109 年 國立臺灣大學國家發展研究所甲組《統計學（B）》

本題主要在於探討樣本特性（樣本大小、比例結構）對於估計與檢定的影響，以及如何解決潛在問題。

核心觀念： 樣本代表性、樣本比例與母體比例的差異、統計檢定的條件。

詳解：

首先，我們需要理解統計推論的基礎是樣本必須能代表母體。當樣本的特性（如大小、比例）與母體存在顯著差異時，所進行的估計或檢定結果就可能產生偏差。

第一組樣本 (n=20)：

1. 問題：樣本大小過小。

   • 說明： 僅有 20 人的樣本量相對母體 10,000 人而言非常小。過小的樣本量可能導致估計的標準誤較大，使得信賴區間較寬，估計的精確度較低。同時，在進行假設檢定時，小樣本可能較難偵測到真實存在的差異（低檢定力），尤其當母體參數（如比例）的真實差異不大時。
   • 解決方法：
     • 增加樣本大小： 這是最直接且有效的方法。若能取得更大的樣本，統計估計的精確度會提高，檢定的統計功效也會增強。
     • 使用適合小樣本的統計方法： 雖然本題主要考驗代表性問題，但若必須使用小樣本，應注意是否符合特定統計方法的假設（例如，某些檢定對樣本大小有要求）。

2. 問題：性別比例與母體比例不符。

   • 說明： 母體男女比例為 1:1，但第一組樣本男女比例為 1:1 (10 男, 10 女)，這部分比例是符合的。然而，題目描述「男女比例為1:1」可能是印刷錯誤，若此處確實是指樣本男女比例為1:1，則此點與母體比例一致，無此問題。若題目意指樣本男女比例與母體比例1:1有差異，則此樣本可能無法代表母體。 假設題目是指樣本男女比例為1:1，而母體男女比例為1:1，則此比例是符合的。若題目意指樣本男女比例與母體比例1:1有差異，則此樣本可能無法代表母體。
   • 假設題目意指樣本男女比例為 1:1，與母體比例 1:1 相符，則此點無問題。
   • 假設題目意指樣本男女比例與母體比例 1:1 有差異（例如，題目應為1:2或2:1等），則此樣本的性別比例與母體不符，會導致以該樣本進行推論時，可能無法準確反映母體中不同性別的政黨傾向差異。
   • 解決方法（若比例不符）：

本題分為兩大部分：一是定義與功能，二是應用於實際問題的解決方案。

核心觀念： 變異係數的定義與解釋，變異數的標準化，統計在管理決策中的應用。

詳解：

第一部分：變異係數 (Coefficient of Variation, CV)

• 定義：
  變異係數是衡量數據離散程度的一種相對指標。它定義為樣本標準差 (s) 除以樣本平均數 ($\bar{x}$) 的商，通常乘以 100% 表示為百分比。
  $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$
  如果處理的是母體參數，則為 $\frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$。

• 功能：
  變異係數的主要功能是標準化變異程度，使其可以在不同平均數的數據集之間進行比較。

  1. 比較不同單位的數據： 當兩個數據集的平均數差異很大時，直接比較標準差意義不大。例如，比較班級數學考試分數的離散程度（平均數約 70 分，標準差 10 分）和班級身高差異的離散程度（平均數約 160 公分，標準差 5 公分），直接比較標準差 10 和 5 沒有直接的可比性。但計算 CV 後，前者 CV 約為 $10/70 \approx 14.3\%$，後者 CV 約為 $5/160 \approx 3.1\%$，就可以看出數學分數的變異程度相對於其平均數而言，遠大於身高的變異程度。
  2. 衡量相對穩定性： CV 越小，表示數據相對於其平均數越穩定、越集中；CV 越大，表示數據相對於其平均數越不穩定、越離散。

