109 年 國立成功大學口腔醫學研究所丙組《普通物理學》

此題考驗對一維週期波數學描述的理解。
一維週期波的數學描述通常可以寫成 $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ 或 $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi)$ 的形式，其中 $y$ 是質點的位移， $x$ 是位置， $t$ 是時間，$A$ 是振幅，$k$ 是波數， $\omega$ 是角頻率， $\phi$ 是初相位。

題目已給定：
頻率 $f = 3$ Hz
振幅 $A = 2$ m
波速 $v = 6$ m/s

我們可以從這些資訊計算出波數 $k$ 和角頻率 $\omega$。

角頻率 $\omega$ 與頻率 $f$ 的關係為：
$\omega = 2\pi f$
$\omega = 2\pi (3 \text{ Hz}) = 6\pi \text{ rad/s}$

波數 $k$ 與波速 $v$ 和角頻率 $\omega$ 的關係為：
$v = \frac{\omega}{k}$ 或 $v = f\lambda$
其中 $\lambda$ 是波長。
我們先計算波長 $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{6 \text{ m/s}}{3 \text{ Hz}} = 2$ m。

此題要求推導白努利方程 (Bernoulli's equation)。白努利方程是描述理想流體在穩定流動時，壓力、速度與高度之間關係的方程。

基本假設：

1. 理想流體： 流體是不可壓縮的 (density $\rho$ 為常數) 且無黏性 (viscosity 為零)。
2. 穩定流動： 流體質點的速度在空間任意點不隨時間改變。
3. 無外力作用： 除了重力與壓力外，沒有其他作用力。
4. 沿著流線 (streamline)： 方程適用於同一條流線上。

推導過程：
考慮流體沿著一條流線從位置 1 流向位置 2。我們利用功-能定理來推導。
取一小段體積的流體，從流線上的位置 1 移動到位置 2。

1. 重力做的功 ($W_g$)：
   假設流線的高度變化，從高度 $y_1$ 到 $y_2$。
   考慮一個體積為 $\Delta V$ 的流體，其質量為 $\Delta m = \rho \Delta V$。
   當此流體從位置 1 移動到位置 2 時，其質心高度變化了 $\Delta y = y_2 - y_1$。
   重力對此流體做的功為：
   $W_g = -\Delta m g \Delta y = -\rho (\Delta V) g (y_2 - y_1)$
   （負號表示重力勢能的增加）。

2. 壓力差做的功 ($W_p$)：
   在位置 1，假設流體壓力為 $P_1$，作用在面積 $A_1$ 上。流體推動前面的體積 $\Delta V$ 移動。
   在位置 2，假設流體壓力為 $P_2$，作用在面積 $A_2$ 上。前面的流體對此體積 $\Delta V$ 施加壓力。
   從位置 1 推動流體移動的距離為 $\Delta x_1 = \Delta V / A_1$。此時壓力 $P_1$ 做的功為 $P_1 A_1 \Delta x_1 = P_1 \Delta V$。
   在位置 2，流體被推動，壓力 $P_2$ 做的功為 $-P_2 A_2 \Delta x_2 = -P_2 \Delta V$。（負號表示此力對我們考慮的體積做負功，或是被後面的流體推動）。
   壓力差做的總功為：
   $W_p = P_1 \Delta V - P_2 \Delta V = (P_1 - P_2) \Delta V$

3. 動能變化 ($\Delta K$)：
   考慮的流體體積為 $\Delta V$，質量為 $\Delta m = \rho \Delta V$。
   在位置 1 的速度為 $v_1$，動能為 $K_1 = \frac{1}{2} \Delta m v_1^2 = \frac{1}{2} (\rho \Delta V) v_1^2$。

此題考驗對卡諾引擎效率的計算。

卡諾引擎 (Carnot engine) 是理論上效率最高的熱機，其效率僅取決於高溫熱源 ($T_H$) 和低溫熱源 ($T_C$) 的溫度。

已知資訊：
高溫熱源溫度 $T_H = 600$ K
低溫熱源溫度 $T_C = 450$ K
從高溫熱源吸收的熱量 $Q_H = 1700$ J

卡諾效率的公式：
卡諾引擎的效率 $\eta$ 定義為：
$\eta = \frac{\text{輸出功 } W}{\text{輸入熱量 } Q_H}$

對於卡諾引擎，效率也可以表示為：
$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$

計算效率：
我們可以直接使用溫度來計算卡諾效率：
$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{450 \text{ K}}{600 \text{ K}}$
$\eta = 1 - \frac{45}{60} = 1 - \frac{3}{4} = 1 - 0.75$
$\eta = 0.25$

