109 年 國立成功大學口腔醫學研究所丙組《普通化學》

這題主要考驗同學對化學反應中能量變化的基本概念，特別是放熱反應（exothermic reaction）與吸熱反應（endothermic reaction）的定義，以及它們在實際生活或化學過程中的應用實例。

解題過程

1. 定義放熱反應 (Exothermic Reaction)

放熱反應是指在反應過程中，系統（反應物）會將能量以熱的形式釋放到周遭環境的化學反應。換句話說，反應物的總能量高於生成物的總能量，多餘的能量便以熱能的形式釋出。

• 能量變化： 系統的焓變（$\Delta H$）為負值，表示系統放出能量。
  $\Delta H < 0$
• 例子：
  • 燃燒反應： 絕大多數的燃燒反應都是放熱反應，例如甲烷（瓦斯）的燃燒：
    $\text{CH}_4(g) + 2\text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}_2(g) + 2\text{H}_2\text{O}(l) + \text{熱}$
    這個反應會釋放出大量的熱能，這也是我們利用瓦斯取暖或烹飪的原因。
  • 中和反應： 強酸與強鹼的中和反應通常也是放熱反應，例如鹽酸與氫氧化鈉的反應：
    $\text{HCl}(aq) + \text{NaOH}(aq) \rightarrow \text{NaCl}(aq) + \text{H}_2\text{O}(l) + \text{熱}$

2. 定義吸熱反應 (Endothermic Reaction)

吸熱反應是指在反應過程中，系統需要從周遭環境吸收能量（通常是熱能）才能進行的化學反應。換句話說，生成物的總能量高於反應物的總能量，反應需要持續從環境吸收熱量來維持。

這題主要在考察熱力學第一定律與第二定律的定義、意義及其重要性。這兩條定律是化學熱力學的基石，分別描述了能量守恆與系統熵的變化趨勢。

(a) 熱力學第一定律 (First Law of Thermodynamics)

熱力學第一定律，又稱能量守恆定律，指出在一個孤立系統中，能量既不會被創造也不會被消滅，只會從一種形式轉換成另一種形式。對於一個非孤立系統，系統的內能變化量等於系統吸收的熱量減去系統對外所做的功。

數學上，系統的內能變化量 ($\Delta U$) 可以表示為：
$\Delta U = q + w$
其中：

• $\Delta U$ 是系統內能的變化。內能 ($U$) 是系統所有能量的總和，包括動能、位能以及分子間的交互作用能等。
• $q$ 是系統與外界交換的熱量。若系統吸收熱量，則 $q$ 為正；若系統放出熱量，則 $q$ 為負。
• $w$ 是系統對外界所做的功，或是外界對系統所做的功。在化學中，常見的功是體積變化功（壓力-體積功），即 $w = -P\Delta V$（當系統膨脹時，系統對外做功，故 $w$ 為負；當系統被壓縮時，外界對系統做功，故 $w$ 為正）。因此，熱力學第一定律也可寫成：
  $\Delta U = q - P\Delta V$
  （注意：此處 $w$ 的符號約定為「系統對外做的功」，若採用「外界對系統做的功」則為 $\Delta U = q + w$。）

解釋： 熱力學第一定律強調能量的總量在任何過程中都是守恆的。它告訴我們，能量可以從一種形式（如化學能）轉換成另一種形式（如熱能或功），但總能量保持不變。這一定律是理解化學反應中能量變化的基礎。

【答案】

這題主要考查氣體定律中的波以耳定律（Boyle's law）以及量子力學中的包立不相容原理（Pauli exclusion principle）。這兩者分別屬於古典物理學和量子物理學的重要概念，但都與物質的性質和行為息息相關。

(a) 波以耳定律 (Boyle's Law)

波以耳定律是描述理想氣體在定溫下，其壓力與體積之間關係的定律。它指出，在溫度保持恆定的情況下，一定量氣體的壓力與其體積成反比。

解釋與推導：

想像一個密閉容器中的氣體，其溫度保持不變。當我們壓縮這個容器時（即減小體積），氣體分子與容器壁碰撞的頻率會增加，導致壓力升高。反之，當我們擴張容器時（即增大體積），分子碰撞的頻率降低，壓力就會下降。

