113 年 國立臺灣大學流行病學與預防醫學研究所甲：流行病組《生物醫學統計學》

核心觀念：變異數分析(ANOVA)適用於比較三個或三個以上群體（組別）的平均數是否有顯著差異。

詳解：
變異數分析 (ANOVA) 的主要目的是比較三個或更多組別的平均數是否存在顯著差異。在這個問題中，我們比較的是「臺大校內男女」兩個群體的「血型分布」。

核心觀念：p值代表虛無假說為真時，觀察到目前結果或更極端結果的機率。p值越小，證據越強烈，越有理由拒絕虛無假說。

詳解：
在統計檢定中，p值 (p-value) 是衡量證據強度的一個指標。p值越小，表示觀察到的數據與虛無假說 (null hypothesis) 相矛盾的程度越大，因此我們越有理由拒絕虛無假說。

核心觀念：獨立樣本 t 檢定與變異數分析 (ANOVA) 在比較兩組平均數時是等價的。

詳解：
對於比較兩組獨立樣本的平均數，獨立樣本 t 檢定 (independent samples t-test) 和單因子變異數分析 (one-way ANOVA with two groups) 是等價的。也就是說，如果我們在顯著水準 $\alpha$ 下執行獨立樣本 t 檢定，其結果與在相同顯著水準 $\alpha$ 下執行單因子 ANOVA 的結果是相同的，並且它們的 p 值會相同。

具體來說，t 檢定的統計量 $t$ 的平方等於 ANOVA 中的 F 統計量，即 $t^2 = F$。
對於獨立樣本 t 檢定，當兩組的變異數相等時，使用標準的 t 檢定；

核心觀念：卡方檢定用於檢定兩個類別變項的獨立性，而不是計算相關性的強度。

詳解：
卡方檢定 (Chi-square test) 主要用於檢定兩個類別變項 (categorical variables) 之間是否獨立，或者說是否存在關聯性。例如，檢定性別（男/女）與吸煙習慣（吸煙/不吸煙）之間是否獨立。卡方檢定的結果 (p 值) 告訴我們是否存在統計學上顯著的關聯性，但它本身並不直接「計算」關聯性的「強度」。

要衡量兩個類別變項之間關聯性的強度，我們需要使用其他指標，例如：

• Phi coefficient ($\phi$)：對於 $2 \times 2$ 的列聯表，Phi coefficient 可以用來衡量關聯性的強度，其值介於 -1 和 1 之間。

核心觀念：信賴區間的隨機性體現在其建構過程，一旦建構完成，它就是一個固定的區間。

詳解：
信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的概念常常引起誤解。
信賴區間的定義是：我們以 $100(1-\alpha)\%$ 的信心水準建構一個區間，這個區間有 $100(1-\alpha)\%$ 的機會包含母體參數的真實值。

這裡的「信心水準 $100(1-\alpha)\%$」是指建構區間的「方法」的可靠性，而不是指「某一個特定建構出來的區間」包含母體參數的機率。

一旦我們從一個特定的樣本數據計算出一個信賴區間（例如，95% CI 為 [a, b]），這個區間 [a, b] 就是一個固定的數值區間。

核心觀念：型二誤差率與檢力是互補的概念，它們的總和為 1。

詳解：
在統計假設檢定中，有兩種主要的錯誤可能發生：

1. 型一誤差 (Type I Error)：當虛無假說 (H₀) 為真時，錯誤地拒絕了它。其機率通常用 $\alpha$ 表示，稱為顯著水準 (significance level)。
2. 型二誤差 (Type II Error)：當對立假說 (H₁) 為真時，錯誤地未能拒絕虛無假說 (H₀)。其機率用 $\beta$ 表示。

核心觀念：在其他條件相同的情況下，樣本數越大，統計檢定的檢力通常越高，p值越小。

詳解：
在假說檢定中，p 值衡量了觀察到的數據在虛無假說為真時的可能性。
統計檢定的統計量（例如 t 統計量、Z 統計量、F 統計量）通常是樣本統計量（如樣本平均數、樣本比例）與其標準誤 (standard error) 的比值。標準誤通常與樣本數的平方根成反比（標準誤 $\approx \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$）。

