108 年 國立臺灣大學國家發展研究所甲組《統計學（B）》

本題主要在比較平均數與中位數這兩個描述統計量，並透過給定的數據判斷薪資分布的形態。

一、 平均數與中位數的比較

• 平均數 (Mean)：所有數據的總和除以數據的個數。
  • 優點：計算相對簡單，所有數據都參與計算，能夠充分利用所有資訊。
  • 缺點：容易受到極端值（離群值）的影響，當資料中有極大或極小的數值時，平均數會被顯著拉高或拉低，無法真實反映數據的集中趨勢。
• 中位數 (Median)：將所有數據由小到大（或由大到小）排列後，位於最中間的數值。若數據個數為偶數，則取中間兩個數值的平均。
  • 優點：不受極端值影響，更能代表數據的「典型」值，尤其適用於偏態分布的資料。
  • 缺點：計算時需要先排序，相對平均數稍複雜；且未考慮所有數據的資訊，僅取決於中間值。

二、 相對優缺點

在薪資分布的討論中，平均數和中位數各有其用途：

• 平均數：可以反映整體薪資的「總體」水平，若要計算總薪資支出，則需要平均數。
• 中位數：更能反映「典型」受僱員工的薪資水平。由於薪資分布通常是右偏的（少數高薪者拉高平均數），中位數會比平均數更能貼近大多數人的薪資感受。

三、 薪資分布圖示

根據題目給定的數據：

• 平均薪資 = 60 萬元
• 薪資中位數 = 47 萬元

本題主要探討兩種重要的機率抽樣方法：「分層抽樣」與「群集抽樣」，並深入比較其優缺點及變形。

一、 分層抽樣 (Stratified Sampling)

• 定義：將母體依據某種特性（如年齡、性別、地區等）劃分成互斥且具備窮盡性的次群體，稱為「層 (stratum)」。然後，從每一個層中獨立抽取樣本。
• 優點：
  1. 提高估計的精確度：如果層內變異性小於層間變異性，分層抽樣可以顯著降低抽樣誤差，得到更精確的估計值。
  2. 確保各層的代表性：可以確保母體中所有重要的次群體（層）都能在樣本中得到適當的代表。
  3. 可以對各層進行獨立分析：方便對不同層次的特性進行比較分析。
• 缺點：
  1. 需要事先了解母體結構：必須知道母體的劃分方式和各層的大小。
  2. 抽樣設計較複雜：需要根據各層的特性來設計抽樣計畫。
  3. 可能增加執行成本：若各層分散，收集資料的成本可能較高。

二、 群集抽樣 (Cluster Sampling)

• 定義：將母體分成若干個互斥的群體（稱為「群集」或「叢」），每個群集在某種程度上代表了整個母體。然後，隨機抽取若干群集，並對被選中的群集內的所有個體進行調查，或再從被選中的群集中抽取樣本。
• 優點：
  1. 執行方便且成本較低：尤其適用於母體分散、難以接觸的情況（例如地理上分散的地區）。
  2. 不需要母體清冊：只需要群集的清冊即可。
• 缺點：
  1. 抽樣誤差通常較大：因為群集內部個體之間的相似性可能較高（同質性），而群集之間的差異性可能較大，導致估計的精確度不如分層抽樣。
  2. 可能存在選擇偏差：如果選取的群集不能代表整體母體，則會產生偏差。

三、 分層比例抽樣 vs. 分層非比例抽樣

• 分層比例抽樣 (Proportional Allocation)：各層抽取的樣本數與該層在母體中所佔的比例成正比。

本題旨在考察統計估計量的三個重要特性：不偏性、有效性與一致性，並要求比較兩個具體估計量在不偏性與有效性上的表現。

一、 三個特性的意涵

1. 不偏性 (Unbiasedness)：
   一個估計量 $\hat{\theta}$ 被稱為對母體參數 $\theta$ 的不偏估計量，如果其期望值等於母體參數本身。
   $E(\hat{\theta}) = \theta$
   這表示，如果我們從母體中重複抽取許多樣本並計算估計量，這些估計量的平均值會趨近於真實的母體參數。不偏性保證了估計量不會系統性地高估或低估母體參數。

