108 年 國立臺北商業大學資訊與決策科學研究所碩士班《統計學》

本題考驗的是統計學中測量尺度（Levels of Measurement）的定義與應用。測量尺度共有四種：名目尺度（Nominal Scale）、次序尺度（Ordinal Scale）、區間尺度（Interval Scale）和比率尺度（Ratio Scale）。

題目描述銀行要求顧客評價其得來速服務為「good（好）」、「average（普通）」或「poor（差）」。這三種評價之間存在順序關係：好 > 普通 > 差。然而，我們無法量化這些評價之間的差距（例如，「好」比「普通」好多少？「普通」比「差」好多少？這個差距是固定的嗎？），也無法進行加減乘除等運算。

核心觀念

本題考查現代統計學兩大分支的基本定義與核心目的：

1. 敘述統計學（Descriptive Statistics）：其主要目的在於藉由表格（Tabular methods）、圖形（Graphical methods）以及數值摘要（Numerical measures，如平均數、標準差、中位數等），將蒐集到的原始資料以具有意義、實用且資訊豐富的方式加以整理、濃縮與展現（Summarize and Present），使研究者能迅速掌握該筆資料的分配特徵。敘述統計僅針對「手中現有資料」進行描述，不涉及超出該資料範圍的推廣或未知母體的推論。
2. 推論統計學（Inferential Statistics）：以樣本資料（Sample data）為基礎，藉由機率理論對未知母體（Population）的參數進行估計（Estimation）或假說檢定（Hypothesis Testing），其核心目的在於以樣本推論母體。

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解題方法

解題切入點在於區分「敘述（Descriptive）」與「推論（Inferential）」的功能邊界：

• 題幹問的是「Descriptive statistics 的 main purpose」。
• 「Summarize data」與「informative manner」完全對應敘述統計學的核心職能——資料摘要與圖表展現。
• 凡涉及「推論母體（Make inferences about a population）」或「檢驗樣本代表性」之功能，皆屬於推論統計學與抽樣理論的範疇。
• 因此，直接辨識敘述統計學的標準定義即可選出正確答案。

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選項分析

• A. Summarize data in a useful and informative manner.（正確）

核心觀念

本題考查「樣本數對統計結論可信度的影響」。

廣告宣稱「受訪牙醫中，每 3 人有 2 人推薦 Brand X」，表示樣本比例為

$$\hat{p}=\frac{2}{3}\approx 66.7\%$$

但僅知道比例 $\frac{2}{3}$，無法知道實際受訪人數。以下兩種情況都符合此比例：

• 3 位牙醫中有 2 位推薦；
• 300 位牙醫中有 200 位推薦。

兩者的樣本比例相同，但樣本數越大，通常估計母體比例的抽樣誤差越小，統計結論也越具參考價值。因此，消費者應關心「總共有多少位牙醫接受調查」。

解題方法

判斷廣告統計聲明是否充分時，應檢查：

1. 樣本數是否足夠；
2. 樣本是否具有代表性；
3. 抽樣方法是否合理；
4. 統計比例是否有足夠資訊支持。

本題只提供「2 out of 3」，卻未說明受訪牙醫的總人數。由於樣本比例不能單獨反映樣本規模，消費者無法判斷此結論的抽樣誤差大小。

若以樣本比例估計母體比例，其標準誤可表示為

$$SE(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

其中 $n$ 為樣本數。當 $n$ 增加時，$SE(\hat{p})$ 通常會減少，估計結果較穩定。因此，缺少 $n$ 是本廣告統計資訊的重要問題。

選項分析

A. Sample was only 5 dentists.

本題探討如何為質性、名目變數（Qualitative, Nominal Variable）建立頻數分配（Frequency Distribution）。名目變數是指只能用於分類，類別之間沒有順序關係的變數。題目以「male or female」為例。

讓我們逐一分析選項：
A. The upper and lower class limits must be calculated. (必須計算類別的上下限。)
類別上下限（class limits）和類別邊界（class boundaries）是為了處理連續型數據（如身高、體重）來劃分區間時使用的概念。對於名目變數，我們只有離散的類別（如「男性」、「女性」），不需要計算類別的上下限。

