114 年 國立臺灣大學流行病學與預防醫學研究所甲：流行病組《生物醫學統計學》

本題考查資料散佈指標對極端值的敏感度。散佈指標是衡量資料離散程度的統計量，而極端值（outliers）是指遠離資料大部分的數值。

• 全距 (Range)：最大值減最小值，極易受極端值影響。
• 標準差 (Standard Deviation)：計算所有數值與平均數的離差平方和，再開根號。由於涉及所有數值，對極端值較敏感。
• 平均絕對離差 (Mean Absolute Deviation, MAD)：計算所有數值與平均數的絕對離差的平均。

本題考查對盒鬚圖 (box-and-whisker plot) 各組成部分的理解。盒鬚圖是一種顯示資料分佈的圖形，包含箱體 (box) 和鬚線 (whiskers)。

• 箱體 (Box) 代表資料的 IQR，即 Q1 到 Q3 的範圍。箱體內的線條代表中位數 (Median)。
• 鬚線 (Whiskers) 通常延伸到資料中的最小值和最大值，但通常會限制在離箱體邊緣 1.5 倍 IQR 的範圍內。超出此範圍的點則被視為潛在的離群值 (outliers)，並單獨標示出來。

讓我們逐一分析選項：
(A) 中位數 (Median) 確實是顯示在箱體內的一條線，代表資料的 50% 位置。在標準盒鬚圖中，中位數線不一定在箱體正中間，其位置反映了資料的偏態。
(B) 盒子的寬度（或高度，取決於繪製方向）代表了資料的四分位差 (IQR)，即 Q3 - Q1。這是盒鬚圖的核心部分，顯示了中間 50% 資料的散佈範圍。

本題考查隨機變數及其機率分佈的基本概念。

• 隨機變數 (Random Variable)：一個變數，其值依賴於隨機現象的結果。
• 離散型隨機變數 (Discrete Random Variable)：其可能取值是有限個或可數無限個的。
• 連續型隨機變數 (Continuous Random Variable)：其可能取值是某個區間內的所有實數。
• 機率分佈 (Probability Distribution)：描述隨機變數取各個可能值的機率。
  • 離散型機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF)：對於離散型隨機變數 $X$，其 PMF $P(X=x)$ 給出 $X$ 取特定值 $x$ 的機率。

本題考查常態分佈 (Normal Distribution) 的性質，特別是關於線性組合的特性。若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $aX+b$ 的分佈為 $N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$。

• 常態分佈的性質:
  • 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $cX \sim N(c\mu, c^2\sigma^2)$ 對於任意常數 $c$。
  • 若 $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 且 $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 獨立，則 $X_1 + X_2 \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$。
  • 若 $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 且 $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 獨立，則 $X_1 - X_2 \sim N(\mu_1-\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$。

逐一分析選項：
(A) 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $c > 0$，則 $cX \sim N(c\mu, c^2\sigma^2)$。這是一個常態分佈。
(B) 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $c < 0$，則 $cX \sim N(c\mu, c^2\sigma^2)$。這也是一個常態分佈。例如，將標準常態分佈乘以 -1，結果仍是標準常態分佈。

本題考查二項式分佈 (Binomial Distribution) 與布阿松分佈 (Poisson Distribution) 的性質。

• 二項式分佈 $B(n, p)$: 描述 $n$ 次獨立伯努利試驗中成功次數的機率分佈，其中每次成功的機率為 $p$。
  • 期望值: $E[X] = np$
  • 變異數: $Var(X) = np(1-p)$
  • 性質：兩個獨立的二項式分佈 $X_1 \sim B(n_1, p)$ 和 $X_2 \sim B(n_2, p)$ 相加，若 $p$ 相同，則 $X_1+X_2 \sim B(n_1+n_2, p)$。
• 布阿松分佈 $Po(\lambda)$: 描述在固定時間或空間內，獨立隨機事件發生的次數的機率分佈，其中平均發生率為 $\lambda$。
  • 期望值: $E[X] = \lambda$
  • 變異數: $Var(X) = \lambda$
  • 性質：兩個獨立的布阿松分佈 $X_1 \sim Po(\lambda_1)$ 和 $X_2 \sim Po(\lambda_2)$ 相加，則 $X_1+X_2 \sim Po(\lambda_1+\lambda_2)$。

