108 年 國立臺北商業大學資訊與決策科學研究所碩士班《經濟學》

此題為標準的獨佔市場模型分析，包含利潤最大化條件、社會福利損失、差別取價以及兩部訂價法。

核心觀念：

• 獨佔廠商的利潤最大化條件為邊際收益等於邊際成本 ($MR = MC$)。
• 社會福利損失（無謂損失，Deadweight Loss, DWL）是獨佔廠商的產量低於社會最適產量所造成的損失。
• 完全差別取價（第一級差別取價）指廠商對每一單位的產品收取消費者願意支付的最高價格，此時廠商利潤最大化至社會福利最大化。
• 兩部訂價法（Two-Part Tariff）指廠商收取固定費用（入場費）加上變動費用（單價），以攫取消費者剩餘。

解題過程：

首先，我們從市場需求曲線 $Q = 100 - P$ 推導出反需求曲線（廠商面對的需求曲線）以及邊際收益曲線。
由 $Q = 100 - P$，可得 $P = 100 - Q$。
廠商的總收益（Total Revenue, TR）為 $TR = P \times Q = (100 - Q)Q = 100Q - Q^2$。
廠商的邊際收益（Marginal Revenue, MR）為 $MR = \frac{dTR}{dQ} = 100 - 2Q$。
廠商的邊際成本（Marginal Cost, MC）為 $MC = 20$（因為邊際成本為常數 20，且無固定成本）。

1. 追求利潤最大的廠商會如何訂定價格與數量？社會福利損失多少？

廠商追求利潤最大化，設定 $MR = MC$：
$100 - 2Q = 20$
$2Q = 80$
$Q = 40$

當產量 $Q = 40$ 時，廠商會依據需求曲線訂定價格：
$P = 100 - Q = 100 - 40 = 60$
因此，獨佔廠商會訂定價格 $P = 60$，產量 $Q = 40$。

社會福利最大化發生在社會邊際成本等於社會邊際效益（即需求曲線）的點，也就是 $P = MC$。
$100 - Q = 20$
$Q_{social} = 80$
此時的價格為 $P_{social} = 20$。

社會福利損失（DWL）是獨佔產量（40）與社會最適產量（80）之間，由需求曲線（價值）和邊際成本線（成本）所圍成的三角形面積。
DWL = $\frac{1}{2} \times (\text{社會最適產量} - \text{獨佔產量}) \times (\text{獨佔價格} - \text{邊際成本})$
DWL = $\frac{1}{2} \times (Q_{social} - Q) \times (P - MC)$
DWL = $\frac{1}{2} \times (80 - 40) \times (60 - 20)$
DWL = $\frac{1}{2} \times 40 \times 40 = 800$

【答案】廠商訂定價格為 60，產量為 40。社會福利損失為 800。

2. 如果該獨佔廠商可以完全差別取價，其利潤與社會整體福利為何？

完全差別取價（第一級差別取價）是指廠商對每一單位產品都收取消費者願意支付的最高價格。在這種情況下，廠商會生產到社會最適產量，即 $P = MC$ 的點。
社會最適產量為 $Q_{social} = 80$（由 $P = MC$ 推導）。
在 $Q = 80$ 的情況下，廠商可以對第一單位收取最高價（接近 100），最後一單位收取接近 20 的價格。

核心觀念

本題的核心架構為**自然獨占（Natural Monopoly）與公用事業定價法（Two-Part Tariff）**之福利分析：

1. 自然獨占與長期均衡：
   • 成本結構：每家廠商的成本函數皆為 $TC(q) = 100 + 2q$，邊際成本為固定常數 $MC = 2$，平均成本為 $AC(q) = \frac{100}{q} + 2$。由於 $AC$ 隨產量增加而遞減（規模經濟顯著），由單一廠商生產能達到總生產成本最小化，屬於典型的自然獨占產業結構。在自由進出與長期利潤極大化下，市場最終由單一獨占廠商寡佔市場（$N=1$），或者依一般非管制獨占之利潤極大化條件（$MR = MC$）決定均衡價量。
2. 兩部訂價法（Two-Part Tariff, TPT）：
   • 政府為消除獨占造成的無謂損失，規範廠商採取兩部訂價法：
     • 使用費（從量費率, $P$）：設定為邊際成本定價（$P = MC$），確保社會總福利極大，使消費者在邊際上的消費決策達到完全競爭水準，消弭絕對無謂損失（$DWL = 0$）。
     • 定額費（進場費／固定月租費, $T$）：用以全額彌補廠商的固定成本 $FC = 100$（可維持正常利潤，利潤為 0），或若視為代表性單一消費市場／全體消費者總收取金額，使廠商在收回固定成本後達到收支平衡，甚至全額掠奪消費者剩餘（依政府規範之定價目標）。