核心觀念：勝算比 (Odds Ratio, OR) 的信賴區間是否包含 1 是判斷 OR 是否顯著異於 1 的標準方法。

詳解：
勝算比 (Odds Ratio, OR) 是衡量兩個二元變項之間關聯性強度的常用指標，尤其在病例對照研究 (case-control study) 中。
虛無假說通常設定為 OR = 1，這表示兩個變項之間沒有關聯性（例如，暴露組與對照組的勝算比相等）。
對立假說通常是 OR $\neq$ 1。

在進行統計檢定時，我們計算 OR 的點估計值，並同時計算其信賴區間 (Confidence Interval, CI)。

核心觀念：型一誤差率的定義。

詳解：
型一誤差 (Type I Error) 的定義是：當虛無假說 (H₀) 為真時，錯誤地拒絕了它。
型一誤差發生的機率，通常用 $\alpha$ 表示，稱為顯著水準 (significance level)。

核心觀念：對於 $2 \times 2$ 的列聯表，卡方檢定 (Chi-square test) 和獨立樣本比例的 Z 檢定 (independent two-proportion Z test) 在結果上是等價的。

詳解：
當我們有兩個二元變項（例如，暴露/非暴露 vs. 結果/無結果）時，數據可以組織成一個 $2 \times 2$ 的列聯表。

• 卡方檢定：用於檢定這兩個二元變項之間是否存在關聯性。

核心觀念：單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的基本假設。

詳解：
單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 用於比較三個或更多獨立組別的平均數是否存在顯著差異。其進行分析前需要滿足一些基本假設：

(A) 常態性 (Normality)：各組的母體數據應服從常態分布。ANOVA 對於違反常態性的情況具有一定的穩健性，尤其是在樣本數足夠大的情況下，但理論上常態性是假設之一。
(B) 變異數同質性 (Homogeneity of variances)：各組的母體變異數應該相等。這個假設通常稱為變異數齊一性 (homoscedasticity)。

核心觀念

本題同時涉及兩種「配對／相依」結構：

1. 同一受試者服藥前後的血壓值相依
   因此先計算每位受試者的血壓差異值：
   $D_i=\text{服藥後血壓}_i-\text{服藥前血壓}_i$

2. 病例與對照經配對而產生相依性
   每一個病例通常與一名或數名特徵相近的對照配對，因此同一配對中的病例與對照並非獨立觀察值。

雖然將前後血壓轉換為差異值可以處理「同一受試者前後測量」的問題，但仍須處理「病例—對照配對」所造成的相依性。

若為一對一配對，第 $j$ 對的病例與對照差異值分別為 $D_{1j}$ 與 $D_{0j}$，應進一步計算配對差：

$$\Delta_j=D_{1j}-D_{0j}$$

再以所有配對的 $\Delta_j$ 進行單一樣本 $t$ 檢定，或稱配對樣本 $t$ 檢定：

$$t=\frac{\bar{\Delta}-\mu_{\Delta,0}} {s_{\Delta}/\sqrt{m}}$$

其中 $m$ 為配對數，虛無假設通常為：

$$H_0:\mu_{\Delta}=0$$

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解題方法

判斷本題的關鍵，不是只看是否有「服藥前後」資料，而是要確認：

• 資料是否來自同一人前後測量；
• 不同受試者之間是否因研究設計而相依；
• 分析方法是否有處理病例與對照的配對關係。

本題先以每位受試者的前後血壓差異值作為結果變項，但病例與對照仍然是配對的。因此，病例組與對照組之間不是兩個彼此獨立的樣本，應使用能反映配對結構的方法，例如配對樣本 $t$ 檢定、配對迴歸模型或混合效應模型。

因此，正確選項為 (B)。

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選項分析

(A) 錯誤

「已經測量前後血壓差異值」只代表已處理同一受試者前後測量的相依性，不能消除病例與對照之間因配對所產生的相依性。

若直接將病例組與對照組的差異值視為兩個獨立樣本，使用獨立樣本 $t$ 檢定，會忽略配對設計，導致標準誤估計不正確，統計推論可能失真。

適當作法是先計算每一配對的組間差異：

核心觀念：當比較兩組比例時，若要檢定兩比例是否有差異，通常會先合併樣本來計算一個合併的比例作為虛無假說下的點估計。

詳解：
題目要求計算「若甲乙兩國的流感侵襲率沒有差異」，則兩國侵襲率的「估計值」。這通常是指在虛無假說（兩國侵襲率相等）成立的情況下，我們對這個共同侵襲率的最佳估計。

