108 年 國立臺北商業大學資訊與決策科學研究所碩士班《財務管理》

本題主要在考驗債券的 Macaulay Duration 計算與判斷。Macaulay Duration 是衡量債券價格對利率變動敏感度的一項指標，它代表了債券現金流的平均回收期間。

(1) Macaulay Duration 的計算公式為：
$\text{MacD} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t \times C_t}{(1+y)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+y)^t}}$
其中 $C_t$ 為第 t 期收到的現金流，y 為到期殖利率。分母的部分就是債券的現值。

本題債券資訊：
面額 (FV) = $100 票面利率 = 16$C = 100 \times 16% = 16$
年期 (n) = 3 年
到期殖利率 (y) = 100% = 1.0

各期現金流 ($C_t$)：
第 1 年：$C_1 = 16$
第 2 年：$C_2 = 16$
第 3 年：$C_3 = 16 + 100 = 116

核心觀念

本題考查證券交易所的集合競價（Call Auction）撮合原則。

對任一可能成交價格 $P$：

• 可成交買量：限價不低於 $P$ 的買單
  $B(P)=\sum_{\text{買入限價}\ge P}\text{買單量}$
• 可成交賣量：限價不高於 $P$ 的賣單
  $S(P)=\sum_{\text{賣出限價}\le P}\text{賣單量}$
• 可成交數量：
  $Q(P)=\min\{B(P),S(P)\}$

集合競價先選擇能使成交量最大的價格；若有多個價格皆可達最大成交量，再依價差、前次成交價等規則決定撮合價格。

解題方法

逐一計算各候選價格下的累積買量與累積賣量：

撮合價格	累積買量 $B(P)$	累積賣量 $S(P)$	可成交量 $Q(P)$
$60.1$	$3+1+0+4+3+2=13$	$3$	$3$
$60.2$	$1+0+4+3+2=10$	$3+3=6$	$6$
$60.3$	$0+4+3+2=9$	$3+3+3=9$	$9$
$60.4$	$4+3+2=9$	$3+3+3+1=10$	$9$
$60.5$	$3+2=5$	$3+3+3+1+0=10$	$5$

核心觀念

本題考查：

1. 資本資產定價模型（CAPM）
2. β 值的計算
3. 資產是否高估或低估的判斷
4. 含借款投資組合的預期報酬率、變異數與 β 值

題目資料整理如下：

資產	以市價估計之報酬率	報酬率變異數	與市場組合 $M$ 的共變異數
A	$10\%$	$0.10$	$0.20$
B	$13\%$	$0.20$	$0.25$
市場組合 $M$	$13\%$	$0.25$	—
無風險資產 $F$	$3\%$	$0$	$0$

因此：

$$E(R_M)=13\%,\qquad R_f=3\%,\qquad \operatorname{Var}(R_M)=0.25$$

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（1）A 資產是否被高估？應如何交易？

解題方法

先利用 A 資產與市場投資組合的共變異數，計算 A 的 β 值：

$$\beta_A=\frac{\operatorname{Cov}(R_A,R_M)} {\operatorname{Var}(R_M)}$$

代入資料：

$$\beta_A=\frac{0.20}{0.25}=0.8$$

再以 CAPM 計算 A 資產的必要報酬率：

$$E(R_A)=R_f+\beta_A\left[E(R_M)-R_f\right]$$ $$E(R_A)=3\%+0.8(13\%-3\%)$$ $$E(R_A)=3\%+8\%=11\%$$

