115 年 國立成功大學環境醫學研究所乙組《普通化學》

本題主要在考驗考生對熱力學基本定律的理解與敘述能力。

熱力學第一定律（能量守恆定律）：
此定律指出，在一個孤立系統中，能量的總量保持恆定，不會增加也不會減少，只會從一種形式轉換為另一種形式。數學上，系統內能的變化 ($\Delta U$) 等於系統吸收的熱量 ($q$) 減去系統對外界所做的功 ($w$)，即 $\Delta U = q - w$。

熱力學第二定律（熵增定律）：
此定律指出，在任何自發的過程中，一個孤立系統的總熵（無序度）總是增加或保持不變，絕不會減少。對於非孤立系統，總體而言，宇宙的熵會增加。

本題考查有機化學中同分異構物的概念，要求畫出所有可能的結構。C4H8O 的分子式表示其為一個不飽和度為 1 的化合物，可能含有一個雙鍵或一個環。氧原子的存在意味著可能為醇、醚、醛或酮。

首先，我們列出所有可能的碳鏈骨架和官能基位置：

1. 直鏈丁烷骨架：

   • 醇類 (C-C-C-C-OH)：
     • 丁-1-醇 (Butan-1-ol)：$CH_3CH_2CH_2CH_2OH$
     • 丁-2-醇 (Butan-2-ol)：$CH_3CH(OH)CH_2CH_3$
   • 醚類 (C-C-O-C-C)：
     • 乙氧基乙烷 (Ethoxyethane) 或 二乙醚 (Diethyl ether)：$CH_3CH_2OCH_2CH_3$
   • 醛類 (C-C-C-CHO)：
     • 丁醛 (Butanal)：$CH_3CH_2CH_2CHO$
   • 酮類 (C-C(=O)-C-C)：
     • 丁酮 (Butanone) 或 甲基乙基酮 (Methyl ethyl ketone, MEK)：$CH_3COCH_2CH_3$

2. 支鏈丁烷骨架 (異丁烷骨架)：

   • 醇類 (C(C)-C-C-OH)：
     • 2-甲基丙-1-醇 (2-Methylpropan-1-ol)：$(CH_3)_2CHCH_2OH$
     • 2-甲基丙-2-醇 (2-Methylpropan-2-ol)：$(CH_3)_3COH$
   • 醚類 (C(C)-O-C-C)：
     • 甲氧基丙烷 (Methoxypropane)：$CH_3OCH(CH_3)_2$
   • 醛類 (C(C)-CHO)：
     • 2-甲基丙醛 (2-Methylpropanal)：$(CH_3)_2CHCHO$
   • 酮類：
     • 在異丁烷骨架上形成酮，由於只有三個碳原子在主鏈上，且有一個碳是分支，無法形成酮。例如，如果酮羰基在支鏈上，則會變成醛。

3. 環狀結構：

   • 環醚類 (環狀醚)：
     • 四氫呋喃 (Tetrahydrofuran, THF)：一個五元環，其中一個原子是氧。
     • 2-甲基四氫呋喃 (2-Methyltetrahydrofuran)：在四氫呋喃環上連一個甲基。
     • 3-甲基四氫呋喃 (3-Methyltetrahydrofuran)：在四氫呋喃環上連一個甲基。
     • 乙基環氧乙烷 (Ethyloxirane) 或 1,2-環氧丁烷 (1,2-Epoxybutane)：一個三元環（環氧乙烷）連一個乙基。
     • 2-乙基環氧乙烷 (2-Ethyloxirane)
     • 2,2-二甲基環氧乙烷 (2,2-Dimethyloxirane)
     • 2,3-二甲基環氧乙烷 (2,3-Dimethyloxirane)
   • 環狀醇類：
     • 環丁醇 (Cyclobutanol)：一個四元環上連一個羥基。
     • 甲基環丙醇 (Methylcyclopropanol)：一個三元環上連一個甲基和一個羥基。
     • 二甲基環丙醇 (Dimethylcyclopropanol)：一個三元環上連兩個甲基和一個羥基。
   • 不飽和醛/酮：
     • 丁烯醛 (Butenal)：
       • 丁-2-烯醛 (But-2-enal, crotonaldehyde)：$CH_3CH=CHCHO$
       • 丁-3-烯醛 (But-3-enal)：$CH_2=CHCH_2CHO$
     • 丁烯酮 (Butenone)：
       • 丁-3-烯-2-酮 (But-3-en-2-one, methyl vinyl ketone)：$CH_2=CHCOCH_3$
     • 環狀不飽和醇/醚。

仔細檢查，C4H8O 的不飽和度是 1。
不飽和度 = (2C + 2 + N - H - X) / 2 = (2*4 + 2 - 8) / 2 = 1。
這意味著一個雙鍵或一個環。

