113 年 國立臺北大學財政學系碩士班《經濟學（含個體經濟學、總體經濟學）》

本題在考驗學生對國內生產毛額 (GDP) 與國民生產毛額 (GNP) 的基本定義與兩者間的關係。

核心觀念：

• GDP (Gross Domestic Product)：指一國在一定期間內，所生產的所有最終財貨與勞務的市場價值。GDP 衡量的是「國境內」的生產活動，不論生產者是本國國民或外國人。
• GNP (Gross National Product)：指一國國民在一定期間內，所生產的所有最終財貨與勞務的市場價值。GNP 衡量的是「國民」的所得，不論其生產活動發生在本國境內或國外。

兩者關係可表示為：
$\text{GNP} = \text{GDP} + \text{要素所得淨額 (Net Factor Income from Abroad)}$
其中，要素所得淨額 = (本國國民在國外賺取的要素所得) - (外國人在本國賺取的要素所得)。

GDP 大於 GNP 的情況：
一個國家的 GDP 會大於 GNP，當且僅當該國的「要素所得淨額」為負值。這意味著：
$\text{(本國國民在國外賺取的要素所得)} < \text{(外國人在本國賺取的要素所得)}$

本題在考驗學生對凱因斯模型中，政府財政政策對儲蓄影響的理解，特別是「李嘉圖等價」的概念。

核心觀念：
在封閉經濟體下，一個國家的總儲蓄 (National Saving) 由民間儲蓄 (Private Saving) 與政府儲蓄 (Government Saving) 組成：
$S_{\text{total}} = S_{\text{private}} + S_{\text{government}}$
政府儲蓄定義為：
$S_{\text{government}} = T - G$
其中 $T$ 為稅收總額，$G$ 為政府支出。

題意分析：
題目描述的政策是「政府透過加稅來支應擴張性的政府支出」。這意味著：

• 政府支出 $G$ 增加（擴張性）。
• 稅收 $T$ 也增加，且增加的額度足以支應 $G$ 的增加（假設稅收增加的幅度 $\Delta T$ 等於政府支出增加的幅度 $\Delta G$）。

影響分析：

1. 政府儲蓄 ($S_{\text{government}}$)：
   由於 $\Delta T = \Delta G$，則政府的預算赤字 (Budget Deficit) $G-T$ 不變，或者說，政府儲蓄 $T-G$ 保持不變。

2. 民間儲蓄 ($S_{\text{private}}$)：
   民間儲蓄的決定取決於家庭的消費行為，而消費行為又受所得、稅收、利率等因素影響。

   • 消費函數： 一般消費函數可寫為 $C = C(Y-T, r, \dots)$，其中 $Y$ 是所得，$T$ 是稅收，$r$ 是利率。消費通常是可支配所得 $Y-T$ 的函數。
   • 預期性： 根據「李嘉圖等價」 (Ricardian Equivalence) 概念，如果家庭預期到政府增加支出未來會導致更高的稅收，他們會選擇增加儲蓄來應對。然而，題目描述政府是「透過加稅來支應」，這暗示了稅收的增加是即時或可預見的，且與政府支出增加同時發生。
   • 凱因斯主義觀點： 在凱因斯模型中，如果政府增加支出 $G$ (例如公共建設)，這會直接增加總需求，進而增加所得 $Y$。但同時，政府也透過加稅 $T$ 來支應。
     • 短期影響： 雖然稅收增加，但政府支出的增加對總需求有直接的拉動作用。所得 $Y$ 可能會增加。
     • 可支配所得： 家庭的可支配所得為 $Y-T$。由於 $Y$ 可能增加，但 $T$ 也增加， $Y-T$ 的變動取決於 $Y$ 和 $T$ 變動的相對大小。
     • 李嘉圖等價的嚴格條件： 李嘉圖等價成立的條件很嚴苛，例如：家庭是理性預期，能預見未來稅收；能借貸；不存在世代間的差異；政府支出是純粹的消費性支出等。

