111 年 國立臺灣大學流行病學與預防醫學研究所甲：流行病組《生物醫學統計學》

核心觀念：迴歸模型中誤差項變異數對參數估計精準度的影響。

詳解：
迴歸模型的參數估計，例如最小平方估計 (Least Squares Estimate, LSE)，其精準度通常可以透過其估計值的變異數來衡量。

核心觀念：自變數的變異數對迴歸參數估計精準度的影響。

詳解：
延續問題 1 的討論，參數 $\beta_1$ 的 LSE 的變異數為 $Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n (X_{i1} - \bar{X}_1)^2}$。
$\sum_{i=1}^n (X_{i1} - \bar{X}_1)^2$ 是 $X_1$ 相對於其平均數的離差平方和。

核心觀念：複迴歸中自變數間的多重共線性 (multicollinearity) 對參數估計精準度的影響。

詳解：
對於複迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$，參數 $\beta_1$ 的 LSE 的變異數為 $Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{(1 - \rho_{12}^2) \sum_{i=1}^n (X_{i1} - \bar{X}_1)^2}$，其中 $\rho_{12}$ 是 $X_1$ 和 $X_2$ 的相關係數。

核心觀念：複迴歸模型相較於簡單迴歸模型，其 $R^2$ 值通常不會下降。

詳解：
$R^2$ (決定係數) 代表模型可以解釋應變數 $Y$ 變異的比例。
模型 M1 是一個簡單線性迴歸模型，只包含一個自變數 $X_1$。
模型 M2 是一個複線性迴歸模型，包含兩個自變數 $X_1$ 和 $X_2$。

核心觀念

1. 總平方和（Total Sum of Squares, $SST$）的定義：
   在包含截距項的線性迴歸模型中，總平方和衡量應變數 $Y$ 相對於其樣本平均數 $\bar{Y}$ 的總變異量，定義為： $$SST = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$$
2. 變異數分解恆等式（ANOVA Decomposition）：
   在最小平方法（LSE）下，若模型包含截距項 $\beta_0$，總平方和可分解為迴歸平方和（$SSR$）與殘差平方和（$SSE$）： $$SST = SSR + SSE$$
3. 巢狀模型（Nested Models）的變異分配：
   $SST$ 的數值完全由應變數 $Y$ 的樣本數據決定，與模型中納入哪些自變數（$X_1, X_2, \dots$）無關。增加自變數僅會改變已解釋變異（$SSR$）與未解釋變異（$SSE$）的分配比例，總變異 $SST$ 恆維持不變。

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解題方法

1. 計算 M1 與 M2 的 $SST$：

   • 模型 M1：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon_1$ $$SST(M1) = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$$
   • 模型 M2：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon_2$ $$SST(M2) = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$$

2. 比較兩模型的總平方和：
   由於兩個模型分析的是同一組資料的應變數 $Y$（樣本數 $n$ 與觀測值 $Y_i$ 完全相同），且兩模型皆包含截距項 $\beta_0$，因此：

   $$SST(M1) = SST(M2)$$

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題目命題分析

核心觀念：迴歸模型中殘差的定義及其平均數的性質。

詳解：
殘差 (residual) 定義為實際觀測值 $Y_i$ 與模型預測值 $\hat{Y}_i$ 之間的差異，即 $e_i = Y_i - \hat{Y}_i$。
對於使用最小平方估計 (LSE) 擬合的線性迴歸模型，無論是簡單線性迴歸還是複線性迴歸，其殘差的平均數永遠為零。
這是 LSE 的一個數學性質。對於模型 M1，殘差為 $e_{1i} = Y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_{i1})$。

核心觀念：樣本標準差、族群標準差、標準誤的定義與性質，以及樣本數、數據變換對它們的影響。

詳解：
(A) 樣本標準差 (sample standard deviation) 是族群標準差 (population standard deviation) 的一致性估計量 (consistent estimator)。
一致性估計量是指當樣本數 $n$ 趨近無限大時，估計量會趨近真實參數值。樣本標準差 $s$ 是族群標準差 $\sigma$ 的一致性估計量。此敘述正確。