我們系統性地列出所有可能的結構：

A. 含有雙鍵 (烯類)：

1. 醇類 (烯醇)：

   • 丁-1-烯-1-醇 ($CH_3CH_2CH=CHOH$) - 烯醇不穩定，會互變異構為丁醛。
   • 丁-1-烯-2-醇 ($CH_3CH=CHCH_2OH$)
   • 丁-2-烯-1-醇 ($CH_3CH=CHCH_2OH$) - 幾何異構 (E/Z)
   • 丁-3-烯-1-醇 ($CH_2=CHCH_2CH_2OH$)
   • 丁-1-烯-3-醇 ($CH_3CH=C(OH)CH_3$) - 烯醇不穩定，互變異構為丁-2-酮。
   • 丁-2-烯-2-醇 ($CH_3CH=C(OH)CH_3$) - 烯醇不穩定，互變異構為丁-2-酮。
   • 丁-3-烯-2-醇 ($CH_2=CHCH(OH)CH_3$)
   • 2-甲基丙-1-烯-1-醇 ($(CH_3)_2C=CHOH$) - 烯醇不穩定，互變異構為 2-甲基丙醛。
   • 2-甲基丙-2-烯-1-醇 ($(CH_3)_2C=CH_2OH$) - 結構錯誤，應為 2-甲基丙-2-烯-1-醇。
   • 2-甲基丙-1-烯-2-醇 ($(CH_3)_2C(OH)CH=CH_2$) - 烯醇不穩定，互變異構為 2-甲基丙烯醛。
   • 2-甲基丙-2-烯-1-醇 ($CH_2=C(CH_3)CH_2OH$)
   • 2-甲基丙-1-烯-1-醇 ($(CH_3)_2C=CHOH$) - 互變異構為 2-甲基丙醛。
   • 2-甲基丙-2-醇 (2-Methylpropan-2-ol) - 飽和醇。
   • 烯醇互變異構為羰基化合物：
     • 丁醛 ($CH_3CH_2CH_2CHO$)
     • 丁-2-酮 ($CH_3COCH_2CH_3$)
     • 2-甲基丙醛 ($(CH_3)_2CHCHO$)

2. 醚類 (烯醚)：

   • 乙烯基甲氧基乙烷 (Vinyl methoxyethane)：$CH_3CH(OCH_3)CH=CH_2$
   • 甲氧基丁烯 (Methoxybutene)：
     • 4-甲氧基丁-1-烯 ($CH_2=CHCH_2CH_2OCH_3$)
     • 3-甲氧基丁-1-烯 ($CH_2=CHCH(OCH_3)CH_3$)
     • 2-甲氧基丁-1-烯 ($CH_3CH=C(OCH_3)CH_3$)
     • 1-甲氧基丁-1-烯 ($CH_3CH_2CH=CHOCH_3$)
   • 烯丙基甲基醚 (Allyl methyl ether)：$CH_2=CHCH_2OCH_3$
   • 甲基丙烯基甲基醚 (Methallyl methyl ether)：$CH_2=C(CH_3)CH_2OCH_3$

3. 醛類 (烯醛)：

   • 丁-2-烯醛 ($CH_3CH=CHCHO$) - (E/Z)
   • 丁-3-烯醛 ($CH_2=CHCH_2CHO$)
   • 2-甲基丙烯醛 ($(CH_3)_2C=CHO$? 應為 2-甲基丙醛) - 2-甲基丙醛 ($(CH_3)_2CHCHO$) 是飽和醛。
   • 2-甲基丙-2-烯醛 ($CH_2=C(CH_3)CHO$)

4. 酮類 (烯酮)：

   • 丁-3-烯-2-酮 ($CH_2=CHCOCH_3$)
   • 丁-2-烯-2-酮 ($CH_3CH=C(CH_3)O$? 結構不符)
   • 1-丁烯-1-酮 ($CH_3CH_2CH=C=O$? 酮不包含烯酮)

B. 含有環 (環烷類)：

1. 醇類 (環醇)：

   • 環丁醇 (Cyclobutanol)：
   • 1-甲基環丙醇 (1-Methylcyclopropanol)
   • 2-甲基環丙醇 (2-Methylcyclopropanol) - (cis/trans)
   • 二甲基環丙醇 (Dimethylcyclopropanol) - (cis/trans, 幾何異構)

2. 醚類 (環醚)：

   • 四氫呋喃 (Tetrahydrofuran, THF)
   • 2-甲基四氫呋喃 (2-Methyltetrahydrofuran) - (cis/trans)
   • 3-甲基四氫呋喃 (3-Methyltetrahydrofuran) - (cis/trans)
   • 環氧乙烷衍生物 (Epoxides)：
     • 環氧丙烷 (Methyloxirane)
     • 1,2-環氧丁烷 (1,2-Epoxybutane) - (cis/trans)
     • 2,3-環氧丁烷 (2,3-Epoxybutane) - (cis/trans)
     • 2-乙基環氧乙烷 (2-Ethyloxirane)
     • 2,2-二甲基環氧乙烷 (2,2-Dimethyloxirane)