第二部分：解決公司員工考績評比標準不一的問題

題目描述的問題是：

1. 不同主管的平均分數有差異： 有些主管打的分數普遍偏高。
2. 同一主管內部分數差距大： 有些主管因好惡，分數的高低差距（變異）很大。

這兩個問題都與分數的離散程度有關，但需要分開處理。

建議的解決方案：

1. 處理不同主管平均分數的差異（水平校準）：

• 核心問題： 不同主管的評分基準線不同。
• 建議方法：
  • 標準化分數 (Standardization)： 對每個主管的評分進行標準化處理。對於每個主管 $j$，計算其評分 $x_{ij}$ 的平均數 $\bar{x}_j$ 和標準差 $s_j$。然後將每個員工 $i$ 在該主管 $j$ 下的分數轉換為標準分數 $z_{ij}$：
    $z_{ij} = \frac{x_{ij} - \bar{x}_j}{s_j}$
    這樣，每個主管的評分都會被轉換成平均數為 0，標準差為 1 的分數。這樣處理後，不同主管之間的評分基準就統一了，可以更公平地比較員工在不同主管下的表現。

本題旨在探討中央極限定理的定義、重要性，以及它如何支持統計推論中常態分配的假設，同時也指出其限制。

核心觀念： 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的內容、統計推論的基礎、常態分配的應用範圍。

詳解：

1. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的定義：

中央極限定理是統計學中最重要且最基礎的定理之一。它指出：

「從任何母體（不論其原始分佈為何）中，抽取足夠大的隨機樣本（通常樣本大小 $n \ge 30$ 被認為足夠），則這些樣本的樣本平均數的分佈，將近似於常態分佈。而且，這個近似常態分佈的平均數等於母體平均數($\mu$)，其標準差（稱為標準誤, standard error）等於母體標準差($\sigma$)除以樣本大小的平方根($\sqrt{n}$)。」

用數學式表達，對於樣本平均數 $\bar{X}$：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$
當 $n$ 夠大時。

2. 中央極限定理如何支持「隨機變數為常態分配」的假設之合理性：

在進行統計推論（如估計與假設檢定）時，我們經常需要知道樣本統計量（尤其是樣本平均數 $\bar{X}$）的分佈。許多統計方法，例如 t 檢定、Z 檢定、F 檢定等，都假設樣本平均數（或其轉換形式）服從常態分佈。

• 對樣本平均數的合理性：
  CLT 告訴我們，即使母體本身的隨機變數分佈不是常態的（例如，可能是均勻分佈、指數分佈、二項分佈等），只要我們抽取足夠大的樣本，樣本平均數的分佈就近似於常態分佈。這使得我們可以應用基於常態分佈的統計方法來進行推論。

  • 例如： 我們想估計某地區所有成年男性的平均身高。我們知道身高分佈可能不是嚴格的常態（例如，極端身高的人數可能較少），但只要我們抽取一個足夠大的隨機樣本（如 $n=100$），那麼這個樣本平均身高 $\bar{X}$ 的分佈就非常接近常態分佈。因此，我們可以對母體平均身高 $\mu$ 建立信賴區間，或對其進行假設檢定。

• 對個別隨機變數的推論：
  需要注意的是，CLT 主要保證的是樣本平均數的分佈近似常態，而不是母體中個別觀察值的分佈近似常態。
  然而，在某些情況下，當一個隨機變數可以被視為許多獨立隨機因素的總和或平均時，CLT 的精神也適用，使得該變數本身的分佈也趨向常態。這被稱為「獨立同分佈」(i.i.d.) 隨機變數的加總或平均趨近常態。

  • 例如： 一個產品的最終品質可能是由許多微小的加工步驟、原料的微小差異、環境因素等共同影響的結果。這些影響因素可以被視為獨立的隨機變數。因此，最終產品的品質（若可量化）往往會呈現接近常態的分佈。

3. 在哪些情況下該假設（隨機變數為常態分配）比較不適合：

儘管 CLT 非常強大，但它有其適用範圍，在以下情況下，假設隨機變數（或樣本平均數）為常態分配可能不適合或需要謹慎：

• 樣本大小 $n$ 過小：
  • 說明： CLT 的「足夠大」是相對的。當樣本大小 $n$ 非常小時（例如 $n < 30$），如果母體分佈本身就嚴重偏離常態（例如，極度偏態、多峰分佈、或具有極端值），那麼樣本平均數的分佈可能仍然無法近似於常態。
  • 影響： 這時，基於常態分佈假設的統計檢定（如 t 檢定）可能不再有效，其 P 值或信賴區間可能不準確。
  • 解決方法：