在檢定兩比例 $p_1$ 和 $p_2$ 是否相等的假設檢定中，虛無假說 H₀: $p_1 = p_2$。
當 H₀ 為真時，我們使用合併的樣本比例作為對共同母體比例 $p$ 的估計。

使用第 13 題的資料

甲國 100 人中 9 人得流感，乙國 121 人中 16 人得流感。在「兩國侵襲率沒有差異」的假設下，侵襲率的估計值是合併比例：
$\hat p=\frac{9+16}{100+121}=\frac{25}{221}\approx0.113$
（第 13 題答案為 0.11。）

核心觀念

比例估計值的變異數是 $\dfrac{p(1-p)}{n}$；兩組比較時，常用合併比例計算兩國比例差的變異數：
$\operatorname{Var}(\hat p_1-\hat p_2)=\hat p(1-\hat p)\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)$

計算

$\hat p(1-\hat p)=0.113\times0.887\approx0.100$

核心觀念

本題考查兩個獨立母體比例差的信賴區間。

設甲、乙兩國的流感侵襲率分別為 $\hat p_1$、$\hat p_2$，樣本數為 $n_1$、$n_2$，則兩比例差的估計值為：

$$\hat p_1-\hat p_2$$

在大樣本下，其標準誤為：

$$S=\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} +\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}$$

因此，95% 信賴區間為：

$$(\hat p_1-\hat p_2)\pm 1.96S$$

本題已給出差異為 $0.0422$，重點是判斷 $S^2$ 的公式。

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解題方法

兩國為彼此獨立的樣本，因此兩比例差的變異數為兩國樣本比例變異數之和：

$$S^2= \frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}$$

由選項可知，甲國的樣本比例為 $0.09$、樣本數為 $100$；乙國的樣本比例為 $0.16$、樣本數為 $121$。代入得：

$$S^2= \frac{0.09(1-0.09)}{100} + \frac{0.16(1-0.16)}{121}$$

因此：

$$S^2= \frac{0.09\times0.91}{100} + \frac{0.16\times0.84}{121}$$

這正是選項所表示的形式。

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選項分析

(A)

$$\frac{25}{221}\times\frac{221-25}{221}$$

此式是以合併比例

核心觀念

設原始身高資料為 $X_1,X_2,\ldots,X_{1001}$，轉換後每筆資料為

$$Y_i=4(X_i+9)=4X_i+36.$$

此題考查資料經過「加上常數」及「乘以正數」後，各種描述統計量的變化：

• 平均值：$X$ 加上常數後增加該常數，再乘以倍數。
• 標準差：加上常數不影響離均差；乘以正數後，標準差乘上該倍數。
• 中位數：資料整體加常數、乘正數後，中位數進行相同的線性轉換。
• 四分位差：$Q_3-Q_1$，加上常數會抵消，乘以正數則跟著放大。
• 變異係數：通常定義為