2. 有效性 (Efficiency)：
   在眾多對同一母體參數 $\theta$ 的不偏估計量中，若一個估計量 $\hat{\theta}_1$ 的變異數小於另一個不偏估計量 $\hat{\theta}_2$ 的變異數，則稱 $\hat{\theta}_1$ 比 $\hat{\theta}_2$ 更有效。
   $Var(\hat{\theta}_1) < Var(\hat{\theta}_2)$
   有效性高的估計量意味著其抽樣分布更集中，其估計值更接近真實的母體參數，因此抽樣誤差較小。

3. 一致性 (Consistency)：
   一個估計量 $\hat{\theta}_n$ 被稱為對母體參數 $\theta$ 的一致估計量，如果當樣本數 $n$ 趨近於無限大時，該估計量趨近於母體參數的機率為 1。
   $P(\lim_{n \to \infty} \hat{\theta}_n = \theta) = 1$
   或者，更精確地說，對於任意小的 $\epsilon > 0$，有
   $\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| < \epsilon) = 1$
   一致性是當樣本數足夠大時，估計量會趨近真實值的性質。它不保證在有限樣本下不偏，但保證在大樣本下準確。

二、 比較兩個樣本估計式

我們需要比較以下兩個估計量來估計母體均數 $\mu$：
$\bar{X} = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} X_i$
$\tilde{X} = \frac{X_{max} + X_{min}}{2}$

假設母體為 $X \sim F$，母體均數為 $\mu$，母體變異數為 $\sigma^2$。

(A) 不偏性 (Unbiasedness)

1. 估計量 $\bar{X}$：
   根據樣本均數的性質，其期望值等於母體均數。
   $E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} X_i\right) = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} E(X_i)$
   由於 $X_i$ 是獨立同分布於母體，所以 $E(X_i) = \mu$。
   $E(\bar{X}) = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} \mu = \frac{1}{100} (100 \mu) = \mu$
   因此，$\bar{X}$ 是母體均數 $\mu$ 的不偏估計量。

本題主要考驗對信賴區間基本概念的理解，包括信賴水準、信賴區間的關係，以及如何計算一個具體的信賴區間。

一、 信賴水準 (Confidence Level) 與信賴區間 (Confidence Interval)

• 信賴水準 (Confidence Level)：
  信賴水準是指在重複抽樣的情況下，估計出的信賴區間能夠包含真實母體參數的比例。它通常以百分比表示，例如 95% 的信賴水準。這並不表示某一個特定的信賴區間有 95% 的機率包含母體參數，而是指如果我們重複進行 100 次抽樣並計算 100 個信賴區間，預計其中約有 95 個區間會涵蓋真實的母體參數。

• 信賴區間 (Confidence Interval)：
  信賴區間是根據樣本數據計算出來的一個區間範圍，用來估計母體參數的可能值。這個區間是由樣本統計量加上或減去一個「誤差範圍」所構成。
  一般形式為：(點估計量 - 誤差範圍, 點估計量 + 誤差範圍)。
  $\text{Point Estimate} \pm \text{Margin of Error}$

二、 信賴水準與信賴區間的關係

在其他條件（如樣本數、母體變異數）相同的情況下：

• 信賴水準越高，信賴區間越大。
  這是因為要以更高的信心水準來涵蓋真實的母體參數，我們需要擴大估計的範圍，包含更多的可能性。想像一下，如果你想更有把握地抓住一隻鳥，你會張開更大的網。

• 信賴水準越低，信賴區間越小。
  如果我們對涵蓋母體參數的信心要求較低，就可以縮小區間，使得估計更精確（範圍窄）。

三、 計算 95% 信賴區間

已知：

• 樣本數 $n = 100$
• 樣本平均值 $\bar{x} = 100$
• 樣本標準差 $s = 20$
• 信賴水準 = 95%

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，我們使用樣本標準差 $s$ 來估計，因此在計算信賴區間時，需要使用 t 分配。