(B) 樣本標準差越大, 表示族群的散佈程度 (dispersion) 越大。
樣本標準差 $s$ 是用來估計族群標準差 $\sigma$ 的。標準差越大，表示數據點離平均值的離散程度越大，即散佈程度越大。因此，樣本標準差越大，通常表示族群的散佈程度越大。此敘述正確。

(C) 標準誤越大, 表示抽樣分佈 (sampling distribution) 的散佈程度 (dispersion) 越大。
標準誤 (standard error, SE) 是指統計量（例如樣本平均數）的抽樣分佈的標準差。標準誤越大，表示統計量在不同樣本間的變異性越大，即抽樣分佈的散佈程度越大。此敘述正確。

(D) 樣本數 (sample size) 增加為4倍, 標準誤減半。
對於樣本平均數的標準誤，其公式為 $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (當族群標準差 $\sigma$ 已知) 或

核心觀念：信賴區間寬度的決定因素，包括族群標準差、標準誤、樣本數、信賴水準。

詳解：
信賴區間 (CI) 的一般形式為：統計量 $\pm$ 臨界值 $\times$ 標準誤。
對於樣本平均數的信賴區間，其形式通常為：$\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (若 $\sigma$ 已知) 或 $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$ (若 $\sigma$ 未知)。
信賴區間的寬度為 $2 \times (\text{臨界值} \times \text{標準誤})$。

(A) 族群標準差越大, 信賴區間越寬。
族群標準差 $\sigma$ (或其估計值 $s$) 是標準誤 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 的一部分。標準誤越大，信賴區間就越寬。因此，族群標準差越大，標準誤越大，信賴區間越寬。此敘述正確。

(B) 標準誤越大, 信賴區間越寬。
信賴區間的寬度正比於標準誤。標準誤越大，信賴區間的寬度就越大。此敘述正確。

核心觀念：布阿松分佈的性質、適用條件與其與其他分佈的關係。

詳解：
布阿松分佈 (Poisson distribution) 描述在固定時間或空間單位內，隨機發生的獨立事件的次數。其機率質量函數為 $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda$ 是期望值 (平均數)。

(A) 適用於稀有疾病 (rare disease)。因此某族群某病發生人數的期望值若大於30, 布阿松分佈即不適用。
布阿松分佈確實適用於描述稀有事件的發生次數，例如稀有疾病的發生。然而，布阿松分佈的適用性並非嚴格限制在期望值 $\lambda$ 小於某個特定值（如 30）。當 $\lambda$ 較大時 (例如 $\lambda > 30$)，布阿松分佈的形狀會越來越接近對稱，並可以用常態分佈來近似。但是，布阿松分佈本身仍然是適用的，只是近似效果可能不如 $\lambda$ 較小時精確。題目中「即不適用」的說法是絕對化的，不夠嚴謹。

更重要的是，布阿松分佈的適用性主要在於事件的發生是隨機、獨立且平均發生率恆定的情況。對於「稀有疾病」的定義，通常意味著發生率不高，這與布阿松分佈的 $\lambda$ 值通常較小有關。但若題目說「期望值若大於 30，即不適用」，這點有待商榷。通常，當 $\lambda$ 很大時，我們更傾向於使用常態近似。但說「不適用」是比較強的結論。

讓我們繼續看其他選項，再回頭確認這個選項。

(B) 為離散分佈 (discrete distribution)。
布阿松分佈的隨機變數 $X$ 代表事件發生的「次數」，只能取非負整數值 ($0, 1, 2, ...$)。因此，它是一個離散機率分佈。此敘述正確。

核心觀念：伯努力分佈與二項式分佈的定義、性質及其關係。

詳解：
(A) 皆為離散分佈。
伯努力分佈描述一次獨立的試驗，只有兩種結果（成功或失敗），對應的隨機變數取值為 0 或 1。二項式分佈描述 $n$ 次獨立的伯努力試驗，成功次數的隨機變數取值為 $0, 1, ..., n$。兩者都是離散機率分佈。此敘述正確。