數學上，波以耳定律可以表示為：

$P \propto \frac{1}{V}$

其中 $P$ 代表氣體的壓力，$V$ 代表氣體的體積。

更精確地說，對於一定量的氣體，在恆定溫度下，其壓力與體積的乘積是一個常數：

$PV = k$

其中 $k$ 是一個常數。

如果我們考慮氣體從初始狀態（壓力 $P_1$，體積 $V_1$）變化到另一個狀態（壓力 $P_2$，體積 $V_2$），且溫度保持恆定，則有：

$P_1V_1 = P_2V_2$

這個關係式是波以耳定律的核心。它說明了在恆溫下，只要氣體的質量不變，無論壓力如何變化，壓力與體積的乘積始終保持不變。

【答案】

(b) 包立不相容原理 (Pauli Exclusion Principle)

好的，這題是關於光電效應的敘述與應用，主要考驗學生對量子力學早期重要實驗的理解。

第 4 題：光電效應及其應用

核心觀念：
光電效應是光照射在金屬表面時，會激發出電子的現象。此現象的解釋是量子力學發展的重要里程碑，它證明了光具有粒子性，即光是由一份份能量的「光子」所組成。

解題過程：

1. 光電效應的描述與解釋：

• 現象描述： 當特定頻率以上的光照射到金屬表面時，金屬表面會釋放出電子，這些電子稱為光電子。即使光強度很強，但如果其頻率低於某個特定值（稱為「閾值頻率」），也不會產生光電子。反之，即使光強度很弱，只要頻率高於閾值頻率，就能立即激發出光電子。

• 愛因斯坦的解釋（量子理論）：
  愛因斯坦在 1905 年利用普朗克的量子假說解釋了光電效應。他提出：

  • 光是由一份份不連續的能量粒子組成，稱為「光子」。
  • 每個光子的能量 $E$ 與光的頻率 $\nu$ 成正比，其關係式為：
    $E = h\nu$
    其中 $h$ 是普朗克常數 ($h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$)。
  • 當一個光子照射到金屬表面時，其全部能量會傳遞給一個電子。
  • 電子要從金屬中逸出，需要克服金屬對其的束縛力，這所需的最小能量稱為「功函數」($\phi$)。功函數是金屬本身的特性，與光的頻率無關。
  • 如果光子的能量 $h\nu$ 大於或等於功函數 $\phi$，電子就能被激發出來。
  • 激發出來的光電子的最大動能 $K_{\text{max}}$ 為：
    $K_{\text{max}} = h\nu - \phi$
    這個公式說明了光電效應的幾個關鍵特徵：
    • 閾值頻率 ($\nu_0$)： 當 $h\nu = \phi$ 時，電子恰好能逸出，此時的頻率稱為閾值頻率。因此，$\phi = h\nu_0$。只有當 $\nu > \nu_0$ 時，才會產生光電效應。
    • 動能與頻率的關係： 光電子的最大動能與光的頻率成線性關係，與光強度無關。
    • 瞬時性： 只要光的頻率高於閾值頻率，光子就能立即將能量傳遞給電子，電子幾乎是瞬間被激發出來，與光強度無關。
    • 光強度： 光強度增加意味著單位時間內到達金屬表面的光子數增加，因此產生的光電子數目會增加，但每個光電子的最大動能不變。

2. 光電效應的應用：

光電效應的應用非常廣泛，以下列舉幾個重要例子：

這題主要考驗學生對化學平衡影響因素的理解，特別是壓力與溫度如何影響化學反應平衡點的移動。這涉及到勒沙特列原理（Le Chatelier's Principle）的應用。

解題過程

化學平衡是指在一個可逆反應中，正反應速率與逆反應速率相等，反應物與產物的濃度不再隨時間改變的狀態。然而，當反應系統的條件（如溫度、壓力、濃度）改變時，平衡會向某個方向移動，以減緩這種改變。

溫度對化學平衡的影響：

溫度對化學平衡的影響取決於反應是吸熱反應還是放熱反應。

• 吸熱反應 (Endothermic Reaction)： 在吸熱反應中，反應物吸收熱量轉變為產物。我們可以將熱量視為反應物的一種。
  $\text{Reactants} + \text{Heat} \rightleftharpoons \text{Products}$
  根據勒沙特列原理，升高溫度（增加熱量）會使平衡向吸收熱量的方向移動，也就是向產物方向移動，使平衡向右移動。反之，降低溫度（減少熱量）會使平衡向放熱的方向移動，也就是向反應物方向移動，使平衡向左移動。