這個 $11\%$ 是在目前市場風險與 A 資產系統風險下，投資人應要求的報酬率。

題目給定 A 以市價估計出的報酬率為 $10\%$，因此：

$$\text{市價估計報酬率}=10\% < \text{CAPM 必要報酬率}=11\%$$

A 資產提供的報酬不足以補償其所承擔的系統風險，表示目前價格偏高，即 A 資產被高估。

交易策略

投資人應：

$$\boxed{\text{賣出或放空 A 資產}}$$

理由是：

• 目前 A 的價格過高；
• 市場價格修正後，A 的價格預期會下跌；
• 先賣出或放空，待價格下跌後再買回，即可賺取價差。

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（2）含借款投資組合的報酬率、變異數與 β 值

解題方法

投資人原有資金為 $100$ 萬元，另融資 $10$ 萬元，因此可控制的總投資金額為：

$$100+10=110\text{萬元}$$

資金配置為：

• 投資市場組合 $M$：$50$ 萬元
• 投資 B 資產：$60$ 萬元
• 借款：$10$ 萬元

以原始自有資金 $100$ 萬元為報酬率計算基準，投資組合報酬率為：

$$R_P=0.5R_M+0.6R_B-0.1R_f$$

其中借款相當於持有無風險資產的負部位。

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① 投資組合預期報酬率

$$E(R_P)=0.5E(R_M)+0.6E(R_B)-0.1R_f$$

代入：

$$E(R_P)=0.5(13\%)+0.6(13\%)-0.1(3\%)$$ $$E(R_P)=6.5\%+7.8\%-0.3\%$$ $$\boxed{E(R_P)=14\%}$$

以 $100$ 萬元自有資金計算，預期獲利金額為：

$$100\text{萬元}\times 14\%=14\text{萬元}$$

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② 投資組合報酬率的變異數

無風險資產的變異數與共變異數均為零，因此借款部分不直接增加投資組合變異數。

投資組合的風險資產部分為：

本題主要考驗股利折現模型 (Gordon Growth Model) 的應用，以及成長率與股價的關係。

核心觀念：

• 股東權益報酬率 (ROE)： 衡量公司利用股東權益創造利潤的能力。
• 股利發放率 (Dividend Payout Ratio, DPR)： 公司發放給股東的股利佔每股盈餘 (EPS) 的比例。DPR = 股利 / EPS。
• 盈餘保留率 (Retention Ratio, RR)： 公司未發放股利而保留下來的盈餘佔每股盈餘的比例。RR = 1 - DPR = 保留盈餘 / EPS。
• 永續成長率 (g)： 公司盈餘和股利可持續成長的預期比率。根據題目假設，g = RR × ROE。
• Gordon Growth Model (股利折現模型)： $P_0 = \frac{D_1}{k - g}$，其中 $P_0$ 是股票的合理股價，$D_1$ 是下一期的預期每股股利，$k$ 是股東要求的報酬率 (在此題中為投資人要求的報酬率)，$g$ 是永續成長率。

已知資訊：

• 股東權益報酬率 (ROE) = 10%
• 投資人要求的報酬率 (k) = 20%
• 預測明年每股盈餘 (EPS_1) = 5 元

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(1) (6分) 若預估成長率以盈餘保留率乘以股東權益報酬率估計。以 Gordon 成長模型分
別求算A公司
a.每年將所有盈餘都以現金股利發放,及
b.每年保留盈餘的40%,
兩種情形下的預估成長率及合理股價。

a. 每年將所有盈餘都以現金股利發放

• 股利發放率 (DPR)： 100% (所有盈餘都發放)
• 盈餘保留率 (RR)： 1 - 100% = 0%
• 預估成長率 (g)： g = RR × ROE = 0% × 10% = 0%

由於成長率為 0%，這表示股利將保持不變。

• 明年預期每股股利 (D_1)： EPS_1 = 5 元。由於 DPR = 100%，所以 D_1 = EPS_1 = 5 元。
• 合理股價 (P_0)： 使用 Gordon Growth Model。
  $P_0 = \frac{D_1}{k - g}$
  $P_0 = \frac{5 \text{ 元}}{20\% - 0\%} = \frac{5 \text{ 元}}{0.20} = 25 \text{ 元}$

b. 每年保留盈餘的40%

• 盈餘保留率 (RR)： 40%
• 股利發放率 (DPR)： 1 - 40% = 60%
• 預估成長率 (g)： g = RR × ROE = 40% × 10% = 0.40 × 0.10 = 0.04 = 4%
• 明年預期每股股利 (D_1)： EPS_1 = 5 元。DPR = 60%。
  $D_1 = EPS_1 \times \text{DPR} = 5 \text{ 元} \times 60\% = 3 \text{ 元}$

