112 年 國立臺北大學財政學系碩士班《經濟學（含個體經濟學、總體經濟學）》

本題為簡答題，共包含四個小題，分別測試考生對國內生產毛額(GDP)與國民生產毛額(GNP)的定義、勞動力市場的計算、李嘉圖等價定理，以及 IS-LM 模型圖的判讀能力。

(1) GDP 與 GNP 的主要概念差異與外籍移工的影響：
核心觀念：GDP 是指一國境內所有生產活動的總價值，不論生產要素是本國或外國；GNP 則是指一國國民（或企業）在國內及國外的總生產價值。
詳解：
GDP (Gross Domestic Product) 是指一國在一定期間內，生產的所有最終商品與勞務的市場價值總和。它衡量的是「地域」概念，也就是發生在國家地理邊界內的生產活動。
GNP (Gross National Product) 是指一國國民（包括個人與企業）在一定期間內，在國內或國外所生產的所有最終商品與勞務的市場價值總和。它衡量的是「國民」概念，也就是屬於該國國民的生產活動。
兩者差異的關鍵在於「要素所得」。GDP 包含外國人在我國境內生產的所得，但不包含我國國民在國外生產的所得；GNP 則包含我國國民在國外生產的所得，但不包含外國人在我國境內生產的所得。
兩者關係可表示為：$GNP = GDP + 來自國外的要素所得淨額$
其中，$來自國外的要素所得淨額 = 我國國民在國外獲得的要素所得 - 外國國民在我國獲得的要素所得$。

對於有大量移工的國家（例如台灣、新加坡）：

• 移工在我國境內工作並賺取所得，這部分所得會被計入我國的 GDP。
• 但這些移工將所得匯回母國，這部分所得不屬於我國國民的所得，因此不計入我國的 GNP。
• 因此，對於移工眾多的國家，其 GDP 通常會大於 GNP。

反之，若一個國家有許多國民在國外工作並匯回所得（例如有大量海外台商），則其 GNP 會大於 GDP。

【答案】GDP 衡量一國「境內」的生產價值，而 GNP 衡量一國「國民」的生產價值。GDP 包含外國人在本國的生產，GNP 包含本國國民在國外的生產。有大量外籍移工的國家，其 GDP 會大於 GNP，因為移工在本國的生產被計入 GDP，但其匯回母國的所得則不計入本國 GNP。

(2) 勞動力市場的計算：
核心觀念：此題考驗對勞動力參與率與失業率定義的理解，以及相關數據的轉換。
詳解：
我們已知：

1. 未參與勞動力者人數 = 10,000,000 人
2. 勞動力參與率 (Labor Force Participation Rate, LFPR) = 95%
3. 失業率 (Unemployment Rate, UR) = 2%

勞動力參與率的定義是：
$LFPR = \frac{勞動力人數 (Labor Force)}{總人口 (Total Population)} \times 100\%$
其中，總人口通常指年滿 15 歲的非機構人口。

勞動力人數 (Labor Force) = 就業人數 (Employed) + 失業人數 (Unemployed)
勞動力參與率的另一個常見定義是：
$LFPR = \frac{勞動力人數 (Labor Force)}{總人口 (Total Population) - 15 歲以下人口 - 機構人口} \times 100\%$
但在本題中，最直接的理解是將「未參與勞動力者」視為勞動力計算的「分母」中的一部分。
更精確的說法是，總人口可以分為：
總人口 = 勞動力 (Labor Force) + 非勞動力 (Not in Labor Force)
勞動力 (Labor Force) = 就業人數 (Employed) + 失業人數 (Unemployed)

我們將「未參與勞動力者」視為「非勞動力」。
如果我們假設題幹中的「總人口」是指足以納入勞動力計算的潛在人口，則：
$LFPR = \frac{Labor Force}{Labor Force + Not in Labor Force}$
$0.95 = \frac{Labor Force}{Labor Force + 10,000,000}$
$0.95 \times (Labor Force + 10,000,000) = Labor Force$
$0.95 \times Labor Force + 9,500,000 = Labor Force$
$9,500,000 = Labor Force - 0.95 \times Labor Force$
$9,500,000 = 0.05 \times Labor Force$
$Labor Force = \frac{9,500,000}{0.05} = 190,000,000$ 人

