114 年 國立臺北大學財政學系碩士班《經濟學（含個體經濟學、總體經濟學）》

本題考驗消費者與生產者剩餘、稅負轉嫁以及政府稅收的計算。

首先，我們需要找出市場的均衡價格與數量。在沒有稅收的情況下，均衡發生於 $Q^S = Q^D$。
$3P = 100 - 2P$
$5P = 100$
$P = 20$
均衡數量 $Q = 3 \times 20 = 60$。

接著，政府對賣家課徵每單位 5 元的稅。這會使供給曲線向上移動 5 元，或者說，對於任一給定數量，賣家現在需要更高的價格才能供給，其價格需包含稅額。新的供給函數為 $P_S = P_D - 5$，其中 $P_D$ 是買家支付的價格，$P_S$ 是賣家收到的價格。
原供給函數為 $Q^S = 3P_S$。替換 $P_S = P_D - 5$，我們得到 $Q^S = 3(P_D - 5) = 3P_D - 15$。
新的市場均衡將發生於新的供給曲線與原需求曲線的交點：
$3P_D - 15 = 100 - 2P_D$
$5P_D = 115$
$P_D = 23$
這是買家支付的價格。

本題考驗消費者理論中的效用最大化問題，包含兩種類型的效用函數：線性效用函數與雷克特型（固定比例）效用函數。

消費者擁有的預算為 $M = 20$，商品 x 的價格為 $p_x = 1$，商品 y 的價格為 $p_y = 2$。預算線方程式為 $p_x x + p_y y = M$，即 $1x + 2y = 20$。

a. 效用函數為 $U = 2x + 3y$
這是線性的效用函數，代表商品 x 和 y 是完全替代品。消費者會選擇將所有預算花費在價格相對較低（或單位效用相對較高）的商品上。
我們可以比較單位價格的邊際效用：
商品 x 的單位價格邊際效用 $= \frac{MU_x}{p_x} = \frac{2}{1} = 2$
商品 y 的單位價格邊際效用 $= \frac{MU_y}{p_y} = \frac{3}{2} = 1.5$
由於商品 x 的單位價格邊際效用 (2) 大於商品 y 的單位價格邊際效用 (1.5)，消費者會將所有預算用於購買商品 x。

核心觀念

這題考多工廠壟斷者的產量決策。壟斷者先選擇總產量，使邊際收益等於總邊際成本；再將產量分配到各工廠，使各廠邊際成本相等。

由需求 $Q_T=100-P$，反需求函數為：

$$P=100-Q_T$$

總收益為 $TR=(100-Q_T)Q_T$，因此邊際收益為：

$$MR=\frac{dTR}{dQ_T}=100-2Q_T$$

解題方法

先令兩座工廠的邊際成本相等，找出最低成本的生產分配：

$$MC_1=MC_2$$ $$q_1-5=0.5q_2-5$$

因此 $q_2=2q_1$。又 $Q_T=q_1+q_2$，所以 $Q_T=3q_1$，亦即 $q_1=Q_T/3$、$q_2=2Q_T/3$。

將分配比例代入工廠 1 的邊際成本，可得總產量的邊際成本：

本題考驗廠商的條件要素需求，即在給定總產量 $\bar{Q}$ 下，廠商為了最小化生產成本而選擇的要素（勞動 L 和資本 K）的組合。這是一個成本最小化問題。

廠商的目標是最小化總成本 $C = wL + rK$，同時滿足生產函數 $Q = L^{0.5}K^{0.5} = \bar{Q}$。

我們可以使用拉格朗日乘數法來求解：
$L(L, K, \lambda) = wL + rK - \lambda(L^{0.5}K^{0.5} - \bar{Q})$

對 L, K, $\lambda$ 分別求偏導並令其等於零：

1. $\frac{\partial L}{\partial L} = w - \lambda(0.5 L^{-0.5}K^{0.5}) = 0 \implies w = \lambda(0.5 \frac{K^{0.5}}{L^{0.5}})$
2. $\frac{\partial L}{\partial K} = r - \lambda(0.5 L^{0.5}K^{-0.5}) = 0 \implies r = \lambda(0.5 \frac{L^{0.5}}{K^{0.5}})$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(L^{0.5}K^{0.5} - \bar{Q}) = 0 \implies L^{0.5}K^{0.5} = \bar{Q}$

從式 (1) 和 (2) 中，我們可以得到 $\lambda$：
$\lambda = \frac{w}{0.5 L^{-0.5}K^{0.5}} = \frac{2wL^{0.5}}{K^{0.5}}$
$\lambda = \frac{r}{0.5 L^{0.5}K^{-0.5}} = \frac{2rK^{0.5}}{L^{0.5}}$