$$CV=\frac{\text{標準差}}{\text{平均值}}.$$

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解題方法

令原始資料的平均值、標準差、中位數分別為 $\bar X$、$s_X$、$M_X$，第一四分位數與第三四分位數分別為 $Q_1,Q_3$。

由於

$$Y=4X+36,$$

可直接套用線性轉換公式。

平均值：

$$\bar Y=4\bar X+36.$$

標準差：

$$s_Y=4s_X,$$

因為加上 $36$ 不會改變資料的離散程度，乘以 $4$ 則使所有離均差放大為原來的 $4$ 倍。

中位數：

$$M_Y=4M_X+36.$$

四分位數：

$$Q_{1,Y}=4Q_1+36,\qquad Q_{3,Y}=4Q_3+36.$$

因此四分位差為

$$IQR_Y=Q_{3,Y}-Q_{1,Y}$$ $$=(4Q_3+36)-(4Q_1+36)$$ $$=4(Q_3-Q_1)=4IQR_X.$$

變異係數：

$$CV_Y=\frac{s_Y}{\bar Y} =\frac{4s_X}{4\bar X+36} =\frac{s_X}{\bar X+9}.$$

原始變異係數為

$$CV_X=\frac{s_X}{\bar X}.$$

身高平均值為正數，因此 $\bar X+9>\bar X$，所以

核心觀念：常態分布的線性轉換性質、獨立常態分布的和與差的分布、以及標準常態分布與卡方分布的關係。

詳解：
(A) 常態分佈乘以常數：
若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $aX \sim N(a\mu, a^2\sigma^2)$。
所以，如果將一個常態分佈的隨機變數 $X$ 乘以一個常數 $c$ ($c \neq 0$)，得到的新變數 $Y=cX$，則 $Y$ 仍然服從常態分佈。
在本題中，常數是 $1.96$。所以，常態分佈乘以 $1.96$ 仍然是常態分佈。
因此，選項 (A) 是正確的。

(B) 常態分佈減去常數：
若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $X-c \sim N(\mu-c, \sigma^2)$。
所以，如果從一個常態分佈的隨機變數 $X$ 減去一個常數 $c$，得到的新變數 $Y=X-c$，則 $Y$ 仍然服從常態分佈。
在本題中，常數是 $1.96$。所以，常態分佈減去 $1.96$ 仍然是常態分佈。
因此，選項 (B) 是正確的。

(C) 兩個獨立常態分佈相加：
若 $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 且 $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $X_1$ 與 $X_2$ 獨立，則 $X_1 + X_2 \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$。
兩個獨立常態分佈的總和仍然服從常態分佈。
因此，選項 (C) 是正確的。

(D) 兩個獨立且相同的常態分佈相減：
若 $X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且 $X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $X_1$ 與 $X_2$ 獨立，則 $X_1 - X_2 \sim N(\mu-\mu, \sigma^2+\sigma^2) = N(0, 2\sigma^2)$。
兩個獨立常態分佈的差仍然服從常態分佈。
因此，選項 (D) 是正確的。

(E) 標準常態分布與卡方分布的關係：
設 $Z_1, Z_2, \dots, Z_k$ 是 $k$ 個獨立的標準常態隨機變數（即 $Z_i \sim N(0, 1)$ 且 $Z_i$ 之間獨立）。
則 $\sum_{i=1}^k Z_i^2$ 服從自由度為 $k$ 的卡方分布，記為 $\chi^2(k)$。

核心觀念：Poisson 分布的性質、獨立 Poisson 分布的和、以及 Poisson 分布的極限定理。

詳解：
Poisson 分布的機率質量函數為 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，其中 $\lambda > 0$ 是平均值和變異數。

(A) Poisson 分佈乘以正整數：
若 $X \sim Poisson(\lambda)$，則 $cX$ (其中 $c$ 是正整數) 不一定服從 Poisson 分佈。
例如，若 $X \sim Poisson(5)$，則 $2X$ 的值可以是 $0, 2, 4, 6, \dots$。Poisson 分佈的值是 $0, 1, 2, 3, \dots$。
$P(2X=k)$ 的計算也與 Poisson 分佈的公式不符。
例如，令 $Y = cX$。則 $P(Y=y) = P(cX=y) = P(X=y/c)$。如果 $y/c$ 不是整數，則機率為 0。如果 $y/c$ 是整數 $k$，則 $P(Y=y) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$。
這不是一個標準的 Poisson 分佈形式，其參數 $\lambda$ 必須是平均值。
舉例：若 $X \sim Poisson(\lambda)$，則 $E[X] = \lambda$。若 $Y=cX$，則 $E[Y] = cE[X] = c\lambda$。
對於 Poisson 分佈，平均值等於變異數。
如果 $Y$ 是 Poisson 分佈，其參數應為 $c\lambda$。
但是，變異數 $Var(Y) = Var(cX) = c^2 Var(X) = c^2 \lambda$。
如果 $Y$ 是 $Poisson(c\lambda)$，則其變異數應為 $c\lambda$。

