112 年 國立臺北大學財政學系碩士班《財政學》

核心觀念

本題結合三個觀念：

1. 完全競爭市場下，由市場需求與供給決定出租資產的年租金。
2. 耐用年限無限期且市場利率固定時，資產價格等於未來每年淨租金的資本化價值：
   $V=\frac{R_N}{i}$
   其中，$V$ 為資產單位價格，$R_N$ 為每年淨租金，$i$ 為市場利率。
3. 財產稅課徵於資產所有權人，會降低所有人實際取得的淨租金。若供給完全無彈性，租稅無法透過減少供給轉嫁給承租人，主要由資產所有人負擔。

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一、課稅前資產單位價格

市場供給函數為：

$Q_S=6,000$

市場均衡時：

$Q_D=Q_S$

因此：

$18,000-5P=6,000$

解得：

$5P=12,000$

$P=2,400$

因此，課稅前每年單位租金為 $2,400$。

由於資產耐用年限無限期，且每年租金固定，資產價格為每年租金的資本化價值：

$$V=\frac{P}{i} =\frac{2,400}{0.05} =48,000$$

所以，課稅前出租用資產的單位價格為：

$\boxed{48,000}$

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二、課稅後毛租金、淨租金與資產價格

1. 課稅後每年單位毛租金

財產稅是對資產所有權人課徵，因此承租人支付的毛租金仍記為 $P_G$。

由於供給函數仍為完全無彈性的：

$Q_S=6,000$

課稅後市場均衡數量仍為 $6,000$，因此需求面決定的毛租金為：

$18,000-5P_G=6,000$

$5P_G=12,000$

$P_G=2,400$

所以，課稅後每年單位毛租金為：

$\boxed{P_G=2,400}$

毛租金沒有上升，原因是資產供給量固定，市場均衡數量未改變。

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2. 課稅後每年單位財產稅

財產稅率為 $5\%$，課稅標的為課稅後資產價格 $V_T$，因此每年單位財產稅為：

$T=0.05V_T$

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3. 課稅後每年單位淨租金

資產所有人收到的毛租金中，必須繳納財產稅，因此：

$R_N=P_G-T$

代入 $T=0.05V_T$：

$R_N=2,400-0.05V_T$

另一方面，資產價格等於淨租金的資本化價值：

$V_T=\frac{R_N}{0.05}$

因此：

$R_N=0.05V_T$

代回毛租金與淨租金的關係：

$2,400=R_N+T$

由於：

$T=0.05V_T=R_N$

所以：

$2,400=2R_N$

$R_N=1,200$

課稅後每年單位財產稅為：

$T=2,400-1,200=1,200$

因此，課稅後每年單位淨租金為：

此題考驗消費者選擇理論在稅收分析中的應用，特別是針對具有固定比例偏好（雷奧惕夫偏好，Leontief preferences）的消費者，比較兩種不同稅制（選擇性消費稅與定額稅）對消費者福利和政府稅收收入的影響，並評估其效率性。

核心觀念：

• 固定比例偏好 (Leontief Preferences): 消費者效用來自兩種商品（或商品與其他支出）的固定比例組合，效用函數形式為 $U = \text{MIN}(aQ_x, bY)$。無異質曲線（indifference curves）是 L 型的，其轉折點位於 $aQ_x = bY$ 的線上。
• 消費者選擇模型: 消費者在預算線的約束下，追求最大化效用。
• 選擇性消費稅 (Excise Tax): 針對特定商品（這裡為 X 商品）課徵的稅。會改變該商品的相對價格。
• 定額稅 (Lump-sum Tax): 針對個人課徵的固定金額稅，不隨消費行為改變。理論上，定額稅不改變相對價格，因此效率性最高。
• 效率性 (Efficiency): 在公共財政學中，效率性通常指在達到相同政府收入的條件下，對經濟體系造成的福利損失（welfare loss）最小。