B. Class midpoints can be computed. (可以計算類別中點。)
類別中點（class midpoint）是類別上下限的平均值，同樣是用於連續型數據的區間，以便於計算。名目變數沒有類別中點的概念。

本題考驗的是機率論中「互斥事件」（Mutually Exclusive Events）的加法法則。

首先，我們需要理解什麼是互斥事件。如果兩個事件 A 和 B 不能同時發生，則稱它們為互斥事件。換句話說，如果 A 發生，則 B 不能發生；如果 B 發生，則 A 不能發生。在機率的表示上，互斥事件的交集機率為零，即 $P(A \cap B) = 0$。

統計學中的加法法則（Addition Rule）用於計算兩個事件中至少一個發生的機率，即 $P(A \cup B)$。一般情況下的加法法則為：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

當事件 A 和 B 是互斥事件時，它們不能同時發生，所以它們的交集機率為零：$P(A \cap B) = 0$。
將此條件代入一般加法法則，我們得到：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

這裡的 $P(A \cup B)$ 通常讀作「A 或 B 發生」的機率，或者「A 或 B 或兩者都發生」的機率。對於互斥事件，因為兩者不可能同時發生，所以「A 或 B」就等同於「A 或 B，但非兩者都發生」。

本題需要根據提供的散佈圖（Scatter Plot）來判斷變數之間的關係。散佈圖是用來顯示兩個變數之間關係的一種圖形。

觀察圖片中的散佈圖：
圖中有許多點，每個點代表一組 (x, y) 的觀測值。
我們可以觀察點的整體趨勢：

• 當 x 值增加時，y 值似乎也隨之增加。
• 點大致呈現從左下方往右上方延伸的趨勢。

基於這個觀察，我們可以得出以下結論：
A. A positive or direct relationship (正向或直接關係)：這表示當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加。這與我們觀察到的點的趨勢一致。

本題在比較兩家供應商（Supplier A 和 Supplier B）輪胎的壽命。我們已知兩家供應商的輪胎平均壽命相同，但標準差不同。

• Supplier A：平均壽命 $\mu_A = 60,000$ miles，標準差 $\sigma_A = 10,000$ miles。
• Supplier B：平均壽命 $\mu_B = 60,000$ miles，標準差 $\sigma_B = 2,000$ miles。

平均壽命（Mean）代表數據的中心趨勢，而標準差（Standard Deviation）代表數據的離散程度或波動程度。

讓我們逐一分析選項：
A. The two distributions of tire life are the same. (兩組輪胎壽命的分布是相同的。)
雖然兩者的平均壽命相同，但標準差不同。標準差是衡量數據離散程度的重要指標。較大的標準差表示數據點比平均值分散得更廣，而較小的標準差表示數據點更集中在平均值附近。由於 $\sigma_A = 10,000$ 而 $\sigma_B = 2,000$，這表示兩者的分布是不同的。因此，此選項錯誤。

B. On average, Supplier A's tires have a longer life than Supplier B's tires. (平均而言，Supplier A 的輪胎比 Supplier B 的輪胎壽命長。)

本題考驗的是離散機率分布（Discrete Probability Distributions）的特性，特別是成功機率（Probability of Success）在不同試驗間的變化。

讓我們逐一檢視幾種常見的離散機率分布：

A. Binomial Distribution (二項分布)：
二項分布描述的是在 $n$ 次獨立的伯努利試驗（Bernoulli trials）中，成功次數 $k$ 的機率。伯努利試驗的定義是：

1. 每次試驗只有兩種結果：成功或失敗。
2. 每次試驗是獨立的。
3. 每次試驗成功的機率 $p$ 是固定的，且在所有試驗中都相同。
   因此，在二項分布中，每次試驗成功的機率 $p$ 是固定不變的。

B. Poisson Distribution (卜瓦松分布)：
卜瓦松分布通常用來描述在一個固定的時間間隔或空間區域內，某事件發生的次數。它不是基於「試驗」的概念，而是描述一個事件發生率。雖然它與「成功機率」的表述方式不同，但它描述的是一個平均發生率，並假設這個發生率在給定區間內是恆定的。

核心觀念

本題測驗統計學中兩大核心分支——**敘述統計（Descriptive Statistics）與推論統計（Inferential Statistics）的本質差異，以及機率（Probability）**在統計學中的角色與定位。