令這兩個 $\lambda$ 的表達式相等：
$\frac{2wL^{0.5}}{K^{0.5}} = \frac{2rK^{0.5}}{L^{0.5}}$
$wL^{0.5}L^{0.5} = rK^{0.5}K^{0.5}$
$wL = rK$

這個結果 $wL = rK$ 表示，在成本最小化時，勞動的總支出等於資本的總支出。這也意味著邊際技術替代率 (MRTS) 等於要素價格比：
$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{0.5 L^{-0.5}K^{0.5}}{0.5 L^{0.5}K^{-0.5}} = \frac{K}{L}$
$MRTS_{LK} = \frac{w}{r}$

核心觀念

本題比較「私人財」與「公共財」的最適供給條件。

• 私人財：個人消費量可以不同，市場需求曲線以「水平加總」求得。
• 公共財：所有人享受相同數量，個人邊際願付價格必須「垂直加總」。依 Samuelson 條件，公共財最適供給量滿足：

$$MB_A+MB_B=MC$$

其中邊際成本為：

$$MC=50$$

由需求曲線反解個人對每單位防蚊活動的邊際願付價格：

$$P_A=100-q_A$$ $$P_B=200-q_B$$

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解題方法與計算

（a）私人財情況

若防蚊控制屬於私人財，每個人依市場價格 $P=MC=50$ 決定自己的消費量。

對 A 而言：

$$q_A=100-P=100-50=50$$

對 B 而言：

$$q_B=200-P=200-50=150$$

因此總需求量為：

$$Q=q_A+q_B=50+150=200$$

也可由水平加總需求曲線驗算。當 $P\leq 100$ 時：

$$Q=(100-P)+(200-P)=300-2P$$

代入 $P=50$：

$$Q=300-2(50)=200$$

所以私人財下的最適供給量為 $200$ 單位。

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（b）公共財情況

公共財一旦生產，A、B 都能享受相同的防蚊控制數量 $Q$，因此要將兩人的邊際願付價格垂直加總。

個別邊際願付價格為：

$$MB_A(Q)=100-Q$$ $$MB_B(Q)=200-Q$$

但當 $Q>100$ 時，A 的邊際願付價格已降為零，因此必須分段分析。

當 $0\leq Q\leq 100$

兩人皆有正的願付價格：

核心觀念

本題測驗國民所得會計帳中名目 GDP（Nominal GDP）、實質 GDP（Real GDP）、實質經濟成長率、GDP 平減指數（GDP Deflator） 與 通貨膨脹率（Inflation Rate） 之基本定義與計算。

1. 名目 GDP（Nominal GDP, $NGDP$）：
   以「當期價格」衡量「當期產出」之市場總價值： $$NGDP_t = \sum_{i} P_{i,t} \cdot Q_{i,t}$$
2. 實質 GDP（Real GDP, $RGDP$）：
   以「基期價格」衡量「當期產出」之市場總價值，藉由固定價格消除物價波動的影響，以反映真實產出變動： $$RGDP_t = \sum_{i} P_{i,\text{base}} \cdot Q_{i,t}$$
3. 實質 GDP 成長率（Real GDP Growth Rate, $g$）： $$g = \frac{RGDP_2 - RGDP_1}{RGDP_1} \times 100\%$$
4. GDP 平減指數（GDP Deflator）：
   衡量經濟體系內所生產所有最終商品與服務的整體價格水準，本質上為帕氏價格指數（Paasche Price Index）： $$\text{GDP Deflator}_t = \frac{NGDP_t}{RGDP_t} \times 100$$
5. 通貨膨脹率（Inflation Rate, $\pi$）：
   以 GDP 平減指數的變動百分比衡量： $$\pi = \frac{\text{GDP Deflator}_2 - \text{GDP Deflator}_1}{\text{GDP Deflator}_1} \times 100\%$$

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解題方法

Step 1：整理題意資料

• 第 1 期（Year 1，基期）：
  • 儀表（Gauges）：$Q_1^G = 8,000$，$P_1^G =$$4
  • 馬鈴薯（Potatoes）：$Q_1^P = 6,000$，$P_1^P =$$8
• 第 2 期（Year 2）：
  • 儀表（Gauges）：$Q_2^G = 10,000$，$P_2^G =$$3
  • 馬鈴薯（Potatoes）：$Q_2^P = 5,000$，$P_2^P =$$14

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Step 2：計算小題 a —— 實質 GDP 成長率

1. 計算 Year 1 之實質 GDP（$RGDP_1$）：
   在基期，實質 GDP 等於名目 GDP：

   $$RGDP_1 = NGDP_1 = (P_1^G \cdot Q_1^G) + (P_1^P \cdot Q_1^P)$$ $$RGDP_1 = (4 \times 8,000) + (8 \times 6,000) = 32,000 + 48,000 = 80,000\text{ 元（\$80,000）}$$