核心觀念

本題考查：

1. 虛無假設 $H_0$ 與對立假設 $H_1$ 的設定。
2. 單尾假設檢定的方向。
3. 虛無假設通常必須包含等號。
4. 政策有效性的判定標準。

政策目標是「降低平均每人每日垃圾量」，因此只有當母體平均數 $\mu$ 小於 $1.1$ 公斤時，才能認定措施有效：

$$\text{措施有效} \Longleftrightarrow \mu<1.1$$

所以本題應進行左尾檢定。

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解題方法

先區分兩種情況：

• $\mu\geq 1.1$：垃圾量沒有下降，措施尚未證明有效。
• $\mu<1.1$：垃圾量確實低於原來水準，措施有效。

在假設檢定中，研究者希望以樣本證據支持的主張放在對立假設 $H_1$，而虛無假設 $H_0$ 應包含「沒有改善」的情況，並包含臨界值 $\mu=1.1$。

因此正確設定為：

$$H_0:\mu\geq 1.1$$ $$H_1:\mu<1.1$$

這是左尾檢定。

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統計學家 A 的假設分析

統計學家 A 設定：

$$H_0:\mu\leq 1.1$$

此設定不正確，原因有二：

1. 方向相反。題目要檢定的是垃圾量是否「下降」，也就是是否有 $\mu<1.1$；但 A 的虛無假設包含 $\mu<1.1$，反而把「措施有效」放入 $H_0$。
2. A 的假設將 $\mu=1.1$ 與 $\mu<1.1$ 放在同一邊，無法以拒絕 $H_0$ 來代表「垃圾量下降」。

若依 A 的設定，對立假設會是：

$$H_1:\mu>1.1$$

這是在檢定垃圾量是否增加，與政府想確認的政策效果相反。

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統計學家 B 的假設分析

統計學家 B 設定：

$$H_0:\mu<1.1$$

此設定也不正確，原因如下：

1. $\mu<1.1$ 代表垃圾量低於原本水準，正是政策有效的情況，不應放在虛無假設中。
2. B 將 $\mu=1.1$ 排除在虛無假設外，但題目已明確指出平均垃圾量仍為 $1.1$ 公斤時，措施無效，因此 $\mu=1.1$ 必須納入「無效」的情況。
3. 虛無假設通常包含等號，以確保所有邊界情況都有明確歸屬。

若依 B 的設定，對立假設會變成：

$$H_1:\mu\geq 1.1$$

本題考驗對迴歸模型中變數選擇問題的理解，特別是遺漏相關變數 (omitted relevant variables) 與納入非相關變數 (included irrelevant variables) 所帶來的後果。

一、 同意與否

我同意這個說法。

二、 原因分析

在建立迴歸模型時，模型設定的目標是解釋應變數 (dependent variable) 的變異，並對母體關係進行推斷。

1. 遺漏相關變數 (Omitted Relevant Variables)：
   當一個對應變數有顯著影響且與模型中其他解釋變數相關的變數被遺漏時，會產生以下嚴重後果：
   • 估計量有偏 (Biased Estimates)：模型中現有解釋變數的係數估計值會產生系統性偏差。這是因為被遺漏的變數的影響會被錯誤地歸因於模型中現有的變數。如果被遺漏的變數與模型中的變數相關，則現有變數的係數估計值將無法正確反映其獨立影響。
   • 估計量不一致 (Inconsistent Estimates)：當樣本數增加時，這些有偏的估計量並不會趨近於真實的母體參數。
   • 標準誤估計有誤 (Incorrect Standard Errors)：由於殘差項 $e_i$ 的變異數被錯誤地估計，導致係數的標準誤估計不準確。這會影響假設檢定的結果（t檢定、F檢定），可能導致錯誤地判斷變數是否顯著，或過度自信於估計的精確度。
   • 模型預測能力下降：雖然在某些情況下，即使遺漏了相關變數，模型的整體擬合優度（如 $R^2$）可能看起來不錯，但其預測能力在新的數據上可能會很差，因為其對真實關係的捕捉是扭曲的。

本題是一道典型的計量經濟學迴歸分析題目，要求根據 EViews 等軟體輸出的結果，進行迴歸方程的寫法、結果的經濟學解釋，以及對模型潛在問題的診斷。

一、 迴歸方程寫法

迴歸方程可以根據 EViews 輸出的係數和變數名稱來寫出。
模型是針對 LOG(GDP) 進行估計，解釋變數是 LOG(DEBT) 和截距項 C。

• 應變數：$Y = \text{LOG(GDP)}$
• 解釋變數：$X_1 = \text{LOG(DEBT)}$
• 截距項：$C$

迴歸方程的標準形式為：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon$
在 EViews 輸出中：

• 截距項 C 的係數 (Coefficient) 是 6.03
• LOG(DEBT) 的係數 (Coefficient) 是 0.65

因此，估計的迴歸方程為：
$\text{LOG(GDP)} = 6.03 + 0.65 \times \text{LOG(DEBT)} + \epsilon$
其中 $\epsilon$ 是誤差項。