解題步驟：

1. 消費者無稅時的選擇：

• 效用函數：$U(Q_x, Y) = \text{MIN}(aQ_x, bY)$。
• 預算線：假設消費者總收入為 $M$。X 商品的價格為 $P_x$，Y 的價格為 $P_y$（我們可設 $P_y=1$ 作為基準，Y 代表「其他支出」的總額，其價格為 1）。預算線為 $P_x Q_x + Y = M$。
• 最大化效用時，消費者會選擇在 L 型無異質曲線的轉折點上，即 $aQ_x = bY$。
• 將此條件代入預算線：
  $P_x Q_x + Y = M$
  $Y = \frac{b}{a} Q_x$
  $P_x Q_x + \frac{b}{a} Q_x = M$
  $Q_x (P_x + \frac{b}{a}) = M$
  $Q_x^* = \frac{M}{P_x + \frac{b}{a}} = \frac{aM}{aP_x + b}$
  $Y^* = \frac{b}{a} Q_x^* = \frac{bM}{aP_x + b}$
• 此時的效用水平為 $U^* = \text{MIN}(aQ_x^*, bY^*) = aQ_x^* = bY^* = \frac{a \cdot aM}{aP_x + b} = \frac{a^2M}{aP_x + b}$。

2. 選擇性消費稅 (Excise Tax) 的影響：

• 假設對 X 商品課徵每單位 $t$ 元的選擇性消費稅。
• X 商品的價格變為 $P'_x = P_x + t$。
• 新的預算線為 $(P_x + t) Q_x + Y = M$。
• 消費者仍會在轉折點 $aQ_x = bY$ 選擇。
• 新的均衡點：
  $Q'_x = \frac{M}{P'_x + \frac{b}{a}} = \frac{M}{(P_x + t) + \frac{b}{a}} = \frac{aM}{a(P_x + t) + b}$
  $Y' = \frac{b}{a} Q'_x = \frac{bM}{a(P_x + t) + b}$
• 新的效用水平 $U' = \frac{a^2M}{a(P_x + t) + b}$。
• 政府從 X 商品課徵的稅收為 $T_{excise} = t \cdot Q'_x = t \cdot \frac{aM}{a(P_x + t) + b}$。

3. 定額稅 (Lump-sum Tax) 的影響：

• 假設政府需要獲得與選擇性消費稅相同的稅收 $T_{excise}$。
• 政府對個人課徵一個定額稅 $L = T_{excise}$。
• 消費者的稅後所得變為 $M' = M - L$。
• X 商品的價格仍為 $P_x$，Y 的價格為 $P_y=1$。
• 新的預算線為 $P_x Q_x + Y = M - L$。
• 消費者仍在轉折點 $aQ_x = bY$ 選擇。
• 新的均衡點：
  $Q''_x = \frac{M-L}{P_x + \frac{b}{a}} = \frac{a(M-L)}{aP_x + b}$
  $Y'' = \frac{b}{a} Q''_x = \frac{b(M-L)}{aP_x + b}$
• 新的效用水平 $U'' = \frac{a^2(M-L)}{aP_x + b}$。

4. 繪圖與效率性比較：
我們需要繪製圖形來比較這兩種稅制。圖的橫軸為 $Q_x$，縱軸為 $Y$。

• 無稅時的均衡點 (E0): 位於 $aQ_x = bY$ 的線上，且滿足預算線 $P_x Q_x + Y = M$。

• 選擇性消費稅後均衡點 (E1): 位於 $aQ_x = bY$ 的線上，但新的預算線 $(P_x+t)Q_x + Y = M$ 使得 $Q'_x < Q_x^*$ 且 $Y'$ 的變化取決於 $a, b, P_x, t$ 的值。由於 X 商品相對變貴，所以 $Q'_x < Q_x^*$。然而，由於 L 型無異曲線的特性，轉折點 $aQ_x = bY$ 決定了消費組合。當 X 商品變貴，預算線斜率變陡，轉折點會移到左下方。因此 $Q'_x$ 減少，$Y'$ 增加（因為 $Y' = M - (P_x+t)Q'_x$ 且 $Q'_x$ 顯著減少，而 $(P_x+t)$ 增加，但 $P_x Q_x$ 的總支出減少，所以 Y 增加）。