2. 計算以 Year 1 為基期之 Year 2 實質 GDP（$RGDP_2$）：
   以 Year 1 價格乘上 Year 2 產量：

   $$RGDP_2 = (P_1^G \cdot Q_2^G) + (P_1^P \cdot Q_2^P)$$ $$RGDP_2 = (4 \times 10,000) + (8 \times 5,000) = 40,000 + 40,000 = 80,000\text{ 元（\$80,000）}$$

核心觀念

本題考查財富效果、貨幣需求與貨幣中立性。

股市上漲提高家庭的金融財富，可能使消費增加，進而推升總合需求。短期內，若價格與工資尚未完全調整，產出可高於自然產出。另一方面，實質貨幣需求可寫為：

$$\frac{M^d}{P}=L(i,Y), \qquad \frac{\partial L}{\partial Y}>0,\quad \frac{\partial L}{\partial i}<0$$

其中 $M^d$ 是名目貨幣需求、$P$ 是物價水準、$i$ 是名目利率、$Y$ 是實質所得。所得增加會提高實質貨幣需求，但這項關係本身不代表中央銀行必須增加貨幣供給；貨幣市場也可透過利率與物價調整恢復均衡。

長期而言，產出由勞動、資本、技術等實質因素決定。名目貨幣供給增加不會永久提高實質產出，這是貨幣中立性。

解題方法與推導

先分清楚短期與長期，再追蹤股市上漲及貨幣擴張對總合需求、產出與物價的影響。

1. **股市上漲帶來財富效果。**家庭消費增加，使總合需求右移。短期內，物價與工資尚未完全調整，因此產出與物價都上升，產出可能暫時高於自然產出。

2. **所得上升會提高實質貨幣需求。**在物價與利率不變時，較高的所得使交易所需的實質貨幣餘額增加。若貨幣供給沒有同步增加，貨幣市場會出現超額貨幣需求，利率有上升壓力。利率上升會抑制投資與部分消費，減弱總合需求。

本題考驗索羅成長模型 (Solow Growth Model) 的應用，包含穩態資本勞動比、產出和消費的計算。

索羅模型的穩態條件為：人均投資等於人均折舊與人均勞動成長的總和。
人均產出：$y = f(k) = 6k^{1/2}$
人均投資：$s f(k)$，其中 $s$ 為儲蓄率。
人均折舊與勞動成長：$(n + \delta) k$，其中 $n$ 為人口成長率，$\delta$ 為折舊率。
穩態條件：$s f(k) = (n + \delta) k$。

a. 計算穩態資本勞動比 (k)*
穩態條件：$s (6k^{1/2}) = (n + \delta) k$

國家 A：
儲蓄率 $s_A = 0.10$
人口成長率 $n_A = 0.10$
折舊率 $\delta_A = 0.05$
$n_A + \delta_A = 0.10 + 0.05 = 0.15$

穩態條件：$0.10 \times (6k_A^{1/2}) = (0.15) k_A$
$0.6 k_A^{1/2} = 0.15 k_A$
兩邊同除以 $k_A^{1/2}$ (假設 $k_A \neq 0$)：
$0.6 = 0.15 k_A^{1/2}$
$k_A^{1/2} = \frac{0.6}{0.15} = 4$
$k_A^* = 4^2 = 16$。
穩態資本勞動比為 16。

國家 B：
儲蓄率 $s_B = 0.20$
人口成長率 $n_B = 0.10$
折舊率 $\delta_B = 0.20$
$n_B + \delta_B = 0.10 + 0.20 = 0.30$

穩態條件：$0.20 \times (6k_B^{1/2}) = (0.30) k_B$
$1.2 k_B^{1/2} = 0.30 k_B$
兩邊同除以 $k_B^{1/2}$ (假設 $k_B \neq 0$)：
$1.2 = 0.30 k_B^{1/2}$
$k_B^{1/2} = \frac{1.2}{0.30} = 4$
$k_B^* = 4^2 = 16$。
穩態資本勞動比為 16。

結論： 兩個國家的穩態資本勞動比都是 16。

初始資本勞動比的影響：
題目提到「Country A has a capital-labor ratio (k) that is initially twice as big as that of country B, but neither is yet in a steady state.」
設 B 的初始資本勞動比為 $k_{B,initial}$，則 A 的初始資本勞動比為 $k_{A,initial} = 2 k_{B,initial}$。
由於兩個國家的穩態資本勞動比 $k^*$ 僅由生產函數、儲蓄率、人口成長率和折舊率決定，而這些參數在兩個國家中（除了儲蓄率和折舊率）是相同的，且最終都算出來是 16。
只要 $k_{initial} > 0$，索羅模型表明，經濟體會隨著時間趨向於其穩態水平。
初始資本勞動比的大小決定了經濟體從初始狀態向穩態發展的速度，但 不影響穩態資本勞動比本身。
如果初始 $k$ 低於穩態 $k^*$，則 $sf(k) > (n+\delta)k$，人均投資大於人均資本維持所需，因此 $k$ 會增加。
如果初始 $k$ 高於穩態 $k^*$，則 $sf(k) < (n+\delta)k$，人均投資小於人均資本維持所需，因此 $k$ 會減少。