本題主要考驗單一樣本的假設檢定，以及對檢定結果解釋的理解。

核心觀念： 單一樣本 t 檢定，虛無假設與對立假設的設定，顯著水準、臨界值、檢定統計量計算，檢定結果的解釋與推論範圍。

詳解：

第一部分：驗證學者 A 的命題

學者 A 的命題是「參加教育訓練可以提高業務人員銷售業績」。這意味著，我們預期參訓後的銷售金額變動（銷售後金額 - 銷售前金額）會大於零。

• 檢定類型： 單一樣本 t 檢定。因為我們只有一個樣本（100 位參訓業務人員的銷售額變動），且我們想將這個樣本的平均變動與一個特定值（零）進行比較。

• 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：

  • 母體參數：我們關心的是所有參加過此訓練的業務人員銷售金額變動的母體平均數，記為 $\mu$。
  • 虛無假設 ($H_0$)：代表沒有效果或效果為零。在此情境下，就是教育訓練沒有提高銷售業績，即平均變動不大於零。
    $H_0: \mu \le 0$
  • 對立假設 ($H_1$)：代表我們想驗證的命題，即教育訓練確實提高了銷售業績，平均變動大於零。
    $H_1: \mu > 0$
  • 備註： 題目描述「提高」，表示是單尾檢定。也有可能將 $H_0$ 設定為 $\mu = 0$，但考慮到「提高」的含義，$\mu \le 0$ 更為貼切，且檢定時主要關注邊界 $\mu = 0$。

• 檢定統計量：
  樣本資訊：

  • 樣本大小 $n = 100$
  • 樣本平均數 $\bar{x} = 300$ 美元
  • 樣本標準差 $s = 200$ 美元
  • 顯著水準 $\alpha = 0.05$

  單一樣本 t 檢定的統計量公式為：
  $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
  其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的母體平均數值，在此為 0。

  計算檢定統計量：
  $t = \frac{300 - 0}{200/\sqrt{100}} = \frac{300}{200/10} = \frac{300}{20} = 15$

• 尋找臨界值：

  • 自由度 (degrees of freedom, df)： 對於單一樣本 t 檢定，自由度為 $df = n - 1 = 100 - 1 = 99$。
  • 檢定類型： 單尾檢定（右尾），因為對立假設是 $\mu > 0$。
  • 顯著水準： $\alpha = 0.05$。
  • 查找臨界值： 我們需要查找 t 分配表中，自由度為 99，右尾機率為 0.05 的臨界值。
    在提供的 t 分配表中，我們找不到 df=99 的精確值，但可以找到 df=60, 120, inf (無窮大)。df=99 介於 60 和 120 之間。
    • 查表可知：
      • df=60, $\alpha=0.05$ (右尾) 臨界值約為 1.671。
      • df=120, $\alpha=0.05$ (右尾) 臨界值約為 1.658。

本題主要考驗雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 的應用，以及 ANOVA 的基本假設。

核心觀念： 雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)，變異來源分解 (SS)，自由度 (df)，均方 (MS)，F 檢定，ANOVA 的基本假設。

詳解：

第一部分：利用變異數分析法檢定命題

學者想驗證的命題包含兩個主要因素：

1. 電腦軟體種類 (Software Type)：有 3 種。
2. 電腦品牌 (Computer Brand)：有 4 種。
   他們還想驗證這些差異是否會「因…而不同」，這暗示了交互作用 (Interaction) 的存在，即軟體執行速度的差異是否取決於軟體種類與電腦品牌兩者的組合。

這是一個典型的雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 情境，我們可以檢定三個假設：
a. 軟體種類的主效應 (Main Effect of Software Type)。
b. 電腦品牌的主效應 (Main Effect of Computer Brand)。
c. 軟體種類與電腦品牌的交互作用效應 (Interaction Effect)。

