hz}

因此

fa=10 kHz\boxed{f_a=10\ \text{kHz}}

對於 b(t)b(t)：

ωb=157080 rad/s\omega_b=157080\ \text{rad/s} fb=1570802π=25000 Hzf_b=\frac{157080}{2\pi}=25000\ \text{Hz}

因此

fb=25 kHz\boxed{f_b=25\ \text{kHz}}

輸入訊號為

vi(t)=0.5sin⁡(2π⋅10 000t)+0.8sin⁡(2π⋅25 000t)v_i(t)=0.5\sin(2\pi\cdot10\,000t) +0.8\sin(2\pi\cdot25\,000t)

(b) 推導電路轉移函數

標準二階 Sallen–Key 低通濾波器的轉移函數為

H(s)=Vo(s)Vi(s)=KR1R2C3C4s2+[R1C3+R2C3+(1−K)R2C4]s+1H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{K} {R_1R_2C_3C_4s^2+ \left[R_1C_3+R_2C_3+(1-K)R_2C_4\right]s+1}

題設採用

R1=R2=RR_1=R_2=R

且非反相放大器增益為

K=2K=2

因此分母的一次項係數為

RC3+RC3+(1−2)RC4=R(2C3−C4)RC_3+RC_3+(1-2)RC_4 = R(2C_3-C_4)

所以轉移函數為

H(s)=2R2C3C4s2+R(2C3−C4)s+1\boxed{ H(s)= \frac{2} {R^2C_3C_4s^2+R(2C_3-C_4)s+1} }

將分母整理成標準二階形式：

H(s)=Kω02s2+ω0Qs+ω02H(s)= \frac{K\omega_0^2} {s^2+\dfrac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}

比較係數可得

ω0=1RC3C4\omega_0=\frac{1}{R\sqrt{C_3C_4}}

以及

ω0Q=2C3−C4RC3C4\frac{\omega_0}{Q} = \frac{2C_3-C_4}{R C_3C_4}

因此

Q=C3C42C3−C4Q= \frac{\sqrt{C_3C_4}}{2C_3-C_4}

(c) Butterworth 濾波器的 C3C_3、C4C_4 關係

二階 Butterworth 濾波器必須滿足

Q=12Q=\frac{1}{\sqrt{2}}

代入

Q=C3C42C3−C4Q= \frac{\sqrt{C_3C_4}}{2C_3-C_4}

得到

C3C42C3−C4=12\frac{\sqrt{C_3C_4}}{2C_3-C_4} = \frac{1}{\sqrt{2}}

兩邊平方：

2C3C4=(2C3−C4)22C_3C_4=(2C_3-C_4)^2

令

x=C4C3x=\frac{C_4}{C_3}

則

2x=(2−x)22x=(2-x)^2

整理：

x2−6x+4=0x^2-6x+4=0

取符合正值且使分母係數為正的解：

x=3−5x=3-\sqrt{5}

所以

C4C3=3−5≈0.764\boxed{ \frac{C_4}{C_3}=3-\sqrt{5}\approx0.764 }

亦可寫成

C4≈0.764C3\boxed{ C_4\approx0.764C_3 }

(d) 頻寬為 20 kHz20\ \text{kHz} 時的電容值

二階低通濾波器的頻寬取為自然頻率：

f0=20 kHzf_0=20\ \text{kHz}

因此

ω0=2πf0=2π(20 000)=125 664 rad/s\omega_0=2\pi f_0 =2\pi(20\,000) =125\,664\ \text{rad/s}

已知

R=100 kΩR=100\ \text{k}\Omega

由

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The parameters of the transistor in the circuit in Figure 2 are β=100\beta=100, VBE(on)=0.7 VV_{BE(on)}=0.7\,\mathrm{V}, VA=∞V_A=\infty, Cπ=10 pFC_\pi=10\,\mathrm{pF}, and Cμ=1 pFC_\mu=1\,\mathrm{pF}.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

第 2 題

(a) Plot the equivalent circuits for the DC, low-frequency (without considering transistor capacitances), and high-frequency range (considering transistor capacitances). (12%)

(b) Determine input and output impedance for the input signal at low-frequency range. (6%)

(c) Determine upper 3 dB frequencies corresponding to the input signal at high-frequency range. (8%)

(d) If a load capacitor CL=15 pFC_L=15\,\mathrm{pF} is connected between the output and ground, determine if the upper 3 dB frequency will be determined by the CLC_L load capacitor or by the transistor characteristics. (6%)

Plot the Bode transfer function magnitude. (4%)

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核心觀念

本題考查 BJT 放大器的直流偏壓、小訊號等效電路、低頻輸入／輸出阻抗，以及由晶體管內部電容造成的高頻截止頻率。高頻小訊號模型會用到

gm=ICVT,rπ=βgm,ro=∞g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m},\qquad r_o=\infty

其中 ICI_C 必須由直流偏壓電路求出。題目給了 β=100\beta=100、VBE(on)=0.7 VV_{BE(on)}=0.7\,\mathrm V、VA=∞V_A=\infty、Cπ=10 pFC_\pi=10\,\mathrm{pF}、Cμ=1 pFC_\mu=1\,\mathrm{pF}，但這些資料本身不足以求出 ICI_C 或放大器的阻抗與截止頻率。

解題方法

附上的原卷頁圖只有第 2 題的文字與晶體管參數，沒有出現題目所指的「Figure 2」。因此無法讀出電路的元件種類、數值、連接方式、電源與輸入／輸出端位置。這些資訊會決定直流工作點、低頻阻抗、CπC_\pi 與 CμC_\mu 所在的節點，以及各高頻極點。

依題意可確定的等效模型規則如下：

  • **直流等效電路：**晶體管電容 CπC_\pi、CμC_\mu 視為開路；外部耦合或旁路電容的直流狀態也視為開路，再依電路求偏壓與 ICI_C。
  • **低頻小訊號等效電路：**以小訊號 hybrid-π\pi 模型取代 BJT，使用 gmg_m、rπr_\pi；題目指定不考慮晶體管電容。若原電路含耦合或旁路電容，其是否視為短路須依題目頻段與電路連接判定。
  • **高頻小訊號等效電路：**加入 CπC_\pi（基極至射極）與 CμC_\mu（基極至集極），並依電路求其對輸入、輸出端的等效影響。

高頻上截止頻率須從完整的小訊號電路求得。若採開路時間常數法，需依序將獨立源歸零，對每個晶體管電容求其端點所見電阻，再估算

ωH≈1∑iRiCi,fH≈12π∑iRiCi.\omega_H \approx \frac{1}{\sum_i R_i C_i}, \qquad f_H \approx \frac{1}{2\pi\sum_i R_i C_i}.

若使用 Miller 定理，CμC_\mu 兩端的增益也必須由電路求出；沒有 Figure 2，無法完成這些計算。

各小題可確定的範圍

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