• 放熱反應 (Exothermic Reaction)： 在放熱反應中，反應物放出熱量轉變為產物。我們可以將熱量視為產物的一種。
  $\text{Reactants} \rightleftharpoons \text{Products} + \text{Heat}$
  根據勒沙特列原理，升高溫度（增加熱量）會使平衡向吸收熱量的方向移動，也就是向反應物方向移動，使平衡向左移動。反之，降低溫度（減少熱量）會使平衡向放熱的方向移動，也就是向產物方向移動，使平衡向右移動。

總結來說，升高溫度有利於吸熱反應，降低溫度有利於放熱反應。

壓力對化學平衡的影響：

壓力對化學平衡的影響主要體現在氣體反應中，且只有當反應前後氣體分子總數發生改變時，壓力變化才會影響平衡。

• 反應前後氣體分子總數改變：
  如果反應物氣體的總分子數大於產物氣體的總分子數，例如：

好的，這題考的是 Millikan 實驗，核心概念在於利用電力和重力平衡，來測量單一電子所帶的電量。

題目 6：解釋 Millikan 的油滴實驗。

核心觀念：
Millikan 的油滴實驗是物理學史上一個極其重要的實驗，它透過精巧的設計，首次精確地測量出電子的基本電量。實驗的關鍵在於讓帶電的油滴在重力與電場力的作用下達到平衡，進而推算出單一電子的電量。

解題過程：

1. 實驗裝置與原理：
   Millikan 的實驗裝置主要包含兩個平行金屬板，上方金屬板帶有正電，下方金屬板帶有負電，兩板間形成一個均勻的電場。在兩板之間的空間上方，有一個噴霧器用來噴灑細小的油滴。這些油滴在噴灑過程中會因為摩擦而帶上電荷。同時，實驗透過一個顯微鏡來觀察這些油滴的運動。

   • 為什麼要這樣設計？ 這樣可以提供一個可控的電場，來對帶電的油滴施加電力。重力則是油滴本身就受到的力。透過同時考慮這兩種力，可以實現對油滴的精確控制與測量。

2. 油滴的運動與力的分析：
   當油滴進入兩板之間的空間後，會受到以下幾種力：

   • 重力 ($F_g$)： 向下，大小為 $F_g = mg$，其中 $m$ 是油滴的質量，$g$ 是重力加速度。
   • 浮力 ($F_b$)： 向上，這是由於油滴浸在空氣中而受到的向上推力，大小等於排開空氣的重量。
   • 電力 ($F_e$)： 向上（若油滴帶負電且電場方向如上所述）或向下（若油滴帶正電），大小為 $F_e = qE$，其中 $q$ 是油滴所帶的總電量，$E$ 是兩板間的電場強度，且 $E = V/d$，其中 $V$ 是兩板間的電壓，$d$ 是兩板間的距離。
   • 空氣阻力 ($F_d$)： 油滴在運動時受到空氣的阻力，方向與運動方向相反。

3. 測定油滴質量 ($m$)：
   首先，Millikan 會關閉電場，讓油滴在重力與空氣阻力的作用下自由落下。此時，油滴最終會達到一個終端速度 ($v_t$)，此時重力與空氣阻力平衡：$F_g = F_d$。根據史托克定律 (Stokes' Law)，在低雷諾數下，空氣阻力與速度成正比：$F_d = 6\pi \eta r v_t$，其中 $\eta$ 是空氣的黏滯係數，$r$ 是油滴的半徑。
   因此，$mg = 6\pi \eta r v_t$。
   由於油滴是球形的，其質量 $m = \rho \frac{4}{3}\pi r^3$，其中 $\rho$ 是油的密度。
   將質量代入，我們得到：$\rho \frac{4}{3}\pi r^3 g = 6\pi \eta r v_t$。

這題主要考驗你對「燃料電池」基本概念的理解，以及如何舉例說明其運作原理。燃料電池是一種將化學能直接轉換為電能的電化學裝置，其核心在於利用燃料與氧化劑的氧化還原反應來產生電流。

題目：

7. What is a fuel cell? Describe an example. (10%)

詳解：

燃料電池 (Fuel Cell) 是一種電化學裝置，它透過燃料（例如氫氣）和氧化劑（例如氧氣）之間的氧化還原反應，將化學能直接、連續地轉換為電能，而不會經過燃燒這個熱力學過程。與傳統電池不同的是，燃料電池的反應物（燃料和氧化劑）是持續供應的，因此只要有反應物供應，燃料電池就能持續運作，不會像一般電池有壽命限制。

運作原理：
燃料電池通常包含兩個電極（陽極和陰極）和一個電解質。

1. 陽極 (Anode)： 燃料在此處被氧化。
2. 陰極 (Cathode)： 氧化劑在此處被還原。
3. 電解質 (Electrolyte)： 負責傳導離子，連接陽極和陰極的反應。