本題考驗凱因斯主義 IS-LM 模型在浮動匯率制度下的財政政策效果，以及對國內外經濟變數的影響。

模型設定：

• IS 曲線： 代表商品市場均衡，由 $Y = C(Y-T) + I(i) + G + NX(e, Y, Y_f)$ 決定，其中 Y 為國內產出，i 為國內實質利率，T 為稅收，G 為政府支出，NX 為淨出口，e 為名目匯率（國內貨幣相對外國貨幣的價格），$Y_f$ 為外國產出。
• LM 曲線： 代表貨幣市場均衡，由 $M/P = L(i, Y)$ 決定，其中 M 為名目貨幣供給，P 為物價水平，L 為實質貨幣需求。
• 國際收支平衡 (BP) 曲線： 在浮動匯率下，國際收支必須平衡。這意味著資本流動對利率差和匯率預期敏感，通常假設資本高度流動，則 BP 曲線為水平，表示國內利率 $i$ 等於國際利率 $i_f$（加上預期匯率變動）。
• 匯率決定： 在浮動匯率下，匯率 $e$ 會調整以使國際收支平衡。

緊縮性財政政策：
國內政府減少政府支出 (G) 或增加稅收 (T)。這裡我們假設是減少 G。

分析步驟：

1. 初始均衡： 經濟體處於一個包含國內外市場的均衡狀態。

2. 緊縮性財政政策的直接影響 (IS 曲線左移)：

   • 政府減少 G，導致總體需求下降。
   • IS 曲線向左移動。
   • 在短期內（假設 LM 曲線和國際利率不變），這將導致國內產出 Y 下降，國內利率 i 上升。

3. 資本流動與匯率的反應：

   • 國內利率 i 上升（相對於國際利率 $i_f$）。
   • 由於國際資本高度流動，國內利率的上升會吸引外國資本流入國內，尋求更高的回報。
   • 資本流入會增加對國內貨幣的需求，導致國內貨幣升值 (e 下降，如果 e 定義為國內貨幣/外國貨幣)。注意：匯率的定義非常重要。在此，我們假設 e 是國內貨幣的價格（例如，1 美元 = 30 新台幣，則新台幣升值意味著 e 變小）。
   • 國內貨幣升值 (e 下降) 意味著國內商品相對外國商品變得更貴。

4. 淨出口 (NX) 的影響：

   • 國內貨幣升值 (e 下降) 會導致國內出口變貴，進口變便宜。
   • 這會導致出口減少，進口增加，從而使淨出口 (NX) 下降。
   • NX 的下降會進一步使 IS 曲線向左移動。

5. 最終均衡：

   • IS 曲線的左移（由 G 下降引起）會被 NX 的下降（由匯率升值引起）所放大。
   • 國內產出 (Y)： 最終產出將會顯著下降，下降的幅度大於僅僅由 G 下降引起的幅度。
   • 國內實質利率 (i)： 由於資本高度流動，國內利率會趨向於國際利率 $i_f$。緊縮性財政政策初期會推升 i，但隨後的匯率升值和 NX 下降會將 IS 曲線推到更低的產出水平，而 LM 曲線和國際利率則可能保持不變。如果 LM 曲線保持不變，那麼均衡利率將會回到或接近初始水平（如果初始利率就等於國際利率），或者更精確地說，匯率的調整會抵銷部分利率的上升。在有國際資本流動和浮動匯率的標準模型中，緊縮財政政策通常會導致本幣升值，並可能使國內利率回到國際利率水平，但產出下降更多。
   • 淨出口 (NX)： 由於國內貨幣升值，淨出口將顯著下降（可能變為負值）。

6. 對外國經濟的影響：

   • 外國產出 ($Y_f$)： 國內緊縮性財政政策導致國內產出 Y 下降，這意味著國內對外國商品的需求減少。因此，外國的出口會下降，導致外國的總體需求和產出 ($Y_f$) 下降。
   • 外國實質利率 ($i_f$)： 國際利率 $i_f$ 通常被假定為外生給定，因此不受單一國家財政政策的直接影響（除非該國經濟規模極大）。
   • 外國淨出口 (NX_f)： 外國的出口下降，意味著其淨出口將下降。

詳細步驟與結論：