核心觀念

伯努立分佈可表示為

$$X\sim \operatorname{Bernoulli}(p), \qquad P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p.$$

其期望值與變異數為

$$E(X)=p,$$ $$\operatorname{Var}(X)=p(1-p),$$

標準差為

$$\operatorname{SD}(X)=\sqrt{p(1-p)}.$$

變異係數定義為

$$CV=\frac{\operatorname{SD}(X)}{E(X)} =\frac{\sqrt{p(1-p)}}{p} =\sqrt{\frac{1-p}{p}}, \qquad 0<p<1.$$

本題主要考查：

1. 伯努立分佈與二項式分佈的關係。
2. 伯努立分佈和卜瓦松分佈的極限關係。
3. 大數法則與中央極限定理。
4. 伯努立分佈的變異係數。
5. 伯努立隨機變數相乘後的分佈型態。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合上述定義與極限定理。其中最容易混淆的是：

• 「樣本平均數趨近常態」必須搭配標準化，且原始樣本平均數的變異數會趨近於零。
• 伯努立分佈的變異係數並不固定介於 $0$ 和 $1$ 之間，而是取決於成功機率 $p$。

選項分析

(A) 正確

設 $X_1,X_2$ 為兩個相互獨立且成功機率相同的伯努立隨機變數：

$$X_1,X_2\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\operatorname{Bernoulli}(p).$$

令

$$S=X_1+X_2.$$

$S$ 表示兩次試驗中成功的次數，因此

$$S\sim\operatorname{Binomial}(2,p).$$

一般而言，$n$ 個相互獨立且成功機率同為 $p$ 的伯努立隨機變數總和，服從二項式分佈：

$$\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\operatorname{Binomial}(n,p).$$

因此此選項正確。

(B) 正確

當試驗次數非常多、每次成功機率非常小，但總期望成功次數維持固定值 $\lambda$ 時，二項式分佈會趨近卜瓦松分佈。

若

$$S_n\sim\operatorname{Binomial}(n,p_n),$$

且滿足

$$n\to\infty,\qquad p_n\to 0,\qquad np_n\to\lambda,$$

則有

$$S_n\overset{d}{\longrightarrow}\operatorname{Poisson}(\lambda).$$

這就是卜瓦松極限定理。因此，無限多個彼此獨立、成功機率趨近於零的伯努立分佈總和，在總平均值固定的條件下趨近卜瓦松分佈，此選項正確。

(C) 錯誤

令

$$X_1,\ldots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\operatorname{Bernoulli}(p),$$

其樣本平均數為

$$\bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.$$

核心觀念：抽樣分佈的定義及其特性。

詳解：
抽樣分佈 (Sampling Distribution) 是指從母體中重複抽取樣本，並對每個樣本計算某個統計量（如平均值、比例、標準差等），這些統計量所形成的機率分佈。

(A) 點估計的估計量：
點估計是從樣本數據計算出的單一數值，用來估計母體參數。例如，樣本平均數 $\bar{X}$ 用來估計母體平均數 $\mu$。
估計量 (estimator) 是統計量的一個概念，它是一個隨機變數（因為它依賴於樣本）。
估計量的機率分佈，就是它的抽樣分佈。例如，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈就是 $\bar{X}$ 的機率分佈。
因此，選項 (A) 是正確的。

(B) 假說檢定的檢定量：
檢定量 (test statistic) 是在進行假說檢定時，根據樣本數據計算出的統計量。
在虛無假說為真的情況下，檢定量的機率分佈就是它的抽樣分佈。例如，當 H₀ 為真時，t 統計量的抽樣分佈是 t 分佈。
因此，選項 (B) 是正確的。

核心觀念

系統性抽樣是機率抽樣的一種。若母體共有 $N$ 個成員，欲抽取 $n$ 個樣本，抽樣間隔為

$$k=\frac{N}{n}$$

先在 $1,\ldots,k$ 中以等機率選出一個亂數起始點 $R$，再抽取：

$$R,\ R+k,\ R+2k,\ldots,R+(n-1)k$$

因此，系統性抽樣的關鍵是：

1. 母體成員必須有順序或編號。
2. 起始點必須隨機選取。
3. 抽樣間隔固定。
4. 若母體順序具有週期性，樣本代表性與變異數估計會受到影響。

在標準情況下，系統性抽樣對母體平均值的估計量為

$$\bar{y}_{sys}=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}y_{R+jk}$$

若 $R$ 在 $1,\ldots,k$ 間等機率抽出，則

$$E(\bar{y}_{sys}) = \frac{1}{k}\sum_{r=1}^{k} \left( \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}y_{r+jk} \right) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_i = \bar{Y}$$

