114 年 國立成功大學公共衛生研究所《生物統計學與流行病學》

此題考驗對年齡標準化死亡率概念的理解，特別是直接法與間接法的應用與差異。

年齡標準化死亡率是為了比較不同人口群體時，消除年齡結構差異造成的影響而設計的指標。

(a) 錯誤。如果兩個族群的年齡別死亡率完全相同，那麼無論使用何種年齡結構（標準人口），計算出來的年齡標準化死亡率也應該相同。粗死亡率（crude mortality rate）是未經調整的死亡率，它會受到人口年齡結構的影響。因此，即使年齡別死亡率相同，如果兩個族群的年齡結構不同，粗死亡率也會不同。反之，若年齡別死亡率相同，無論使用何種標準人口進行調整，其年齡標準化死亡率也應相同。此敘述的邏輯是：年齡別死亡率相同 → 年齡標準化死亡率相同，但粗死亡率可能不同。這句話本身沒有絕對的錯誤，但選項 (c) 的敘述是有問題的。

此題考驗對「勝算」(Odds) 的定義與計算，以及在特定時間範圍內疾病發生率的理解。

首先，我們要釐清題目所問的「勝算」是指什麼。在流行病學中，勝算通常指「發生」與「未發生」的比例。而題目問的是「甲疾病在2020年發生的勝算」，這通常是指在2020年初健康的人口中，在2020年這一年內新發生疾病的勝算。

題目給的資訊：

• 2020年1月1日總人口：1000人
• 2020年1月1日已有甲疾病者：200人
• 2020年12月31日又有100人發生了甲疾病。

我們要計算的是「在2020年新發生疾病的勝算」。

1. 確定新發生疾病的族群 (New Cases)： 題目提到「又有100人發生了甲疾病」，這100人是新增的病例。

2. 確定未發生疾病的族群 (Non-cases at risk)：

   • 在2020年初，總人口是1000人，其中200人已經有疾病。
   • 因此，在2020年初「沒有」疾病且「有風險」成為新病例的人口數是：1000 - 200 = 800人。
   • 這800人是我們計算「新發生疾病」的基礎。

3. 計算2020年的發生率 (Incidence Rate)： 發生率是指在特定時間內，新發生疾病的病例數佔「處於風險中的人口」的比例。

   • 發生率 = (新發生疾病人數) / (年初處於風險中的人口數)
   • 發生率 = 100人 / 800人 = 1/8

4. 計算發生疾病的勝算 (Odds of Disease)： 勝算是指某事件發生的機率與不發生的機率之比。

   • 對於疾病而言，勝算 = (發生疾病的機率) / (未發生疾病的機率)。
   • 如果我們考慮的是「在2020年初有風險的人口中，在2020年這一年內是否會發生疾病」，那麼：
     • 發生疾病的人數 = 100人

核心觀念

本題考查「發生率（incidence）」與「盛行率（prevalence）」的定義、研究設計限制，以及兩者在公共衛生決策上的用途。

1. 發生率

發生率描述一段期間內「新發生」疾病的速度或風險。

常見形式包括：

• 累積發生率：

$$\text{累積發生率} = \frac{\text{特定期間內的新發病例數}} {\text{期初尚未罹病且具有發病風險的人數}}$$

• 發生密度（incidence rate）：

$$\text{發生密度} = \frac{\text{特定期間內的新發病例數}} {\text{所有個體貢獻的人時總和}}$$

重點是：發生率的分子只計算「新病例」。

2. 盛行率

盛行率描述某一時間點或期間內，族群中「已存在」疾病的比例。

• 點盛行率：

$$\text{點盛行率} = \frac{\text{某一時間點的現有病例數}} {\text{該時間點的總人口數}}$$

• 期間盛行率：

$$\text{期間盛行率} = \frac{\text{期間內曾罹病的現有病例數}} {\text{該期間的族群人口數}}$$

盛行率同時包含既有病例與期間內的新病例，因此反映某疾病在族群中的「疾病負擔」。

在疾病相對穩定的情況下，盛行率、發生率與疾病平均持續時間常有近似關係：

$$P \approx I \times D$$

其中 $P$ 為盛行率、$I$ 為發生率、$D$ 為疾病平均持續時間。

解題方法

本題問「何者錯誤」，應逐一核對各選項是否符合：

1. 發生率分子是否為新病例。
2. 盛行率分母是否為研究期間的族群人口。
3. 橫斷面研究能否觀察疾病發生時間與新病例。
4. 醫療資源配置應主要反映新發生風險，還是既有疾病負擔。