C. 飽和醇、醚、醛、酮：

1. 醇類：
   • 丁-1-醇 ($CH_3CH_2CH_2CH_2OH$)
   • 丁-2-醇 ($CH_3CH(OH)CH_2CH_3$)
   • 2-甲基丙-1-醇 ($(CH_3)_2CHCH_2OH$)
   • 2-甲基丙-2-醇 ($(CH_3)_3COH$)
2. 醚類：
   • 二乙醚 ($CH_3CH_2OCH_2CH_3$)
   • 甲氧基丙烷 (Methoxypropane)：
     • 1-甲氧基丙烷 ($CH_3CH_2CH_2OCH_3$)
     • 2-甲氧基丙烷 ($(CH_3)_2CHOCH_3$)
3. 醛類：
   • 丁醛 ($CH_3CH_2CH_2CHO$)
   • 2-甲基丙醛 ($(CH_3)_2CHCHO$)
4. 酮類：
   • 丁-2-酮 ($CH_3COCH_2CH_3$)

總結並分類列出所有結構：

I. 含有雙鍵 (C=C 或 C=O)：

• 醛類 (C=O, 含有 C=C)：
  • 丁-2-烯醛 ($CH_3CH=CHCHO$) - E/Z 異構
  • 丁-3-烯醛 ($CH_2=CHCH_2CHO$)
  • 2-甲基丙-2-烯醛 ($CH_2=C(CH_3)CHO$)
• 酮類 (C=O, 含有 C=C)：
  • 丁-3-烯-2-酮 ($CH_2=CHCOCH_3$)
• 醇類 (含 C=C)：
  • 丁-1-烯-2-醇 ($CH_3CH=CHCH_2OH$)
  • 丁-2-烯-1-醇 ($CH_3CH=CHCH_2OH$) - E/Z 異構
  • 丁-3-烯-1-醇 ($CH_2=CHCH_2CH_2OH$)
  • 3-甲基丁-2-烯-1-醇? (C5)
  • 2-甲基丙-2-烯-1-醇 ($CH_2=C(CH_3)CH_2OH$)
  • 3-甲基丁-2-烯-1-醇? (C5)
  • 2-甲基丙-1-烯-2-醇 ($(CH_3)_2C(OH)CH=CH_2$)
  • 丁-1-烯-1-醇 ($CH_3CH_2CH=CHOH$) - 互變異構為丁醛
  • 丁-1-烯-3-醇 ($CH_3CH=C(OH)CH_3$) - 互變異構為丁-2-酮
• 醚類 (含 C=C)：
  • 乙烯基甲氧基乙烷 ($CH_3CH(OCH_3)CH=CH_2$)
  • 4-甲氧基丁-1-烯 ($CH_2=CHCH_2CH_2OCH_3$)
  • 3-甲氧基丁-1-烯 ($CH_2=CHCH(OCH_3)CH_3$)
  • 2-甲氧基丁-1-烯 ($CH_3CH=C(OCH_3)CH_3$)
  • 1-甲氧基丁-1-烯 ($CH_3CH_2CH=CHOCH_3$) - E/Z 異構
  • 烯丙基甲基醚 ($CH_2=CHCH_2OCH_3$)
  • 甲基丙烯基甲基醚 ($CH_2=C(CH_3)CH_2OCH_3$)

II. 含有環：

• 環醚類：
  • 四氫呋喃 (THF)
  • 2-甲基四氫呋喃 - cis/trans
  • 3-甲基四氫呋喃 - cis/trans
  • 環氧丙烷 (Methyloxirane)
  • 1,2-環氧丁烷 - cis/trans
  • 2,3-環氧丁烷 - cis/trans
  • 2-乙基環氧乙烷
  • 2,2-二甲基環氧乙烷
• 環醇類：
  • 環丁醇
  • 1-甲基環丙醇
  • 2-甲基環丙醇 - cis/trans
  • 二甲基環丙醇 (有幾種異構)

III. 飽和化合物：

• 醇類：
  • 丁-1-醇 ($CH_3CH_2CH_2CH_2OH$)
  • 丁-2-醇 ($CH_3CH(OH)CH_2CH_3$)
  • 2-甲基丙-1-醇 ($(CH_3)_2CHCH_2OH$)
  • 2-甲基丙-2-醇 ($(CH_3)_3COH$)
• 醚類：
  • 二乙醚 ($CH_3CH_2OCH_2CH_3$)
  • 1-甲氧基丙烷 ($CH_3CH_2CH_2OCH_3$)
  • 2-甲氧基丙烷 ($(CH_3)_2CHOCH_3$)
• 醛類：
  • 丁醛 ($CH_3CH_2CH_2CHO$)
  • 2-甲基丙醛 ($(CH_3)_2CHCHO$)
• 酮類：
  • 丁-2-酮 ($CH_3COCH_2CH_3$)

仔細檢查 C4H8O 的同分異構物，要包含所有官能基和骨架的組合。

總計結構數量：

1. 含有羰基 (醛或酮):

• 丁醛 ($CH_3CH_2CH_2CHO$)
• 2-甲基丙醛 ($(CH_3)_2CHCHO$)
• 丁-2-酮 ($CH_3COCH_2CH_3$)
• 丁-2-烯醛 ($CH_3CH=CHCHO$) (E/Z)
• 丁-3-烯醛 ($CH_2=CHCH_2CHO$)
• 2-甲基丙-2-烯醛 ($CH_2=C(CH_3)CHO$)
• 丁-3-烯-2-酮 ($CH_2=CHCOCH_3$)
  總計 7 種 (不計幾何異構)。