當燃料在陽極發生氧化反應釋放出電子和離子時，電子會通過外部電路流向陰極，形成電流；而離子則通過電解質移動到陰極。在陰極，氧化劑與從陽極來的電子和離子結合發生還原反應。整個過程是電化學式的氧化還原反應，能量轉化效率較高，且通常比燃燒更為潔淨。

舉例：氫氧燃料電池 (Hydrogen-Oxygen Fuel Cell)

氫氧燃料電池是最常見且研究最廣泛的燃料電池類型之一，其反應物為氫氣 (H₂) 和氧氣 (O₂)。

這題考的是工業化學中極為重要的一個反應——Haber process（哈伯法），主要在於了解其反應原理、平衡移動以及工業上的應用。

題目：Describe and explain the Haber process.

解題過程：

Haber process，又稱 Haber-Bosch process，是工業上合成氨（Ammonia, NH₃）的主要方法。氨是製造肥料、炸藥及其他化學品的重要原料。此過程的關鍵在於利用氮氣（N₂）和氫氣（H₂）在高溫、高壓及催化劑的存在下進行反應，生成氨。

反應方程式如下：
$\text{N}_2\text{(g)} + 3\text{H}_2\text{(g)} \rightleftharpoons 2\text{NH}_3\text{(g)} \quad \Delta H^\circ = -92.4 \text{ kJ/mol}$

這個反應是一個可逆反應，並且是放熱反應（$\Delta H^\circ < 0$）。為了最大化氨的產率，需要考慮勒沙特列原理（Le Chatelier's principle）。

1. 溫度 (Temperature):

   • 原理： 由於此反應是放熱反應，根據勒沙特列原理，降低溫度會使平衡向生成氨的方向移動，提高氨的產率。
   • 實際考量： 然而，過低的溫度會顯著降低反應速率，使得反應進行得非常緩慢，不具備工業效益。因此，Haber process 通常在較高的溫度下進行（約 400-500 °C），以在可接受的反應速率和合理的產率之間取得平衡。

2. 壓力 (Pressure):

   • 原理： 在反應物側有 1 莫耳的 N₂ 和 3 莫耳的 H₂，總共 4 莫耳的氣體；

好的，這題是關於原子電子結構與核磁共振 (NMR) 的關係，核心觀念在於 NMR 的原理是利用原子核在磁場中的能階分裂與吸收電磁波來獲得結構資訊，而這個能階分裂的特性與原子核的自旋量子數、外加磁場強度，以及原子核周圍的電子環境密切相關。

第 9 題：Describe the relation between atomic electron structure and Nuclear Magnetic Resonance (NMR).

解題思路：

核磁共振 (NMR) 是一種強大的分析技術，用於確定分子結構。其原理是基於原子核的磁性行為。並非所有原子核都具有磁性，只有那些具有核自旋 (nuclear spin) 的原子核才能在 NMR 中被偵測。核自旋是原子核內質子和中子的角動量所產生的內在性質，可以用自旋量子數 $I$ 來描述。當 $I \neq 0$ 時，原子核就具有磁性，可以視為一個微小的磁偶極。

當一個具有磁性的原子核（例如 $^{1}$H, $^{13}$C, $^{15}$N, $^{19}$F, $^{31}$P 等）置於一個強大的外加磁場 ($B_0$) 中時，其磁偶極會與外加磁場相互作用，導致其自旋能階發生分裂。分裂後的能階數量為 $2I+1$ 個，這些能階的能量差與外加磁場強度成正比。

NMR 的核心是利用射頻 (RF) 電磁波來激發這些能階之間的躍遷。當射頻的能量（頻率）恰好等於能階之間的能量差時，原子核就會吸收能量並發生躍遷。這個吸收的過程會被偵測到，形成 NMR 光譜。

關鍵在於原子電子結構如何影響 NMR 信號：

雖然 NMR 的基本原理是基於原子核的性質，但原子核周圍的電子結構對 NMR 信號有著至關重要的影響。這是因為原子核被周圍的電子雲所包圍。當原子核置於外加磁場 ($B_0$) 中時，外加磁場會誘導原子核周圍的電子產生感應磁場。這個感應磁場的方向通常與外加磁場相反，因此會屏蔽 (shielding) 原子核，使其感受到的實際磁場強度 ($B_{eff}$) 小於外加磁場強度 $B_0$。

