115 年 國立臺北大學財政學系碩士班《經濟學（含個體經濟學、總體經濟學）》

核心觀念

本題考查 Cobb–Douglas 型效用函數下的：

• 非補償需求（Marshallian demand）：在所得固定下，使效用最大的消費組合。
• 補償需求（Hicksian demand）：在效用水準固定下，使支出最小的消費組合。
• Marshallian demand 同時包含價格效果中的替代效果與所得效果；Hicksian demand 則排除所得效果，只反映替代效果。

效用函數為：

$$u(x,z)=x^2z$$

其中 $x,z\geq 0$，且假設 $p_x,p_z,m>0$。

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一、非補償需求函數

解題方法

消費者的最適化問題為：

$$\max_{x,z} \ x^2z$$

受限於預算限制：

$$p_xx+p_zz=m$$

內部解的切線條件為邊際替代率等於價格比。

邊際效用為：

$$MU_x=\frac{\partial u}{\partial x}=2xz$$ $$MU_z=\frac{\partial u}{\partial z}=x^2$$

因此：

$$MRS_{xz}=\frac{MU_x}{MU_z} =\frac{2xz}{x^2} =\frac{2z}{x}$$

最適條件為：

$$\frac{2z}{x}=\frac{p_x}{p_z}$$

整理得：

$$z=\frac{p_x}{2p_z}x$$

代入預算限制：

$$p_xx+p_z\left(\frac{p_x}{2p_z}x\right)=m$$ $$p_xx+\frac{p_xx}{2}=m$$ $$\frac{3}{2}p_xx=m$$

所以：

$$x^M(p_x,p_z,m)=\frac{2m}{3p_x}$$

再代回 $z=\frac{p_x}{2p_z}x$：

$$z^M(p_x,p_z,m) =\frac{p_x}{2p_z}\cdot\frac{2m}{3p_x} =\frac{m}{3p_z}$$

因此，非補償需求函數為：

$$\boxed{x^M=\frac{2m}{3p_x}}$$ $$\boxed{z^M=\frac{m}{3p_z}}$$

經濟意義

由於效用函數的 $x$ 次方為 $2$、$z$ 次方為 $1$，總次方為 $3$，因此所得分配為：

• 消費在商品 $x$ 上的支出：$\frac{2}{3}m$
• 消費在商品 $z$ 上的支出：$\frac{1}{3}m$

驗算如下：

$$p_xx^M+p_zz^M =p_x\frac{2m}{3p_x}+p_z\frac{m}{3p_z} =\frac{2m}{3}+\frac{m}{3} =m$$

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二、補償需求函數

令目標效用水準為 $\bar u>0$。消費者的支出最小化問題為：

$$\min_{x,z} \ p_xx+p_zz$$

受限於：

$$x^2z\geq \bar u$$

由於商品具有正邊際效用，最小支出時效用限制必然恰好成立，因此：

$$x^2z=\bar u$$

解題方法一：利用切線條件

支出最小化時，同樣滿足：

$$\frac{MU_x}{MU_z}=\frac{p_x}{p_z}$$

因此：

$$\frac{2z}{x}=\frac{p_x}{p_z}$$

整理得：

$$z=\frac{p_x}{2p_z}x$$

將其代入效用限制：

$$x^2\left(\frac{p_x}{2p_z}x\right)=\bar u$$ $$\frac{p_x}{2p_z}x^3=\bar u$$ $$x^3=\frac{2p_z\bar u}{p_x}$$

所以 Hicksian demand for $x$ 為：

$$\boxed{h_x(p_x,p_z,\bar u) =\left(\frac{2p_z\bar u}{p_x}\right)^{1/3}}$$

再利用 $z=\frac{p_x}{2p_z}x$：

$$h_z(p_x,p_z,\bar u) =\frac{p_x}{2p_z} \left(\frac{2p_z\bar u}{p_x}\right)^{1/3}$$

亦可寫成：

$$\boxed{ h_z(p_x,p_z,\bar u) =\left(\frac{p_x^2\bar u}{4p_z^2}\right)^{1/3} }$$

因此，補償需求函數為：

$$\boxed{ h_x(p_x,p_z,\bar u) =\left(\frac{2p_z\bar u}{p_x}\right)^{1/3} }$$ $$\boxed{ h_z(p_x,p_z,\bar u) =\left(\frac{p_x^2\bar u}{4p_z^2}\right)^{1/3} }$$