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解題方法

第 1 小題：長期市場均衡、廠商利潤與福利損失

1. 市場結構判定：
   每家廠商成本為 $TC(q) = 100 + 2q$，邊際成本 $MC = 2$。因為存在固定成本 $100$ 且邊際成本固定，平均成本 $AC = \frac{100}{q} + 2$ 嚴格遞減，市場具有自然獨占性質。多數廠商共存只會重複浪費固定成本，長期下市場均衡為由單一廠商（$N=1$）供給之獨占均衡。

2. 獨占價量求解：
   市場反需求函數為：

   $$P = 200 - Q$$

   廠商總收益函數為：

   $$TR(Q) = P \cdot Q = (200 - Q)Q = 200Q - Q^2$$

   邊際收益為：

   $$MR = \frac{dTR}{dQ} = 200 - 2Q$$

   由利潤極大化條件 $MR = MC$：

   $$200 - 2Q = 2 \implies 2Q = 198 \implies Q^* = 99$$

   代入反需求函數得均衡價格：

   $$P^* = 200 - 99 = 101$$

3. 廠商利潤計算：

   $$\pi = TR - TC = P^* Q^* - (100 + 2Q^*)$$ $$\pi = 101 \times 99 - (100 + 2 \times 99) = 9999 - 298 = 9701$$

4. 福利損失（無謂損失, DWL）計算：
   社會最適產量（$P = MC$）：

   $$200 - Q_c = 2 \implies Q_c = 198$$

   福利損失為需求曲線與邊際成本線在產量從 $Q^*=99$ 到 $Q_c=198$ 之間圍成的三角形面積：

   $$DWL = \frac{1}{2} \times (P^* - MC) \times (Q_c - Q^*)$$ $$DWL = \frac{1}{2} \times (101 - 2) \times (198 - 99) = \frac{1}{2} \times 99 \times 99 = 4900.5$$

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第 2 小題：政府規範廠商採兩部訂價法之均衡分析

此題考驗對 IS-LM 模型的基本理解，特別是當預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 上升時，對總體經濟變數的影響。

核心觀念：

• IS 曲線代表商品市場均衡，代表實質利率 $r$ 與產出 $Y$ 的負相關關係。
• LM 曲線代表貨幣市場均衡，代表產出 $Y$ 與名目利率 $i$ 的正相關關係（假設 $\pi^e$ 固定）。
• 費雪方程式：名目利率 $i$ 與實質利率 $r$、預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 的關係為 $i = r + \pi^e$。
• IS-LM 模型決定了經濟中的均衡實質利率（或名目利率）與均衡產出。
• 投資 $I$ 通常是實質利率 $r$ 的遞減函數。

解題過程：

首先，我們需要理解預期通貨膨脹率 $\pi^e$ 上升對 IS 和 LM 曲線的影響。

1. 對 LM 曲線的影響：
LM 曲線的條件是貨幣市場均衡：$M/P = L(Y, i)$，其中 $i = r + \pi^e$。
我們可以將 LM 曲線表示為 $i$ 和 $Y$ 的關係。
為了分析 $\pi^e$ 的影響，我們需要將 LM 曲線改寫成以 $r$ 和 $Y$ 為變數的關係。
LM 曲線表示貨幣市場均衡，即實質貨幣供給 $M/P$ 等於實質貨幣需求 $L(Y, r + \pi^e)$。
$M/P = L(Y, r + \pi^e)$

當 $\pi^e$ 上升時，對於給定的產出 $Y$ 和實質利率 $r$，人們的貨幣需求 $L(Y, r + \pi^e)$ 會如何變化？
由於 $r + \pi^e = i$（名目利率），而貨幣需求 $L$ 是 $Y$ 的增函數，也是 $i$ 的減函數。
所以，當 $\pi^e$ 上升時，名目利率 $i$ 會上升（如果 $r$ 和 $Y$ 不變）。
為維持貨幣市場均衡 $M/P = L(Y, i)$，在給定的 $M/P$ 和 $Y$ 下，如果 $i$ 上升，則 $L$ 會下降。
這意味著，對於給定的 $Y$ 和 $r$，要使貨幣市場重新均衡，需要更高的 $M/P$ 或更低的 $L$。

