109 年 國立成功大學醫學資訊研究所《機率統計》

本題主要考驗資料的整理與描述統計量之計算。

1.1 繪製詞幹與葉圖 (Stem-and-Leaf Plot)

詞幹與葉圖是一種用於展示數據分佈情況的圖示方法，特別適合用於中小型數據集。在此問題中，數據為 Gogoro 電池的巡航距離（公里）。

首先，我們需要決定詞幹 (stem) 和葉 (leaf) 的表示方式。由於數據範圍從 95 到 182，我們可以將詞幹設定為十位數，葉則為個位數。

數據整理如下：
95, 99, 102, 109, 110, 115, 121, 122, 124, 128, 135, 139, 140, 140, 144, 147, 152, 153, 158, 163, 166, 172, 179, 182

詞幹與葉圖的建構步驟：

1. 將數據的十位數（或更高位數，視情況而定）作為詞幹。
2. 將數據的個位數作為葉。
3. 將詞幹按遞增順序排列。
4. 在每個詞幹旁邊，列出對應的葉，也按遞增順序排列。

詞幹與葉圖如下：

Stem	Leaf
9	5, 9
10	2, 9
11	0, 5
12	1, 2, 4, 8
13	5, 9
14	0, 0, 4, 7
15	2, 3, 8

本題主要考驗對 Poisson 分佈與 Normal 分佈的機率密度函數 (PDF) 或機率質量函數 (PMF) 的理解，以及導出其期望值和 Normal 分佈的拐點。

2.1 推導 Poisson 分佈的期望值

若一個隨機變數 $X$ 服從參數為 $\lambda$ 的 Poisson 分佈，其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = f(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
其中 $\lambda > 0$ 是分佈的參數，代表平均發生次數。

Poisson 分佈的期望值 (Mean) 定義為：
$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k)$
將 Poisson PMF 代入：
$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
由於當 $k=0$ 時，第一項 $k \cdot \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = 0 \cdot e^{-\lambda} = 0$，因此求和可以從 $k=1$ 開始：
$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
將 $k$ 和 $k!$ 進行約分 ($k! = k \cdot (k-1)!$)：
$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-1)!}$
將 $e^{-\lambda}$ 提出求和符號，並將 $\lambda^k$ 寫成 $\lambda \cdot \lambda^{k-1}$：
$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$
令 $j = k-1$。當 $k=1$ 時，$j=0$；當 $k \to \infty$ 時，$j \to \infty$。求和變為：
$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!}$
我們知道泰勒級數展開式 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。因此，$\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j}}{j!} = e^{\lambda}$。
代入求和結果：
$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda}$
$E[X] = \lambda$
所以，Poisson 分佈的期望值就是其參數 $\lambda$。

【答案】若 $X$ 服從 Poisson 分佈，其期望值 $E[X] = \lambda$。

2.2 推導 Normal 分佈的拐點 (Inflection Points)

若一個隨機變數 $X$ 服從參數為 $\mu$ (均值) 和 $\sigma^2$ (方差) 的 Normal 分佈，其機率密度函數 (PDF) 為：

本題考驗對獨立事件、並聯系統的可靠性分析，以及機率分佈的應用。

3.1 建立隨機變數 X 的機率密度函數 (PDF) 及參數

題目描述：

• 單一組件工作成功率為 60%，即成功率 $p = 0.6$。
• 由於故障率是 $1-p = 1-0.6 = 0.4$。
• 系統由 3 個組件並聯組成，系統失敗的條件是所有組件都失敗。
• 組件之間獨立工作。
• 隨機變數 $X$ 是 3 個組件中失敗的組件數量。

首先，我們需要確定 $X$ 所服從的機率分佈。由於我們有固定數量的獨立試驗（3 個組件），每個試驗只有兩種結果（成功或失敗），且每個組件的失敗機率是相同的，因此 $X$ 服從二項分佈 (Binomial Distribution)。

• 試驗次數 (Number of trials): $n = 3$ (共 3 個組件)。
• 單一試驗成功的機率 (Probability of success): 在此情境下，我們將「組件失敗」視為「成功」的事件，因為我們關注的是失敗的數量。因此，單一組件失敗的機率為 $p = 0.4$。
• 隨機變數 $X$ 代表 3 次試驗中「失敗」的次數。

所以，隨機變數 $X$ 服從參數為 $n=3$ 和 $p=0.4$ 的二項分佈，記為 $X \sim \text{Binomial}(n=3, p=0.4)$。

二項分佈的機率質量函數 (PMF) 為：
$f(x; n, p) = P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$
在此，$n=3$ 且 $p=0.4$。因此，$1-p = 1-0.4 = 0.6$。
$f(x) = \binom{3}{x} (0.4)^x (0.6)^{3-x}, \quad x = 0, 1, 2, 3$

參數是 $n=3$ 和 $p=0.4$。

接下來，我們計算所有可能的 $x$ 值及其對應的 $f(x)$ 值，並構造一個表格。
可能的 $x$ 值有 0, 1, 2, 3。

• 當 $x=0$ (所有組件都成功，沒有失敗)：
  $f(0) = \binom{3}{0} (0.4)^0 (0.6)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^3 = 0.216$