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三、支出函數與另一種推導方式

將 Hicksian demand 代入支出，可得達到效用 $\bar u$ 所需的最小支出：

$$e(p_x,p_z,\bar u) =p_xh_x+p_zh_z$$

由切線條件可知：

$$p_zh_z=\frac{1}{2}p_xh_x$$

因此：

$$e(p_x,p_z,\bar u) =\frac{3}{2}p_xh_x$$

代入 $h_x$：

$$e(p_x,p_z,\bar u) =\frac{3}{2}p_x \left(\frac{2p_z\bar u}{p_x}\right)^{1/3}$$

整理得：

$$\boxed{ e(p_x,p_z,\bar u) =\frac{3}{2^{2/3}} p_x^{2/3}p_z^{1/3}\bar u^{1/3} }$$

本題考驗個體經濟學中，完全競爭市場下廠商的短期供給行為、短期供給曲線的推導，以及市場均衡的決定。

核心觀念：

• 短期成本函數： 包含固定成本 (FC) 和變動成本 (VC)。
• 邊際成本 (MC)： 總成本對產量的微分，MC = $\frac{dTC}{dq}$。
• 平均變動成本 (AVC)： 總變動成本對產量的比率，AVC = $\frac{VC}{q}$。
• 停業點 (Shutdown Point)： 在短期內，廠商決定是否生產的決策點。當價格等於或低於最低平均變動成本時，廠商應該停業，因為其變動成本都無法回收。
• 短期供給曲線： 個體廠商的短期供給曲線是其邊際成本曲線在平均變動成本最低點之上（包含最低點）的部分。
• 市場供給曲線： 在完全競爭市場中，市場供給曲線是所有個體廠商短期供給曲線的水平加總。
• 市場均衡： 當市場供給量等於市場需求量時的價格與數量。

個體廠商成本函數：
$TC = 20 + 6q + q^2$

從總成本函數中，我們可以辨識出：

• 固定成本 (FC) = 20
• 變動成本 (VC) = $6q + q^2$

計算邊際成本 (MC)：
$MC = \frac{dTC}{dq} = \frac{d(20 + 6q + q^2)}{dq} = 6 + 2q$

計算平均變動成本 (AVC)：
$AVC = \frac{VC}{q} = \frac{6q + q^2}{q} = 6 + q$

(a) 個體廠商的停業價格 (Shutdown Price)

廠商在短期內決定是否生產的關鍵在於價格是否能覆蓋其平均變動成本。當價格低於最低平均變動成本時，廠商應該停業，因為即使生產，其變動成本也無法完全回收，且固定成本是沉沒成本，無論生產與否都必須支付。

最低平均變動成本發生在哪裡？我們對 AVC 求導，令其等於零：
$\frac{d(AVC)}{dq} = \frac{d(6 + q)}{dq} = 1$
由於 $\frac{d(AVC)}{dq} = 1 > 0$，這表示 AVC 隨著 $q$ 的增加而單調上升。因此，AVC 的最低點發生在 $q=0$ 的時候，最低 AVC 為 6。
然而，在經濟學的定義中，停業點是指廠商在短期內，價格低於其平均變動成本的最低點時，便應停業。

本題考驗獨占市場下的差別訂價策略，特別是第三級差別訂價。

核心觀念：

• 獨占 (Monopoly)： 市場上只有一個賣者。
• 差別訂價 (Price Discrimination)： 對不同消費者收取不同價格的行為。
• 第三級差別訂價 (Third-Degree Price Discrimination)： 獨占者將市場分割成兩個或多個子市場，並在每個子市場設定不同的價格。這種差別訂價的前提是：(1) 獨占者能夠分割市場；(2) 各子市場的消費者需求彈性不同；(3) 能夠防止低價市場的商品轉售到高價市場。
• 利潤最大化條件： 獨占者在每個子市場的邊際收益 (MR) 等於該子市場的邊際成本 (MC)，且所有子市場的邊際收益必須相等。