逐一分析選項：
(A) 兩個獨立且相同的二項式分佈 $X_1, X_2 \sim B(n, p)$ 相加，其和 $X_1+X_2 \sim B(2n, p)$，這是一個二項式分佈。因此，此敘述是正確的。
(B) 兩個獨立的布阿松分佈 $X_1 \sim Po(\lambda_1)$ 和 $X_2 \sim Po(\lambda_2)$ 相加，其和 $X_1+X_2 \sim Po(\lambda_1+\lambda_2)$，這是一個布阿松分佈。此敘述是正確的。

本題考查卡方分佈 (Chi-square Distribution) 的性質。卡方分佈是一個重要的機率分佈，常在假設檢定中使用，特別是與變異數有關的檢定。

• 定義: 若 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$ 是 $k$ 個獨立的標準常態隨機變數，則 $X = \sum_{i=1}^k Z_i^2$ 服從自由度為 $k$ 的卡方分佈，記作 $X \sim \chi^2(k)$。
• 期望值: $E[X] = k$
• 變異數: $Var(X) = 2k$

逐一分析選項：
(A) 若 $X \sim \chi^2(1)$，根據定義，這表示 $X = Z^2$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。
那麼 $\sqrt{X} = \sqrt{Z^2} = |Z|$。
$|Z|$ 的機率分佈不是標準常態分佈。標準常態分佈是關於 0 對稱的，而 $|Z|$ 的值恆為非負，且其機率分佈是半個標準常態分佈（移位後）。
更準確地說，若 $Z \sim N(0, 1)$，則 $Y = Z^2 \sim \chi^2(1)$。

核心觀念

信賴區間的一般形式為：

因此，信賴區間長度為：

其中：

• $\text{臨界值}$ 由顯著水準 $\alpha$ 與自由度決定；
• $SE$ 為標準誤；
• 信賴水準為 $1-\alpha$。

解題方法

分別判斷顯著水準與標準誤改變時，對信賴區間長度的影響。

1. 顯著水準下降

當 $\alpha$ 下降時，信賴水準 $1-\alpha$ 上升。例如，顯著水準由 $0.05$ 降至 $0.01$，信賴水準便由 $95\%$ 上升至 $99\%$。

信賴水準越高，臨界值越大，因此：

所以顯著水準下降會使信賴區間變長，而不是變短。

2. 標準誤減少

本題考查假設檢定 (Hypothesis Testing) 中，樣本數 (Sample Size, $n$) 對於檢定力的影響，特別是在實際效應接近零時。

• 雙尾檢定 (Two-tailed Test)：虛無假說 (Null Hypothesis, $H_0$) 通常假設沒有效應或差異，例如 $H_0: \mu = \mu_0$ 或 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$。對立假說 (Alternative Hypothesis, $H_1$) 則認為存在效應或差異，例如 $H_1: \mu \ne \mu_0$ 或 $H_1: \mu_1 - \mu_2 \ne 0$。
• 實際效應 (Effect Size)：指真實的差異或關係的大小。題目中提到「實際效應接近零」，這意味著真實的參數值（如真實的平均數 $\mu$ 或平均數差 $\mu_1 - \mu_2$）非常接近虛無假說中的值（如 $\mu_0$ 或 0）。
• 檢定統計量 (Test Statistic)：例如，對於平均數的檢定，檢定統計量通常形式為 $\frac{\text{Sample Estimate} - \text{Hypothesized Value}}{\text{Standard Error}}$。

本題考查單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，這是比較三個或三個以上獨立樣本平均數是否相等的統計方法。

研究背景: 比較三種飲食方案 (A, B, C) 對減重的效果，共有 40 名受試者，平均分派到三組。提供各組的平均減重值、標準差和樣本數。

(1) 請問進行ANOVA的前提假設有哪些?(5分)

進行單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的前提假設有三個：

• 獨立性 (Independence): 各組內的觀測值之間是獨立的，且各組之間也是獨立的。這通常透過隨機分派受試者到各組來達成。
• 常態性 (Normality): 每一組的母體都服從常態分佈。也就是說，A組、B組、C組的總體減重值都應服從常態分佈。
• 變異數同質性 (Homogeneity of Variances): 各組的母體變異數相等。即 $\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma_C^2$。

(2) 請問ANOVA的虛無假說(Ho)和對立假說(H₁)分別是什麼?(3分)

• 虛無假說 ($H_0$): 所有組別的母體平均數都相等。
  在本次研究中，即 $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$。
  這表示三種飲食方案對減重的效果沒有顯著差異。