1. 敘述統計（Descriptive Statistics）：
   • 目的在於整理、呈現、摘要現有樣本或母體資料的特徵（例如：次數分配表、直方圖、平均數、標準差、累積次數等）。
   • 處理的是已發生的既成資料，不涉及母體未知參數的預測或推論，因此在進行純粹的資料整理與計算時，不需要仰賴機率模型。
2. 推論統計（Inferential Statistics）：
   • 目的在於利用有限的**樣本（Sample）資訊，推論未知的母體（Population）**特徵（包含參數估計與假設檢定）。
   • 由於抽樣存在不確定性（Uncertainty）與抽樣誤差（Sampling Error），必須藉由**機率論（Probability Theory）**建立抽樣分配（Sampling Distribution），進而量化推論的可靠程度（例如：信心水準 $1-\alpha$、顯著水準 $\alpha$、$p\text{-value}$）。因此，機率是推論統計不可或缺的理論基石。

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解題方法

從題幹問句切入：「Probabilities are important information when...」（在何種情況下，機率是重要的資訊？）

• 檢視各選項所代表的統計工作範疇：
  • 若工作範疇僅限於既有資料的計算、計數與製圖（如選項 A、B、C），其結果純粹是資料特徵的呈現，並不需要引進機率理論來評估不確定性。
  • 若工作範疇涉及以樣本推估母體（即選項 D 的推論統計），因過程伴隨隨機抽樣的不確定性，必須以「機率」作為衡量風險與可信度的工具。

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選項分析

核心觀念

本題考的是條件機率。在已知事件 $A$ 發生的條件下，事件 $B$ 發生的機率定義為：

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

令 $A$ 表示第一次考試得 A，$B$ 表示第二次考試得 A。題目給定：

$$P(A\cap B)=0.5,\qquad P(A)=0.9$$

解題方法

要求的是「第一次考試得 A 的前提下，第二次考試得 A 的機率」，因此用條件機率公式：

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{0.5}{0.9} =\frac{5}{9} \approx 0.556$$

計算值約為 $0.556$。選項 C 的 $0.55$ 是最接近的選項，因此選 C。

本題在於區分離散隨機變數（Discrete Random Variable）和連續隨機變數（Continuous Random Variable）。

隨機變數是將實驗結果映射到數值的函數。

• 離散隨機變數：其所有可能的值是有限的，或是可數的無限集合。通常是計數型的結果，例如：擲骰子得到的點數、班級的學生人數、這次實驗中成功賣出保險的次數。
• 連續隨機變數：其可能的值是某個區間內的所有實數。通常是測量型的結果，例如：身高、體重、溫度、時間。

實驗內容是「進行 80 次電話推銷，以期賣出某種保險」。
在這個實驗中，我們感興趣的隨機變數是什麼？最自然的隨機變數是「成功賣出保險的次數」。
假設我們將實驗的結果定義為「在 80 次電話推銷中，成功賣出保險的總次數」。
這個次數是從 0, 1, 2, ..., 80 這些整數中取值。這是一個有限且可數的集合。
因此，這個隨機變數是離散的。

核心觀念

常態分配記為：

$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$

其中：

• $\mu$：平均數，決定分配的中心位置。
• $\sigma$：標準差，衡量資料的分散程度。
• 常態分配以平均數 $\mu$ 為中心左右對稱，因此其中心就是分配的平均數。

常態分配的機率密度函數為：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

當 $x=\mu$ 時，$(x-\mu)^2=0$，密度達到最大值，故分配中心位於 $\mu$。

解題方法

題目詢問 normal probability distribution 的中心位置。根據常態分配的定義，常態曲線以平均數 $\mu$ 為對稱中心，且具有：

$$\text{平均數}=\text{中位數}=\text{眾數}=\mu$$

因此，判斷常態分配中心的關鍵是找出其平均數，而不是標準差或其他固定數值。

選項分析

核心觀念

本題測驗常態分配（Normal Distribution）的經驗法則（Empirical Rule），在統計學中又常稱為 $68-95-99.7$ 法則（或 $3\sigma$ 法則）。

若隨機變數 $X$ 服從常態分配，其母體平均數為 $\mu$、母體標準差為 $\sigma$，記作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。標準化後的變數為：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$