獨占者的成本函數：
$TC = \frac{1}{2}Q^2$
總產量 $Q = Q_A + Q_B$

計算邊際成本 (MC)：
$MC = \frac{dTC}{dQ} = \frac{d(\frac{1}{2}Q^2)}{dQ} = Q$

個別子市場的反需求函數：
Group A: $P_A = 50 - Q_A$
Group B: $P_B = 30 - Q_B$

計算個別子市場的邊際收益 (MR)：
對於線性需求函數 $P = a - bQ$，其對應的邊際收益函數為 $MR = a - 2bQ$。
Group A 的邊際收益 $MR_A$：
從 $P_A = 50 - Q_A$，可得 $MR_A = 50 - 2Q_A$。

Group B 的邊際收益 $MR_B$：
從 $P_B = 30 - Q_B$，可得 $MR_B = 30 - 2Q_B$。

(a) 決定各組的利潤最大化價格與數量

在第三級差別訂價下，獨占者會讓每個子市場的邊際收益等於總產量的邊際成本，並且各子市場的邊際收益相等。
利潤最大化條件：$MR_A = MR_B = MC$

首先，我們需要將 $Q$ 替換成 $Q_A + Q_B$ 在 MC 中，因為 MC 是基於總產量。
$MC = Q = Q_A + Q_B$

所以，利潤最大化條件變為：
$MR_A = MC \implies 50 - 2Q_A = Q_A + Q_B$ (1)
$MR_B = MC \implies 30 - 2Q_B = Q_A + Q_B$ (2)

我們現在有兩個方程式和兩個未知數 ($Q_A, Q_B$)。
由 (1)：$50 = 3Q_A + Q_B \implies Q_B = 50 - 3Q_A$
將此代入 (2)：
$30 - 2(50 - 3Q_A) = Q_A + (50 - 3Q_A)$
$30 - 100 + 6Q_A = Q_A + 50 - 3Q_A$
$-70 + 6Q_A = -2Q_A + 50$
$6Q_A + 2Q_A = 50 + 70$
$8Q_A = 120$
$Q_A = \frac{120}{8} = 15$

現在將 $Q_A = 15$ 代回 $Q_B = 50 - 3Q_A$：
$Q_B = 50 - 3(15) = 50 - 45 = 5$

所以，Group A 的產量為 $Q_A = 15$，Group B 的產量為 $Q_B = 5$。

總產量 $Q = Q_A + Q_B = 15 + 5 = 20$。

現在計算各組的價格：
Group A 的價格 $P_A = 50 - Q_A = 50 - 15 = 35$。
Group B 的價格 $P_B = 30 - Q_B = 30 - 5 = 25$。

我們也來驗證邊際收益是否相等以及等於邊際成本：
$MC = Q = 20$
$MR_A = 50 - 2Q_A = 50 - 2(15) = 50 - 30 = 20$
$MR_B = 30 - 2Q_B = 30 - 2(5) = 30 - 10 = 20$
所有條件都滿足。

【答案】
Group A 的利潤最大化價格為 $P_A = 35$，數量為 $Q_A = 15$。
Group B 的利潤最大化價格為 $P_B = 25$，數量為 $Q_B = 5$。

本題考驗對 Mundell-Fleming 模型（IS-LM-BP）的理解，特別是分析擴張性財政政策在不同匯率制度下的影響。

核心觀念：

• Mundell-Fleming 模型： 是一個擴展的 IS-LM 模型，用於分析開放經濟體系的宏觀經濟政策。它將國際資本移動和匯率納入考量。
• 小國開放經濟體 (Small Open Economy)： 指該經濟體規模小，其國內利率或價格變動不會影響世界市場，因此世界利率 ($r^*$) 是給定的。
• 完全資本移動 (Perfect Capital Mobility)： 意味著國內利率 $r$ 必須等於世界利率 $r^*$，因為資本會自由流動以追求最高報酬。
• IS 曲線： 代表商品市場的均衡，即總需求等於總產出。在開放經濟體下，IS 曲線通常是向下傾斜的，因為利率上升會減少投資和淨出口，從而降低總需求。
• LM 曲線： 代表貨幣市場的均衡，即貨幣供給等於貨幣需求。LM 曲線是向上傾斜的，因為產出增加會增加貨幣需求，需要更高的利率來維持貨幣市場均衡。
• BP 曲線 (Balance of Payments)： 代表國際收支的均衡。在完全資本移動下，BP 曲線是一條水平線，因為國內利率 $r$ 必須等於世界利率 $r^*$。任何偏離 $r^*$ 的情況都會導致資本的大量流入或流出，迅速將利率拉回 $r^*$。
• 擴張性財政政策： 指政府增加支出 ($G$) 或減少稅收。在此題中，是 $G$ 的增加。
• 匯率制度：
  • 浮動匯率制度 (Floating Exchange Rate Regime)： 匯率由市場供需決定，政府不進行干預。
  • 固定匯率制度 (Fixed Exchange Rate Regime)： 政府承諾維持匯率在某一特定水平，並通過買賣外匯來干預市場。