  • 預算線斜率: 無稅時為 $-P_x$。課稅後為 $-(P_x+t)$。斜率絕對值變大。
  • 轉折點線上: $Y = (b/a)Q_x$。
  • 無稅均衡: $P_x Q_x^* + Y^* = M$ 且 $Y^* = (b/a)Q_x^*$。
  • 課稅均衡: $(P_x+t) Q'_x + Y' = M$ 且 $Y' = (b/a)Q'_x$。
  • 從 $Y' = (b/a)Q'_x$ 代入課稅預算線：$(P_x+t) Q'_x + (b/a)Q'_x = M \implies Q'_x = \frac{M}{P_x+t+b/a}$。
  • $Y' = \frac{b}{a} Q'_x = \frac{bM}{a(P_x+t)+b}$。
  • 由於 $a(P_x+t)+b > aP_x+b$，所以 $Q'_x < Q_x^*$ 且 $Y' > Y^*$。
  • E1 點位於 $aQ_x = bY$ 線上，但比 E0 點更偏左下方。

• 定額稅後均衡點 (E2): 政府收入為 $T_{excise} = t \cdot Q'_x$。

  • 稅後所得 $M' = M - T_{excise}$。
  • 新的預算線 $P_x Q''_x + Y'' = M'$。
  • 均衡點 E2 位於 $aQ_x = bY$ 線上，且滿足 $P_x Q''_x + Y'' = M'$。
  • $Q''_x = \frac{M'}{P_x + b/a} = \frac{a(M-T_{excise})}{aP_x + b}$。
  • $Y'' = \frac{b}{a} Q''_x = \frac{b(M-T_{excise})}{aP_x + b}$。
  • 由於 $M' < M$，所以 $Q''_x < Q_x^*$ 且 $Y'' < Y^*$。
  • E2 點位於 $aQ_x = bY$ 線上，比 E0 點更偏左下方。