【答案】(1)
$\text{LOG(GDP)} = 6.03 + 0.65 \times \text{LOG(DEBT)}$
(註：通常在寫迴歸方程時，會寫上誤差項 $\epsilon$，但若題目要求寫「迴歸方程」，寫估計式即可。)

二、 經濟學涵義解釋

這個迴歸模型試圖解釋國內生產總值 (GDP) 的對數與國家債務 (DEBT) 的對數之間的關係。

1. 截距項 (C = 6.03)：
   截距項代表當解釋變數 LOG(DEBT) 為 0 時，應變數 LOG(GDP) 的預測值。
   然而，LOG(DEBT) = 0 意味著 DEBT = $e^0 = 1$。也就是說，當國家債務發行量為 1 時，預測的 LOG(GDP) 是 6.03。
   在實際經濟學解釋中，當解釋變數取值為 0 的情況不具有實際意義時（例如，債務不可能為 1 單位而 GDP 對數為 6.03），截距項的解釋就比較有限，它更多地是作為模型擬合的一部分。
   如果我們解釋為，當 DEBT 為 1 時，GDP 的預測值為 $e^{6.03}$。這通常不是一個有意義的經濟解釋，因為 DEBT 的單位通常非常大。

2. LOG(DEBT) 的係數 (0.65)：
   這個係數的解釋是基於對數-對數模型 (log-log model) 的特性：

   • 彈性 (Elasticity)：在 log-log 模型中，解釋變數的係數代表了應變數相對於解釋變數的彈性。
   • 涵義：這表示，當國家債務發行量 (DEBT) 每變動 1% 時，預測的國內生產總值 (GDP) 將變動 0.65%。
     • 具體來說，如果 DEBT 增加 1%，則 GDP 預計會增加 0.65%。
     • 這表明國家債務與經濟增長之間存在正相關關係，並且這種關係是彈性的（變動比例小於 1%）。

3. 顯著性 (Significance)：

   • t-Statistic (32.8)：LOG(DEBT) 的 t 統計量非常大 (32.8)，遠大於通常的顯著性水平（如 5% 的臨界值約為 2）。
   • Prob. (0)：LOG(DEBT) 的 p-value 非常接近於 0。
   • 結論：這表明 LOG(DEBT) 對 LOG(GDP) 的影響是統計上非常顯著的，我們有極強的證據拒絕「LOG(DEBT) 的係數為 0」的虛無假設。

4. 擬合優度 (Goodness of Fit)：

   • R-squared (0.981)：R-squared 值為 0.981，意味著模型中的解釋變數 (LOG(DEBT)) 能夠解釋應變數 (LOG(GDP)) 總變異的 98.1%。這是一個非常高的值，表示模型對數據的擬合非常好。
   • Adjusted R-squared (0.983)：由於樣本數較少 (n=19)，Adjusted R-squared 是更可靠的指標。0.983 的值同樣顯示了極佳的擬合度。
   • F-statistic (1075.5)：F 統計量非常大，且 Prob(F-statistic) = 0，表明整個迴歸模型（所有解釋變數聯合起來）是統計上顯著的。

經濟學涵義總結：
模型顯示，國家債務的增加與經濟增長（GDP）之間存在顯著的正相關關係。具體而言，國家債務每增加 1%，預計 GDP 將增加 0.65%。模型對數據的擬合度非常高，表明國家債務是影響 GDP 的一個重要因素。

【答案】(2)
截距項 6.03 的經濟學解釋有限。LOG(DEBT) 的係數 0.65 表示，在控制其他因素（在此模型中只有截距項）的情況下，國家債務 (DEBT) 每變動 1%，預計國內生產總值 (GDP) 將變動 0.65%。此關係在統計上非常顯著 (p-value ≈ 0)。模型的擬合優度非常高 (R²=0.981)，表明 DEBT 是解釋 GDP 的一個重要變數。

三、 模型潛在問題與檢驗

儘管模型擬合度很高，但存在一些潛在問題需要探討。

本題要求根據 IMF (2018) 的實證結果，分析不同國家（包括中國大陸）在地方政府債務與經濟金融發展相關指標之間的關係，並比較其異同。這需要結合計量結果、財經理論和對各國經濟狀況的理解。