• 對立假說 ($H_1$): 至少有一個組別的母體平均數與其他組別不同。
  在本次研究中，即 $H_1$: $\mu_A, \mu_B, \mu_C$ 不全相等。
  這表示至少有一種飲食方案在減重效果上與其他方案有顯著差異。

(3) 為什麼 ANOVA 檢定適用於比較三組平均值,而不是進行多次t檢定?(2分)

如果我們進行多次成對的 t 檢定（例如 A vs B, A vs C, B vs C），會增加第一類錯誤 (Type I error) 的機率。第一類錯誤是指在虛無假說為真時，卻拒絕虛無假說（即誤判為有顯著差異）。

假設顯著水準 $\alpha = 0.05$。

• 進行一次 t 檢定，犯第一類錯誤的機率為 0.05。
• 進行三次獨立的 t 檢定，至少犯一次第一類錯誤的機率會顯著高於 0.05。
  • 例如，三次獨立檢定的情況下，整體犯第一類錯誤的機率約為 $1 - (1 - \alpha)^3 = 1 - (1 - 0.05)^3 = 1 - 0.95^3 \approx 1 - 0.857 = 0.143$。
  • 也就是說，即使所有飲食方案的減重效果都一樣（$H_0$ 為真），我們有約 14.3% 的機會會至少在某一次成對比較中發現顯著差異。

ANOVA 檢定是進行一個整體性的檢定，控制了整體的第一類錯誤機率為 $\alpha$ (例如 0.05)。如果 ANOVA 檢定結果顯著（拒絕 $H_0$），才進一步進行事後檢定 (post-hoc tests) 來找出具體是哪些組別之間有差異，此時事後檢定會進行校正以控制整體第一類錯誤。

(4) 請簡述 ANOVA檢定的流程。(8分)

ANOVA 的核心思想是將總變異 (Total Variation) 分解為組間變異 (Between-group Variation) 和組內變異 (Within-group Variation)。

1. 計算總變異 (Total Sum of Squares, SST): 衡量所有觀測值與總平均數之間的差異。
   $SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_{..})^2$
   其中 $y_{ij}$ 是第 $i$ 組的第 $j$ 個觀測值，$\bar{y}_{..}$ 是所有觀測值的總平均數，$k$ 是組數，$n_i$ 是第 $i$ 組的樣本數。

2. 計算組間變異 (Between-group Sum of Squares, SSB 或 SSG): 衡量各組平均數與總平均數之間的差異，並考慮各組的樣本數。
   $SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2$
   其中 $\bar{y}_{i.}$ 是第 $i$ 組的平均數。SSB 反映了不同組別平均數之間的差異。

3. 計算組內變異 (Within-group Sum of Squares, SSW 或 SSE): 衡量各組內部觀測值與該組平均數之間的差異。
   $SSW = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_{i.})^2$
   SSW 反映了組內的隨機變異。

4. 計算自由度 (Degrees of Freedom, df):

   • 總自由度: $df_{total} = N - 1$，其中 $N = \sum n_i$ 是總樣本數。

本題要求解釋 ANOVA table 中的 F 統計量的虛無假說、對立假說，以及如何解釋檢定結果。這部分與第 9 題的第 (2) 和 (5) 部分高度相關，但這裡的 ANOVA table 來自另一研究（探討氣候變遷對登革熱病媒蚊分布的影響，涉及降雨、台南/高雄、山地/平地等變數）。

根據提供的 ANOVA table：

此 ANOVA table 是用於多元迴歸模型的整體顯著性檢定，而不是單因子 ANOVA。在多元迴歸中，虛無假說檢定的是所有自變數的迴歸係數是否同時為零。

• 虛無假說 ($H_0$): 所有的自變數（在此研究中是「迴歸」來源對應的所有自變數，例如「迴歸」自由度為 4，代表有 4 個自變數或 4 個組合的自變數）的迴歸係數皆為零。

本題要求解釋迴歸模型中某一個自變數（「降雨天數/月」）的迴歸係數的 95% 信賴區間。

從表格中的迴歸係數部分可以看到：

• 自變數: 降雨天數/月
• 迴歸係數 (Coefficient): 0.895
• 標準誤 (Standard Error): 0.093
• t 統計量 (t-statistic): 9.604
• P-值 (P-value): <0.0001
• 95% 信賴區間 (95% Confidence Interval): (0.712, 1.078)

解釋 95% 信賴區間 (0.712, 1.078) 的意義:

這個 95% 信賴區間是指：

1. 對迴歸係數的估計: 我們可以有 95% 的信心認為，在控制其他自變數（截距、台南 vs. 高雄、山地 vs. 平地、降雨量(mm)/月）不變的情況下，每增加一個單位的「降雨天數/月」，依變數（布氏指數）的平均值會增

本題要求解釋多元迴歸模型中的 $R^2$ 值。

從表格中的迴歸統計部分可以看到：

• $R^2 = 0.8803$

$R^2$ (決定係數, Coefficient of Determination) 的意義:

$R^2$ 是迴歸模型中一個重要的指標，它衡量了依變數 (dependent variable) 的總變異 (total variation) 中，有多少比例可以被模型中的自變數 (independent variables) 所解釋。

• 數學定義: $R^2 = \frac{SS_{\text{regression}}}{SS_{\text{total}}} = 1 - \frac{SS_{\text{residual}}}{SS_{\text{total}}}$
  • $SS_{\text{regression}}$: 模型解釋的變異量 (Sum of Squares due to Regression)。

本題考查線性迴歸模型的假設、解釋及模型建立的原則。

(A) 線性迴歸模型中「線性」的意思是指自變數(independent variable)X與依變數(dependent variable) Y之間的關係是線性。

• 判斷: 正確。
• 說明: 在線性迴歸模型中，「線性」指的是依變數 $Y$ 與自變數 $X$ 之間的關係可以用一個線性的方程式來描述。這意味著，自變數的係數是線性的，例如 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots + \epsilon$。即使自變數是經過轉換的（如 $X^2$ 或 $\log(X)$），只要參數 $\beta$ 是線性的，也稱為線性迴歸。最基本的線性迴歸是 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$。

(B) 線性迴歸模型中假設自變數(independent variable) X要服從常態分配(normal distribution)。

• 判斷: 錯誤。
• 更正: 線性迴歸模型的假設是關於殘差 (residuals) 服從常態分佈，而不是自變數 $X$。自變數 $X$ 可以是任何類型的變數（連續、離散、分類），不要求服從常態分佈。

(C) 根據分析結果,山地鄉的布氏指數會比平地地區少1.524。

• 判斷: 正確。
• 說明: 從迴歸係數表格中，我們可以看到「山地 vs. 平地」的迴歸係數是 -1.524。
  • 這裡的「山地 vs. 平地」很可能是一個虛擬變數 (dummy variable)。假設平地 (reference group) 的對應虛擬變數值為 0，山地鄉為 1。
  • 則模型為：布氏指數 $= \ldots - 1.524 \times (\text{山地/平地虛擬變數}) + \ldots$
  • 當為山地鄉時，虛擬變數為 1，布氏指數 $= \ldots - 1.524 \times 1 + \ldots = \ldots - 1.524 + \ldots$
  • 當為平地區域時，虛擬變數為 0，布氏指數 $= \ldots - 1.524 \times 0 + \ldots = \ldots$
  • 因此，在控制其他變數不變的情況下，山地鄉的布氏指數預期會比平地區域少 1.524。

(D) 此分析結果的迴歸模型為:布氏指數=11.264-2.879× 台南-1.524 × 山地+ 0.056×降雨量+0.895×降雨天數

• 判斷: 錯誤（形式上正確，但變數的定義和符號可能不精確）。
• 更正/說明:
  • 首先，這個方程式的形式是正確的，它包含了截距項和所有自變數的係數。
  • 然而，有幾個問題：
    1. 「台南」和「山地」的變數類型: 這兩個變數很可能是虛擬變數 (dummy variables)。
       • 如果「台南」是一個指示變數，代表「是否在台南」，且「高雄」是參照組，那麼係數 -2.879 表示在台南的布氏指數平均比高雄低 2.879。
       • 同理，如果「山地」是一個指示變數，代表「是否在山地」，且「平地」是參照組，那麼係數 -1.524 表示在山地的布氏指數平均比平地低 1.524。
       • 問題: 如果「台南」是指「是否在台南」，那麼「高雄」在哪裡？如果這是比較台南和高雄，通常會設計成一個虛擬變數。例如，設 $D_{\text{台南}} = 1$ 若在台南，0 否； $D_{\text{高雄}} = 1$ 若在高雄，0 否。如果我們選擇台南為參照組，則模型中只放 $D_{\text{高雄}}$。如果我們選擇高雄為參照組，則模型中只放 $D_{\text{台南}}$。表格中出現「台南 vs. 高雄」，表示可能是一個虛擬變數，但方程式的寫法是直接減去「台南」，這暗示「台南」可能是一個指示變數，而「高雄」是參照組。
       • 「山地」和「平地」: 同樣，方程式寫法 -1.524 × 山地，暗示「山地」可能是指示變數，且「平地」是參照組。
    2. 符號: 兩個變數「台南」和「山地」的係數都是負的，這與選項 (C) 的解釋一致。
    3. 「台南」變數的定義: 如果「台南」是一個指示變數 (1 for 台南, 0 for 高雄)，那麼模型是：
       布氏指數 $= 11.264 - 2.879 \times D_{\text{台南}} - 1.524 \times D_{\text{山地}} + 0.056 \times \text{降雨量} + 0.895 \times \text{降雨天數}$。
       這裡的「-2.879」是 $b_{\text{台南}}$，表示台南的平均布氏指數比高雄（參照組）低 2.879。
       「-1.524」是 $b_{\text{山地}}$，表示山地的平均布氏指數比平地（參照組）低 1.524。