$B_{eff} = B_0 (1 - \sigma)$

其中 $\sigma$ 是屏蔽常數 (shielding constant)。$\sigma$ 的大小直接取決於原子核周圍的電子密度。電子密度越高，屏蔽效應越強，$\sigma$ 越大，原子核感受到的有效磁場 $B_{eff}$ 就越小。

這種屏蔽效應的差異是 NMR 能夠區分不同化學環境中相同種類原子核的關鍵。在一個分子中，即使是相同種類的原子（例如兩個氫原子），如果它們處於不同的化學環境中，其周圍的電子密度也會不同，從而導致不同的屏蔽程度。

好的，這是一題關於原子電子組態的題目，考驗你對「電子構築原理」（Building-up principle，又稱 aufbau principle）的理解，以及如何依據原子序來填寫電子的軌域。題目要求寫出鍺（Strontium, Sr）原子的基態電子組態，但題目中卻給了鋅（Zn）的原子序（30）。根據題目敘述，應是要求寫出鋅（Zn）的電子組態，因為其原子序為 30。鍺（Strontium, Sr）的原子序是 38，若題目確實是要問 Sr，則原子序 30 的 Zn 就不符。我將以題目中明確給出的原子序 30 的元素「鋅 (Zn)」來進行詳解。

解題過程

核心觀念：
此題主要考驗對原子電子組態的理解，特別是「電子構築原理」（Building-up principle）、「洪德規則」（Hund's rule）和「包立不相容原理」（Pauli exclusion principle）。電子構築原理是指電子會由低能量軌域開始依序填入，直到所有電子都填滿為止。洪德規則指出，在同一子層中，電子會盡可能分開填入不同的軌域，且自旋方向相同。包立不相容原理則說明，一個原子軌域最多只能容納兩個電子，且這兩個電子的自旋方向必須相反。

步驟一：確定原子序與電子總數
題目明確指出鋅（Zn）的原子序為 30。原子序代表原子核中的質子數，在中性原子中，質子數等於電子數。因此，鋅原子有 30 個電子需要填寫。

步驟二：依據電子構築原理填寫軌域
電子會從能量最低的軌域開始填入。軌域的能量順序大致為：$1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s < 3d < 4p < ...$
我們將依序填入 30 個電子：

1. $1s$ 軌域： 能量最低，最多可容納 2 個電子。

   • 填入 2 個電子。
   • 目前已填入電子數：2。
   • 剩餘電子數：$30 - 2 = 28$。
   • 電子組態：$1s^2$

2. $2s$ 軌域： 能量次低，最多可容納 2 個電子。

   • 填入 2 個電子。
   • 目前已填入電子數：$2 + 2 = 4$。
   • 剩餘電子數：$28 - 2 = 26$。
   • 電子組態：$1s^2 2s^2$

3. $2p$ 軌域： 能量較高，有 3 個子軌域（$2p_x, 2p_y, 2p_z$），每個子軌域最多容納 2 個電子，總共最多可容納 6 個電子。

   • 填入 6 個電子。
   • 目前已填入電子數：$4 + 6 = 10$。
   • 剩餘電子數：$26 - 6 = 20$。
   • 電子組態：$1s^2 2s^2 2p^6$

4. $3s$ 軌域： 最多可容納 2 個電子。

   • 填入 2 個電子。
   • 目前已填入電子數：$10 + 2 = 12$。
   • 剩餘電子數：$20 - 2 = 18$。
   • 電子組態：$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2$

5. $3p$ 軌域： 最多可容納 6 個電子。

   • 填入 6 個電子。
   • 目前已填入電子數：$12 + 6 = 18$。
   • 剩餘電子數：$18 - 6 = 12$。
   • 電子組態：$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$

6. $4s$ 軌域： 雖然 $n=4$ 的殼層能量比 $n=3$ 的 $d$ 軌域高，但根據電子構築原理，$4s$ 軌域的能量比 $3d$ 軌域低，因此會先填入 $4s$。最多可容納 2 個電子。

   • 填入 2 個電子。
   • 目前已填入電子數：$18 + 2 = 20$。
   • 剩餘電子數：$12 - 2 = 10$。
   • 電子組態：$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$

7. $3d$ 軌域： 接下來填入能量較高的 $3d$ 軌域。$d$ 軌域有 5 個子軌域，每個子軌域最多容納 2 個電子，總共最多可容納 10 個電子。

   • 我們還剩下 10 個電子需要填入。
   • 填入 10 個電子。