核心觀念

本題考查獨占廠商面對不同課稅方式時的最適產量，以及從量稅與從價稅的租稅收入比較。

設定市場反需求函數為：

$$P(Q)=a-bQ,\qquad a,b>0$$

邊際收益為：

$$MR(Q)=a-2bQ$$

獨占廠商的邊際成本固定為 $c$。

從量稅是每單位課徵固定金額 $u$；從價稅則按消費者支付價格的比例 $\tau$ 課徵。

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解題方法一：先求兩種稅制在相同產量下的稅額

設課稅後兩種制度的產量皆為 $\bar Q$。由於面對相同的市場需求線，因此兩種制度下的消費者價格與邊際收益相同，分別記為：

$$\bar P=P(\bar Q)$$ $$\overline{MR}=MR(\bar Q)$$

且因需求線為向右下方傾斜的直線：

$$\bar P-\overline{MR}=b\bar Q>0$$

因此：

$$\bar P>\overline{MR}$$

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一、從量稅

從量稅為每單位 $u$，廠商利潤為：

$$\pi(Q)=[P(Q)-u]Q-cQ$$

利潤極大化的一階條件為：

$$MR(Q)-u=c$$

所以在產量 $\bar Q$ 下：

$$u=\overline{MR}-c$$

政府租稅收入為：

$$T_u=u\bar Q$$

因此：

$$T_u=(\overline{MR}-c)\bar Q$$

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二、從價稅

從價稅率為 $\tau$，廠商每單位實際收到的價格為 $(1-\tau)P$，利潤為：

$$\pi(Q)=[(1-\tau)P(Q)-c]Q$$

利潤極大化的一階條件為：

$$(1-\tau)MR(Q)=c$$

在產量 $\bar Q$ 下：

$$(1-\tau)\overline{MR}=c$$

整理得：

$$\tau=1-\frac{c}{\overline{MR}} =\frac{\overline{MR}-c}{\overline{MR}}$$

從價稅每單位帶來的租稅收入為 $\tau\bar P$，因此政府總租稅收入為：

$$T_\tau=\tau\bar P\bar Q$$

代入 $\tau$：

$$T_\tau = \frac{\overline{MR}-c}{\overline{MR}}\bar P\bar Q$$

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兩種租稅收入比較

從量稅收入為：

$$T_u=(\overline{MR}-c)\bar Q$$

從價稅收入為：

$$T_\tau = \frac{\overline{MR}-c}{\overline{MR}}\bar P\bar Q$$

兩者相除：

$$\frac{T_\tau}{T_u} = \frac{\bar P}{\overline{MR}}$$

由於直線需求下 $\bar P>\overline{MR}$，所以：

$$\frac{T_\tau}{T_u}>1$$

因此：

$$T_\tau>T_u$$

兩者的收入差額為：

此題考驗關於自然獨占（Natural Monopoly）的市場結構特性、廠商的利潤極大化行為、福利損失的衡量，以及政府對自然獨占廠商的管制政策（邊際成本訂價法與平均成本訂價法）及其影響。

核心觀念：

• 自然獨占 (Natural Monopoly): 在整個市場產量範圍內，單一時點的長期平均成本 (LAC) 都是隨產量增加而遞減的市場結構。這通常發生在具有規模經濟（economies of scale）的產業，例如電力、自來水、瓦斯等。
• 利潤極大化: 獨占廠商透過使邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC) 來決定產量，並依據需求曲線決定價格。
• 福利損失 (Welfare Loss / Deadweight Loss): 當市場產量低於社會最適產量時，所造成的社會總剩餘（消費者剩餘+生產者剩餘）的損失。在獨占市場中，由於廠商設定的價格高於邊際成本，產量低於社會最適水平，因此會產生福利損失。
• 政府管制:
  • 邊際成本訂價法 (Marginal Cost Pricing): 要求廠商將價格設定為邊際成本，以達到社會最適產量，消除福利損失。
  • 平均成本訂價法 (Average Cost Pricing): 要求廠商將價格設定為平均成本，以確保廠商能夠達到收支平衡（零經濟利潤），但產量通常低於社會最適產量。

解題步驟：

1. 自然獨占廠商的利潤極大化與福利損失：

• 圖形設定：

  • 橫軸：產量 (Q)
  • 縱軸：價格 (P)、邊際成本 (MC)、平均成本 (AC)、邊際收益 (MR)
  • 需求曲線 (D)：向下傾斜。
  • 邊際收益曲線 (MR)：位於需求曲線下方，斜率為需求曲線斜率的兩倍。
  • 長期平均成本曲線 (LAC)：向下傾斜，表示存在持續的規模經濟。
  • 長期邊際成本曲線 (LMC)：通常低於 LAC，且 LAC 在 LMC 下降完畢後才開始上升（但自然獨占通常假設 LAC 持續下降，LMC 也在下降）。

• 利潤極大化行為：

  1. 廠商找到 MR 與 LMC 的交點，決定利潤極大化的產量 $Q_m$。
  2. 根據需求曲線 D，在 $Q_m$ 處的價格為 $P_m$。
  3. 此時的平均成本為 $AC(Q_m)$。
  4. 廠商的利潤為 $\pi = (P_m - AC(Q_m)) \cdot Q_m$。
  5. 由於 LAC 持續遞減，LMC 必定低於 LAC。在 $Q_m$ 處，若 $P_m > AC(Q_m)$，則廠商獲得正的經濟利潤。

• 福利損失 (Deadweight Loss, DWL)：

  1. 社會最適產量 ($Q_s$)： 社會福利最大化發生在價格等於邊際成本時，即 $P = LMC$。此時的需求曲線 D 與 LMC 曲線的交點決定了 $Q_s$。
  2. 比較 $Q_m$ 與 $Q_s$： 由於獨占廠商設定 $P_m > MR(Q_m) = LMC(Q_m)$，且 $P_m$ 位於需求曲線 D 上，而 $Q_s$ 是 D 與 LMC 的交點。通常情況下，獨占產量 $Q_m$ 會小於社會最適產量 $Q_s$。
  3. 福利損失的計算： 福利損失是 $Q_m$ 和 $Q_s$ 之間，由需求曲線 (代表社會願意支付的價值) 和 LMC 曲線 (代表社會的生產成本) 所圍成的三角形區域。這個區域代表了由於產量不足而損失的社會總剩餘。