• 當 $x=1$ (1 個組件失敗，2 個組件成功)：
  $f(1) = \binom{3}{1} (0.4)^1 (0.6)^{3-1} = 3 \cdot (0.4) \cdot (0.6)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 1.2 \cdot 0.36 = 0.432$

• 當 $x=2$ (2 個組件失敗，1 個組件成功)：
  $f(2) = \binom{3}{2} (0.4)^2 (0.6)^{3-2} = 3 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^1 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.48 \cdot 0.6 = 0.288$

• 當 $x=3$ (所有組件都失敗)：
  $f(3) = \binom{3}{3} (0.4)^3 (0.6)^{3-3} = 1 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064$

驗證總機率是否為 1：
$0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1.000$。

表格如下：

x (失敗組件數)	f(x) (機率)
0	0.216
1	0.432

本題考驗對 Poisson 分佈的樣本聯合機率分佈以及中央極限定理的理解與應用。

4.1 求樣本的聯合機率分佈

題目說明：

• 隨機變數 $X$ 服從 Poisson 分佈，其平均值為 $\mu$。
• 我們從 $X$ 中抽取一個大小為 $n$ 的獨立樣本，觀察值為 $X_1, X_2, \dots, X_n$。
• 每個觀察值 $X_i$ 都是隨機變數。

若 $X$ 服從 Poisson 分佈，其 PMF 為：
$P(X=k) = \frac{\mu^k e^{-\mu}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
注意：題目中 Poisson 分佈的平均值為 $\mu$，通常 Poisson 分佈的參數是 $\lambda$，且 $E[X] = \lambda$。這裡題目使用 $\mu$ 作為參數，所以我們就用 $\mu$ 來表示。假設 $\mu > 0$。

由於樣本的 $n$ 個觀察值 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是獨立抽取的，它們的聯合機率分佈是各別機率分佈的乘積。
對於每一個 $X_i$，其機率分佈與 $X$ 相同，即：
$P(X_i = k_i) = \frac{\mu^{k_i} e^{-\mu}}{k_i!}, \quad k_i = 0, 1, 2, \dots$

因此，聯合機率分佈 $f(X_1, X_2, \dots, X_n)$ 為：
$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = P(X_1=x_1, X_2=x_2, \dots, X_n=x_n)$
$= P(X_1=x_1) \cdot P(X_2=x_2) \cdot \dots \cdot P(X_n=x_n) \quad \text{(由於獨立性)}$
$= \left(\frac{\mu^{x_1} e^{-\mu}}{x_1!}\right) \cdot \left(\frac{\mu^{x_2} e^{-\mu}}{x_2!}\right) \cdot \dots \cdot \left(\frac{\mu^{x_n} e^{-\mu}}{x_n!}\right)$
$= \frac{\mu^{x_1} e^{-\mu}}{x_1!} \cdot \frac{\mu^{x_2} e^{-\mu}}{x_2!} \cdot \dots \cdot \frac{\mu^{x_n} e^{-\mu}}{x_n!}$
將分子中的 $\mu$ 和 $e^{-\mu}$ 合併：
$= \frac{\mu^{x_1+x_2+\dots+x_n} e^{-n\mu}}{x_1! x_2! \dots x_n!}$
其中 $x_i \in \{0, 1, 2, \dots\}$ 對於所有 $i=1, \dots, n$。

【答案】聯合機率分佈為 $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\mu^{\sum_{i=1}^n x_i} e^{-n\mu}}{\prod_{i=1}^n x_i!}$。

4.2 求樣本平均數的近似分佈

題目說明：

• 樣本大小 $n = 100$。
• 樣本平均數 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$。
• $X_i$ 皆服從平均值為 $\mu$ 的 Poisson 分佈。

此題主要應用中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)。
中央極限定理指出，對於一個具有有限期望值 $\mu$ 和有限方差 $\sigma^2$ 的隨機變數序列 $X_1, X_2, \dots, X_n$，當樣本數 $n$ 足夠大時（通常 $n \ge 30$ 被認為足夠大），樣本平均數

本題考驗假設檢定 (Hypothesis Testing) 的概念與應用，特別是針對平均值的單尾檢定。

假設檢定步驟：

1. 設定虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。
2. 選擇檢定統計量 (Test Statistic)。
3. 確定顯著水準 ($\alpha$)。
4. 計算檢定統計量的數值。
5. 決定拒絕域 (Rejection Region) 或計算 P-value。
6. 做出統計決策（拒絕或不拒絕 $H_0$）。
7. 解釋檢定結果。

題目資訊：

• 母體標準差 $\sigma = 70$ 克。
• 樣本大小 $n = 49$ 綑。
• 樣本平均數 $\bar{x} = 970$ 克。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

1. 設定假設：

   • 虛無假設 $H_0$: 平均捆重 $\mu = 1000$ 克。
   • 對立假設 $H_1$: 平均捆重 $\mu < 1000$ 克。（這是一個左尾檢定）

2. 選擇檢定統計量：
   由於母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本大小 $n=49 \ge 30$，我們可以使用 Z 檢定。
   檢定統計量為：
   $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
   其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均值。

3. 確定顯著水準：
   $\alpha = 0.05$。

4. 計算檢定統計量的數值：
   將已知數值代入公式：
   $Z = \frac{970 - 1000}{70 / \sqrt{49}}$
   $Z = \frac{-30}{70 / 7}$
   $Z = \frac{-30}{10}$
   $Z = -3.0$