(B) 可能出現數值為正整數 (含零), 不可能出現負值。上限分別為1 (伯努力分佈) 及 n (二項式分佈)。
伯努力分佈的取值為 $\{0, 1\}$。二項式分佈的取值為 $\{0, 1, ..., n\}$。這些值都是非負整數。上限確實是 1 和 $n$。此敘述正確。

(C) 伯努力分佈的期望值即為出現 1 的機率。
伯努力分佈的參數是成功機率 $p$。隨機變數 $X$ 的取值為 1 (成功) 的機率是 $p$，取值為 0 (失敗) 的機率是 $1-p$。期望值 $E(X) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p$。所以，期望值就是出現 1 的機率。此敘述正確。

(D) n 個獨立且期望值相同的伯努力分佈相加, 為二項式分佈。
假設有 $n$ 個獨立的伯努力分佈，每個的成功機率都是 $p$ (因此期望值都是 $p$)。例如，令 $X_i \sim Bernoulli(p)$ 對於 $i=1, ..., n$，且 $X_i$ 彼此獨立。
則 $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ 代表 $n$ 次獨立伯努力試驗中成功的總次數。

核心觀念：常態分佈的性質、常態分佈的疊加性、常態分佈的混合、卡方分佈的定義。

詳解：
(A) 期望值 = 中位數 (median) = 眾數 (mode)。
常態分佈是一個對稱的鐘形曲線。在其對稱軸上，期望值、中位數和眾數都位於同一個點，即分佈的中心。此敘述正確。

(B) 將兩個獨立, 但期望值不同、變異數 (variance) 也不同的常態分佈相加, 仍為常態分佈。
如果 $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 且 $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，並且 $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的，那麼 $X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。
這個性質稱為常態分佈的「可加性」(additivity)。即使期望值和變異數不同，只要它們是獨立的常態分佈，它們的和仍然是常態分佈。此敘述正確。

(C) 將兩個期望值相同, 但變異數不同的常態分佈以等機率混合 (mixture), 仍為常態分佈。
混合 (mixture) 分佈是指一個新的分佈是通過以一定權重組合多個分佈得到的。

核心觀念：盒鬚圖 (Box Plot) 的組成元素及其所呈現的資訊。

詳解：
盒鬚圖 (Box Plot) 是一種顯示數據分佈的圖形，它能顯示中位數、四分位數、範圍以及離群點。

(A) 可呈現中位數。
盒鬚圖中的箱體 (box) 內部的一條線代表中位數 (Median, Q2)。此敘述正確。

(B) 可呈現四分位差 (interquartile range)。
盒鬚圖中的箱體 (box) 的長度代表了四分位差 (IQR)。IQR = Q3 - Q1，其中 Q3 是第三四分位數，Q1 是第一四分位數。此敘述正確。

(C) 可呈現強影響點 (influential point; 或稱槓桿點, leverage point)。

核心觀念：假設檢定的基本概念、常用檢定方法（t檢定、ANOVA）、信賴區間與檢定法的關係，以及顯著水準的定義。

詳解：
(A) 若想對同一群人檢測用藥前後的血壓是否有差異, 可以針對血壓值進行配對樣本檢定 (paired t-test)。
當我們對同一組對象在不同條件下（例如用藥前 vs. 用藥後）進行測量時，這兩個測量值是相關的。配對樣本 t 檢定 (paired t-test) 就是用於檢定兩個相關樣本（例如配對的數據）的平均數是否存在顯著差異。此敘述正確。

(B) 兩獨立樣本 t 檢定 (two-sample t-test) 可以用於檢定兩個比例 (proportion) 的差異。
兩獨立樣本 t 檢定是用來比較兩個獨立樣本的「平均數」(mean) 是否有顯著差異。
檢定兩個「比例」(proportion) 的差異，通常使用比例檢定 (proportion test) 或卡方檢定 (chi-square test for independence)，而不是 t 檢定。雖然在某些情況下（例如樣本數很大時），t 檢定的結果可能近似於比例檢定的結果，但嚴格來說，t 檢定是針對平均數的。此敘述錯誤。