現在我們知道勞動力總人數為 190,000,000 人。
失業率的定義是：
$UR = \frac{失業人數 (Unemployed)}{勞動力人數 (Labor Force)} \times 100\%$
$0.02 = \frac{Unemployed}{190,000,000}$
$Unemployed = 0.02 \times 190,000,000 = 3,800,000$ 人

因此，失業人數為 3,800,000 人。

【答案】3,800,000 人。

本題考查對拉佛曲線 (Laffer Curve) 的理解，以及從供給面角度分析所得稅稅率對稅收收入的影響。

核心觀念：拉佛曲線描述了稅收收入與稅率之間的關係。它表明，隨著稅率的提高，稅收收入會先增加，但超過某個最優稅率後，稅收收入反而會下降。這是因為過高的稅率會抑制經濟活動（如勞動供給、投資等），從而縮小稅基。

詳解：
拉佛曲線的基本邏輯是，稅率為 0% 時，稅收收入為 0；稅率為 100% 時，由於沒有人願意從事課稅活動（例如勞動），因此稅基也為 0，導致稅收收入為 0。在 0% 和 100% 之間，存在一個最優稅率，使得稅收收入最大化。

題幹提到，當所得稅稅率達到 100% 時，由於沒有勞動者願意提供勞動，稅基將被完全侵蝕，稅收收入為零。這符合拉佛曲線的端點。

問題在於，所得稅率是否「一定要」高達 100% 時，稅基才會等於零？從供給面經濟學來看，這個答案是否定的。

繪圖說明：
我們可以用一個圖來展示這個邏輯：

• 橫軸：所得稅稅率 ($t$)，範圍從 0% 到 100%。
• 縱軸：總稅收收入 ($T$)。

圖形如下：

1. 稅率為 0% 時：稅率為零，意味著政府不徵稅，因此稅收收入 $T = 0$。
2. 稅率為 100% 時：如題幹所述，此時所有勞動者（或其他經濟主體）都放棄提供勞動（或從事課稅活動），因此稅基為零，稅收收入 $T = 0$。
3. 稅率介於 0% 和 100% 之間：
   • 當稅率從 0% 開始提高時，稅收收入會先增加。這是因為雖然稅率提高了，但稅基縮小的幅度尚不足以抵銷稅率上升的影響。
   • 然而，隨著稅率持續提高，過高的稅率會嚴重抑制勞動供給、投資和生產等經濟活動。這會導致稅基（例如總所得、總消費等）顯著萎縮。
   • 當稅率達到某個點（最優稅率 $t^*$）時，稅收收入達到最大值。
   • 如果稅率繼續超過 $t^*$，稅基縮小的幅度將大於稅率上升的幅度，導致總稅收收入開始下降。
   • 最終，當稅率達到 100% 時，稅基完全消失，稅收收入降至零。

圖示：

本題考查對 Solow 新古典成長模型的理解，特別是政府預算赤字（財政政策）對經濟成長的影響。

核心觀念：Solow 模型主要關注技術進步、儲蓄率和人口成長率對經濟成長的影響。在基礎模型中，政府的財政政策（如預算赤字）並未被直接納入。然而，我們可以透過擴展 Solow 模型來分析其影響。擴展模型通常會考慮政府支出、稅收以及公共債務。

詳解：
標準的 Solow 模型描述經濟如何達到穩態（steady state），其中人均資本 ($k$) 和人均產出 ($y$) 在穩態時保持不變。模型的基本方程式為：
$\Delta k = s f(k) - (n + \delta)k$
其中：

• $k$: 人均資本 (capital per capita)
• $s$: 儲蓄率 (savings rate)
• $f(k)$: 人均生產函數 (per capita production function)，假設為遞減報酬。
• $n$: 人口成長率 (population growth rate)
• $\delta$: 資本折舊率 (depreciation rate)

穩態發生在 $\Delta k = 0$，即 $s f(k) = (n + \delta)k$。

現在我們考慮政府預算赤字增加。政府預算赤字通常意味著政府支出 ($G$) 大於稅收 ($T$)，差額由發行公債來彌補。人均政府赤字增加，可能透過以下幾種方式影響 Solow 模型：