本題主要考驗財務比率的計算，包括股東權益報酬率 (ROE)、資產報酬率 (ROA)，以及內部成長率 (Internal Growth Rate, IGR)。

核心觀念：

• 股東權益報酬率 (ROE)： $ROE = \frac{Net Income}{Total Equity}$。衡量公司為股東創造利潤的能力。
• 資產報酬率 (ROA)： $ROA = \frac{Net Income}{Total Assets}$。衡量公司利用所有資產創造利潤的效率。
• 利息費用保障倍數 (Interest Coverage Ratio, ICR)： $ICR = \frac{EBIT}{Interest Expense}$。衡量公司支付利息費用的能力。
• 內部成長率 (IGR)： $IGR = RR \times ROE$，其中 $RR$ 是盈餘保留率 (Retention Ratio)。此成長率代表公司在不增加外部融資（股權或債務）的情況下，能夠維持的永續成長率。
• 資產 (Total Assets)： Total Assets = Total Equity + Total Liabilities。

已知資訊：

• 銷售金額 (Sales) = 12,000 萬元
• 利息費用 (Interest Expense) = 500 萬元
• 利息保證倍數 (ICR) = 8
• 股東權益 (Total Equity) = 40,000 萬元
• 總負債 (Total Liabilities) = 15,000 萬元
• 平均稅率 (Tax Rate) = 25%

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(1) (5%) 公司今年度的權益報酬率(ROE)與資產報酬率(ROA)分別為何?(答案以百分比方式表示並
四捨五入至小數點第二位)

步驟 1：計算稅前息前盈餘 (EBIT)
根據利息保證倍數的定義：
$ICR = \frac{EBIT}{Interest Expense}$
$8 = \frac{EBIT}{500 \text{ 萬元}}$
$EBIT = 8 \times 500 \text{ 萬元} = 4,000 \text{ 萬元}$

步驟 2：計算稅前淨利 (Net Income before Tax)
稅前淨利是指在扣除利息費用後，但在扣除所得稅前的盈餘。
$\text{Net Income before Tax} = EBIT - Interest Expense$
$\text{Net Income before Tax} = 4,000 \text{ 萬元} - 500 \text{ 萬元} = 3,500 \text{ 萬元}$

步驟 3：計算稅後淨利 (Net Income)

本題主要考驗淨現值 (NPV) 法則、內部報酬率 (IRR) 法則的應用，以及 IRR 法則的優缺點。

核心觀念：

• 淨現值 (NPV)： 專案未來現金流量的現值總和減去初始投資額。$NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}$，其中 $CF_t$ 是第 t 期現金流量，$r$ 是折現率 (要求報酬率)。NPV > 0 表示專案應被接受。
• 內部報酬率 (IRR)： 使專案 NPV 等於零的折現率。IRR 越高，專案越有吸引力。IRR 法則通常與 NPV 法則一致，但存在例外情況（如非傳統現金流或專案規模差異）。
• NPV 法則 vs. IRR 法則： NPV 法則被認為是更優越的決策法則，尤其是在比較互斥專案時，因為 NPV 直接衡量了專案對公司價值的增加。

已知資訊：

• 兩個專案 A 和 B，投資年限皆為 4 年。
• 初始投資額 (CF_0) = -$600,000 (兩方案相同)。
• 方案 A 的現金流量：CF_1=$325,000, CF_2=$300,000, CF_3=$250,000, CF_4=$180,000。
• 方案 B 的現金流量：CF_1=$225,000, CF_2=$275,000, CF_3=$320,000, CF_4=$320,000。
• 要求報酬率 (折現率 r) = 20%。
• 當折現率為 23.5% 時，兩方案 NPV 相等。