數據總結：

• 軟體種類 (Factor A)：a = 3 個水準 (levels)
• 電腦品牌 (Factor B)：b = 4 個水準 (levels)
• 每個組合下的重複觀測次數 (每種軟體在每種品牌下執行的次數)：n = 60 次
• 總觀測次數：N = a × b × n = 3 × 4 × 60 = 720 次

平方和 (Sum of Squares, SS)：

• 軟體種類差值平方和 (SS_A) = 77645
• 電腦品牌差值平方和 (SS_B) = 54521
• 交互作用差值平方和 (SS_AB) = 88699
• 誤差差值平方和 (SS_E) = 434557

自由度 (Degrees of Freedom, df)：

• SS_A 的自由度：$df_A = a - 1 = 3 - 1 = 2$
• SS_B 的自由度：$df_B = b - 1 = 4 - 1 = 3$
• SS_AB 的自由度：$df_{AB} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(4 - 1) = 2 \times 3 = 6$
• SS_E 的自由度：$df_E = N - ab = 720 - (3 \times 4) = 720 - 12 = 708$

變異數分析表 (ANOVA Table) 的建立：

變異來源 (Source of Variation)	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F 統計量 (F-statistic)	P 值 (P-value)
軟體種類 (A)	77645	2	$MS_A = SS_A / df_A$	$F_A = MS_A / MS_E$
電腦品牌 (B)	54521	3	$MS_B = SS_B / df_B$	$F_B = MS_B / MS_E$
交互作用 (AB)	88699	6	$MS_{AB} = SS_{AB} / df_{AB}$	$F_{AB} = MS_{AB} / MS_E$
誤差 (E)	434557	708	$MS_E = SS_E / df_E$
總計 (Total)	655422	719

計算均方 (MS) 和 F 統計量：

1. 計算誤差均方 (MS_E)：
   $MS_E = \frac{SS_E}{df_E} = \frac{434557}{708} \approx 613.78$

2. 計算軟體種類均方 (MS_A)：
   $MS_A = \frac{SS_A}{df_A} = \frac{77645}{2} = 38822.5$

3. 計算電腦品牌均方 (MS_B)：
   $MS_B = \frac{SS_B}{df_B} = \frac{54521}{3} \approx 18173.67$

4. 計算交互作用均方 (MS_AB)：
   $MS_{AB} = \frac{SS_{AB}}{df_{AB}} = \frac{88699}{6} \approx 14783.17$

5. 計算 F 統計量：

   • 軟體種類 (A)：

本題為一個迴歸模型問題，主要考驗對迴歸係數的解釋、虛擬變數的應用、以及統計檢定的基本概念。

核心觀念： 迴歸係數的解釋、虛擬變數的處理、統計顯著性檢定、模型合理性評估。

詳解：

給定的迴歸模型為：
$\text{wage} = 0.079 \cdot \text{educ} + 0.027 \cdot \text{exper} + 0.213 \cdot \text{marrmale} - 0.198 \cdot \text{marrfem} - 0.110 \cdot \text{singfem}$

其中：

• wage: 每小時工資
• educ: 受教育程度 (年)
• exper: 工作經歷 (年)
• marrmale: 已婚男性虛擬變數 (1=已婚男性, 0=其他)
• marrfem: 已婚女性虛擬變數 (1=已婚女性, 0=其他)
• singfem: 單身女性虛擬變數 (1=單身女性, 0=其他)

注意： 這裡虛擬變數的設定存在一些潛在問題，在問題 (4) 中會討論。但我們先根據給定的公式進行回答。

1. 單身女性與已婚女性哪個薪資較高且高出多少？

要比較單身女性和已婚女性的薪資，我們需要固定其他變數（educ, exper, marrmale）的值。

• 單身女性 (Single Female):

  • marrfem = 0
  • singfem = 1
  • 假設 marrmale = 0 (因為討論的是女性，所以已婚男性變數應為 0)。
  • 則對單身女性的 wage 影響部分為：$-0.198 \times 0 - 0.110 \times 1 = -0.110$

• 已婚女性 (Married Female):

  • marrfem = 1
  • singfem = 0
  • 假設 marrmale = 0 (同上)。
  • 則對已婚女性的 wage 影響部分為：$-0.198 \times 1 - 0.110 \times 0 = -0.198$