模型設定：

• 商品市場：$Y = C(Y) + I(r) + G + NX(e)$
• 貨幣市場：$M/P = L(r, Y)$
• 國際收支（資本移動）：$r = r^*$ (由於完全資本移動)

因為 $r = r^*$ 且 $r^*$ 是給定的，這意味著國內利率是固定的，不受國內商品市場或貨幣市場變化的影響。這對 IS-LM 模型有重大影響。

在完全資本移動下，BP 曲線是一條水平線 $r=r^*$。

• 當 $r = r^*$ 時，國際收支平衡。
• 當 $r > r^*$ 時，會有資本流入，導致本國貨幣升值（在浮動匯率下）或需要央行干預（在固定匯率下）。
• 當 $r < r^*$ 時，會有資本流出，導致本國貨幣貶值（在浮動匯率下）或需要央行干預（在固定匯率下）。

由於 $r$ 必須等於 $r^*$，LM 曲線（$M/P = L(r, Y)$）中的 $r$ 被固定為 $r^*$。這意味著 LM 曲線實際上是通過 $r=r^*$ 的水平線。貨幣市場的均衡現在是由 $Y$ 的變動來決定，而不是由 $r$ 的變動。
$M/P = L(r^*, Y)$。由於 $L$ 函數通常假設對 $Y$ 是正相關的，因此 $Y$ 的增加會導致貨幣需求增加，為了在 $r=r^*$ 下維持貨幣市場均衡，貨幣供給 $M$ 可能需要調整，或者 $Y$ 的變動由其他市場因素決定。

然而，在 Mundell-Fleming 模型中，通常將 LM 曲線視為貨幣市場均衡的結果。當 $r=r^*$ 時，LM 曲線實際上變成了一條由 $Y$ 決定的貨幣市場均衡曲線，或者說，貨幣市場的均衡條件 $M/P = L(r^*, Y)$ 決定了在 $r^*$ 下的均衡 $Y$ 值。

但更常見的 Mundell-Fleming 模型分析方法是：

• IS 曲線：$Y = C(Y) + I(r) + G + NX(e)$。由於 $r=r^*$，投資 $I$ 由 $r^*$ 決定。淨出口 $NX$ 是匯率 $e$ 的函數。
• LM 曲線：$M/P = L(r, Y)$。
• BP 曲線：$r = r^*$。

在完全資本移動下，BP 曲線的地位非常重要。

• 如果 $r > r^*$, 資本大量流入，導致本幣升值。
• 如果 $r < r^*$, 資本大量流出，導致本幣貶值。

擴張性財政政策：$G$ 增加。
這會使 IS 曲線向右移動。

(a) 浮動匯率制度 (Floating Exchange Rate Regime)