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(1) (5%) 若 Gutsche 公司要求的報酬率為20%,各方案的淨現值(NPV)為多少?若依淨現值
(NPV)法則評估時,應建議John 選擇哪一個計劃案?(答案請四捨五入至小數點第二位)

步驟 1：計算方案 A 的 NPV
折現率 r = 20% = 0.20。
$NPV_A = CF_0 + \frac{CF_1}{(1+r)^1} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + \frac{CF_3}{(1+r)^3} + \frac{CF_4}{(1+r)^4}$
$NPV_A = -600,000 + \frac{325,000}{(1.20)^1} + \frac{300,000}{(1.20)^2} + \frac{250,000}{(1.20)^3} + \frac{180,000}{(1.20)^4}$
$NPV_A = -600,000 + \frac{325,000}{1.20} + \frac{300,000}{1.44} + \frac{250,000}{1.728} + \frac{180,000}{2.0736}$
$NPV_A = -600,000 + 270,833.33 + 208,333.33 + 144,675.93 + 86,810.59$
$NPV_A = -600,000 + 710,653.18$
$NPV_A \approx 110,653.18$

步驟 2：計算方案 B 的 NPV
$NPV_B = CF_0 + \frac{CF_1}{(1+r)^1} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + \frac{CF_3}{(1+r)^3} + \frac{CF_4}{(1+r)^4}$
$NPV_B = -600,000 + \frac{225,000}{(1.20)^1} + \frac{275,000}{(1.20)^2} + \frac{320,000}{(1.20)^3} + \frac{320,000}{(1.20)^4}$
$NPV_B = -600,000 + \frac{225,000}{1.20} + \frac{275,000}{1.44} + \frac{320,000}{1.728} + \frac{320,000}{2.0736}$
$NPV_B = -600,000 + 187,500.00 + 190,972.22 + 185,185.19 + 154,320.99$
$NPV_B = -600,000 + 717,978.40$
$NPV_B \approx 117,978.40$

步驟 3：根據 NPV 法則進行決策
NPV 法則建議選擇 NPV 較高的專案。
$NPV_A \approx 110,653.18$
$NPV_B \approx 117,978.40$
由於 $NPV_B > NPV_A$，應選擇方案 B。

【答案】
方案 A 的 NPV 約為 $110,653.18。
方案 B 的 NPV 約為

本題主要考驗 Modigliani-Miller (M&M) 理論在無公司稅和有公司稅下的應用，以及資本結構與公司價值的關係。

核心觀念：

• M&M 理論 (無公司稅)： 在沒有公司稅和破產成本等其他扭曲因素的情況下，公司的總價值與其資本結構（債務與股權的比例）無關。總價值 $V_L = V_U = \frac{EBIT \times (1-T)}{k_U}$，其中 $V_L$ 是有負債的公司價值，$V_U$ 是無負債的公司價值，$EBIT$ 是稅前息前盈餘，$T$ 是稅率，$k_U$ 是無負債公司的權益資金成本 (代表資產的風險)。
• M&M 理論 (有公司稅)： 公司稅收的節稅利益 (Tax Shield) 使得負債具有價值。有負債公司的價值 $V_L = V_U + PV(\text{Tax Shield})$。在永續債務的情況下，$PV(\text{Tax Shield}) = D \times T$，其中 $D$ 是債務市值，$T$ 是稅率。因此，$V_L = V_U + D \times T$。
• 權益資金成本 (Cost of Equity, $k_e$)：
  • 無公司稅時： $k_L = k_U + (k_U - k_d) \times \frac{D}{E}$。
  • 有公司稅時： $k_L = k_U + (k_U - k_d) \times \frac{D}{E} \times (1-T)$。
• 加權平均資金成本 (WACC)： $WACC = \frac{E}{V} k_e + \frac{D}{V} k_d (1-T)$，其中 $V = E+D$。
• 公司總價值 (V)： $V = E + D$。
• 權益價值 (E)： $E = V - D$。
• 全權益融資公司的資金成本： 代表無負債公司的資金成本 ($k_U$)。