其中，醫療資源與健康服務配置主要關心目前有多少患者需要診斷、治療、追蹤及照護，因此盛行率通常比發生率更適合作為資源需求的參考。

選項分析

(a) 發生率的分子為某一特定期間內族群的新發病例數。

正確。

此題考驗對「疾病自然病史」(Natural History of Disease) 以及「三段五級預防」(Three Levels and Five Stages of Prevention) 的理解。

• 疾病自然病史： 指疾病在沒有任何醫療介入的情況下，從開始到結束的發展過程。通常包括：

  • 前期 (Pre-pathogenesis period): 疾病在人體外開始，人體與致病因子接觸，但尚未引起人體內部的病理變化。
  • 病程期 (Pathogenesis period): 疾病在人體內開始發展，從潛在病變到臨床症狀出現。
    • 潛伏期 (Latent period): 疾病開始發生但無明顯症狀。
    • 症狀期 (Symptomatic period): 出現可察覺的症狀和體徵。

• 三段五級預防：

  • 第一段：維持健康 (Health Promotion) - 針對健康人群，目的是提升整體健康水平，預防疾病發生。
  • 第二段：早期診斷與治療 (Early Diagnosis and Prompt Treatment) - 針對已暴露於危險因子但尚未發病，或已發病但症狀輕微的群體，目的是及早發現和治療，阻止疾病進展。
  • 第三段：減少失能與復健 (Disability Limitation and Rehabilitation) - 針對已發病且有後遺症或失能的群體，目的是減輕疾病對功能的影響，恢復部分功能，提高生活品質。

  五級預防是將三段預防細分：

  1. 健康促進 (Health Promotion): 針對健康人，提高抵抗力，避免疾病侵襲。（屬於第一段）
  2. 特殊保護 (Specific Protection): 針對健康人，採取特定措施防止疾病發生。（屬於第一段）
  3. 早期診斷與治療 (Early Diagnosis and Prompt Treatment): 針對已暴露者或早期患者。（屬於第二段）
  4. 減少失能 (Disability Limitation): 針對已有疾病但尚未嚴重失能者，防止病情惡化。（屬於第三段）
  5. 復健 (Rehabilitation): 針對已嚴重失能者，恢復其社會功能。（屬於第三段）

現在逐一檢視選項：

核心觀念

臨床試驗中的隨機分配，是將受試者以機率方法分派至不同治療組，而非由受試者、研究者或醫師自行決定。主要目的包括：

1. 降低選擇偏差與受試者自我選擇造成的偏差。
2. 使下一位受試者的治療分組不可預測，避免研究者預先安排。
3. 使已知與未知的干擾因子在各組間「期望上」較為平衡，提高組間可比性。

必須注意：隨機分配只能提高各組可比的機率，不能保證不同治療組在所有基線特徵上完全相同。

解題方法

本題問「隨機分配的目的，不包含何者」，判斷重點是區分：

• 隨機分配能直接達成或促進的效果；
• 隨機分配無法絕對保證的結果。

選項中，若敘述使用「確保」組間可比性，代表完全保證各組相同，這超出隨機分配的能力。因此應選擇該項。

選項分析

(a) 排除受試者對特定治療的自我選擇

正確。若由受試者自行選擇治療，偏好某種治療者可能在年齡、健康狀況、疾病嚴重度或健康行為上有所不同，形成選擇偏差。隨機分配可使治療選擇不受受試者偏好主導，因此這是隨機分配的目的之一。