本題要求利用提供的診斷圖 (diagnostic plots) 來評估線性迴歸模型的假設是否被違反，以及模型是否存在其他問題。圖表包含：Residuals vs Fitted, Normal Q-Q, Scale-Location, Residuals vs Leverage，以及 Residuals vs Rainfall 和 Residuals vs. Number of days with rainfall。

我們逐一分析各圖表：

1. Residuals vs Fitted (殘差 vs. 擬合值)

• 圖示: 殘差 (y 軸) 與擬合的依變數值 (x 軸) 的散佈圖。
• 觀察: 圖中殘差的散佈似乎呈現一種「喇叭狀」或扇形，即隨著擬合值的增加，殘差的散佈範圍也似乎在擴大。
• 違反假設: 這違反了變異數同質性 (Homoscedasticity) 的假設，即殘差的變異數應該是恆定的（與擬合值無關）。這裡的扇形圖暗示了異質性變異 (Heteroscedasticity)，即殘差的變異數隨著擬合值的增大而增大。
• 問題: 模型可能存在異質性變異。

2. Normal Q-Q (標準化殘差的常態分位圖)

• 圖示: 標準化殘差的實際分位數與理論常態分佈分位數的散佈圖。
• 觀察: 大部分的點都落在對角線附近，這表示殘差大致服從常態分佈。
• 違反假設: 沒有明顯違反常態性假設。

3. Scale-Location (尺度 vs. 位置，即標準化殘差的平方根 vs. 擬合值)

• 圖示: 標準化殘差的平方根 (y 軸) 與擬合值 (x 軸) 的散佈圖。這個圖也是用來檢查變異數同質性。
• 觀察: 圖中顯示殘差的平方根隨擬合值的增加而呈現上升趨勢，這也暗示了異質性變異 (Heteroscedasticity)。
• 問題: 模型可能存在異質性變異。

4. Residuals vs Leverage (殘差 vs. 槓桿值)

• 圖示: 殘差 (y 軸) 與槓桿值 (Leverage, x 軸) 的散佈圖。槓桿值衡量了每個觀測值對模型擬合的影響程度。
• 觀察: 圖中顯示了一些槓桿值較高的點，例如標示為 "285 C", "3220", "3780" 的點。這些點代表可能影響模型擬合的離群值或高影響力點。
• 違反假設: 雖然高槓桿值本身不直接違反假設，但需要檢查這些點是否同時也是殘差較大的點（即離群值），以判斷是否存在高影響力點 (Influential Points)。
• 問題: 可能存在高影響力點，需要進一步分析（例如使用 Cook's distance）。圖中右側的幾個點（如 285 C, 3220, 3780）的殘差相對較大，且槓桿值也較高，可能需要進一步檢查。

5. Residuals vs. Rainfall (殘差 vs. 降雨量)

• 圖示: 殘差 (y 軸) 與自變數「降雨量 (Rainfall)」(x 軸) 的散佈圖。
• 觀察: 殘差的散佈似乎沒有明顯的模式，沒有明顯的扇形或曲線趨勢。
• 違反假設: 這似乎沒有顯示出與「降雨量」這個變數相關的異質性變異或非線性關係。

6. Residuals vs. Number of days with rainfall (殘差 vs. 降雨天數)

• 圖示: 殘差 (y 軸) 與自變數「降雨天數 (Number of days with rainfall)」(x 軸) 的散佈圖。
• 觀察: 圖中殘差的散佈似乎呈現一個較為寬鬆的模式。