將效率轉換為百分比：
$\eta = 0.25 \times 100\% = 25\%$

此題要求描述卡諾循環 (Carnot cycle) 的壓力-體積 (pV) 圖。

卡諾循環是理論上效率最高的熱力學循環，由四個可逆過程組成：

1. 等溫膨脹 (Isothermal Expansion)： 系統從高溫熱源吸熱，溫度保持 $T_H$ 不變，體積增加，壓力降低。
2. 絕熱膨脹 (Adiabatic Expansion)： 系統與外界無熱交換，體積繼續增加，但溫度因膨脹而下降，壓力也降低。
3. 等溫壓縮 (Isothermal Compression)： 系統向低溫熱源放熱，溫度保持 $T_C$ 不變，體積減少，壓力升高。
4. 絕熱壓縮 (Adiabatic Compression)： 系統與外界無熱交換，體積繼續減少，但溫度因壓縮而升高，壓力也升高，最終回到初始狀態。

pV 圖的描述：

卡諾循環在 pV 圖上呈現為一個封閉的迴路，由四條曲線段組成。

• 過程 1 (等溫膨脹)：

  • 代表從狀態 A 到狀態 B。
  • 在 pV 圖上是一條向右下方傾斜的曲線，因為溫度 $T_H$ 是常數，根據理想氣體定律 $PV = nRT_H$，P 與 V 成反比 ($P \propto 1/V$)。
  • 此過程系統從高溫熱源吸熱 $Q_H$。

• 過程 2 (絕熱膨脹)：

  • 代表從狀態 B 到狀態 C。
  • 在 pV 圖上是一條比等溫線更陡峭的向右下方傾斜的曲線。

此題考驗對楊氏係數 (Young's modulus) 的理解與應用。楊氏係數是描述材料在受拉伸或壓縮時抵抗形變能力的物理量。

已知資訊：
材料：鋁 (Aluminum)
楊氏係數 $Y = 7.0 \times 10^{10}$ Pa
圓柱體的長度 $L = 0.5$ m
圓柱體的橫截面是正方形，邊長為 $0.1$ m。因此，橫截面積 $A = (\text{邊長})^2 = (0.1 \text{ m})^2 = 0.01 \text{ m}^2$。
圓柱體的伸長量 $\Delta L = 0.2$ mm。需要將其轉換為公尺：$\Delta L = 0.2 \times 10^{-3}$ m。

楊氏係數的定義：
楊氏係數 $Y$ 定義為應力 (stress) 與應變 (strain) 的比值：
$Y = \frac{\text{應力}}{\text{應變}}$

其中：
應力 (stress) 是單位面積上所受的力，$\sigma = \frac{F}{A}$，其中 $F$ 是作用力， $A$ 是橫截面積。
應變 (strain) 是長度相對變化的比例，$\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$，其中 $\Delta L$ 是長度變化量， $L$ 是原始長度。

將這些代入楊氏係數的定義式：
$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$

求解作用力 $F$：
我們需要找出作用在圓柱體兩端的力 $F$。重新整理上述公式以求解 $F$：
$F = Y \times A \times \frac{\Delta L}{L}$

代入數值進行計算：

此題考驗對黑體輻射定律 (Stefan-Boltzmann Law) 的理解。該定律描述了物體輻射的能量與其溫度的關係。

基本原理：
根據斯特藩-波茲曼定律，一個黑體在單位時間內輻射出的總能量（或稱輻射功率，即熱流率）與其絕對溫度的四次方成正比。
對於一個非理想黑體，輻射功率 $P$ 與溫度的關係通常寫為：
$P = \epsilon \sigma A T^4$
其中：
$P$ 是輻射功率 (熱流率)，單位是瓦特 (W)。
$\epsilon$ 是物體的發射率 (emissivity)，對於黑體 $\epsilon = 1$。對於非黑體， $0 < \epsilon < 1$。
$\sigma$ 是斯特藩-波茲曼常數 ($\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/(m}^2\text{K}^4)$)。
$A$ 是輻射表面的面積。
$T$ 是物體的絕對溫度 (單位：K)。

題目資訊：
假設該表面是一個「黑體」或其發射率 $\epsilon$ 和面積 $A$ 在溫度變化過程中保持不變。
初始溫度 $T_1 = 300$ K，此時的熱流率為 $H$。