根據標準常態分配的累加機率：

1. 平均數加減 1 個標準差範圍內涵蓋的觀察值比例約為 $68.26\%$：

$$P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) = P(-1 \le Z \le 1) \approx 0.6826$$

2. 平均數加減 2 個標準差範圍內涵蓋的觀察值比例約為 $95.44\%$：

$$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) = P(-2 \le Z \le 2) \approx 0.9544$$

3. 平均數加減 3 個標準差範圍內涵蓋的觀察值比例約為 $99.73\%$：

$$P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) = P(-3 \le Z \le 3) \approx 0.9973$$

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解題方法

題目詢問：「對於常態分配而言，平均數加減 2 個標準差（mean plus and minus two standard deviations）大約包含多少百分比的觀察值？」

即求解：

$$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)$$

經標準化轉換為標準常態變數 $Z$：

$$P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)$$

查標準常態分配表可得 $\Phi(2) \approx 0.9772$、$\Phi(-2) \approx 0.0228$，兩者相減：

$$0.9772 - 0.0228 = 0.9544 \approx 95\%$$

核心觀念

本題考查「抽樣誤差（sampling error）」的定義。

以樣本平均數估計母體平均數時，抽樣誤差定義為：

$$\text{抽樣誤差}=\bar{X}-\mu$$

其中：

• $\bar{X}$：樣本平均數，可由樣本資料計算得到。
• $\mu$：母體平均數，通常是未知的母體參數。

因此，即使能夠計算樣本平均數 $\bar{X}$，只要不知道母體平均數 $\mu$，就無法求出確切的抽樣誤差。

解題方法

題幹指出 true sampling error，指的是實際發生的抽樣誤差：

$$\bar{x}-\mu$$

樣本平均數 $\bar{x}$ 可由抽取的樣本計算出來；但母體平均數 $\mu$ 通常未知，因此差值 $\bar{x}-\mu$ 通常也無法確切得知。

所以正確原因是母體平均數 $\mu$ 未知。

選項分析

A. $\mu$ is unknown

正確。

$\mu$ 是母體平均數，通常為未知參數。雖然樣本平均數 $\bar{x}$ 可以計算，但抽樣誤差還需要知道 $\mu$：

$$\text{抽樣誤差}=\bar{x}-\mu$$

由於 $\mu$ 未知，true sampling error 通常無法得知。

核心觀念

本題考查統計學初階之**「抽樣調查（Sampling）與普查（Census）之選擇考量」，特別是「破壞性檢驗（Destructive Testing）」**的應用情境。

在資料蒐集過程中，研究者決定採取「抽樣」而非「普查（全檢）」的主要原因通常包括：

1. 破壞性試驗（Destructive Nature of the Test）：若檢驗過程會破壞或損毀受測物品（如：燈泡壽命測試、安全氣囊引爆測試、汽車碰撞測試、罐頭食品變質檢驗等），若採取普查或大樣本檢測，將導致產品全數或大量損毀而無法銷售，因此實務上僅能抽取極小量樣本進行檢測。
2. 成本與經濟效益（Cost & Resource Constraints）：抽樣相較於普查通常能大幅節省人力與物力。
3. 時效性（Time Constraints）：抽樣調查耗時較短。
4. 母體無限或過大（Infinite or Extremely Large Population）：難以全數查訪。

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解題方法

1. 鎖定題目測試情境：
   題目描述為「利用碰撞測試評估汽車安全性（testing the safety of cars using crash tests）」，且特別強調「樣本數極小，僅使用 1 或 2 輛車（a sample of one or two cars is used）」。
2. 分析極小樣本數的決定性因素：
   汽車經過高速碰撞測試後結構必然變形毀損（Destructive Testing），且每輛受測車輛造價高昂。若抽取較多樣本，將造成嚴重的資產直接毀損。因此，受測物品「會被完全破壞」是限制試驗只能使用極小樣本的最主要、最直接原因。