所以系統性抽樣平均值在隨機起始點下，仍是母體平均值的不偏估計量。

解題方法

本題逐項判斷系統性抽樣的基本性質，特別注意兩個容易混淆的概念：

• 系統性抽樣本身是機率抽樣，不能省略隨機起始點。
• 週期性排列會使樣本的代表性與變異數估計受到影響，但不必然破壞母體平均值估計量的不偏性。

因此，錯誤敘述應是把系統性抽樣錯誤地描述成「非機率抽樣」的選項。

選項分析

(A) 正確

系統性抽樣需要依照母體成員的編號或排列順序，按照固定間隔抽取樣本。

例如母體有 $1,000$ 人，欲抽取 $100$ 人，抽樣間隔為

$$k=\frac{1000}{100}=10$$

先從 $1$ 到 $10$ 中隨機抽出起始點，再每隔 $10$ 人抽取一人。因此，母體成員已有現成編號時，執行系統性抽樣相當便利。

(B) 錯誤

系統性抽樣屬於機率抽樣，必須使用亂數決定起始點。

例如抽樣間隔為 $10$，應在 $1,\ldots,10$ 中隨機選取起始點。若固定從第 $1$ 位開始抽，則每個成員被抽中的機率不再由隨機機制決定，也可能因母體排列方式而產生偏差。

核心觀念

本題考查線性迴歸的估計方法、模型假設、判定係數的解讀，以及迴歸關係與因果關係的區別。

在線性迴歸中，常見模型寫作：

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\cdots+\beta_pX_{ip}+\varepsilon_i$$

其中 $Y_i$ 是反應變數，$X_{ij}$ 是解釋變數，$\varepsilon_i$ 是誤差項。最小平方法選取迴歸係數，使殘差平方和最小：

$$\min_{\beta_0,\ldots,\beta_p}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\widehat{Y}_i)^2$$

解題方法

逐項判斷敘述是否符合迴歸分析的基本原則：

1. 檢查迴歸係數是否可用最小平方法估計。
2. 分清楚模型對解釋變數與誤差項的假設。
3. 確認判定係數的意義及其限制。
4. 判斷迴歸關聯是否足以支持因果推論。
5. 檢查樣本數與變數數目對一般最小平方法估計的影響。

選項分析

(A) 正確。
線性迴歸係數可用最小平方法估計，其目標是讓觀察值與模型預測值之間的殘差平方和最小。題目中的「least squared estimates」通常稱為最小平方法估計，常見縮寫為 OLS。

(B) 錯誤。
線性迴歸一般不要求解釋變數 $X$ 服從常態分配。對迴歸係數進行統計推論時，常見的常態性假設是誤差項在給定解釋變數後服從常態分配，例如：

$$\varepsilon_i\mid X_i\sim N(0,\sigma^2)$$

核心觀念

本題考查多元線性迴歸係數的解釋、二元結果的線性機率模型、$R^2$ 的意義，以及類別變項交互作用的設定。

題目未附前頁的迴歸表；以下依題意假設性別編碼為女 $=0$、男 $=1$，性別係數為 $1.13$，並將（A）、（C）的係數敘述解讀為控制其他變項後的關係。

多元線性迴歸可寫為：

$$E(Y\mid X_1,\ldots,X_p) =\beta_0+\beta_1X_1+\cdots+\beta_pX_p.$$

其中，$\beta_j$ 表示：**其他解釋變項維持相同時，$X_j$ 每增加一單位，$Y$ 的條件平均數改變多少。**因此，迴歸係數描述的是調整後的關係，不能直接解讀為因果效果。