2. 含有羥基 (醇):

• 丁-1-醇 ($CH_3CH_2CH_2CH_2OH$)
• 丁-2-醇 ($CH_3CH(OH)CH_2CH_3$)

本題考查溶液性質，特別是影響沸點的因素。雞湯本質上是水溶液，其中溶解了蛋白質、脂肪、鹽類、香料等成分，這些溶解物會影響雞湯的沸點。

影響雞湯沸點的因素主要有以下幾點：

1. 溶質的種類與濃度（依賴性沸點升高）：

   • 雞湯中含有多種溶質，如鹽類（NaCl, KCl 等）、胺基酸、胜肽、蛋白質、脂肪分子等。
   • 這些溶質的溶解會使溶液的蒸氣壓降低。根據拉午耳定律（Raoult's Law），溶液的蒸氣壓與純溶劑的蒸氣壓成正比，比例係數為溶劑的莫耳分率。
   • 由於溶質的存在，溶液達到與外界大氣壓力相等的蒸氣壓所需的溫度會升高，這就是所謂的「依賴性沸點升高」（Colligative Property: Boiling Point Elevation）。
   • 溶質的種類（分子量、解離度）和濃度越高，沸點升高越明顯。例如，鹽類會解離成離子，增加粒子總數，對沸點升高的貢獻更大。

2. 大氣壓力：

   • 沸點的定義是物質的蒸氣壓等於其外部壓力時的溫度。
   • 因此，外部大氣壓力的變化會直接影響沸點。
   • 在標準海平面壓力下（1 atm），水的沸點是 100°C。
   • 如果在高山上，大氣壓力較低，水的沸點會低於 100°C。

本題主要考驗對光譜學中不同種類躍遷的理解，以及如何用文字和圖形來描述這些現象。這些躍遷是分子吸收或放出光子的過程，導致其能量狀態發生改變。

核心觀念： 分子或原子具有分立的能階。當吸收或放出能量（通常是光子）時，其從一個能階躍遷到另一個能階。不同種類的躍遷對應於不同能量範圍的光子，也涉及分子不同形式的能量變化。

1. 電子躍遷 (Electronic Transitions)

• 文字描述：電子躍遷是指分子中價電子從一個電子能階躍遷到另一個電子能階的過程。這通常發生在分子吸收紫外光（UV）或可見光（Visible light）的能量時。電子能階之間的能量差較大，因此需要較高能量的光子。電子躍遷通常伴隨著振動和旋轉能階的改變，但最主要的能量變化來自電子本身的躍遷。
• 圖形描述：
  • 繪製一個分子的能量圖，其中最下方是基態電子能階（$E_0$），上方有較高能量的激發態電子能階（$E_1, E_2, ...$）。
  • 在每個電子能階中，繪製多條較密的水平線，代表不同的振動能階（$v=0, 1, 2, ...$）。
  • 在每個振動能階中，繪製更密集的水平線，代表不同的旋轉能階（$J=0, 1, 2, ...$）。
  • 用一個箭頭從基態電子能階的某個振動-旋轉能階指向激發態電子能階的另一個振動-旋轉能階，標示為「電子躍遷」，並註明其能量範圍（UV-Vis）。

2. 振動躍遷 (Vibrational Transitions)

• 文字描述：振動躍遷是指分子中原子核相對運動（鍵的伸長、彎曲、扭轉等）的振動能階發生改變的過程。這通常發生在分子吸收紅外光（IR）的能量時。振動能階之間的能量差比電子能階之間的能量差小得多，但比旋轉能階之間的能量差大。振動躍遷通常發生在固定的電子能階和旋轉能階背景下。
• 圖形描述：
  • 在同一個分子的能量圖中，選擇一個固定的電子能階（例如基態電子能階 $E_0$）。
  • 在此電子能階中，繪製多條較密的水平線，代表不同的振動能階（$v=0, 1, 2, ...$）。
  • 用一個箭頭從基態振動能階（$v=0$）指向較高振動能階（$v=1$ 或 $v=2$），標示為「振動躍遷」，並註明其能量範圍（IR）。
  • 可以選擇性地在箭頭上標示出更細微的旋轉能階變化，但重點是振動能階的改變。

3. 旋轉躍遷 (Rotational Transitions)

• 文字描述：旋轉躍遷是指分子繞其質心的整體旋轉運動的能階發生改變的過程。這通常發生在分子吸收微波（Microwave）的能量時。旋轉能階之間的能量差非常小，因此需要最低能量的光子。旋轉躍遷通常發生在固定的電子能階和振動能階背景下。
• 圖形描述：
  • 在同一個分子的能量圖中，選擇一個固定的電子能階和振動能階（例如基態電子能階 $E_0$，基態振動能階 $v=0$）。
  • 在此振動能階中，繪製更密集、間隔更小的水平線，代表不同的旋轉能階（$J=0, 1, 2, ...$）。
  • 用一個箭頭從一個旋轉能階（$J=0$）指向另一個較高旋轉能階（$J=1$ 或 $J=2$），標示為「旋轉躍遷」，並註明其能量範圍（Microwave）。