• 圖形標示：

  • 標示需求曲線 D、MR 曲線、LAC 曲線、LMC 曲線。
  • 標示利潤極大化點 $(Q_m, P_m)$，其中 $MR(Q_m) = LMC(Q_m)$，且 $P_m$ 由 D 決定。
  • 標示社會最適產量 $Q_s$，其中 $P(Q_s) = LMC(Q_s)$ (D 與 LMC 的交點)。
  • 標示 $AC(Q_m)$。
  • 標示獨占廠商的利潤區域 $(P_m - AC(Q_m)) \times Q_m$。
  • 標示福利損失區域，通常是 $Q_m$ 和 $Q_s$ 之間，由 D、LMC 和 $Q_m$ 垂直線所圍成的三角形。

2. 政府以邊際成本訂價法管制：

• 目標： 達到社會最適產量，消除福利損失。
• 管制措施： 要求廠商將價格設定為 $P = LMC$。
• 結果：

核心觀念

本題考查福利經濟學的核心基礎——純粹交換經濟（Pure Exchange Economy）中的柏拉圖效率（Pareto Efficiency）與契約曲線（Contract Curve）。核心觀念包含：(1) 邊際替代率（MRS）的定義與微分計算；(2) 純粹交換之柏拉圖效率條件（兩位消費者的邊際替代率必須相等，否則存在互利交易空間）；(3) 結合資源限制式（Resource Constraints）將兩位消費者的消費量轉化為單一消費者的選擇變數，進而在埃奇沃斯盒（Edgeworth Box）中導出契約曲線方程式。

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(a) 計算消費者 $h$ 對商品 1 與商品 2 的邊際替代率（MRS）

解題過程與觀念說明：
邊際替代率（Marginal Rate of Substitution, $MRS_{1,2}^h$）代表消費者 $h$ 在維持總效用水準不變的前提下，為了多獲得 1 單位商品 1 所願意放棄的商品 2 數量。幾何上，它為無差異曲線斜率的絕對值；數學上，定義為兩商品邊際效用（Marginal Utility, $MU$）的比值：
$MRS_{1,2}^h = \frac{MU_1^h}{MU_2^h} = \frac{\frac{\partial U^h}{\partial x_1^h}}{\frac{\partial U^h}{\partial x_2^h}}$

給定消費者 $h$ 的效用函數為：
$U^h = \ln x_1^h + \ln x_2^h$

分別對商品 1 與商品 2 求偏微分，計算偏邊際效用：

1. 商品 1 的邊際效用：
   $MU_1^h = \frac{\partial U^h}{\partial x_1^h} = \frac{1}{x_1^h}$

2. 商品 2 的邊際效用：
   $MU_2^h = \frac{\partial U^h}{\partial x_2^h} = \frac{1}{x_2^h}$

將邊際效用帶入邊際替代率定義式中：
$MRS_{1,2}^h = \frac{\frac{1}{x_1^h}}{\frac{1}{x_2^h}} = \frac{x_2^h}{x_1^h}$

【答案】$MRS_{1,2}^h = \frac{x_2^h}{x_1^h}$

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(b) 透過令兩位消費者的 MRS 相等，特徵化柏拉圖效率分配

解題過程與觀念說明：
設經濟體中的兩位消費者分別為 $A$ 與 $B$（即 $h \in \{A, B\}$）。

為什麼柏拉圖效率條件需要 $MRS_{1,2}^A = MRS_{1,2}^B$？
若兩人的邊際替代率不相等（例如 $MRS_{1,2}^A > MRS_{1,2}^B$），代表消費者 $A$ 主觀上對商品 1 的相對評價高於消費者 $B$。