(b) 無法預測下一個受試者會接受何種治療

正確。隨機分配使下一位受試者的分組具有不可預測性，可避免研究者根據受試者特徵，提前推測或操控其治療組別。此特性也與分配隱蔽性密切相關，有助於降低選擇偏差。

核心觀念

本題考「生態研究」與「生態謬誤」。

生態研究以群體或地區為分析單位，例如國家、城市或學校，使用各國的平均紅酒消費量與胃癌死亡率進行比較。研究結果只能直接描述「國家層級」的關係，不能直接推論到個人層級。

生態謬誤是指：

將群體層級的統計關係，錯誤推論為個人層級的關係。

例如，若紅酒消費量較高的國家胃癌死亡率也較高，只能表示這兩個國家層級變項具有正相關，不能據此認定該國每一位紅酒喝得多的人，胃癌死亡風險都比較高。

解題方法

先判斷每個選項的敘述對象：

• 若敘述對象是「國家」或使用各國的平均資料，屬於群體層級推論。
• 若敘述對象是「人」或個人行為，屬於個人層級推論。

題幹的研究單位是「各國」，因此研究資料只能支持下列形式的結論：

$$\text{國家平均紅酒消費量} \quad \text{與} \quad \text{國家胃癌死亡率}$$

若把研究結果改寫成：

$$\text{個人紅酒消費量} \quad \text{與} \quad \text{個人胃癌死亡風險}$$

便是從群體層級推論到個人層級，構成生態謬誤。

選項分析

（a）未觀察到紅酒消費量與胃癌死亡率之間的相關性

此敘述描述的是研究中所觀察到的紅酒消費量與胃癌死亡率之間的關係，未涉及個人層級推論。

它可以是國家層級的研究結果，因此不犯生態謬誤。

（b）紅酒消費量較低的人，胃癌死亡率也較低

此題考驗對「病例對照研究」(Case-Control Study) 中「匹配」(Matching) 的目的、優缺點及適用性的理解。

• 病例對照研究： 回溯性研究，比較患有某疾病（病例）與未患有該疾病（對照）的兩組人群，以探討過去的暴露史與疾病之間的關聯。
• 匹配 (Matching)： 在病例對照研究中，為每個病例選擇一個或多個對照，使其在某些潛在的干擾因子（如年齡、性別、種族等）上與病例盡可能相似。這樣做是為了控制這些干擾因子對病例組和對照組的影響，從而更準確地評估暴露與疾病的關聯。

現在逐一檢視選項：

(a) 可以探討匹配因子與疾病的相關性。
* 錯誤。 匹配的目的是「控制」干擾因子，使其在病例組和對照組之間保持平衡，而不是去探討這些匹配因子本身與疾病的相關性。一旦進行了匹配，就難以或無法在研究中評估匹配因子與疾病的獨立關聯。例如，如果我們按年齡匹配，就無法在研究中得知年齡本身與疾病的關係。

(b) 即使想控制的干擾因子很多,最好還是採用匹配的方式去控制,以確保兩組間的可比性。
* 錯誤。 匹配雖然是控制干擾因子的一種方法，但它有其局限性。

此題考驗對不同研究設計（世代研究、病例對照研究、病例世代研究、巢式病例對照研究）的優缺點、適用性、以及在特定情境（同時探討多種疾病、經費有限）下的選擇。

研究情境：

• 研究對象：10000名健康成人（世代研究的基礎）。
• 初始數據收集：問卷、血液檢體（可作為暴露和生物標誌物的測量）。
• 追蹤時間：10年。
• 目標：觀察數個目標疾病的發病狀況。
• 限制：經費有限，想同時探討多種疾病。

我們來分析各種研究設計：

(a) 世代研究 (Cohort Study):
* 從暴露和未暴露的群體開始，追蹤其疾病發生情況。
* 優點：可以研究多種疾病的發生，可以計算發生率，較少偏差。
* 缺點：對於罕見疾病，需要非常大樣本或很長的追蹤時間；費用較高，耗時長。
* 在本題情境下，追蹤10年觀察多種疾病，傳統的世代研究可能因經費和時間而受限，特別是如果疾病本身不常見。