解題方法

逐一檢查四件事：

1. 係數是否依變項編碼正確解讀，並以其他變項固定為前提。
2. 分析方法是「不能使用」，還是「可以使用，但有適用限制」。
3. $R^2$ 是否被誤當成具有固定及格標準的配適指標。
4. 多類別變項是否被錯當成連續數值，導致交互作用受到不必要的限制。

選項分析

（A）正確：性別係數代表調整後的平均分數差。

在沒有涉及性別的交互作用項時，若女編碼為 $0$、男編碼為 $1$，模型中的性別項為 $1.13\,sex$，則在其他變項相同的條件下：

$$E(Y\mid sex=1,\mathbf Z)-E(Y\mid sex=0,\mathbf Z)=1.13,$$

其中 $\mathbf Z$ 表示其他共變項。

因此，男性照顧者的預期照顧負荷與壓力分數比女性高 $1.13$ 分。這是調整後的平均差異，不代表每一位男性都比每一位女性高 $1.13$ 分，也不能據此宣稱性別造成此差異。

（B）正確：二元依變項也可以使用線性迴歸。

令 $V=1$ 表示有申請喘息服務、$V=0$ 表示未申請，則：

$$E(V\mid X,\mathbf Z)=P(V=1\mid X,\mathbf Z).$$

因此，可以建立線性機率模型（linear probability model）：

$$P(V=1\mid X,\mathbf Z) =\beta_0+\beta_1X+\boldsymbol{\gamma}^{\mathsf T}\mathbf Z.$$

當性別 $X$ 編碼為女 $=0$、男 $=1$，且沒有相關交互作用項時，$\beta_1$ 表示控制其他變項後，男性與女性申請機率的差。例如 $\beta_1=0.08$，表示男性申請機率高 $8$ 個百分點。

此模型的主要限制包括：

• 預測機率可能小於 $0$ 或大於 $1$。
• 二元結果的條件變異數為 $p(1-p)$，通常具有異質變異，推論時宜採用異質變異穩健標準誤。
• 機率與解釋變項之間的線性假設未必符合資料。

邏輯斯迴歸是分析二元結果的常用方法，但上述限制不代表線性迴歸不能使用。選項說的是「也可以使用」，因此正確。

（C）正確：負係數表示調整後的負向關係。

若喘息服務使用時數 $H$ 的係數 $\beta_H<0$，則在其他變項固定時：

$$E(Y\mid H+1,\mathbf Z)-E(Y\mid H,\mathbf Z)=\beta_H<0.$$

核心觀念：F檢定的步驟與判讀。

詳解：
ANOVA 表中的 F 檢定用於檢定三個或三個以上群體（組別）的平均數之間是否存在顯著差異。

1. 虛無與對立假設 (Null and Alternative Hypotheses)：

   • 虛無假說 (H₀)：所有組別的母體平均數都相等。
     例如，若有 $k$ 個組別，則 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$。
   • 對立假說 (H₁)：至少有一個組別的母體平均數與其他組別不同。
     例如，$H_1:$ 至少存在一個 $i \neq j$ 使得 $\mu_i \neq \mu_j$。

2. 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)：
   研究者預先設定一個顯著水準 $\alpha$，通常為 0.05 或 0.01。它代表了當虛無假說為真時，錯誤地拒絕它的最大可接受機率（即型一誤差的機率）。

3. 如何完成檢定 (Procedure)：

   • 計算 F 統計量：ANOVA 表格中的 F 值是根據樣本數據計算出來的。它代表了組間變異 (between-group variance, MS_regression) 與組內變異 (within-group variance, MS_residual) 的比值：
     $F = \frac{MS_{regression}}{MS_{residual}}$
     其中，$MS_{regression}$ 是迴歸均方（代表組間變異），$MS_{residual}$ 是殘差均方（代表組內變異）。
   • 判讀 P 值 (P-value)：ANOVA 表格中會直接給出 F 檢定的 P 值。P 值是當虛無假說為真時，觀察到當前 F 值或更極端 F 值的機率。

核心觀念：單一迴歸係數的顯著性檢定。

詳解：
迴歸分析表格中，「喘息服務使用時數(小時)」的迴歸係數為 $-1.08$，其 t 統計量為 $-16.50$，P 值為 $<0.0001$。這個檢定是為了判斷該解釋變數是否對反應變數有顯著的影響。