核心觀念：比例的估計、抽樣分佈、信賴區間、比例檢定、型一錯誤、型二錯誤、p 值。

詳解：
題目描述：樣本數 $n=100$，成功人數 (減下原體重 20% 的人數) $x=30$。

(1) 請問在這個樣本中, 「六個月內成功減去原體重 20%」的比例為何?
這個比例就是樣本比例 $\hat{p}$。
$\hat{p} = \frac{\text{成功人數}}{\text{樣本數}} = \frac{x}{n} = \frac{30}{100} = 0.30$。

【答案】0.30

(2) 請問此成功率的抽樣分佈 (sampling distribution) 會符合何種分配? 依據為何?
此成功率的抽樣分佈指的是當我們重複進行多次抽樣（每次抽樣 100 人），計算每次抽樣的比例 $\hat{p}$ 所形成的機率分佈。
由於我們是在進行比例的推論，且樣本數 $n=100$ 夠大，我們可以依據中央極限定理 (Central Limit Theorem) 的精神，認為樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈。
判斷依據：

• 樣本數夠大。一般而言，當 $n\hat{p} \ge 10$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 10$ 時，抽樣分佈可近似為常態分佈。
• 在此情況下，$n\hat{p} = 100 \times 0.30 = 30 \ge 10$ 且 $n(1-\hat{p}) = 100 \times (1-0.30) = 100 \times 0.70 = 70 \ge 10$。
  因此，此成功率的抽樣分佈近似於常態分佈。
  其期望值為母群體比例 $p$，標準差為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。在進行信賴區間或檢定時，我們常用 $\hat{p}$ 來估計 $p$。

【答案】近似於常態分佈 (Normal distribution)。依據：樣本數足夠大，且 $n\hat{p} \ge 10$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 10$。

(3) 請計算此成功率的 95% 信賴區間 (confidence interval), 並解釋區間所代表的意義。 (請詳列計算過程, 並計算至小數點下第四位)
樣本比例 $\hat{p} = 0.30$，樣本數 $n=100$。
95% 信賴區間的公式為：$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。查標準常態分佈表，對應的 $Z_{\alpha/2}$ 約為 1.96。
標準誤 (Standard Error, SE) of $\hat{p}$ 為：
$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.30(1-0.30)}{100}} = \sqrt{\frac{0.30 \times 0.70}{100}} = \sqrt{\frac{0.21}{100}} = \sqrt{0.0021} \approx 0.04582576$。
計算至小數點第四位：$SE(\hat{p}) \approx 0.0458$。

信賴區間的計算：
$0.30 \pm 1.96 \times 0.0458$
$0.30 \pm 0.089768$
$0.30 \pm 0.0898$ (計算至小數點第四位)

信賴區間下限：$0.30 - 0.0898 = 0.2102$
信賴區間上限：$0.30 + 0.0898 = 0.3898$

95% 信賴區間為 $(0.2102, 0.3898)$。

意義解釋：
我們有 95% 的信心，認為這個減重計畫在全台灣重度肥胖者中的真實成功率（母群體比例 $p$）落在區間 $(0.2102, 0.3898)$ 之間。或者說，如果我們重複進行 100 次這樣的抽樣，大約有 95 次所計算出來的信賴區間會包含真實的母群體比例。

【答案】計算過程：$\hat{p}=0.30, n=100, Z_{0.025} \approx 1.96$。 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.30 \times 0.70}{100}} = \sqrt{0.0021} \approx 0.0458$。CI $= 0.30 \pm 1.96 \times 0.0458 = 0.30 \pm 0.0898 = (0.2102, 0.3898)$。
意義：有 95% 的信心，真實的成功率介於 0.2102 至 0.3898 之間。

(4) 假設我們已知這個減重計畫在全台灣的平均成功率為 20%, 請問在這個樣本中所觀察到的成功率超過 30% 的機率為何? 請計算至小數點下第四位。
已知母群體比例 $p = 0.20$ (虛無假說中的值)。
樣本比例 $\hat{p} = 0.30$。
樣本數 $n=100$。
我們需要計算 $P(\hat{p} > 0.30)$，在 $p=0.20$ 的假設下。
抽樣分佈的標準誤為：
$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.20(1-0.20)}{100}} = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{100}} = \sqrt{\frac{0.16}{100}} = \sqrt{0.0016} = 0.04$。