比較這兩個係數的影響：$-0.110$ (單身女性) vs $-0.198$ (已婚女性)。
由於 $-0.110 > -0.198$，表示單身女性的 wage 影響項較高。

差異：
單身女性的 wage 影響項 - 已婚女性的 wage 影響項 = $(-0.110) - (-0.198) = -0.110 + 0.198 = 0.088$。
回答： 假設其他變數（educ, exper, marrmale）相同，單身女性的薪資比已婚女性高出 0.088 (單位可能是美元，取決於 wage 的單位)。

2. 已婚男性比未婚男性平均薪資約高出多少？

要比較已婚男性和未婚男性，我們需要固定其他變數（educ, exper, marrfem, singfem）。

• 已婚男性 (Married Male):

  • marrmale = 1
  • marrfem = 0 (因為是男性，已婚女性變數為 0)
  • singfem = 0 (因為是男性，單身女性變數為 0)
  • 則對已婚男性的 wage 影響部分為：$0.213 \times 1 - 0.198 \times 0 - 0.110 \times 0 = 0.213$

• 未婚男性 (Unmarried Male):

  • 在目前的虛擬變數設定下，「未婚男性」沒有一個明確對應的組合。這正是問題 (4) 中會討論的。
  • 假設「未婚男性」是指 marrmale = 0, marrfem = 0, singfem = 0 的情況。 這種情況實際上代表了一個參考組 (reference group)，可能是一個「其他」類別，或者在這個模型中，它可能代表了「非已婚男性」以及「非女性」的組合。
  • 如果我們假設模型是基於一個類別（例如，單身女性）作為參考組，那麼其他虛擬變數的係數就是相對於該參考組的差異。
  • 然而，題目在 (1) 中已經定義了單身女性和已婚女性。在 (2) 中又問已婚男性與未婚男性。這暗示可能有一個「預設」的比較基準。
  • 另一種解釋： 虛擬變數的設定可能不完整或有重疊。一個標準的做法是，如果我們有 3 種性別/婚姻狀態（已婚男性、已婚女性、單身女性），至少需要一個參考組。例如，我們可以把「單身男性」設為參考組。

    • 若單身男性為參考組 (wage = $0.079 \cdot \text{educ} + 0.027 \cdot \text{exper} + \beta_{\text{marrmale}} \cdot \text{marrmale} + \beta_{\text{marrfem}} \cdot \text{marrfem} + \beta_{\text{singfem}} \cdot \text{singfem}$)，其中 $\beta_{\text{marrmale}}$ 是相對於單身男性的差異。

    • 但目前的模型是：
      wage = $0.079 \cdot \text{educ} + 0.027 \cdot \text{exper} + 0.213 \cdot \text{marrmale} - 0.198 \cdot \text{marrfem} - 0.110 \cdot \text{singfem}$

    • 如果我們假設，當 marrmale=0, marrfem=0, singfem=0 時，代表的是「單身男性」（這是最常見的設定，因為 marrmale=0 意味著非已婚男性，marrfem=0 意味著非已婚女性，singfem=0 意味著非單身女性。同時滿足這三個條件，且非女性，就只剩下單身男性）。

    • 那麼：

      • 已婚男性 (Married Male): marrmale=1, marrfem=0, singfem=0。wage 影響為 $0.213 \times 1 = 0.213$ (相對於單身男性)。
      • 單身男性 (Unmarried Male, assumed as reference): marrmale=0, marrfem=0, singfem=0。wage 影響為 $0.213 \times 0 = 0$ (相對於單身男性)。
      • 已婚女性 (Married Female): marrmale=0, marrfem=1, singfem=0。wage 影響為 $-0.198 \times 1 = -0.198$ (相對於單身男性)。
      • 單身女性 (Single Female): marrmale=0, marrfem=0, singfem=1。wage 影響為 $-0.110 \times 1 = -0.110$ (相對於單身男性)。

    • 根據這個最合理的假設：

      • 已婚男性 (wage 影響 +0.213) 相對於單身男性。
      • 未婚男性 (我們假設為單身男性，wage 影響 0) 相對於單身男性。
      • 差異 = $0.213 - 0 = 0.213$。