1. 初始均衡： 經濟體處於 IS、LM 和 BP 曲線的交點。由於 $r = r^*$，LM 曲線被視為一條水平線，或者說，在 $r^*$ 下，貨幣市場均衡決定了一個特定的 $Y$。 IS 曲線則描述了在不同 $Y$ 和 $e$ 下商品市場的均衡。
   在完全資本移動下，BP 曲線是 $r=r^*$。LM 曲線是 $M/P = L(r, Y)$。
   初始均衡點是 $r=r^*$ 且 IS 曲線與 LM 曲線的交點。由於 $r$ 被鎖定在 $r^*$, LM 曲線實際上變成了一條通過 $r^*$ 的水平線。IS 曲線則是向下傾斜的（考慮到 $NX$ 對 $e$ 的依存關係）。
   然而，Mundell-Fleming 模型在完全資本移動下的標準圖形是：IS 曲線（向下傾斜，考慮到 $NX$ 對 $e$ 的影響），LM 曲線（向上傾斜，傳統定義），以及 BP 曲線（$r=r^*$ 的水平線）。
   在完全資本移動下，由於 $r$ 必須等於 $r^*$, LM 曲線的向上傾斜特性在這裡變得不那麼重要，因為利率被固定了。
   一個更精確的圖形是：IS 曲線（描述 $Y$ 與 $e$ 的關係，當 $r=r^*$ 時），LM 曲線（描述 $Y$ 與 $r$ 的關係，但 $r$ 被鎖定），以及 BP 曲線（$r=r^*$）。
   在完全資本移動下，IS 曲線描述了商品市場均衡，LM 曲線描述了貨幣市場均衡。由於 $r=r^*$, LM 曲線的地位變得很特殊。
   標準的 Mundell-Fleming 圖形是：IS 曲線（$Y$ vs $r$），LM 曲線（$Y$ vs $r$），BP 曲線（$Y$ vs $r$）。
   在完全資本移動下，BP 曲線是 $r=r^*$ 的水平線。LM 曲線是 $M/P = L(r, Y)$。IS 曲線是 $Y = C(Y) + I(r) + G + NX(e)$。
   由於 $r=r^*$, 任何偏離 $r^*$ 的情況都會導致匯率劇烈變動。
   IS 曲線實際上是 $Y$ 和 $e$ 的關係，因為 $r$ 被固定了。
   LM 曲線是 $M/P = L(r^*, Y)$。這條曲線定義了在 $r^*$ 下，與貨幣市場均衡相對應的 $Y$ 值。
   圖形上，我們通常畫 IS 曲線（$Y$ vs $e$）和 LM 曲線（$Y$ vs $e$）。
   或者，更常見的是，畫 IS-LM 圖，但 BP 曲線是 $r=r^*$ 的水平線。

   分析方法：

   1. IS 曲線： 描述商品市場均衡。$Y = C(Y) + I(r^*) + G + NX(e)$。由於 $r^*$ 固定，投資 $I(r^*)$ 也固定。淨出口 $NX(e)$ 是匯率 $e$ 的函數。IS 曲線描述了 $Y$ 與 $e$ 的關係。當 $e$ 貶值（增加），淨出口 $NX$ 增加，總需求 $Y$ 增加。因此，IS 曲線向右（對 $Y$）或向上（對 $e$）傾斜。
   2. LM 曲線： 描述貨幣市場均衡。$M/P = L(r^*, Y)$。由於 $r^*$ 固定，這條曲線定義了在 $r^*$ 下，貨幣市場均衡對應的 $Y$ 值。如果 $Y$ 增加，貨幣需求增加，要維持 $M/P$ 不變，則 $Y$ 的增加必須與貨幣市場均衡的要求相符。實際上，在完全資本移動下，LM 曲線的地位被 BP 曲線（$r=r^*$）取代了。貨幣市場的變動會通過匯率來影響 IS 曲線。
   3. BP 曲線： $r = r^*$。在完全資本移動下，這是一條水平線。

   標準 Mundell-Fleming 圖形 (IS-LM-BP)：
   X 軸為 $Y$，Y 軸為 $r$。
   IS 曲線：向下傾斜 (考慮了 $NX(e)$ 的影響，但這裡圖形通常直接畫 $Y$ vs $r$ 的 IS，然後再討論 $e$ 的變化)。
   LM 曲線：向上傾斜。
   BP 曲線：$r=r^*$ 的水平線。

   初始均衡在 IS 和 LM 的交點，且該點的 $r$ 值必須等於 $r^*$。由於 $r$ 被鎖定在 $r^*$, LM 曲線的作用變得非常微妙。
   在完全資本移動下，LM 曲線的向上傾斜特性被 BP 曲線的水平性所壓倒。經濟體總是處在 $r=r^*$ 的水平線上。
   因此，標準的圖形是：IS 曲線（$Y$ vs $r$），LM 曲線（$Y$ vs $r$），BP 曲線（$r=r^*$）。
   初始均衡點是 IS 和 LM 的交點，且該交點的 $r$ 值必須等於 $r^*$。如果 IS 和 LM 的交點不在 $r^*$ 上，則會發生資本移動，影響匯率。