核心觀念：複迴歸模型建立、交互作用項、虛擬變數 (dummy variables)、迴歸係數的解釋、假設檢定。

詳解：
題目描述：
應變數 $Y$：身高。
自變數：

• $X_1$: 出生地區 (類別變數, 5類: 北部, 中部, 東部, 西部, 南部)。
• $X_2$: 年齡 (連續變數, 30-79歲)。
• $X_3$: 性別 (虛擬變數, 0=男性, 1=女性)。
• 考慮 $X_2$ 和 $X_3$ 的交互作用項 ($X_2 \times X_3$)。

(1) 請根據以上敘述寫出適當的迴歸模型。在你的模型之下, 北部和南部對身高影響的差異是多少?

首先，處理類別變數 $X_1$ (出生地區)。我們需要引入虛擬變數 (dummy variables)。由於有 5 個類別，我們需要引入 $5-1 = 4$ 個虛擬變數。
假設我們以「北部」作為參照組 (reference group)。
令：
$D_{中部} = 1$ 如果出生在中部, 0 否則。
$D_{東部} = 1$ 如果出生在東部, 0 否則。
$D_{西部} = 1$ 如果出生在西部, 0 否則。
$D_{南部} = 1$ 如果出生在南部, 0 否則。
如果出生在北部，則 $D_{中部}=D_{東部}=D_{西部}=D_{南部}=0$。

模型中包含年齡 ($X_2$)、性別 ($X_3$)、地區的虛擬變數，以及年齡與性別的交互作用項 ($X_2 \times X_3$)。

適當的迴歸模型為：
$Y = \beta_0 + \beta_1 D_{中部} + \beta_2 D_{東部} + \beta_3 D_{西部} + \beta_4 D_{南部} + \beta_5 X_2 + \beta_6 X_3 + \beta_7 (X_2 \times X_3) + \epsilon$

其中：

• $\beta_0$ 是當所有虛擬變數為 0 (即出生在北部), 年齡 $X_2=0$ (注意：年齡的實際範圍是 30-79，若要 $\beta_0$ 有實際意義，可能需要對 $X_2$ 進行中心化處理，例如 $X_2' = X_2 - \text{某個基準值}$，但題目未要求，故沿用原始變數)，性別 $X_3=0$ (男性) 時的預測身高。
• $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 分別代表中部、東部、西部、南部地區相較於北部地區，在控制其他變數後，身高平均差異。
• $\beta_5$ 是當性別為男性 ($X_3=0$) 時，年齡每增加一歲，身高平均增加量。
• $\beta_6$ 是當年齡為 0 (注意：此處為解釋上的困難，若 $X_2$ 未中心化，此項解釋較不直觀) 時，女性 ($X_3=1$) 相較於男性 ($X_3=0$) 身高的平均差異。
• $\beta_7$ 是性別與年齡交互作用的係數。它表示女性的年齡對身高的影響，與男性的年齡對身高的影響之間的差異。

北部和南部對身高影響的差異是多少?
北部地區對應於所有地區虛擬變數為 0 ($D_{中部}=D_{東部}=D_{西部}=D_{南部}=0$)。
南部地區對應於 $D_{南部}=1$，而其他地區虛擬變數為 0。

當出生地為北部時，模型預測身高為：
$Y_{\text{北部}} = \beta_0 + \beta_5 X_2 + \beta_6 X_3 + \beta_7 (X_2 \times X_3)$ (因為所有 $D$ 變數都為 0)

當出生地為南部時，模型預測身高為：
$Y_{\text{南部}} = \beta_0 + \beta_4(1) + \beta_5 X_2 + \beta_6 X_3 + \beta_7 (X_2 \times X_3)$
$Y_{\text{南部}} = (\beta_0 + \beta_4) + \beta_5 X_2 + \beta_6 X_3 + \beta_7 (X_2 \times X_3)$