1. 政府支出 ($G$) 增加：

   • 如果政府增加支出，這筆支出可能用於生產性或非生產性用途。
   • 生產性政府支出：例如公共基礎設施、教育、研發等，可以視為對生產函數 $f(k)$ 的正面影響，或提高全要素生產力 (TFP)。這相當於提高了 $f(k)$ 或 $s$（如果政府支出由稅收融資，且稅收會影響儲蓄）。
   • 非生產性政府支出：例如軍費、純消費等，如果政府支出用於消費，且由稅收融資，則會減少私人部門的可支配所得，進而可能減少私人儲蓄。
   • 由發債融資的政府支出：如果政府支出增加且由發債融資（即增加預算赤字），這會導致未來需要償還公債。根據李嘉圖等價定理，如果人們預期未來稅收會增加，他們可能會增加儲蓄以應對，這可能部分抵銷政府赤字對私人儲蓄的影響。但如果李嘉圖等價定理不完全成立，增加的政府支出可能會擠出私人投資，或者如果政府支出是消費性的，則會提高總需求，但不直接增加人均資本累積。

2. 政府赤字融資方式的影響：

   • 發行公債 (Debt Financing)：增加政府債務。如果政府債務增加，未來需要支付利息。這可能導致未來稅收負擔加重，或政府未來減少其他支出。
   • 貨幣融資 (Monetary Financing)：發行貨幣來彌補赤字，這會導致通貨膨脹，並可能影響實質利率和實質資本。

分析人均政府預算赤字增加對人均產出的影響：

假設政府預算赤字增加，且其融資方式（例如發債）對私人部門的儲蓄率 ($s$) 和生產函數 ($f(k)$) 產生負面影響。

• 對人均產出水平的影響：

本題考查對 IS-LM-BP 模型（Mundell-Fleming Model）的理解，特別是資本自由移動下，固定匯率制度與獨立貨幣政策的不可兼得性。

核心觀念：Mundell-Fleming 模型是 IS-LM 模型在開放經濟下的擴展，考慮了國際貿易和資本流動。模型中的 BP 曲線代表國際收支平衡的條件。當資本可以自由移動時，國際收支平衡對利率非常敏感。

詳解：
Mundell-Fleming 模型包含 IS 曲線（商品市場均衡）、LM 曲線（貨幣市場均衡）和 BP 曲線（國際收支平衡）。

• IS 曲線：描述商品市場均衡，即 $Y = C(Y-T) + I(i) + G + NX(e)$。
• LM 曲線：描述貨幣市場均衡，即 $M/P = L(i, Y)$。
• BP 曲線：描述國際收支平衡。BP 曲線上的點代表國際收支為零（經常帳餘額 + 資本帳餘額 = 0）。

資本自由移動的假設：
當資本可以在國際間自由移動時，BP 曲線會變得非常平坦（接近水平）。這是因為即使利率 ($i$) 與國際利率 ($i^*$) 之間有微小的差異，也會引發大量的資本流入或流出，以使國際收支達到平衡。

• 若本國利率 $i > i^*$，將有大量資本流入，產生資本帳順差。
• 若本國利率 $i < i^*$，將有大量資本流出，產生資本帳逆差。
• 只有當 $i = i^*$ 時，國際收支才能平衡（不考慮經常帳餘額變動）。
  因此，在資本自由移動下，國際收支平衡的條件實際上是要求本國利率必須等於國際利率：$i = i^*$。這意味著 BP 曲線是一條水平線，其高度由國際利率 $i^*$ 決定。

分析兩種匯率制度下的政策效果：

1. 固定匯率制度：

   • 在固定匯率制度下，政府承諾將本國貨幣的匯率釘住某個目標匯率。
   • 如果政府試圖實施擴張性貨幣政策（例如增加貨幣供給 $M$），LM 曲線會向右移動。這會導致利率下降，產出增加。
   • 然而，由於資本自由移動，本國利率 $i$ 降低，將低於國際利率 $i^*$。這將引發大規模的資本外流，導致本國貨幣貶值壓力。
   • 為了維持固定匯率，中央銀行必須賣出本國貨幣，買入外匯。這會減少國內的貨幣供給，使 LM 曲線向左移動，將利率推回至 $i^*$，並使產出回到原來的水平。
   • 結論：在固定匯率和資本自由移動下，任何試圖改變貨幣供給的貨幣政策都將被本國貨幣供需的變動所抵銷，從而無法獨立影響利率和產出。貨幣政策失效。