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選項分析

核心觀念

信賴區間（confidence interval）是利用樣本資料，估計母體參數可能落入的數值範圍。本題的母體參數是母體平均數 $\mu$。

以信賴水準 $1-\alpha$ 建立母體平均數的信賴區間，其一般形式為：

$$\text{點估計值} \pm \text{臨界值}\times\text{標準誤}$$

當母體標準差 $\sigma$ 已知時：

$$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

當母體標準差未知，且樣本來自常態母體，使用樣本標準差 $s$ 時：

$$\bar{x}\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數，用來估計母體平均數 $\mu$；區間寬度則受到信賴水準、母體變異程度與樣本數影響。

解題方法

題目詢問：「A confidence interval for a population mean」的功能為何。

關鍵在於辨認估計對象：

1. 題目指定的參數是母體平均數 $\mu$。
2. 信賴區間不是只提供一個點，而是提供一段可能包含 $\mu$ 的區間。
3. 因此，它是在樣本資訊下，估計母體平均數可能所在的區間。

例如，若計算得到母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為：

$$(48, 56)$$

其正確解讀是：依據抽取樣本所建立的程序，該區間用來估計母體平均數 $\mu$ 的合理範圍。

嚴格的頻率學派解釋是：$\mu$ 是固定但未知的參數，隨機的是由樣本計算出的區間。$95\%$ 信賴水準表示若重複抽樣並以相同方法建立許多信賴區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會包含真正的 $\mu$。因此，信賴區間的直接功能是估計母體平均數的可能範圍，而不是估計機率本身。

選項分析

A. estimates the population range

本題在於探討決定樣本大小（Sample Size）時，哪些因素是必需的，哪些不是。

在統計學中，當我們需要確定樣本大小 $n$ 以達到特定的估計精度時，通常會使用以下公式（以估計母體平均數 $\mu$ 為例）：
對於大樣本或已知母體標準差 $\sigma$ 的情況：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$
其中：

• $n$：所需的樣本大小。
• $z_{\alpha/2}$：對應於所需信賴水準（Confidence Level）的標準常態分布臨界值。例如，對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$， $z_{0.025} = 1.96$。
• $\sigma$：母體標準差（或其估計值）。
• $E$：最大允許誤差（Maximum Allowable Error），即我們希望估計的母體參數（如 $\mu$）與樣本統計量（如 $\bar{x}$）之間的差異不超過 $E$。

對於小樣本且母體標準差未知的情況，會使用 t 分布，但基本原理相似。

現在我們來分析各選項：
A. The level of confidence in estimating the population parameter (估計母體參數時的信賴水準)。
信賴水準決定了 $z_{\alpha/2}$ 的值。例如，90%、95%、99% 的信賴水準對應不同的 $z$ 值。較高的信賴水準需要較大的樣本。

核心觀念

1. 假設檢定的基本設定（Hypothesis Formulation）：
   • 虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）：通常代表現狀、無效應、無差異或預設的主張，且必定包含等號（$=$、$\le$ 或 $\ge$）。
   • 對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）：代表研究者欲尋求證據支持的主張，不包含等號（$\ne$、$<$ 或 $>$）。
2. 母體參數與宣稱值（Claimed Value）：
   • 假設檢定陳述的對象為母體參數（如母體平均數 $\mu$），而非樣本統計量（如樣本平均數 $\bar{X}$）。
   • 題幹針對某特定數值進行宣稱或檢定時，該數值即為檢定的基準值 $\mu_0$。

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解題方法

1. 鎖定題目欲檢定的主張（Claim）：

   • 題幹明確指出：「A hypothesis regarding the weight of newborn infants at a community hospital is that the mean is 6.6 pounds.」
   • 此處的母體參數為社區醫院新生兒的平均體重 $\mu$。
   • 欲檢驗的陳述為「平均體重等於 6.6 磅」，即 $\mu = 6.6$。

2. 建立虛無假設與對立假設：

   • 題目並未提及任何單尾方向性（例如「大於」、「小於」、「至少」或「至多」等字眼），僅針對「是否為 6.6 磅」進行雙尾檢定： $$H_0: \mu = 6.6$$ $$H_1: \mu \neq 6.6$$
   • 因此，虛無假設（Null Hypothesis）為 $H_0: \mu = 6.6$。