一、 實證方程式設定的理解

表格中的每一列代表一個國家（Australia, Canada, Germany, United States, China），每一行代表一個應變數 (Dependent Variable)。
表格中的數字是各國在對應的應變數和解釋變數之間的迴歸係數。
應變數是「Subnational government bond spreads」（地方政府債券利差），這是一個衡量地方政府融資成本和風險的指標。利差越高，融資成本越高，風險越大。
解釋變數包括：

1. Subnational government GDP growth (地方政府 GDP 成長率)
2. Subnational government fiscal balance/GDP (地方政府財政平衡/GDP 比例)
3. Subnational government debt/GDP (地方政府債務/GDP 比例)
4. Liquidity (流動性)
5. Volatility (波動性)

星號（***, **, *）代表統計顯著性水平：

• ***: 1% 顯著水平
• **: 5% 顯著水平
• *: 10% 顯著水平

二、 各國情況分析與比較

我們將逐一分析各解釋變數對地方政府債券利差的影響，並比較中國大陸與其他國家的異同。

1. 地方政府 GDP 成長率 (Subnational government GDP growth)

• 中國大陸 (China)：係數為 0.18，不顯著 (沒有星號)。
• 其他國家：
  • Australia: 0.4 (不顯著)
  • Canada: -0.7 (不顯著)
  • Germany: 1.7 (不顯著)
  • United States: 1.1 (不顯著)
• 結論：在大多數國家，地方政府的 GDP 成長率與債券利差之間沒有顯著的線性關係。中國大陸的情況與其他國家相似，地方 GDP 成長率對其債券利差的影響不顯著。

2. 地方政府財政平衡/GDP 比例 (Subnational government fiscal balance/GDP)

• 中國大陸 (China)：係數為 0.00，不顯著。
• 其他國家：
  • Australia: -6.7*** (非常顯著，負相關)
  • Canada: -6.4** (顯著，負相關)
  • Germany: -0.8 (不顯著)
  • United States: -4.2*** (非常顯著，負相關)
• 結論：
  • 異同：這是中國大陸與部分已開發國家（澳洲、加拿大、美國）之間一個顯著的異同點。在澳洲、加拿大和美國，地方政府財政平衡佔 GDP 的比例越高（即財政盈餘越大或赤字越小），其債券利差越小，表示市場認為風險越低，融資成本越低。這符合財經理論預期，穩健的財政狀況能降低違約風險。
  • 中國大陸：中國大陸的係數為 0.00，表示地方政府的財政平衡狀況對其債券利差沒有顯著影響。這可能暗示市場對中國地方政府債務的評估機制與已開發國家不同，或者市場認為地方政府債務的風險更多地來自於其他因素（如中央政府的隱性擔保、地方融資平台的不透明性等），而非單純的財政收支狀況。德國的情況也不顯著，可能與其聯邦制結構和中央財政約束機制有關。

3. 地方政府債務/GDP 比例 (Subnational government debt/GDP)

• 中國大陸 (China)：係數為 -0.04，不顯著。
• 其他國家：
  • Australia: 0.7 (不顯著)
  • Canada: 0.1 (不顯著)
  • Germany: -0.5 (不顯著)
  • United States: 31.7*** (非常顯著，正相關)
• 結論：
  • 異同：這也是一個重要的異同點。在美國，地方政府債務佔 GDP 的比例越高，其債券利差顯著越高（31.7***），這符合預期，高負債意味著高風險。
  • 中國大陸：中國大陸的係數為 -0.04，雖然符號是負的，但統計上不顯著。這意味著，至少在這個模型中，中國大陸地方政府的債務水平與其債券利差之間沒有顯著的統計關係。這可能的原因與財政平衡類似，市場評估中國地方債風險的機制可能不直接與債務/GDP 比例掛鉤，或者存在其他更重要的風險因素被市場關注。

4. 流動性 (Liquidity)

• 中國大陸 (China)：係數為 -35.8* (非常顯著，負相關)。
• 其他國家：
  • Australia: -3.3 (不顯著)
  • Canada: -0.5 (不顯著)
  • Germany: -2.9 (不顯著)
  • United States: -2.50 *** (非常顯著，負相關)
• 結論：
  • 異同：中國大陸和美國一樣，地方政府債券的流動性與其債券利差呈顯著的負相關。