綜合圖示說明：

為了更清晰地呈現，可以繪製一個「能階堆疊圖」：

      ^ 能量
      |
      |   激發態電子能階 (E1)
      |   ------------------------------------
      |     | | |  (振動能階 v=0,1,2...)
      |     | | |
      |     | | |  (旋轉能階 J=0,1,2...)
      |     | | |
      |   基態電子能階 (E0)
      |   ------------------------------------
      |     | | |  (振動能階 v=0,1,2...)
      |     | | |
      |     | | |  (旋轉能階 J=0,1,2...)
      |     | | |
      +-------------------------------------->

本題考查酸鹼中和反應以及沉澱溶解的化學原理。水垢的主要成分是碳酸鈣，醋酸是弱酸，與碳酸鈣反應生成可溶性鹽類。

核心觀念：

1. 水垢成分：硬水中的鈣離子（$Ca^{2+}$）和碳酸氫根離子（$HCO_3^-$）在高溫下分解生成碳酸根離子（$CO_3^{2-}$），碳酸根離子與鈣離子結合形成不溶於水的碳酸鈣（$CaCO_3$）沉澱，附著在水壺內壁。
   $Ca(HCO_3)_2(aq) \xrightarrow{\Delta} CaCO_3(s) + H_2O(l) + CO_2(g)$
2. 醋酸的性質：醋酸（$CH_3COOH$）是一種弱酸，在水中會部分解離成醋酸根離子（$CH_3COO^-$）和氫離子（$H^+$）。
   $CH_3COOH(aq) \rightleftharpoons H^+(aq) + CH_3COO^-(aq)$
3. 酸鹼中和與沉澱溶解：醋酸中的氫離子（$H^+$）會與碳酸鈣中的碳酸根離子（$CO_3^{2-}$）反應，生成碳酸（$H_2CO_3$）。碳酸是一種不穩定的酸，會進一步分解為水（$H_2O$）和二氧化碳（$CO_2$）。這個反應有效地將不溶性的碳酸鈣轉化為可溶性的醋酸鈣（$Ca(CH_3COO)_2$）、水和二氧化碳。
   $CaCO_3(s) + 2H^+(aq) \rightarrow Ca^{2+}(aq) + H_2O(l) + CO_2(g)$

將上述反應結合起來，醋酸與碳酸鈣的反應方程式可以寫成：

本題主要考驗將質量濃度單位 ppm 或 ppb 轉換為莫耳濃度 M 的能力。

核心觀念：

1. ppb 的定義：ppb (parts per billion) 是百萬分之一的百萬分之一，通常指質量比，即 1 億克的溶液中含有 1 克的溶質。對於稀溶液，特別是水溶液，1 ppb 約等於 1 $\mu$g/L。
   $1 \text{ ppb} \approx 1 \, \mu\text{g/L}$ (對於水溶液)
2. 莫耳濃度的定義：莫耳濃度 (Molarity, M) 是指每公升溶液中所含溶質的莫耳數。
   $M = \frac{\text{莫耳數 (mol)}}{\text{體積 (L)}}$
3. 分子量計算：需要計算三氯乙烷（1,1,1-trichloroethane）的分子量。
   三氯乙烷的化學式為 $C_2H_3Cl_3$。
   原子量：C ≈ 12.01 g/mol, H ≈ 1.008 g/mol, Cl ≈ 35.45 g/mol
   分子量 = $2 \times 12.01 + 3 \times 1.008 + 3 \times 35.45$
   分子量 = $24.02 + 3.024 + 106.35 = 133.394 \text{ g/mol}$

解題步驟：

1. 將 ppb 轉換為 $\mu$g/L：
   題目給出 34.2 ppb 的三氯乙烷。對於水溶液，我們可以近似認為：
   $34.2 \, \text{ppb} = 34.2 \, \mu\text{g/L}$

2. 將 $\mu$g/L 轉換為 g/L：
   $1 \, \mu\text{g} = 10^{-6} \, \text{g}$
   所以，$34.2 \, \mu\text{g/L} = 34.2 \times 10^{-6} \, \text{g/L}$

3. 計算三氯乙烷的莫耳數：
   使用分子量將質量轉換為莫耳數。
   莫耳數/體積 (M) = $\frac{\text{質量 (g/L)}}{\text{分子量 (g/mol)}}$
   $M = \frac{34.2 \times 10^{-6} \, \text{g/L}}{133.394 \, \text{g/mol}}$

4. 進行計算：
   $M = \frac{34.2 \times 10^{-6}}{133.394} \approx 0.25638 \times 10^{-6} \, \text{mol/L}$
   $M \approx 2.5638 \times 10^{-7} \, \text{mol/L}$

5. 考慮有效位數：
   題目給定的濃度是 34.2 ppb，有三位有效數字。
   計算出的分子量也應考慮有效數字。
   最終結果應保留三位有效數字。

本題考查緩衝溶液、弱酸解離、pH 和 pKa 的定義與應用。

核心觀念：

1. pH 的定義：pH 是溶液中氫離子濃度的負對數。
   $pH = -\log_{10}[H^+]$
   它量測的是溶液的酸鹼度。pH 值越低，表示酸性越強；pH 值越高，表示鹼性越強；pH = 7 為中性。