讓我們從 LM 曲線的斜率來看：
LM 曲線的傾斜度是 $\frac{di}{dY}$。
從 $M/P = L(Y, i)$，對 Y 微分：
$0 = \frac{\partial L}{\partial Y} \frac{dY}{dY} + \frac{\partial L}{\partial i} \frac{di}{dY}$
$0 = L_Y + L_i \frac{di}{dY}$
$\frac{di}{dY} = -\frac{L_Y}{L_i}$ ( LM 曲線斜率，其中 $L_Y > 0$ 且 $L_i < 0$ )

現在考慮 $\pi^e$ 的影響。LM 曲線的實際形式是 $M/P = L(Y, r + \pi^e)$。
為了分析 $\pi^e$ 的影響，我們需要將 LM 曲線表示為 $r$ 和 $Y$ 的關係。
LM 曲線代表所有使貨幣市場均衡的 $(Y, r)$ 組合。
$M/P = L(Y, r + \pi^e)$

假設 LM 曲線為 $r = f(Y, M/P, \pi^e)$。
為了分析 $\pi^e$ 上升的影響，我們對 LM 曲線方程進行隱函數微分，或直接思考其移動方向。
對於給定的產出 $Y$，要維持貨幣市場均衡 $M/P = L(Y, r + \pi^e)$，如果 $\pi^e$ 上升，則 $r + \pi^e$（名目利率 $i$）需要上升，才能使貨幣需求 $L$ 下降。

核心觀念

本題考查 IS–LM 模型中「財政政策乘數」與 IS 曲線斜率的關係，重點包括：

• IS 曲線代表商品市場均衡。
• 財政擴張會使 IS 曲線向右移動。
• 財政政策乘數定義為政府支出增加一單位所造成的所得變動：

$$k_G=\frac{dY}{dG}$$

• IS 曲線愈平坦，不代表財政政策乘數必然愈大，必須進一步判斷 IS 曲線變平坦的原因。

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解題方法：建立 IS–LM 方程式

假設封閉經濟，消費函數為 $C=\bar C+cY$，投資函數為：

$$I=\bar I-br$$

其中：

• $c$：邊際消費傾向，$0<c<1$
• $b$：投資對利率的敏感程度
• $r$：利率
• $G$：政府支出

商品市場均衡條件為：

$$Y=C+I+G$$

代入消費與投資函數：

$$Y=\bar C+cY+\bar I-br+G$$

整理得：

$$(1-c)Y=\bar C+\bar I+G-br$$

令邊際儲蓄傾向 $s=1-c$，則 IS 曲線為：

$$r=\frac{\bar C+\bar I+G}{b}-\frac{s}{b}Y$$

因此，IS 曲線斜率的絕對值為：

$$\left|\frac{dr}{dY}\right|=\frac{s}{b}$$

所以 IS 曲線愈平坦，表示 $\frac{s}{b}$ 愈小，但這可能來自兩種不同原因：

1. $b$ 變大：投資對利率較敏感。
2. $s$ 變小：邊際消費傾向 $c$ 變大。

這兩種情況對財政政策乘數的影響並不相同。

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在 LM 曲線存在時的財政政策乘數

設實質貨幣供給固定，貨幣市場均衡所代表的 LM 曲線為：

$$r=\frac{Y-\bar M}{h}$$

其中 $h$ 表示貨幣需求對利率的敏感程度。

將 IS 與 LM 聯立：

$$sY=\bar C+\bar I+G-br$$

代入：

$$r=\frac{Y-\bar M}{h}$$

可得：

$$sY=\bar C+\bar I+G-\frac{b}{h}(Y-\bar M)$$

整理：

$$\left(s+\frac{b}{h}\right)Y = \bar C+\bar I+G+\frac{b}{h}\bar M$$

因此，政府支出乘數為：

$$k_G=\frac{dY}{dG} = \frac{1}{s+\frac{b}{h}}$$

此式顯示財政政策效果受到兩個因素影響：

• $s$ 愈大，乘數愈小。
• $b$ 愈大，乘數愈小。

其中 $\frac{b}{h}$ 反映財政擴張引起利率上升後，投資被排擠的程度。

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第一種情況：IS 變平坦是因為 $b$ 變大

當 $b$ 增加時，投資對利率變得更敏感。由於：

$$\left|\frac{dr}{dY}\right|=\frac{s}{b}$$

$b$ 增加會使 IS 曲線變平坦。

然而，財政政策乘數為：

$$k_G=\frac{1}{s+\frac{b}{h}}$$