(b) 病例世代研究 (Case-Cohort Study):
* 屬於世代研究的一種變體。從一個世代研究的基線群體中，隨機抽取一個子群體作為「對照」，然後將在追蹤期間發生的所有病例，與這個子群體進行比較。
* 優點：可以研究多種疾病，可以估計發生率，相對傳統世代研究更省錢（因為對照組不是整個世代，而是隨機抽取的子群體）。
* 缺點：對照組的抽樣可能需要仔細設計。

(c) 巢式病例對照研究 (Nested Case-Control Study):
* 在一個已經進行的世代研究（或其基線群體）的基礎上，將追蹤期間發生的病例，與同期從未發病的對照進行配對（通常按時間匹配），並從世代研究中獲取這些病例和對照的基線數據（如血液檢體）。
* 優點：
* 省錢： 只需對選定的病例和對照進行暴露和生物標誌物的檢測，而不需要對整個世代群體進行檢測。
* 減少偏差： 基線數據（如血液檢體）在發病前就已收集，減少了回溯性偏差。
* 可研究多種疾病： 同一批病例和對照，可以檢測不同的生物標誌物，探討多種疾病的關聯。
* 可以估計發生率（間接推算）： 雖然不是直接計算，但可以通過勝算比來估計發生率比。
* 缺點：對照的選擇很重要，且一旦世代研究結束，就無法再添加新的病例或對照。

此題考驗貝氏定理(Bayes' Theorem)在診斷檢驗中的應用，用於更新疾病發生的先驗機率(prior probability)為後驗機率(posterior probability)，以及如何結合連續的檢驗結果。

基本概念：

• 先驗機率 (Prior Probability, P(D))： 在進行任何檢驗前，對某事件（如患病）的已知機率。
• 後驗機率 (Posterior Probability, P(D|Test+))： 在得知檢驗結果後，對該事件發生的機率的更新。
• 靈敏度 (Sensitivity, Sens)： P(Test+|D) - 檢驗結果為陽性，且確實患病的機率。
• 特異度 (Specificity, Spec)： P(Test-|D') - 檢驗結果為陰性，且確實未患病的機率。
• 偽陽性率 (False Positive Rate, FPR)： P(Test+|D') = 1 - Spec - 檢驗結果為陽性，但實際上未患病的機率。
• 偽陰性率 (False Negative Rate, FNR)： P(Test-|D) = 1 - Sens - 檢驗結果為陰性，但實際上患病的機率。
• 陽性預測值 (Positive Predictive Value, PPV)： P(D|Test+) - 檢驗結果陽性時，實際患病的機率。
• 陰性預測值 (Negative Predictive Value, NPV)： P(D'|Test-) - 檢驗結果陰性時，實際未患病的機率。

貝氏定理公式：
$P(D|Test+) = \frac{P(Test+|D) \times P(D)}{P(Test+)}$
其中，$P(Test+) = P(Test+|D) \times P(D) + P(Test+|D') \times P(D')$

已知條件：

• 初步估計罹患甲狀腺癌的可能性 (先驗機率)：$P(D) = 0.20$
• 未罹患甲狀腺癌的機率：$P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.20 = 0.80$

TSH 檢測：

• 靈敏度 (Sens)：$P(TSH+|D) = 0.90$
• 特異度 (Spec)：$P(TSH-|D') = 0.75$
• 偽陽性率 (FPR)：$P(TSH+|D') = 1 - Spec = 1 - 0.75 = 0.25$
• 偽陰性率 (FNR)：$P(TSH-|D) = 1 - Sens = 1 - 0.90 = 0.10$

FNA 檢測：

• 靈敏度 (Sens)：$P(FNA+|D) = 0.95$
• 特異度 (Spec)：$P(FNA-|D') = 0.90$
• 偽陽性率 (FPR)：$P(FNA+|D') = 1 - Spec = 1 - 0.90 = 0.10$
• 偽陰性率 (FNR)：$P(FNA-|D) = 1 - Sens = 1 - 0.95 = 0.05$