2. pKa 的定義：pKa 是弱酸解離常數 ($K_a$) 的負對數。
   $pKa = -\log_{10}(K_a)$
   $K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}$ (其中 HA 為弱酸，$A^-$ 為其共軛鹼)
   pKa 反映了弱酸的解離能力。pKa 值越小，表示該弱酸越容易解離，酸性越強。

3. pH 與 pKa 的差異：

   • pH 是溶液中氫離子濃度的度量，反映了「特定溶液」的酸鹼度，會隨著濃度和加入其他物質而變化。
   • pKa 是弱酸本身的固有性質，代表該弱酸解離的強度，是一個常數（在特定溫度下），不隨濃度改變。
   • 當溶液中弱酸 HA 和其共軛鹼 $A^-$ 的濃度相等時（即 $[HA] = [A^-]$），根據 Henderson-Hasselbalch 方程式，pH = pKa。這也是緩衝溶液的關鍵點。

4. Henderson-Hasselbalch 方程式：
   $pH = pKa + \log_{10}\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right)$
   其中 $[A^-]$ 是共軛鹼的濃度，$[HA]$ 是弱酸的濃度。

解題步驟：

題目要求計算水楊酸溶液的 pH 值，當水楊酸鹽（共軛鹼）的量是水楊酸（弱酸）的萬分之一時。
水楊酸是弱酸 (HA)，水楊酸鹽是其共軛鹼 ($A^-$)。
已知水楊酸的 pKa = 2.97。
給定的條件是：水楊酸鹽的莫耳數是水楊酸莫耳數的萬分之一。假設我們有 $n_{HA}$ 莫耳的水楊酸和 $n_{A^-}$ 莫耳的水楊酸鹽。
則 $n_{A^-} = \frac{1}{10000} n_{HA}$。
由於濃度與莫耳數成正比（在相同體積下），我們可以將莫耳數比視為濃度比：
$\frac{[A^-]}{[HA]} = \frac{n_{A^-}}{n_{HA}} = \frac{1}{10000}$

現在，我們可以使用 Henderson-Hasselbalch 方程式來計算 pH 值：
$pH = pKa + \log_{10}\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right)$
$pH = 2.97 + \log_{10}\left(\frac{1}{10000}\right)$

計算 $\log_{10}\left(\frac{1}{10000}\right)$:
$\log_{10}\left(\frac{1}{10000}\right) = \log_{10}(10^{-4}) = -4$

將此值代入方程式：
$pH = 2.97 + (-4)$
$pH = 2.97 - 4$
$pH = -1.03$

結果分析與注意事項：
計算出的 pH 值為 -1.03，這是一個非常低的 pH 值，表示強酸性。
這個結果是否合理？

• pKa = 2.97 表示水楊酸是一個相對較強的弱酸。

本題考查生化需氧量 (BOD) 的計算，需要將洩漏的有機物質量轉換為 BOD 濃度。

核心觀念：

• 生化需氧量 (BOD)：BOD 是指在特定條件下（通常是 20°C，5 天），微生物分解有機污染物時所消耗的溶解氧量。它是一個衡量水體有機污染程度的指標。
• BOD 的計算：BOD 的計算通常是基於洩漏的有機物與氧氣反應的化學計量。對於醇類，其完全氧化分解的化學反應可以估算出其 BOD 值。
• 異丙醇的化學式：異丙醇 (isopropyl alcohol) 的化學式是 $C_3H_8O$。
• 完全氧化反應：異丙醇在水中被微生物完全氧化分解的反應式為：
  $C_3H_8O(aq) + 4O_2(g) \rightarrow 3CO_2(g) + 4H_2O(l)$
  這個反應式表明，每莫耳的異丙醇完全氧化需要消耗 4 莫耳的氧氣。

解題步驟：

1. 計算異丙醇的分子量：
   C ≈ 12.01 g/mol, H ≈ 1.008 g/mol, O ≈ 16.00 g/mol
   分子量 of $C_3H_8O = 3 \times 12.01 + 8 \times 1.008 + 1 \times 16.00$
   分子量 = $36.03 + 8.064 + 16.00 = 60.094 \, \text{g/mol}$

2. 將洩漏的異丙醇質量轉換為莫耳數：
   洩漏質量 = 875.2 kg = $875.2 \times 10^3$ g
   莫耳數 = $\frac{\text{質量 (g)}}{\text{分子量 (g/mol)}}$
   莫耳數 = $\frac{875.2 \times 10^3 \, \text{g}}{60.094 \, \text{g/mol}} \approx 14563.8 \, \text{mol}$

3. 計算消耗的氧氣莫耳數：
   根據化學反應式 $C_3H_8O + 4O_2 \rightarrow 3CO_2 + 4H_2O$，1 莫耳異丙醇完全氧化消耗 4 莫耳氧氣。
   消耗的氧氣莫耳數 = 莫耳數 of 異丙醇 $\times 4$
   消耗的氧氣莫耳數 = $14563.8 \, \text{mol} \times 4 \approx 58255.2 \, \text{mol}$