回答： 假設「未婚男性」在此模型中指的是其虛擬變數組合為 marrmale=0, marrfem=0, singfem=0（即單身男性作為參考組），則已婚男性比未婚男性（單身男性）平均薪資約高出 0.213。

3. 請說明如何檢定單身與已婚女性薪資在統計意義上的不同？

這涉及到檢定兩個虛擬變數的係數是否顯著不同。

• 檢定對象： 檢定 $H_0: \beta_{\text{singfem}} = \beta_{\text{marrfem}}$ (即單身女性和已婚女性的係數相等，表示她們的薪資差異（相對於參考組）相同)。

  • 也就是檢定 $H_0: -0.110 = -0.198$，這顯然是錯誤的。

• 更精確的檢定：
  我們需要檢定的是，單身女性相對於參考組的薪資影響，與已婚女性相對於參考組的薪資影響，兩者之間是否存在顯著差異。

  • 虛無假設 $H_0$: 單身女性和已婚女性的平均薪資（在控制了 educ 和 exper 後）沒有差異。
  • 對立假設 $H_1$: 單身女性和已婚女性的平均薪資（在控制了 educ 和 exper 後）有差異。

  方法一：構建新變數 (Dummy Variable)

  • 我們可以建立一個新的虛擬變數，例如 female_diff，它等於 1 當它是單身女性時，等於 -1 當它是已婚女性時，等於 0 其他情況。
  • 或者，更標準的方法是：
    • 建立一個虛擬變數 is_married_female，等於 1 若是已婚女性，0 否則。
    • 建立一個虛擬變數 is_single_female，等於 1 若是單身女性，0 否則。
    • 然後，我們需要考慮我們的參考組是什麼。如果參考組是「單身男性」，那麼：
      • marrmale 的係數是已婚男性相對於單身男性的差異。
      • marrfem 的係數是已婚女性相對於單身男性的差異。

核心觀念

本題考查線性迴歸模型的經濟意義、模型設定、變異數不齊一性，以及 Glejser 檢定與加權最小平方法。

基本模型為：

$$c_i=\beta_0+\beta_1 y_i+e_i$$

其中：

• $c_i$：居民人均消費；
• $y_i$：居民人均可支配所得；
• $e_i$：隨機誤差項；
• $\beta_0$：截距；
• $\beta_1$：所得對消費的邊際影響。