---

(a) TSH 檢測結果為陽性，計算修正後機率 (後驗機率)。
我們要計算 $P(D|TSH+)$。

1. 計算 TSH 陽性檢測的總機率 $P(TSH+)$：
   $P(TSH+) = P(TSH+|D) \times P(D) + P(TSH+|D') \times P(D')$
   $P(TSH+) = (0.90 \times 0.20) + (0.25 \times 0.80)$
   $P(TSH+) = 0.18 + 0.20 = 0.38$

2. 計算後驗機率 $P(D|TSH+)$：
   $P(D|TSH+) = \frac{P(TSH+|D) \times P(D)}{P(TSH+)}$
   $P(D|TSH+) = \frac{0.90 \times 0.20}{0.38}$
   $P(D|TSH+) = \frac{0.18}{0.38}$
   $P(D|TSH+) = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}$

   將分數轉換為小數或百分比：
   $9 \div 19 \approx 0.47368$

   所以，經過 TSH 陽性檢測後，該患者罹患甲狀腺癌的修正後機率約為 47.37%。

【答案】(a) TSH 檢測陽性後，罹患甲狀腺癌的修正後機率為 $\frac{9}{19}$ (約 47.37%)。

---

(b) 進一步再接受 FNA 檢測結果為陰性。考慮兩次檢測結果，計算最終罹患甲狀腺癌的機率。
現在，我們需要將 (a) 的後驗機率作為新的先驗機率，來計算 FNA 陰性檢測後的又一個後驗機率。

新的先驗機率 (基於 TSH 陽性結果)：

• $P_{new}(D) = P(D|TSH+) = \frac{9}{19}$
• $P_{new}(D') = 1 - P_{new}(D) = 1 - \frac{9}{19} = \frac{10}{19}$

FNA 檢測結果為陰性。我們要計算 $P(D|TSH+, FNA-)$。
由於 TSH 和 FNA 是兩種不同的檢測方法，我們通常假設它們的結果是獨立的，給定疾病狀態 (D) 的情況下。
因此，在已知患者患病 (D) 的情況下，FNA 檢測結果為陰性的機率是 $P(FNA-|D) = 1 - Sens_{FNA} = 1 - 0.95 = 0.05$。
在已知患者未患病 (D') 的情況下，FNA 檢測結果為陰性的機率是 $P(FNA-|D') = Spec_{FNA} = 0.90$。

我們需要計算 $P(D|TSH+, FNA-)$。
根據貝氏定理，這可以寫成：
$P(D|TSH+, FNA-) = \frac{P(TSH+, FNA-|D) \times P(D)}{P(TSH+, FNA-)}$
由於 TSH 和 FNA 的結果在已知疾病狀態下是獨立的，所以：
$P(TSH+, FNA-|D) = P(TSH+|D) \times P(FNA-|D)$
$P(TSH+, FNA-) = P(TSH+|D) \times P(FNA-|D) + P(TSH+|D') \times P(FNA-|D')$

這裡的 $P(TSH+|D)$ 和 $P(TSH+|D')$ 是指基於 第一步的後驗機率，而不是最初的先驗機率。
所以，我們應該使用更新後的先驗機率 $P_{new}(D)$ 和 $P_{new}(D')$。

$P(D|TSH+, FNA-) = \frac{P(TSH+|D) \times P(FNA-|D) \times P_{new}(D)}{P(TSH+|D) \times P(FNA-|D) \times P_{new}(D) + P(TSH+|D') \times P(FNA-|D') \times P_{new}(D')}$

我們已知：

• $P_{new}(D) = \frac{9}{19}$
• $P_{new}(D') = \frac{10}{19}$
• $P(TSH+|D) = 0.90$
• $P(TSH+|D') = 0.25$ (這是 TSH 陽性率，但我們需要知道 在已知疾病狀態下，TSH 陽性機率。然而，問題是基於 TSH 陽性結果，先驗機率已經更新為 $P_{new}(D)$。現在我們只需要考慮 FNA 陰性結果對這個新機率的影響。所以，我們需要的是 $P(FNA-|D)$ 和 $P(FNA-|D')$，以及 $P_{new}(D)$ 和 $P_{new}(D')$。)