本題旨在考驗布坎南（James M. Buchanan）的俱樂部財理論（Club Goods Model）。核心觀念在於分析俱樂部財在「成本分攤效果（規模經濟）」與「擁擠負效用（排他性擁擠成本）」之間的權衡。本題進一步比較了單一成員效用極大化與俱樂部總效用極大化在最適俱樂部規模（人數）上的差異與經濟直覺。

由題意可整理出消費者的個體效用函數為：
$U(G, n) = M - \frac{G}{n} + \ln G - \frac{n}{k}$
其中 $M$ 為所得，$\frac{G}{n}$ 為每位成員分擔的俱樂部會費（假設俱樂部財供給量 $G$ 之總成本為 $G$），$\ln G$ 為俱樂部財帶來的效用，$\frac{n}{k}$ 為成員人數 $n$ 所帶來的擁擠負效用（$k > 0$ 為擁擠耐受度參數）。

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(a) 第一小題：極大化成員個體效用之最適俱樂部人數

解題過程：

要極大化單一成員的效用，俱樂部需同時對俱樂部財供給量 $G$ 與成員人數 $n$ 進行最適化選擇。

步驟一：在給定人數 $n$ 下，選擇最適俱樂部財供給量 $G$
對效用函數 $U(G, n)$ 關於 $G$ 求一階導數位為零（一階條件，FOC）：
$\frac{\partial U}{\partial G} = -\frac{1}{n} + \frac{1}{G} = 0 \implies G^*(n) = n$
說明： 此即俱樂部財的個體最適供給條件。在給定 $n$ 人分攤成本時，成員對俱樂部財的邊際效用 $\frac{1}{G}$ 等於其邊際成本分攤額 $\frac{1}{n}$，故最適供給量為 $G = n$。

步驟二：將最適 $G^*(n) = n$ 代回效用函數，求最適成員人數 $n$
代入後，成員效用簡化為僅關於人數 $n$ 的函數：
$U(n) = M - \frac{n}{n} + \ln n - \frac{n}{k} = M - 1 + \ln n - \frac{n}{k}$

對 $U(n)$ 關於 $n$ 求一階條件（FOC）：
$\frac{dU}{dn} = \frac{1}{n} - \frac{1}{k} = 0 \implies n^* = k$

步驟三：二階條件（SOC）檢驗
$\frac{d^2 U}{dn^2} = -\frac{1}{n^2} < 0$
二階導數恆為負數，確認 $n^* = k$ 確實為全域效用極大點。

經濟意義： 增加一名成員帶來的邊際利益為降低平均成本分攤額（$\frac{1}{n}$），邊際成本為增加的擁擠負效用（$\frac{1}{k}$）。當兩者相等時，每位成員可獲得的最大效用發生於 $n^* = k$（此時最適俱樂部財規模為 $G^* = k$）。

【答案】極大化每位成員效用之最適俱樂部人數為 $n^* = k$。

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(b) 第二小題：次優規模俱樂部所造成的效用損失

解題過程：

假設俱樂部對於任意給定的成員人數 $n$，皆能最適地選擇俱樂部財 $G = n$。

1. 最適規模下的單一人員最大效用 $U(n^*)$：
   將 $n^* = k$ 代入 $U(n)$：
   $U(n^*) = M - 1 + \ln k - \frac{k}{k} = M - 2 + \ln k$

2. 次優規模 $n$ 下的單一人員效用 $U(n)$：
   $U(n) = M - 1 + \ln n - \frac{n}{k}$

3. 次優規模造成的效用損失：

   • 每位成員之效用損失 $L(n)$：
     $L(n) = U(n^*) - U(n) = (M - 2 + \ln k) - \left(M - 1 + \ln n - \frac{n}{k}\right)$
     $L(n) = \frac{n}{k} - \ln\left(\frac{n}{k}\right) - 1$
     說明： 由對數不等式可知，當 $x = \frac{n}{k} \neq 1$ 時，$x - \ln x > 1$，故當 $n \neq k$ 時效用損失 $L(n) > 0$。

   • 整座俱樂部之總效用損失 $\text{TL}(n)$：
     若考慮全體 $n$ 位成員的總效用損失，則將個體損失乘以人數 $n$：