1. 虛無與對立假設 (Null and Alternative Hypotheses)：

   • 虛無假說 (H₀)：該解釋變數的母體迴歸係數為 0。這意味著該解釋變數對反應變數沒有線性影響。
     對於「喘息服務使用時數」，H₀: $\beta_{\text{喘息時數}} = 0$。
   • 對立假說 (H₁)：該解釋變數的母體迴歸係數不為 0。這意味著該解釋變數對反應變數有顯著的線性影響。
     H₁: $\beta_{\text{喘息時數}} \neq 0$。

2. 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)：
   通常設定為 0.05。

3. 如何完成檢定 (Procedure)：

   • 計算 t 統計量：表格中給出了 t 統計量的值，為 $-16.50$。這個值是透過將迴歸係數除以其標準誤計算得出的：$t = \frac{\text{係數}}{\text{標準誤}} = \frac{-1.08}{0.07} \approx -15.43$ (這裡的計算值與表格中的 -16.50

核心觀念：迴歸模型中交互作用項的解釋。

詳解：
迴歸模型中包含了「喘息服務使用時數(小時)×性別(男vs.女)」這個交互作用項，其迴歸係數為 $-0.27$，P 值為 $0.0177$。

交互作用項的意義在於，它表示一個解釋變數對反應變數的影響，會因為另一個解釋變數的水平而有所不同。

在這個模型中：

• 反應變數：照顧負荷與壓力程度。
• 主要解釋變數：喘息服務使用時數、性別（男 vs. 女）。
• 交互作用項：喘息服務使用時數 × 性別。

解釋：
交互作用項的係數 $-0.27$ 表示，當性別從女性（dummy 變數 = 0）變為男性（dummy 變數 = 1）時，「喘息服務使用時數」對「照顧負荷與壓力程度」的影響（即迴歸係數）會改變 $-0.27$。

具體來說，我們可以這樣解釋：

1. 對於女性 (sex=0)：
   喘息服務使用時數的影響是其主效應係數：$-1.08$。
   即，每增加一小時喘息服務使用時數，照顧負荷與壓力程度平均減少 $1.08$ 分。

核心觀念：迴歸係數的信賴區間的解釋。

詳解：
在迴歸分析結果中，「喘息服務使用時數(小時)」的迴歸係數是 $-1.08$。
其 95% 信賴區間是 $(-1.21, -0.95)$。

信賴區間的意義：
95% 信賴區間是指，我們有 95% 的信心認為，母體中該解釋變數（喘息服務使用時數）的真實迴歸係數（$\beta_{\text{喘息時數}}$）落在這個區間內。

具體解釋：

1. 區間範圍：這個區間 $(-1.21, -0.95)$ 告訴我們，母體中「喘息服務使用時數」對「照顧負荷與壓力程度」的真實影響（每增加一小時喘息服務使用時數，照顧負荷與壓力程度平均變化的量），最可能的值介於 $-1.21$ 到 $-0.95$ 之間。

核心觀念：殘差圖的判讀，用於檢驗迴歸模型的假設。

詳解：
殘差圖 (Residual Plot) 是診斷迴歸模型是否符合假設的重要工具。通常，殘差圖會以殘差 (Residual) 作為縱軸，以某個解釋變數或擬合值 (fitted values) 作為橫軸。

在這個案例中，殘差圖的橫軸是「喘息服務使用時數 (Respite Care hours)」，縱軸是「Residual」。

殘差圖的理想情況：
理想情況下，殘差圖應該顯示殘差隨解釋變數的變化是隨機散佈的，沒有明顯的模式。點應該大致圍繞著橫軸（殘差為 0 的水平線）隨機分佈，並且散佈的範圍（變異數）應該是相對恆定的。

判讀此殘差圖：
觀察圖片中的殘差圖，我們可以發現：

1. 殘差的散佈：殘差的點圍繞著橫軸（殘差為 0 的線）分佈。
2. 模式：然而，殘差的散佈似乎呈現出一個「扇形」或「喇叭形」的模式。在橫軸的左側（喘息服務使用時數較小時，例如 15-25 小時），殘差的散佈範圍相對較窄，點比較集中。