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選項分析

核心觀念

本題考查樣本數增加時，$t$ 分配與標準常態分配之間的關係。

若母體變異數未知，且以樣本標準差估計母體標準差，統計量服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配：

$$t=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}$$

其中 $n$ 為樣本數，$n-1$ 為自由度。

$t$ 分配具有下列特性：

• 以 $0$ 為中心，且左右對稱。
• 相較於標準常態分配，有限自由度下的兩側尾部較厚。
• 自由度愈大，$t$ 分配愈接近標準常態分配。

數學上，當自由度 $\nu$ 趨近無限大時：

$$t_{\nu}\xrightarrow[\nu\to\infty]{}N(0,1)$$

由於 $\nu=n-1$，所以樣本數 $n$ 增加時，自由度也增加，$t$ 分配便逐漸接近標準常態分配。

解題方法

判斷重點是觀察樣本數與自由度的關係：

$$\nu=n-1$$

樣本數增加 $\Rightarrow$ 自由度增加 $\Rightarrow$ $t$ 分配尾部變薄、形狀更接近標準常態分配。

因此，$t$ 分配與標準常態分配之間的差異會逐漸縮小。

例如，常見臨界值如下：

$$t_{0.975,\,1}=12.706,\qquad t_{0.975,\,10}=2.228,\qquad t_{0.975,\,\infty}=1.960$$

自由度增加時，$t$ 分配的臨界值逐漸接近標準常態分配的臨界值 $1.960$，顯示兩者差異縮小。

選項分析

A. are unchanged and remain the same.

核心觀念

1. 假設檢定（Hypothesis Testing）的本質：
   統計推論（Statistical Inference）的目的，是利用已知的「樣本資訊」來對未知的「母體特徵」進行推論。假設檢定是設定一組關於母體的陳述，並藉由樣本數據檢驗是否有足夠證據推翻該陳述。
2. 虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）的定義：
   虛無假設是對**未知的母體參數（Population Parameter）**所提出的具體陳述或主張（Claim），例如母體平均數 $\mu = \mu_0$、母體比例 $p = p_0$ 或母體變異數 $\sigma^2 = \sigma_0^2$。
3. 參數 vs. 統計量：
   • 母體參數（Parameter）：描述母體特徵的數值，通常未知且固定（在頻率學派觀點下），是假設檢定檢驗的對象。
   • 樣本統計量（Statistic）：由樣本資料計算而得的函數（如樣本平均數 $\bar{X}$、樣本標準差 $S$），是已知且隨抽樣而變化的隨機變數，用來作為檢定統計量（Test Statistic）以推論母體參數。

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解題方法

由假設檢定的標準定義切入：

• 假設檢定的假說設定（Hypotheses Formulation）形式永遠針對「母體參數」設定，例如：
  $H_0: \theta = \theta_0 \quad \text{vs.} \quad H_1: \theta \neq \theta_0$
  其中 $\theta$ 代表某一未知的母體參數。

這是一道關於聯合機率密度函數（Joint Probability Density Function, PDF）的計算題，涵蓋了常數的確定、邊際機率密度函數、期望值、變異數、共變異數以及線性組合的變異數和相關係數的計算。

核心觀念：

1. 聯合機率密度函數的性質：對於連續型隨機變數，其聯合機率密度函數在定義域上的積分必須等於 1。
2. 邊際機率密度函數：由聯合機率密度函數積分得到。
3. 期望值：對於連續型隨機變數，期望值是隨機變數乘以其機率密度函數在定義域上的積分。
4. 變異數：$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。
5. 共變異數：$Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。
6. 線性組合的變異數：$V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) + 2ab Cov(X, Y)$。
7. 相關係數：$corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$。

解題步驟：

1. 確定常數 $d$ (1)
聯合機率密度函數 $f(x,y)$ 在其定義域上的積分必須等於 1。
定義域為 $1 \le x \le 3$ 且 $2 \le y \le 4$。
$\int_{2}^{4} \int_{1}^{3} f(x,y) \, dx \, dy = 1$
$\int_{2}^{4} \int_{1}^{3} d(x+y) \, dx \, dy = 1$
先對 x 積分：
$\int_{1}^{3} d(x+y) \, dx = d \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_{1}^{3} = d \left[ \left(\frac{3^2}{2} + 3y\right) - \left(\frac{1^2}{2} + 1y\right) \right]$
$= d \left[ \left(\frac{9}{2} + 3y\right) - \left(\frac{1}{2} + y\right) \right] = d \left[ \frac{8}{2} + 2y \right] = d(4 + 2y)$
現在對 y 積分：
$\int_{2}^{4} d(4+2y) \, dy = d \left[ 4y + y^2 \right]_{2}^{4} = d \left[ (4 \cdot 4 + 4^2) - (4 \cdot 2 + 2^2) \right]$
$= d \left[ (16 + 16) - (8 + 4) \right] = d \left[ 32 - 12 \right] = 20d$
令積分結果等於 1：
$20d = 1 \implies d = \frac{1}{20} = 0.05$
所以，(1) $d = 0.05$。