此題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 在適合度檢定 (Goodness-of-fit test) 中的應用，用來檢定觀察到的頻率分佈是否與理論上預期的分佈一致。

問題目標： 檢定擲骰子 120 次的結果是否符合公平骰子的預期分佈。
檢定方法： 卡方適合度檢定。
顯著水準： $\alpha = 0.05$。
自由度： $df = k - 1$，其中 $k$ 是類別的數量。在此，骰子有 6 個點數，所以 $k=6$。$df = 6 - 1 = 5$。
臨界值： 題目已提供 $\chi^2_{0.95, 5} = 11.07$。這表示當卡方統計量大於 11.07 時，我們將拒絕虛無假設。

步驟：

1. 建立虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 與對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_1$)：

   • $H_0$: 骰子是公平的，即每個點數出現的機率均等 ($p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = 1/6$)。
   • $H_1$: 骰子不是公平的，即至少有一個點數出現的機率不等於 1/6。

2. 計算預期頻率 (Expected Frequency, $E_i$)：
   總試驗次數 $N = 120$。
   如果骰子是公平的，每個點數出現的預期機率是 $1/6$。
   預期頻率 $E_i = N \times p_i = 120 \times \frac{1}{6} = 20$。
   所以，對於每個點數（1 到 6），預期出現的次數都是 20 次。

3. 列出觀察頻率 (Observed Frequency, $O_i$)：

   點數	1	2	3	4	5	6
   $O_i$	18	20	22	16	24	20

此題要求比較母數統計方法 (Parametric Tests) 與無母數統計方法 (Nonparametric Tests) 的主要差異、優點與缺點。

母數統計方法 (Parametric Tests)

• 定義： 這些方法假設母體數據服從特定的機率分佈（通常是常態分佈），並且參數（如平均數、標準差）是母體統計模型的一部分。
• 主要假設：
  • 數據來自常態分佈的母體。
  • 數據是連續的（或至少是區間/比例尺度）。
  • 各組的變異數是相等的 (homoscedasticity)（在某些檢定中，如獨立樣本 t 檢定，如果變異數不相等，可以使用 Welch's t-test）。
  • 樣本是隨機抽樣的。
• 常見例子：
  • t 檢定 (t-test)
  • Z 檢定 (Z-test)
  • 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)
  • 皮爾森相關係數 (Pearson correlation coefficient)
• 優點：
  • 統計檢定力高 (More powerful)： 在母體數據符合其假設時，母數檢定比無母數檢定更能檢測出真實存在的差異或關聯。也就是說，它更不容易犯第二類錯誤（Type II error）。
  • 能提供更精確的估計： 可以對母體參數（如平均數）進行點估計和區間估計。
  • 能處理連續變數： 對於連續變數，母數檢定能更充分地利用數據的資訊。
• 缺點：
  • 假設嚴格： 對數據的假設（如常態性）較為嚴格，如果假設不滿足，檢定結果可能不準確。
  • 對離群值敏感： 平均數和標準差等參數容易受到極端值（離群值）的影響。
  • 不適用於排序或類別數據： 主要用於區間或比例尺度的數據。

無母數統計方法 (Nonparametric Tests)

• 定義： 這些方法不對母體數據的機率分佈做嚴格的假設，因此也被稱為「分佈自由」(distribution-free) 的方法。它們通常基於數據的排序 (ranks) 或頻率。
• 主要假設：
  • 數據來自任何分佈的母體（或只做較溫和的假設，如分佈是對稱的）。
  • 數據可以是連續的、排序的，甚至是名目類別的（視具體方法而定）。
  • 樣本是隨機抽樣的。
• 常見例子：
  • 曼-惠特尼 U 檢定 (Mann-Whitney U test) - 相當於獨立樣本 t 檢定
  • 威爾考森符號秩檢定 (Wilcoxon signed-rank test) - 相當於配對樣本 t 檢定
  • 克魯斯卡-沃利斯檢定 (Kruskal-Wallis test) - 相當於單因子變異數分析
  • 史比爾曼等級相關係數 (Spearman rank correlation coefficient) - 相當於皮爾森相關係數
  • 卡方檢定 (Chi-squared test)
• 優點：
  • 假設較少： 對數據分佈的假設較少，適用於數據不符合常態性假設的情況。
  • 適用於不同類型的數據： 可以處理排序數據（ordinal data）和名目數據（nominal data），也能處理連續數據。
  • 對離群值較不敏感： 通常基於排序，因此較不易受極端值影響。