核心觀念

熱力學第一定律為

其中 $Q$ 為系統吸收的熱量，$W$ 為系統對外作功。內能是狀態函數，因此從 $a$ 到 $d$ 的內能變化只由起點與終點決定，與實際走哪條路徑無關。

在 $p$–$V$ 圖上，氣體作功為曲線下的面積：

解題方法

先沿著已知熱量的路徑 $a \to b \to d$ 計算內能變化，再利用內能只由端點決定，得到路徑 $a \to c \to d$ 的答案。

**路徑 $a \to b$：**體積固定在 $V=2\ \mathrm{m^3}$，所以沒有作功：

已知吸收熱量 $Q_{ab}=30\ \mathrm{J}$，因此

此題考驗對電場疊加原理的理解，以及點電荷產生的電場公式。

基本原理：

1. 點電荷電場公式： 在真空中，一個點電荷 $q$ 在距離其 $r$ 處產生的電場強度 $E$ 為：
   $E = k \frac{|q|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$
   電場的方向：如果電荷為正，電場方向由電荷指向遠處；如果電荷為負，電場方向由遠處指向電荷。

2. 電場疊加原理： 在空間某一點的總電場是所有點電荷在此點產生的電場的向量和。

題目資訊：

• 點電荷 1：電荷量 $q_1 = +Q$，位置在原點 O 右側 $2d$ 處。
• 點電荷 2：電荷量 $q_2 = -2Q$，位置在原點 O 右側 $4d$ 處。
• 要求在原點 O ($r=0$) 的電場。
• 真空介電常數為 $\epsilon_0$。

解題步驟：

1. 確定各電荷在原點 O 產生的電場方向和大小。
   我們將原點 O 設為座標原點 (0, 0, 0)。
   由於所有電荷和原點都在同一條線上，我們可以將問題簡化為一維問題。假設電荷都位於 x 軸正向。

   • 點電荷 1 ($+Q$) 位於 $x = 2d$。

   • 點電荷 2 ($-2Q$) 位於 $x = 4d$。

   • 電場 $\vec{E}_1$ 由電荷 $+Q$ 在原點 O 產生：

     • 距離 $r_1 = 2d$。
     • 電荷 $q_1 = +Q$。
     • 電場大小 $E_1 = k \frac{|+Q|}{(2d)^2} = k \frac{Q}{4d^2}$。
     • 方向：由於 $+Q$ 是正電荷，它在原點 O 產生的電場方向是指向遠離 $+Q$ 的方向。因為 $+Q$ 在 $x=2d$ 處，原點 O 在其左側，所以電場 $\vec{E}_1$ 指向 x 軸的負方向（即指向左）。

   • 電場 $\vec{E}_2$ 由電荷 $-2Q$ 在原點 O 產生：

     • 距離 $r_2 = 4d$。
     • 電荷 $q_2 = -2Q$。
     • 電場大小 $E_2 = k \frac{|-2Q|}{(4d)^2} = k \frac{2Q}{16d^2} = k \frac{Q}{8d^2}$。
     • 方向：由於 $-2Q$ 是負電荷，它在原點 O 產生的電場方向是指向 $-2Q$ 的方向。因為 $-2Q$ 在 $x=4d$ 處，原點 O 在其左側，所以電場 $\vec{E}_2$ 也指向 x 軸的負方向（即指向左）。

2. 計算總電場。
   由於 $\vec{E}_1$ 和 $\vec{E}_2$ 都指向相同的方向（x 軸負方向），總電場是它們大小的算術和，方向為 x 軸負方向。
   $\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$
   $E_{total} = E_1 + E_2$ (在 x 軸負方向)

   $E_{total} = k \frac{Q}{4d^2} + k \frac{Q}{8d^2}$
   $E_{total} = k Q \left( \frac{1}{4d^2} + \frac{1}{8d^2} \right)$
   $E_{total} = k Q \left( \frac{2}{8d^2} + \frac{1}{8d^2} \right)$

此題考驗對高斯定律 (Gauss's Law) 的理解。高斯定律描述了封閉曲面上通過的電通量與曲面內包圍的淨電荷之間的關係。

基本原理：
高斯定律的數學表達式為：
$\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$
其中：
$\Phi_E$ 是通過封閉曲面 S 的總電通量。
$\vec{E}$ 是電場。
$d\vec{A}$ 是曲面的一個微小面積向量，方向垂直於曲面指向外。
$Q_{enc}$ 是封閉曲面 S 內包圍的淨電荷。
$\epsilon_0$ 是真空介電常數。

題目資訊：

1. 第一個球體：

   • 半徑 $R$。
   • 點電荷 $+q$ 位於球心。
   • 通過此球體的電通量為 $\Phi$。

2. 第二個球體：

   • 半徑 $4R$。
   • 點電荷 $+q$ 仍位於球心。

解題步驟：

根據高斯定律，通過一個封閉曲面的總電通量僅取決於曲面內包圍的淨電荷，而與曲面的形狀、大小或電荷的位置（只要在曲面內）無關。