2. 計算邊際機率密度函數 $f(x)$ (2) 和 $f(y)$ (3)
邊際 PDF $f(x)$ 是將聯合 PDF 對 $y$ 積分：
$f(x) = \int_{2}^{4} f(x,y) \, dy = \int_{2}^{4} \frac{1}{20}(x+y) \, dy$
$= \frac{1}{20} \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{20} \left[ (x \cdot 4 + \frac{4^2}{2}) - (x \cdot 2 + \frac{2^2}{2}) \right]$
$= \frac{1}{20} \left[ (4x + 8) - (2x + 2) \right] = \frac{1}{20} (2x + 6) = \frac{1}{10}(x+3)$
此 PDF 對於 $1 \le x \le 3$。
所以，(2) $f(x) = \frac{1}{10}(x+3)$。

邊際 PDF $f(y)$ 是將聯合 PDF 對 $x$ 積分：
$f(y) = \int_{1}^{3} f(x,y) \, dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{20}(x+y) \, dx$
$= \frac{1}{20} \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_{1}^{3} = \frac{1}{20} \left[ (\frac{3^2}{2} + 3y) - (\frac{1^2}{2} + 1y) \right]$
$= \frac{1}{20} \left[ (\frac{9}{2} + 3y) - (\frac{1}{2} + y) \right] = \frac{1}{20} (4 + 2y) = \frac{1}{10}(2+y)$
此 PDF 對於 $2 \le y \le 4$。
所以，(3) $f(y) = \frac{1}{10}(2+y)$。

3. 計算期望值 $E(x)$ (4), $E(y)$ (5), $E(xy)$ (6)
$E(x) = \int_{1}^{3} x f(x) \, dx = \int_{1}^{3} x \cdot \frac{1}{10}(x+3) \, dx = \frac{1}{10} \int_{1}^{3} (x^2+3x) \, dx$
$= \frac{1}{10} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{10} \left[ \left(\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2}\right) - \left(\frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2}\right) \right]$
$= \frac{1}{10} \left[ \left(9 + \frac{27}{2}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{2}\right) \right] = \frac{1}{10} \left[ \frac{18+27}{2} - \frac{2+9}{6} \right] = \frac{1}{10} \left[ \frac{45}{2} - \frac{11}{6} \right]$
$= \frac{1}{10} \left[ \frac{135 - 11}{6} \right] = \frac{1}{10} \cdot \frac{124}{6} = \frac{124}{60} = \frac{31}{15} \approx 2.0667$
所以，(4) $E(x) = \frac{31}{15} \approx 2.0667$。

$E(y) = \int_{2}^{4} y f(y) \, dy = \int_{2}^{4} y \cdot \frac{1}{10}(2+y) \, dy = \frac{1}{10} \int_{2}^{4} (2y+y^2) \, dy$
$= \frac{1}{10} \left[ y^2 + \frac{y^3}{3} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{10} \left[ (4^2 + \frac{4^3}{3}) - (2^2 + \frac{2^3}{3}) \right]$
$= \frac{1}{10} \left[ (16 + \frac{64}{3}) - (4 + \frac{8}{3}) \right] = \frac{1}{10} \left[ 12 + \frac{56}{3} \right] = \frac{1}{10} \left[ \frac{36+56}{3} \right] = \frac{1}{10} \cdot \frac{92}{3} = \frac{92}{30} = \frac{46}{15} \approx 3.0667$
所以，(5) $E(y) = \frac{46}{15} \approx 3.0667$。