2. 浮動匯率制度：

   • 在浮動匯率制度下，政府不干預外匯市場，匯率由市場供需決定。
   • 如果政府試圖實施擴張性貨幣政策（增加貨幣供給 $M$），LM 曲線向右移動，利率下降。
   • 由於 $i < i^*$，資本外流，導致本國貨幣面臨貶值壓力。
   • 在浮動匯率下，中央銀行不干預，本國貨幣會貶值。

本題為判斷敘述正誤題，共包含五個小題，每小題 5%，共 25%。題目要求判斷敘述的真偽（True, False, Uncertain）並加以解釋。

(1) A firm will shut down if its profit is negative.
核心觀念：企業的短期關廠決策（shut down decision）與其長期關廠決策不同。短期決策取決於平均變動成本，長期決策取決於平均總成本。
詳解：

• 短期決策：在短期內，企業有固定成本 (Fixed Costs, FC) 和變動成本 (Variable Costs, VC)。總成本 (TC) = FC + VC。利潤 (Profit) = TR - TC = TR - (FC + VC)。
  如果企業選擇停產（shut down），則其總收益為零 (TR=0)，總成本等於固定成本 (TC=FC)，因為變動成本可以避免。此時的利潤為 -FC（即虧損固定成本）。
  如果企業繼續生產，其利潤為 TR - TC。
  企業是否關廠的決策標準是：如果總收益 (TR) 低於總變動成本 (VC)，則應該關廠（因為繼續生產的虧損會大於關廠的虧損）。這等價於：如果平均總收益 (AR，即價格 P) 低於平均變動成本 (AVC)，則應該關廠。
  $P < AVC \iff TR < VC \iff TR - TC < -FC$ (繼續生產的虧損大於關廠的虧損)
  因此，短期內，企業在價格 (P) 低於平均變動成本 (AVC) 時會關廠。
• 長期決策：在長期內，所有成本都是變動成本。企業的關廠決策標準是：如果總收益 (TR) 低於總成本 (TC)，則應該關廠。這等價於：如果平均總收益 (AR，即價格 P) 低於平均總成本 (ATC)，則應該關廠。
  $P < ATC \iff TR < TC \iff Profit < 0$

題目敘述「A firm will shut down if its profit is negative」。

• 如果「profit is negative」指的是短期利潤為負，那麼這個敘述是 False。企業可能在短期內有利潤為負（虧損）但仍繼續生產，只要其總收益能彌補總變動成本，即 $P \ge AVC$。
• 如果「profit is negative」指的是長期利潤為負，那麼這個敘述是 True。在長期，企業如果預期無法賺取非負利潤（即 $P < ATC$），就會選擇關廠退出市場。

由於題目沒有明確指出是短期還是長期，我們需要考慮一般情況。在微觀經濟學中，企業的「關廠」決策通常先討論短期。如果題目沒有特別說明，一般會預設為短期。
在短期，即使利潤為負（虧損），只要價格高於平均變動成本，企業就會繼續生產以彌補部分固定成本。

因此，敘述「A firm will shut down if its profit is negative」在短期情況下是 False。

【答案】False。在短期內，企業關廠的決定取決於價格 (P) 是否低於平均變動成本 (AVC)。即使企業有利潤為負（虧損），只要價格高於平均變動成本 (P ≥ AVC)，企業就會繼續生產，以彌補部分固定成本，此時的虧損會小於關廠的虧損（即虧損固定成本）。只有當價格低於平均變動成本時，企業才會選擇關廠。

(2) If the government imposes a specific tax per unit of output on a monopoly, the tax incidence will fall entirely on consumers.
核心觀念：稅收歸宿 (tax incidence) 取決於市場的相對彈性，而非市場結構（如獨占）。
詳解：