   更精確的分析方法 (考慮到匯率)：

   1. IS 曲線： $Y$ 與 $e$ 的關係。當 $G$ 增加時，IS 曲線向右移動（對 $Y$）。這意味著在任何給定的 $e$ 下，更高的 $Y$ 可以實現商品市場均衡。
   2. LM 曲線： $M/P = L(r^*, Y)$。這定義了在 $r^*$ 下，貨幣市場均衡時的 $Y$ 值。
   3. BP 曲線： $r=r^*$。

   圖形分析 (IS-LM-BP 圖，Y軸為r，X軸為Y)：

   • 初始均衡：IS、LM、BP 曲線的交點。

核心觀念

本題旨在測驗新古典總體經濟學中經典的索羅成長模型（Solow Growth Model），核心考點包含：

1. 每人資本積累方程式（Fundamental Equation of Solow Model）：利用總體資本存量運動方程式 $\dot{K} = I - \delta K$、平衡市場條件 $I = S = sY$ 及人口成長率 $\frac{\dot{L}}{L} = n$，推導出每人資本變動率 $\dot{k} = s f(k) - (n + \delta)k$。
2. 定態（Steady State）的定義與均衡求解：長期下每人資本存量達到穩定狀態，即 $\dot{k} = 0$，藉此解出定態每人資本 $k^*$ 與每人實質產出 $y^*$。
3. 長期成長率與外生性本質：區分「水準效果（level effect）」與「成長效果（growth effect）」，並理解無技術進步下長期每人所得成長率為零、總產出成長率等於人口成長率之結論，進而闡述外生變數決定長期成長率的原因。
4. 黃金律法則（Golden Rule of Capital Accumulation）：尋求使長期每人消費最大化的定態資本存量與最適儲蓄率，推導資本邊際產出等於有效折舊率（$MP_K = n + \delta$），在 Cobb-Douglas 生產函數下，黃金律儲蓄率等於資本產出彈性（資本所得份額 $\alpha$）。

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解題方法

(a) 求解定態每人資本存量 $k^*$ 與每人產出 $y^*$

1. 轉換為密集形式（Intensive Form）生產函數：
   生產函數為 $Y = K^\alpha L^{1-\alpha}$。兩邊同除以 $L$：

   $$y = \frac{Y}{L} = \frac{K^\alpha L^{1-\alpha}}{L} = \left(\frac{K}{L}\right)^\alpha = k^\alpha$$

2. 推導每人資本積累方程式：
   根據每人資本定義 $k = \frac{K}{L}$，對時間 $t$ 取自然對數並微分：

   $$\ln k = \ln K - \ln L \implies \frac{\dot{k}}{k} = \frac{\dot{K}}{K} - \frac{\dot{L}}{L}$$

   將總投資等於總儲蓄 $I = S = sY$ 代入資本累積式 $\dot{K} = sY - \delta K$，且已知人口成長率 $\frac{\dot{L}}{L} = n$：

   $$\frac{\dot{k}}{k} = \frac{sY - \delta K}{K} - n = s\frac{Y}{K} - (n + \delta)$$

   同乘以 $k$ 可得基本動態方程式：

   $$\dot{k} = s\frac{Y}{L} - (n + \delta)\frac{K}{L} = s y - (n + \delta)k = s k^\alpha - (n + \delta)k$$

3. 求解定態均衡（Steady State）：
   在定態下，每人資本存量維持固定，即 $\dot{k} = 0$：

   $$s (k^*)^\alpha - (n + \delta)k^* = 0$$

   當 $k^* > 0$ 時，兩邊同除以 $(k^*)^\alpha$：

   $$(k^*)^{1-\alpha} = \frac{s}{n + \delta} \implies k^* = \left(\frac{s}{n + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

   將 $k^*$ 代回每人產出方程式：

   $$y^* = (k^*)^\alpha = \left[\left(\frac{s}{n + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}\right]^\alpha = \left(\frac{s}{n + \delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$$