4. 計算消耗的氧氣質量：
   氧氣 ($O_2$) 的分子量 ≈ $2 \times 16.00 = 32.00 \, \text{g/mol}$
   消耗的氧氣質量 = 消耗的氧氣莫耳數 $\times$ 氧氣分子量
   消耗的氧氣質量 = $58255.2 \, \text{mol} \times 32.00 \, \text{g/mol} \approx 1864166.4 \, \text{g}$
   將其轉換為 kg：$1864.1664 \, \text{kg}$

5. 計算 BOD 增加量 (mg/L)：
   BOD 的增加量等於消耗的氧氣質量除以湖水的體積，並轉換為 mg/L。
   湖水體積 = $1.80 \times 10^8$ L
   BOD 增加量 (g/L) = $\frac{\text{消耗的氧氣質量 (g)}}{\text{湖水體積 (L)}}$
   BOD 增加量 (g/L) = $\frac{1864166.4 \, \text{g}}{1.80 \times 10^8 \, \text{L}} \approx 0.010356 \, \text{g/L}$

   將 g/L 轉換為 mg/L：
   $1 \, \text{g} = 1000 \, \text{mg}$
   BOD 增加量 (mg/L) = $0.010356 \, \text{g/L} \times 1000 \, \text{mg/g} \approx 10.356 \, \text{mg/L}$

6. 考慮有效位數：
   洩漏質量 875.2 kg (四位有效數字)
   湖水體積 $1.80 \times 10^8$ L (三位有效數字)
   異丙醇分子量 (約 60.094，可視為五位或更高)
   氧氣分子量 (約 32.00，四位)
   最終結果應保留三位有效數字，因為湖水體積是限制因素。
   BOD 增加量 ≈ 10.4 mg/L

本題考查比爾-朗伯定律 (Beer-Lambert Law) 的應用，用於計算溶液的莫耳吸光係數和未知濃度。

核心觀念：
比爾-朗伯定律描述了吸光度 (Absorbance, A) 與溶液濃度 (c) 和光徑長度 (b) 之間的關係：
$A = \epsilon bc$
其中：

• $A$ 是吸光度 (無單位)。
• $\epsilon$ 是莫耳吸光係數 (molar absorptivity)，單位通常為 L/(mol·cm)。它是一個與物質、波長和溶劑有關的常數。
• $b$ 是光徑長度 (path length)，單位通常為 cm。
• $c$ 是溶液的莫耳濃度 (molarity)，單位通常為 mol/L (M)。

解題步驟：

第一部分：計算莫耳吸光係數 $\epsilon$

已知條件：

• 濃度 $c_1 = 2.83 \times 10^{-4} \, \text{M}$
• 光徑長度 $b = 0.982 \, \text{cm}$
• 吸光度 $A_1 = 0.510$

使用比爾-朗伯定律 $A = \epsilon bc$ 來求解 $\epsilon$：
$\epsilon = \frac{A_1}{b c_1}$

代入數值：
$\epsilon = \frac{0.510}{(0.982 \, \text{cm}) \times (2.83 \times 10^{-4} \, \text{mol/L})}$

計算：
$\epsilon = \frac{0.510}{0.982 \times 2.83 \times 10^{-4}} \, \text{L/(mol·cm)}$
$\epsilon = \frac{0.510}{0.000277806} \, \text{L/(mol·cm)}$
$\epsilon \approx 1835.8 \, \text{L/(mol·cm)}$

考慮有效位數：
$c_1$ 有三位有效數字 ($2.83 \times 10^{-4}$)。
$b$ 有三位有效數字 (0.982)。
$A_1$ 有三位有效數字 (0.510)。
因此，計算出的 $\epsilon$ 值應保留三位有效數字。
$\epsilon \approx 1.84 \times 10^3 \, \text{L/(mol·cm)}$

第二部分：計算未知濃度的 KMnO4 溶液濃度 $c_2$

已知條件：

• 莫耳吸光係數 $\epsilon \approx 1835.8 \, \text{L/(mol·cm)}$ (使用計算出的較精確值進行後續計算，最後再考慮有效位數)
• 光徑長度 $b = 0.982 \, \text{cm}$ (與第一部分相同)
• 吸光度 $A_2 = 0.747$

使用比爾-朗伯定律 $A = \epsilon bc$ 來求解 $c_2$：
$c_2 = \frac{A_2}{\epsilon b}$

代入數值：
$c_2 = \frac{0.747}{(1835.8 \, \text{L/(mol·cm)}) \times (0.982 \, \text{cm})}$

計算：
$c_2 = \frac{0.747}{1835.8 \times 0.982} \, \text{mol/L}$
$c_2 = \frac{0.747}{1802.7556} \, \text{mol/L}$
$c_2 \approx 0.00041436 \, \text{mol/L}$
$c_2 \approx 4.1436 \times 10^{-4} \, \text{mol/L}$

考慮有效位數：
$A_2$ 有三位有效數字 (0.747)。
$\epsilon$ 的計算結果應考慮其有效位數，我們計算 $\epsilon$ 時是基於三位有效數字的數據。
$b$ 有三位有效數字 (0.982)。
因此，計算出的 $c_2$ 值也應保留三位有效數字。
$c_2 \approx 4.14 \times 10^{-4} \, \text{mol/L}$