• 獨占市場：獨占者面臨向下傾斜的需求曲線，其邊際收益 (MR) 小於價格 (P)。獨占者透過設定 MR=MC 來決定產量，進而根據需求曲線決定價格。
• 特定稅 (Specific Tax)：對每單位產出徵收固定稅額 $t$。這會使獨占者的邊際成本 (MC) 曲線向上移動 $t$ 的距離，變成 $MC' = MC + t$。
• 稅收歸宿：稅收歸宿是指實際承擔稅收負擔的程度。它取決於供給彈性和需求彈性的相對大小。
  • 如果需求彈性小於供給彈性，消費者將承擔較大比例的稅收。
  • 如果需求彈性大於供給彈性，生產者將承擔較大比例的稅收。

在獨占市場中，稅收歸宿的判斷也與彈性有關。當政府對獨占者課徵單位產品稅時：

• 獨占者會將部分稅負轉嫁給消費者，表現為價格上漲。
• 但價格上漲的幅度，通常會小於稅額 $t$。這意味著獨占者自身也承擔了部分稅負。
• 轉嫁的程度（即消費者承擔的比例）取決於需求曲線的彈性。如果需求曲線越缺乏彈性（越陡峭），獨占者越能將稅負轉嫁給消費者。如果需求曲線越有彈性（越平坦），獨占者轉嫁的比例就越小，自己承擔的比例就越大。

嚴格來說，在大多數情況下，獨占者無法將所有稅負完全轉嫁給消費者。只有在極端情況下（例如需求曲線是垂直的，即需求彈性為零），稅負才會完全由消費者承擔。但通常情況下，獨占者的生產成本也會因稅收而增加，且為了保持銷售量，其利潤也會受到影響。

因此，敘述「the tax incidence will fall entirely on consumers」是 False。

【答案】False。對獨占者課徵的單位產品稅，其稅收歸宿取決於需求彈性。雖然獨占者會試圖將部分稅負轉嫁給消費者，但轉嫁的幅度通常小於稅額。這意味著生產者（獨占者）也必須承擔一部分稅負。只有在需求曲線為完全無彈性（垂直線）的極端情況下，稅負才會完全由消費者承擔。

(3) For a cost-minimizing firm, when the prices of the inputs double, the optimal input combination remains the same.
核心觀念：成本最小化決策取決於要素價格的比率，而非絕對價格。
詳解：
一家追求成本最小化的廠商，在生產一定產量 $Q$ 的情況下，會選擇使邊際技術替代率 (MRTS) 等於要素價格比率的投入組合。
MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}
其中：

• $L$：勞動投入
• $K$：資本投入
• $MP_L$：勞動的邊際產出
• $MP_K$：資本的邊際產出
• $w$：勞動價格 (wage)
• $r$：資本價格 (rental rate)

假設廠商的生產函數為 $Q = f(L, K)$。
當廠商選擇成本最小化的投入組合時，會選擇生產等高線 (isoquant) 和等成本線 (isocost line) 相切的點。等成本線的斜率為 $-\frac{w}{r}$。

現在，假設所有投入要素的價格都翻倍。

• 原來的要素價格為 $w$ 和 $r$。
• 新的要素價格為 $w' = 2w$ 和 $r' = 2r$。

則新的要素價格比率為：
$\frac{w'}{r'} = \frac{2w}{2r} = \frac{w}{r}$
要素價格的比率保持不變。

由於成本最小化決策取決於要素價格的比率，而不是絕對價格，因此當所有要素價格同比例變化時，要素價格的比率不變，廠商會選擇與原來相同的邊際技術替代率。
只要生產函數沒有改變，廠商會選擇與原來相同的等高線和等成本線斜率相等的點。因此，最適的投入組合（例如勞動和資本的數量比例）將保持不變。

這個結論也適用於當所有投入價格同比例下降、或以相同比例增加/減少時。

【答案】True。成本最小化的廠商選擇投入組合的條件是邊際技術替代率等於要素價格之比 ($\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$)。當所有投入要素的價格同比例翻倍時，例如勞動價格從 $w$ 變為 $2w$，資本價格從 $r$ 變為 $2r$，則要素價格之比 $\frac{2w}{2r} = \frac{w}{r}$ 保持不變。因此，廠商會繼續在相同的邊際技術替代率下進行生產，選擇的最適投入組合（或投入比例）將保持不變。