已知資訊：

• Jo 公司：
  • 負債市值 (D) = $200,000
  • 債務資金成本 ($k_d$) = 6%
  • 所得稅率 (T) = 34%
  • 稅前息前盈餘 (EBIT) = $151,515 (永續)
• 全權益融資公司：
  • 資金成本 ($k_U$) = 20% (這代表 Jo 公司在沒有負債時的權益資金成本，或稱為無負債的資金成本)

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(1) (7%) 若依據 M&M理論,Jo公司的總價值是多少?權益價值多少?(答案請四捨五入至整數)

步驟 1：判斷適用 M&M 理論的版本
題目提到公司有負債，且有公司稅率 (34%)，因此應使用 M&M 理論有公司稅的版本。

步驟 2：計算無負債公司的總價值 ($V_U$)
無負債公司的價值是其稅後盈餘的永續年金現值。
由於 EBIT 是稅前息前盈餘，我們需要先計算稅後盈餘。
稅後盈餘 (Net Income) = EBIT × (1 - Tax Rate)
$\text{Net Income} = 151,515 \times (1 - 0.34) = 151,515 \times 0.66 = 100,000$
無負債公司的價值 ($V_U$) 是將這個稅後盈餘除以無負債的權益資金成本 ($k_U$)。
$V_U = \frac{\text{Net Income}}{k_U} = \frac{100,000}{0.20} = 500,000$

步驟 3：計算公司總價值 ($V_L$)
根據 M&M 理論有公司稅的版本，有負債公司的價值等於無負債公司的價值加上負債的稅盾價值。
$V_L = V_U + PV(\text{Tax Shield})$
在永續負債的情況下，稅盾價值的現值為：
$PV(\text{Tax Shield}) = D \times T$
$PV(\text{Tax Shield}) = 200,000 \times 0.34 = 68,000$
因此，Jo 公司的總價值 ($V_L$) 是：
$V_L = 500,000 + 68,000 = 568,000$

步驟 4：計算權益價值 (E)
公司總價值 ($V_L$) 等於權益價值 (E) 加上負債市值 (D)。
$V_L = E + D$
$568,000 = E + 200,000$
$E = 568,000 - 200,000 = 368,000$

結果四捨五入至整數：

• 總價值 ($V_L$) = 568,000
• 權益價值 (E) = 368,000

【答案】
Jo 公司的總價值約為 $568,000。 Jo 公司的權益價值約為$368,000。

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(2) (7%) Jo公司的權益資金成本為何?加權平均資金成本為多少?(答案請以百分比方式表示並四捨
五入至整數)

步驟 1：計算 Jo 公司權益資金成本 ($k_e$ 或 $k_L$)
根據 M&M 理論有公司稅的版本，有負債公司的權益資金成本為：
$k_L = k_U + (k_U - k_d) \times \frac{D}{E} \times (1-T)$
我們已知：

• $k_U = 0.20$ (無負債時的資金成本)
• $k_d = 0.06$ (債務資金成本)
• $D = 200,000$ (負債市值)
• $E = 368,000$ (權益價值，從 Part 1 計算得出)
• $T = 0.34$ (稅率)

$k_L = 0.20 + (0.20 - 0.06) \times \frac{200,000}{368,000} \times (1 - 0.34)$
$k_L = 0.20 + (0.14) \times (0.543478) \times (0.66)$
$k_L = 0.20 + 0.14 \times 0.358695$
$k_L = 0.20 + 0.050217$
$k_L \approx 0.250217$
轉換為百分比並四捨五入至整數：
$k_L \approx 25\%$