經典線性迴歸通常假設：

$$E(e_i\mid y_i)=0,\qquad \operatorname{Var}(e_i\mid y_i)=\sigma^2$$

若誤差變異數會隨所得水準改變，即：

$$\operatorname{Var}(e_i\mid y_i)=\sigma_i^2$$

且 $\sigma_i^2$ 並非常數，便稱為變異數不齊一性。

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解題方法

題目給出的消費函數為：

$$\hat c_i=140+0.78y_i$$

括弧內為各估計係數的 $t$ 統計量：

$$t_{\hat\beta_0}=5.88,\qquad t_{\hat\beta_1}=128$$

此外，題目又給出絕對殘差迴歸式：

$$|\hat e_i|=-451+0.87y_i$$

其斜率的 $t$ 統計量為 $5.10$。這是典型的 Glejser 檢定形式，可用來判斷誤差變異數是否與所得有系統關係。

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（1）解釋 $140$ 與 $0.78$ 的經濟意義

$140$ 的經濟意義

$140$ 是迴歸方程式的截距，代表當居民人均可支配所得 $y=0$ 時，模型預測的人均消費為：

$$\hat c=140$$

經濟上可解釋為「自主消費」，也就是即使當期所得為零，居民仍可能透過：

• 過去累積的財富；
• 借貸；
• 家庭移轉；
• 社會救助；
• 其他非當期所得來源；

維持基本消費。

因此，$140$ 表示在所得為零的理論情況下，居民的平均基本消費水準。

不過，$y=0$ 未必落在樣本資料的實際範圍內，因此截距的經濟解釋屬於模型外推，應避免過度延伸。

其 $t$ 值為 $5.88$，在一般顯著水準下顯著異於零，表示截距具有統計上的顯著性。

$0.78$ 的經濟意義

$0.78$ 是所得的迴歸係數，表示在其他條件不變下，人均可支配所得增加一單位，人均消費平均增加 $0.78$ 單位：

$$\frac{\partial E(c\mid y)}{\partial y}=0.78$$

因此，$0.78$ 是短期邊際消費傾向，即：

$$MPC=0.78$$

例如，人均所得增加 $100$ 元時，預測人均消費增加：

$$0.78\times100=78\text{ 元}$$

相對地，所得增加的其餘部分：

$$1-0.78=0.22$$

可解釋為平均有 $22\%$ 的所得增加未立即轉化為消費，可能用於儲蓄、償還債務或其他用途。

由於 $0.78$ 的 $t$ 值高達 $128$，所得對消費的正向影響在統計上極為顯著。

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（2）此迴歸方程式的設定可能有哪些問題？

1. 截距的線性設定可能缺乏合理性

模型假設：

$$c=140+0.78y$$

表示無論所得水準如何變化，邊際消費傾向都固定為 $0.78$。但實際上，消費行為可能受到所得階層影響：

• 低所得家庭的基本消費比例較高；
• 高所得家庭的儲蓄比例可能較高；
• 邊際消費傾向可能隨所得增加而下降。

因此，線性模型未必能完整描述消費與所得之間的關係。

2. 可能遺漏重要解釋變數

消費不只受到當期可支配所得影響，還可能受下列因素影響：

• 利率；
• 財富水準；
• 物價或通貨膨脹；
• 家庭人口；
• 預期所得；
• 社會福利；
• 城鎮化程度；
• 信貸取得難易度。

若這些變數同時影響消費且與所得相關，遺漏變數會造成估計偏誤。

3. 時間序列資料可能存在趨勢與非定態問題

本題資料涵蓋 1980 至 2000 年，屬於時間序列資料。所得與消費通常都會隨時間上升，若兩者只是共同呈現趨勢，可能產生虛假迴歸。

應檢查：

• 單根；
• 定態性；
• 共整合關係；
• 時間趨勢是否應納入模型。

4. 可能存在自我相關

題目給出的 Durbin-Watson 統計量為：

$$DW=1.205$$

此數值明顯低於 $2$，顯示誤差項可能存在正的序列自我相關。若誤差項具有自我相關，傳統最小平方法的標準誤可能不正確，$t$ 檢定與 $F$ 檢定也會受到影響。

5. 可能存在變異數不齊一性

所得水準越高，居民消費差異通常也可能越大，導致誤差項的變異數隨 $y$ 增加而增加。題目後半部的絕對殘差迴歸正是用來檢查此問題。

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（3）何謂模型的變異數不齊一性？

若不同觀察值的誤差項條件變異數不相同，即：

$$\operatorname{Var}(e_i\mid y_i)=\sigma_i^2$$

且：

$$\sigma_i^2\neq\sigma^2$$

則稱模型存在變異數不齊一性。

例如，本題可能呈現：

$$\operatorname{Var}(e_i\mid y_i)$$

隨著所得 $y_i$ 增加而增加。此時，在低所得觀察值附近，消費的預測誤差較小；在高所得觀察值附近，預測誤差較大，圖形上常呈現漏斗狀。

變異數不齊一性的影響

在外生性條件仍成立時，最小平方法估計量通常仍具有不偏性：

$$E(\hat\beta\mid X)=\beta$$

但會產生以下問題：

1. 不再是線性不偏估計量中最有效率者；
2. 傳統標準誤估計可能錯誤；
3. $t$ 檢定與 $F$ 檢定可能失真；
4. 信賴區間與預測區間可能不可靠。

因此，變異數不齊一性主要影響估計效率與統計推論，而不必然直接造成係數估計偏誤。

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（4）說明該模型是否存在變異數不齊一性

題目提供絕對殘差迴歸：

$$|\hat e_i|=-451+0.87y_i$$

這是 Glejser 檢定的基本形式。檢定假設為：

$$H_0:\gamma_1=0$$