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(b) 計算長期每人產出 $y$ 與總產出 $Y$ 之成長率，並解釋為何為外生成長模型

1. 長期每人產出 $y$ 的成長率：
   在長期定態中，$k^*$ 為一常數（$\dot{k}^* = 0$），因此每人產出 $y^* = f(k^*)$ 亦為常數不隨時間改變：

   $$g_y = \frac{\dot{y}^*}{y^*} = 0$$

2. 長期總產出 $Y$ 的成長率：
   總產出與每人產出的關係為 $Y = y \cdot L$。對時間取對數後微分：

   $$\ln Y = \ln y + \ln L \implies g_Y = \frac{\dot{Y}}{Y} = \frac{\dot{y}}{y} + \frac{\dot{L}}{L}$$

本題考驗跨期消費選擇理論，特別是兩期消費者模型。

核心觀念：

• 跨期選擇 (Intertemporal Choice)： 消費者在不同時間點之間分配其資源（所得）以最大化終身效用的決策。
• 效用函數 (Utility Function)： 反映消費者對不同時間點消費的偏好。在此題中，是具有時間偏好的對數效用函數。
• 時間偏好 (Time Preference)： 消費者傾向於現在消費還是未來消費。折現因子 $\beta$ 衡量了時間偏好，$\beta < 1$ 表示消費者偏好現在消費（時間偏好為正）。
• 跨期預算限制式 (Intertemporal Budget Constraint)： 消費者在整個生命週期中，其總消費的現值必須等於其總所得的現值。
• 歐拉方程 (Euler Equation)： 跨期效用最大化的條件，它將不同時期邊際效用與利率聯繫起來，反映了消費者在不同時期消費之間的權衡。
• 儲蓄與借貸： 消費者根據利率和未來所得預期來決定是儲蓄（當期消費小於當期所得）還是借貸（當期消費大於當期所得）。

模型設定：
效用函數：$U(C_0, C_1) = \ln C_0 + \beta \ln C_1$
當期所得：$M_0$
未來期所得：$M_1$
實質利率：$r$
時間偏好因子：$\beta \in (0,1)$

跨期預算限制式：$C_0 + \frac{C_1}{1+r} = M_0 + \frac{M_1}{1+r}$
我們可以將其寫成總現值形式：$PV_{cons} = PV_{income}$
$C_0 + C_1/(1+r) = M_0 + M_1/(1+r)$

(a) 推導歐拉方程並解釋其經濟直覺

歐拉方程是透過將預算限制式代入效用函數，然後對 $C_0$ 或 $C_1$ 取偏微分並令其等於零來推導的。
另一種方法是利用拉格朗日乘數法。
$L(C_0, C_1, \lambda) = \ln C_0 + \beta \ln C_1 - \lambda(C_0 + \frac{C_1}{1+r} - M_0 - \frac{M_1}{1+r})$

對各變數取偏微分並令其等於零：

1. $\frac{\partial L}{\partial C_0} = \frac{1}{C_0} - \lambda = 0 \implies \frac{1}{C_0} = \lambda$
2. $\frac{\partial L}{\partial C_1} = \frac{\beta}{C_1} - \lambda \frac{1}{1+r} = 0 \implies \frac{\beta}{C_1} = \lambda \frac{1}{1+r}$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(C_0 + \frac{C_1}{1+r} - M_0 - \frac{M_1}{1+r}) = 0 \implies C_0 + \frac{C_1}{1+r} = M_0 + \frac{M_1}{1+r}$

由 (1) 和 (2) 可得：
$\lambda = \frac{1}{C_0}$
$\lambda = \frac{\beta (1+r)}{C_1}$

令兩者相等：
$\frac{1}{C_0} = \frac{\beta (1+r)}{C_1}$
$\frac{C_1}{C_0} = \beta (1+r)$
$\frac{1}{C_0} = \frac{\beta (1+r)}{C_1}$
$\frac{C_1}{1+r} = \beta C_0$

或者，我們可以通過對 (1) 和 (2) 的變形來得到歐拉方程。
由 (1): $\lambda = \frac{1}{C_0}$
由 (2): $\lambda = \frac{\beta (1+r)}{C_1}$
所以 $\frac{1}{C_0} = \frac{\beta (1+r)}{C_1}$
$\frac{C_1}{C_0} = \beta (1+r)$