本題為個體經濟學中的勞動供給與消費決策問題，考驗考生對效用最大化、預算約束、勞動供給、休閒（勞動）的正常/劣等財判斷，以及不同稅制下的決策。

核心觀念：消費者在時間和財富的約束下，透過最大化其效用函數來決定工作時間和休閒時間。

詳解：

基本設定：

• 總時間：720 小時 (每月)。
• 時間分配：工作時間 $H$ (Work hours) + 休閒時間 $N$ (Leisure hours) = 720。
• 效用函數：$U(Y, N) = Y^\alpha N^\beta$，其中 $\alpha, \beta > 0$。
• 收入：來自工作的工資收入 $wH$ + 非勞動收入 $Y^*$。
• 工資率：$w$。

預算約束的建立：
首先，我們需要將效用函數中的 $Y$ (總收入) 替換成與工作時間 $H$ 相關的表達式。
總收入 $Y = wH + Y^*$。
代入效用函數：$U(H, N) = (wH + Y^*)^\alpha N^\beta$。

同時，我們有時間約束：$H + N = 720$。
我們可以將 $H$ 表示為 $H = 720 - N$。
將 $H$ 代入效用函數：
$U(N) = (w(720 - N) + Y^*)^\alpha N^\beta$。

這個形式的效用函數，我們需要最大化它。通常，為了簡化計算，我們可以對效用函數取對數（因為對數函數是單調遞增的，最大化 $\ln(U)$ 等同於最大化 $U$）：
$\ln(U) = \alpha \ln(wH + Y^*) + \beta \ln(N)$
$\ln(U) = \alpha \ln(w(720 - N) + Y^*) + \beta \ln(N)$

我們將最大化這個對數效用函數，其約束條件是 $0 \le N \le 720$。

題組 (1)：所得稅下的休閒需求與勞動供給函數

政府徵收勞動所得稅，稅率為 $t$ ($0 < t < 1$)。

• 工資收入變為 $wH(1-t)$。
• 總收入 $Y = wH(1-t) + Y^*$。
• 代入效用函數：$U(H, N) = (wH(1-t) + Y^*)^\alpha N^\beta$。
• 將 $H = 720 - N$ 代入：$U(N) = (w(720 - N)(1-t) + Y^*)^\alpha N^\beta$。

現在，我們需要最大化 $U(N)$ 對 $N$ 的函數。
為簡化，我們最大化對數效用函數：
$\ln(U) = \alpha \ln(w(720 - N)(1-t) + Y^*) + \beta \ln(N)$

對 $N$ 求一階導數並令其等於零 (FOC, First Order Condition)：
$\frac{\partial \ln(U)}{\partial N} = \alpha \frac{w(1-t)}{w(720 - N)(1-t) + Y^*} - \frac{\beta}{N} = 0$
$\alpha \frac{w(1-t)}{w(720 - N)(1-t) + Y^*} = \frac{\beta}{N}$
$\alpha N w (1-t) = \beta (w(720 - N)(1-t) + Y^*)$
$\alpha N w (1-t) = \beta w (720 - N)(1-t) + \beta Y^*$
$\alpha N w (1-t) = 720 \beta w (1-t) - \beta N w (1-t) + \beta Y^*$
$(\alpha + \beta) N w (1-t) = 720 \beta w (1-t) + \beta Y^*$
$N = \frac{720 \beta w (1-t) + \beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$
$N = \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$

這是休閒需求函數 (Leisure Demand Function)。

勞動供給函數 (Labor Supply Function)：
勞動供給 $H = 720 - N$。
$H = 720 - \left( \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)} \right)$
$H = 720 \left( 1 - \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right) - \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$
$H = 720 \frac{\alpha}{\alpha + \beta} - \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$

這是勞動供給函數。

【答案】
休閒需求函數：$N = \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$
勞動供給函數：$H = \frac{720 \alpha}{\alpha + \beta} - \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$

(2) Based on your answer in part (1), can you tell whether leisure is a normal or inferior good to this individual?
核心觀念：判斷休閒是正常財還是劣等財，取決於其對總收入變化的反應。
詳解：
我們需要觀察休閒需求函數 $N$ 對總收入變化的反應。總收入可以透過兩種方式改變：