另一種計算方式（比例法）：
由於 $\epsilon$ 和 $b$ 在兩次測量中是相同的，我們可以利用比例關係：
$\frac{A_1}{c_1} = \epsilon b$

核心觀念

本題考查化學方程式的平衡，涉及：

• 質量守恆定律：反應前後各元素原子數必須相等。
• 氧化還原反應：B、D 可利用氧化數變化或半反應法平衡。
• 酸鹼反應與氣體生成：A、C 中的碳酸氫根會轉化為 $\ce{CO2}$ 和 $\ce{H2O}$。
• 結晶水計算：C 中的 $\ce{14H2O}$ 必須列入氫、氧元素守恆。

配平時，先處理結構較固定的多原子離子，如 $\ce{SO4^{2-}}$、$\ce{PO4^{3-}}$，再配平氫、氧，最後以原子數檢查。

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解題方法與各式配平

A. $\ce{Ca(H2PO4)2 + NaHCO3 -> CaHPO4 + Na2HPO4 + H2O + CO2}$

磷酸根在反應前後分別以 $\ce{H2PO4^-}$、$\ce{HPO4^{2-}}$ 存在，因此先依鈣、磷、鈉配平。

令 $\ce{Ca(H2PO4)2}$ 的係數為 $1$：

• 左側含 $1$ 個 Ca，因此 $\ce{CaHPO4}$ 為 $1$
• 左側含 $2$ 個磷酸根，因此 $\ce{Na2HPO4}$ 為 $1$
• 生成 $1$ 個 $\ce{Na2HPO4}$ 需要 $2$ 個 Na，因此 $\ce{NaHCO3}$ 為 $2$
• $2$ 個 $\ce{HCO3^-}$ 生成 $2$ 個 $\ce{CO2}$

氫元素守恆：

左側氫原子數：

$$4+2=6$$

右側 $\ce{CaHPO4}$ 與 $\ce{Na2HPO4}$ 共含 $2$ 個氫，因此水中的氫需為 $4$ 個，故生成 $2$ 個水。

平衡式為：

$$\boxed{\ce{Ca(H2PO4)2 + 2NaHCO3 -> CaHPO4 + Na2HPO4 + 2H2O + 2CO2}}$$

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B. $\ce{FeSO4 + K2Cr2O7 + H2SO4 -> Fe2(SO4)3 + Cr2(SO4)3 + K2SO4 + H2O}$

這是酸性溶液中的氧化還原反應。

氧化數判斷

• $\ce{FeSO4}$ 中的 Fe 為 $+2$，生成 $\ce{Fe2(SO4)3}$ 後變為 $+3$：

$$\ce{Fe^{2+} -> Fe^{3+} + e^-}$$

每個 Fe 失去 $1$ 個電子。

• $\ce{Cr2O7^{2-}}$ 中 Cr 為 $+6$，生成 $\ce{Cr^{3+}}$：

$$2(+6)+7(-2)=-2$$

因此每個 Cr 為 $+6$。兩個 Cr 還原為 $\ce{Cr^{3+}}$，共得到 $6$ 個電子。

所以需要 $6$ 個 $\ce{Fe^{2+}}$ 配合 $1$ 個 $\ce{Cr2O7^{2-}}$：

$$\ce{6Fe^{2+} + Cr2O7^{2-} -> 6Fe^{3+} + 2Cr^{3+}}$$

在酸性環境中，重鉻酸根的半反應為：

$$\ce{Cr2O7^{2-} + 14H+ + 6e^- -> 2Cr^{3+} + 7H2O}$$

換成分子式並配合硫酸根：

• $6$ 個 $\ce{FeSO4}$ 提供 $6$ 個硫酸根
• $7$ 個 $\ce{H2SO4}$ 提供 $7$ 個硫酸根及 $14$ 個 $\ce{H+}$
• 生成的硫酸根分配為：
  • $3\ce{Fe2(SO4)3}$：需要 $9$ 個
  • $\ce{Cr2(SO4)3}$：需要 $3$ 個
  • $\ce{K2SO4}$：需要 $1$ 個

總數為 $9+3+1=13$，恰等於左側 $6+7=13$。

平衡式為：

$$\boxed{\ce{6FeSO4 + K2Cr2O7 + 7H2SO4 -> 3Fe2(SO4)3 + Cr2(SO4)3 + K2SO4 + 7H2O}}$$

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C. $\ce{Al2(SO4)3 . 14H2O + 3Ca(HCO3)2 -> Al(OH)3 + CaSO4 + H2O + CO2}$

先處理金屬元素與硫酸根：

• $\ce{Al2(SO4)3 . 14H2O}$ 含 $2$ 個 Al，因此生成 $2\ce{Al(OH)3}$
• 含 $3$ 個硫酸根，因此生成 $3\ce{CaSO4}$
• 需要 $3$ 個 $\ce{Ca^{2+}}$，故反應物為 $3\ce{Ca(HCO3)2}$
• $3\ce{Ca(HCO3)2}$ 含有 $6$ 個 $\ce{HCO3^-}$，生成 $6\ce{CO2}$

設水的係數為 $x$：