這不是標準的歐拉方程形式。歐拉方程通常是關於邊際效用的。
由 (1) $\lambda = MU_{C_0} = 1/C_0$
由 (2) $\lambda = MU_{C_1} \cdot (1+r) / \beta$
所以 $MU_{C_0} = \frac{\beta}{1+r} MU_{C_1}$
$\frac{1}{C_0} = \frac{\beta}{1+r} \frac{1}{C_1}$
$\frac{1}{C_0} = \frac{\beta}{1+r} \frac{1}{C_1}$
$\frac{1}{C_0} = \frac{\beta}{C_1(1+r)}$
$\frac{C_1(1+r)}{C_0} = \beta$

歐拉方程： $\frac{MU_{C_0}}{MU_{C_1}} = \frac{1}{\beta(1+r)}$
或者，$\frac{MU_{C_0}}{1} = \frac{MU_{C_1}}{1+r} \beta$
$\frac{1}{C_0} = \frac{\beta}{1+r} \frac{1}{C_1}$
$\frac{1+r}{1} = \beta \frac{C_0}{C_1}$
$\frac{C_1}{C_0} = \beta (1+r)$

經濟直覺：
歐拉方程 $\frac{C_1}{C_0} = \beta (1+r)$ 告訴我們，消費者在兩個時期之間分配消費的決策。
左邊 $\frac{C_1}{C_0}$ 是未來消費與當期消費的比率。
右邊 $\beta (1+r)$ 是由時間偏好和利率決定的相對價值。

• $\beta < 1$ 表示消費者偏好現在消費，所以需要更高的未來消費來補償延遲的滿足。
• $1+r$ 表示未來一塊錢的購買力相當於現在 $(1+r)$ 塊錢。

方程表明，消費者會在兩個時期之間權衡消費。

• 如果 $\beta (1+r) > 1$，意味著未來一單位的消費相對於當期一單位的消費，其價值更高（例如，因為時間偏好很低 $\beta$ 接近 1，且利率很高 $r$）。此時，消費者會選擇 $C_1 > C_0$，即增加未來消費，減少當期消費。
• 如果 $\beta (1+r) < 1$，意味著當期消費相對更有價值。此時，消費者會選擇 $C_1 < C_0$，即減少未來消費，增加當期消費。
• 如果 $\beta (1+r) = 1$，則 $C_1 = C_0$，消費者將消費在兩個時期內平均分配。

簡單來說，歐拉方程表示，消費者會將未來消費的邊際效用（經過利率和時間偏好折算後）等於當期消費的邊際效用。消費者通過比較在兩個時期消費的邊際價值來決定消費計畫。

【答案】
歐拉方程為：$\frac{C_1}{C_0} = \beta (1+r)$。
經濟直覺是，消費者會根據其時間偏好 ($\beta$) 和實質利率 ($r$) 在兩個消費時期之間權衡，以最大化其終身效用。當未來消費的相對價值（由 $\beta(1+r)$ 衡量）高於當期消費時，消費者會增加未來消費；反之，則會增加當期消費。

(b) 推導最佳消費和最佳儲蓄

我們有兩個方程：

1. 歐拉方程：$\frac{C_1}{C_0} = \beta (1+r) \implies C_1 = C_0 \beta (1+r)$
2. 跨期預算限制式：$C_0 + \frac{C_1}{1+r} = M_0 + \frac{M_1}{1+r}$

將 (1) 代入 (2)：
$C_0 + \frac{C_0 \beta (1+r)}{1+r} = M_0 + \frac{M_1}{1+r}$
$C_0 + C_0 \beta = M_0 + \frac{M_1}{1+r}$
$C_0 (1 + \beta) = M_0 + \frac{M_1}{1+r}$

解出最佳當期消費 $C_0$：
$C_0^* = \frac{1}{1+\beta} \left( M_0 + \frac{M_1}{1+r} \right)$

現在將 $C_0^*$ 代回 (1) 以求 $C_1^*$：
$C_1^* = C_0^* \beta (1+r) = \frac{\beta (1+r)}{1+\beta} \left( M_0 + \frac{M_1}{1+r} \right)$