1. 非勞動收入 $Y^*$ 的變化。
2. 工資率 $w$ 的變化（這會影響總收入，但同時也影響了休閒的機會成本）。

通常，判斷一個財貨是正常財還是劣等財，是看其需求量對「總收入」變化的反應。這裡我們以非勞動收入 $Y^*$ 作為總收入變化的代理變數。
觀察休閒需求函數：$N = \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$

• 休閒需求 $N$ 對 $Y^*$ 的導數是：
  $\frac{\partial N}{\partial Y^*} = \frac{\beta}{(\alpha + \beta) w (1-t)}$
• 由於 $\alpha, \beta, w, t$ 均為正數，且 $0 < t < 1$，所以 $\frac{\beta}{(\alpha + \beta) w (1-t)} > 0$。

這表示，當非勞動收入 $Y^*$ 增加時，休閒需求 $N$ 也會增加。
因此，休閒 (Leisure) 對於這個個人來說是正常財 (Normal Good)。

【答案】正常財 (Normal Good)。

(3) Suppose the government does not impose a tax on labor income but a lump-sum tax of T dollars. What will be the individual's leisure demand and labor supply functions?
核心觀念：總收入的改變方式不同，會影響預算約束，進而影響決策。
詳解：
現在政府徵收的是一筆固定金額的總額稅 (lump-sum tax) $T$。

• 總收入 $Y = wH + Y^* - T$。
• 效用函數：$U(H, N) = (wH + Y^* - T)^\alpha N^\beta$。
• 將 $H = 720 - N$ 代入：$U(N) = (w(720 - N) + Y^* - T)^\alpha N^\beta$。

最大化對數效用函數：
$\ln(U) = \alpha \ln(w(720 - N) + Y^* - T) + \beta \ln(N)$

對 $N$ 求一階導數並令其等於零 (FOC)：
$\frac{\partial \ln(U)}{\partial N} = \alpha \frac{-w}{w(720 - N) + Y^* - T} + \frac{\beta}{N} = 0$
$\frac{\beta}{N} = \frac{\alpha w}{w(720 - N) + Y^* - T}$
$\beta (w(720 - N) + Y^* - T) = \alpha N w$
$\beta (720w - Nw + Y^* - T) = \alpha N w$
$720 \beta w - \beta Nw + \beta Y^* - \beta T = \alpha N w$
$720 \beta w + \beta Y^* - \beta T = (\alpha + \beta) N w$
$N = \frac{720 \beta w + \beta Y^* - \beta T}{(\alpha + \beta) w}$
$N = \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w} - \frac{\beta T}{(\alpha + \beta) w}$

這是總額稅下的休閒需求函數。

勞動供給函數：
$H = 720 - N$
$H = 720 - \left( \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w} - \frac{\beta T}{(\alpha + \beta) w} \right)$
$H = 720 \left( 1 - \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right) - \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w} + \frac{\beta T}{(\alpha + \beta) w}$
$H = \frac{720 \alpha}{\alpha + \beta} - \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w} + \frac{\beta T}{(\alpha + \beta) w}$

這是總額稅下的勞動供給函數。

【答案】
休閒需求函數：$N = \frac{720 \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w} - \frac{\beta T}{(\alpha + \beta) w}$
勞動供給函數：$H = \frac{720 \alpha}{\alpha + \beta} - \frac{\beta Y^*}{(\alpha + \beta) w} + \frac{\beta T}{(\alpha + \beta) w}$

(4) Assume the government could collect the same amount of tax either by the tax rate t on labor income or the lump-sum tax $T$. Which policy do you think the individual would prefer? The tax on labor income or the lump-sum tax? Why?
核心觀念：比較兩種稅制的影響，特別是它們對個人決策、福利和總收入的影響。
詳解：
假設政府透過兩種方式徵稅，但能收取相同的總稅收金額。

• 所得稅：稅收金額為 $t \times wH$。
• 總額稅：稅收金額為 $T$。
  題目假設這兩種稅制下，政府能收取的總稅收金額相同。這意味著：