此題為一計算題，包含描述性統計量計算、信賴區間估計及假設檢定。

已知樣本數據： 11, 12, 14, 14, 16, 18, 20
樣本數 (n)： 7

---

(a) 計算描述性統計量

1. 中位數 (Median):
   數據已按升序排列：11, 12, 14, 14, 16, 18, 20。
   由於樣本數 n=7 是奇數，中位數是排序後位於正中央的數值。
   中位數 = 第 $\frac{n+1}{2}$ 個數 = 第 $\frac{7+1}{2}$ = 第 4 個數。
   中位數 = 14。

2. 平均數 (Mean):
   平均數 $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
   $\sum x_i = 11 + 12 + 14 + 14 + 16 + 18 + 20 = 105$
   $\bar{x} = \frac{105}{7} = 15$
   平均數 = 15。

3. 四分位間距 (Inter-quartile Range, IQR):
   IQR = $Q_3 - Q_1$

   • 第一四分位數 (Q1): 數據集中在第 25% 的值。對於 n=7，Q1 是排序後第 $\lceil \frac{n+1}{4} \rceil = \lceil \frac{8}{4} \rceil = 2$ 個數。
     Q1 = 12。
   • 第三四分位數 (Q3): 數據集中在第 75% 的值。對於 n=7，Q3 是排序後第 $\lceil \frac{3(n+1)}{4} \rceil = \lceil \frac{3 \times 8}{4} \rceil = \lceil 6 \rceil = 6$ 個數。
     Q3 = 18。
   • IQR = $18 - 12 = 6$。

4. 標準差 (Standard Deviation, s):
   樣本標準差公式為 $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$。
   首先計算離差平方和 $\sum (x_i - \bar{x})^2$：

   • $(11 - 15)^2 = (-4)^2 = 16$
   • $(12 - 15)^2 = (-3)^2 = 9$
   • $(14 - 15)^2 = (-1)^2 = 1$
   • $(14 - 15)^2 = (-1)^2 = 1$
   • $(16 - 15)^2 = (1)^2 = 1$
   • $(18 - 15)^2 = (3)^2 = 9$
   • $(20 - 15)^2 = (5)^2 = 25$
     $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 16 + 9 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 = 62$。
     樣本變異數 $s^2 = \frac{62}{7-1} = \frac{62}{6} = \frac{31}{3} \approx 10.333$。
     標準差 $s = \sqrt{\frac{31}{3}} \approx \sqrt{10.333} \approx 3.215$。

5. 變異係數 (Coefficient of Variation, CV):
   CV = $\frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$
   CV = $\frac{3.215}{15} \times 100\% \approx 0.2143 \times 100\% = 21.43\%$
   變異係數 $\approx 21.43\%$。

---

(b) 計算平均值的 95% 信賴區間 (Confidence Interval, CI)

由於樣本數較小 (n=7)，且母體標準差未知，我們應該使用 t 分佈來計算信賴區間。
信賴區間公式：$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

• 平均數 $\bar{x} = 15$
• 樣本標準差 $s \approx 3.215$
• 樣本數 $n = 7$
• 自由度 $df = n-1 = 7-1 = 6$
• 信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
• $\alpha/2 = 0.025$。
• 我們需要查找 t 分佈表中，自由度為 6，右尾機率為 0.025 的 t 值。
  從提供的 T-distribution Table (one tail) 中，查找 df=6 這一列。
  我們需要的是雙尾檢定的 $\alpha/2 = 0.025$。