$E(xy) = \int_{2}^{4} \int_{1}^{3} xy f(x,y) \, dx \, dy = \int_{2}^{4} \int_{1}^{3} xy \cdot \frac{1}{20}(x+y) \, dx \, dy$
$= \frac{1}{20} \int_{2}^{4} \int_{1}^{3} (x^2y + xy^2) \, dx \, dy$
先對 x 積分：
$\int_{1}^{3} (x^2y + xy^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3}y + \frac{x^2}{2}y^2 \right]_{1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3}y + \frac{3^2}{2}y^2\right) - \left(\frac{1^3}{3}y + \frac{1^2}{2}y^2\right)$
$= \left(9y + \frac{9}{2}y^2\right) - \left(\frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^2\right) = \left(9-\frac{1}{3}\right)y + \left(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\right)y^2$
$= \frac{26}{3}y + 4y^2$
現在對 y 積分：
$\int_{2}^{4} \frac{1}{20} \left( \frac{26}{3}y + 4y^2 \right) \, dy = \frac{1}{20} \left[ \frac{26}{3} \frac{y^2}{2} + 4 \frac{y^3}{3} \right]_{2}^{4}$

核心觀念

本題考單因子變異數分析（ANOVA），用來檢定三組母體平均數是否相等。總變異拆成組間變異與組內變異，再以兩者的平均平方和之比形成 $F$ 統計量：

$$F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}$$

虛無假設為三組母體平均數相等；對立假設為至少有一組母體平均數不同。

解題方法

原圖列出的三組資料為：第 1 組 $3,5,7,9$；第 2 組 $2,3,5$；第 3 組 $5,1,7$，顯著水準為 $1\%$。各組樣本數為 $4,3,3$，總樣本數 $N=10$。

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{三組母體平均數不全相等}$$

各組平均數為 $\bar{x}_1=6$、$\bar{x}_2=10/3$、$\bar{x}_3=13/3$，總平均數為 $\bar{x}=47/10=4.7$。

組間平方和為：

$$SS_{\text{組間}} =\sum_{i=1}^{3} n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2 =4(6-4.7)^2+3\left(\frac{10}{3}-4.7\right)^2 +3\left(\frac{13}{3}-4.7\right)^2 =12.7667$$

組內平方和為各組觀測值對其組平均數的平方離差總和：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸模型：

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $\beta_0$：母體截距
• $\beta_1$：母體斜率
• $\varepsilon_i$：誤差項
• $\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1$：最小平方法估計值

題目指定以計算題第 2 題的第 2 組為 $x$、第 3 組為 $y$。然而題幹未提供第 2 題的原始觀測資料，因此無法得到數值型答案；以下以該組資料的統計量表示完整解法。

設共有 $n$ 組資料，並定義：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$$ $$S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$ $$S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$ $$S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2$$

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解題方法

一、斜率估計值

最小平方估計的斜率為：

$$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$

因此第（24）格為：

$$\boxed{(24)=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}}$$

也可利用原始資料快速計算：

$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}} {\sum x_i^2-n\bar{x}^2}$$

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二、截距估計值

迴歸線必須通過樣本平均點 $(\bar{x},\bar{y})$，因此：

$$\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$$

所以第（25）格為：

$$\boxed{(25)=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}}$$

估計出的迴歸式為：

$$\hat{y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i$$

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三、斜率估計值的標準誤

簡單線性迴歸中，斜率估計值的變異數為：

$$\operatorname{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\hat{\sigma}^2}{S_{xx}}$$

題目已知：

$$\hat{\sigma}^2=14$$

因此：

$$\operatorname{se}(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{14}{S_{xx}}}$$

第（26）格為：

$$\boxed{(26)=\sqrt{\frac{14}{S_{xx}}}}$$

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四、截距估計值的標準誤

截距估計值的變異數為：

$$\operatorname{Var}(\hat{\beta}_0) = \hat{\sigma}^2 \left( \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{S_{xx}} \right)$$

代入 $\hat{\sigma}^2=14$：

$$\operatorname{se}(\hat{\beta}_0) = \sqrt{ 14\left( \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{S_{xx}} \right) }$$

第（27）格為：

$$\boxed{ (27)= \sqrt{ 14\left( \frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{S_{xx}} \right) } }$$

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五、模型可以解釋的變異

總變異可分解為：

$$SST=SSR+SSE$$

其中：