本題旨在釐清消費者物價指數 (CPI) 與 GDP 平減指數 (GDP Deflator) 在衡量物價變動上的差異。

核心觀念：
兩者都是衡量一籃商品與服務價格變動的指標，但計算方式與涵蓋範圍不同，導致其衡量物價變動的重點有所區別。

1. 消費者物價指數 (CPI - Consumer Price Index)

• 定義： 衡量一籃固定數量的「消費品與勞務」的價格變動。這籃商品與勞務通常是代表一般家庭的消費結構。
• 計算方式：
  $\text{CPI} = \frac{\text{當期一籃固定消費品之價值}}{\text{基期一籃固定消費品之價值}} \times 100$
  其中，「一籃固定消費品」是指以基期的數量為權數。
• 涵蓋範圍： 主要涵蓋家庭直接購買的商品與勞務，包括消費財、部分服務，但不包括政府購買的商品、投資財、出口品等。
• 權數： 權數（商品組合的比例）在計算期間內是固定的，只會隨著時間定期更新。
• 價格變動的衡量： 衡量的是「固定消費籃」的價格變動。

2. GDP 平減指數 (GDP Deflator)

• 定義： 衡量一國所有最終財貨與勞務（包括消費、投資、政府購買、淨出口）在當期價格相較於基期價格的變動。
• 計算方式：
  $\text{GDP Deflator} = \frac{\text{當期名目 GDP}}{\text{基期實質 GDP}} \times 100$
  或者，更精確地說，它是當期所有生產的最終財貨與勞務的價格指數。
• 涵蓋範圍： 涵蓋經濟體內生產的所有最終財貨與勞務，包括消費、投資、政府購買、淨出口。
• 權數： 權數（商品組合的比例）是變動的，會隨著當期生產結構的改變而改變。它反映了當期實際生產的商品組合。
• 價格變動的衡量： 衡量的是「當期實際生產結構」下所有最終產品的平均價格變動。

主要差異總結：

特徵	CPI (消費者物價指數)	GDP Deflator (GDP 平減指數)
衡量對象	固定數量的「消費品籃」價格變動	當期生產的所有「最終財貨與勞務」的價格變動

本題在考驗學生對 IS-LM-BP 模型在浮動匯率制度下，貨幣政策影響的掌握。

核心觀念：

• IS-LM 模型： 描述商品市場 (IS) 與貨幣市場 (LM) 的均衡。
• BP (Balance of Payments) 線： 描述國際收支平衡的條件。
• 浮動匯率制度： 匯率由市場供需決定，央行不干預。
• 緊縮性貨幣政策： 央行減少貨幣供給，導致 LM 曲線左移。

模型設定：

• IS 曲線： $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$，其中 $Y$ 是產出，$r$ 是實質利率，$e$ 是名目匯率（本國貨幣相對外國貨幣的價格，e 貶值表示本國貨幣貶值）。
• LM 曲線： $M/P = L(r, Y)$，其中 $M$ 是名目貨幣供給，$P$ 是物價水準。
• BP 線： 在完全資本移動下，BP 線為水平線，表示本國利率 $r$ 等於國際利率 $r^*$（或國際利率加預期匯率變動）。
• 浮動匯率下的均衡： 在浮動匯率下，國際收支必須平衡，即 BP 線必須與 IS-LM 均衡點相交。由於 BP 線為水平線（在完全資本移動下），這意味著本國利率 $r$ 必須等於國際利率 $r^*$。

政策分析：
本國政府採取緊縮性貨幣政策，即央行減少貨幣供給 $M$。

1. LM 曲線的移動：
   LM 曲線表示貨幣市場的均衡。當貨幣供給 $M$ 減少時，在給定的物價水準 $P$ 和產出 $Y$ 下，實質貨幣供給 $M/P$ 下降，導致貨幣市場需要更高的利率 $r$ 才能達到均衡。因此，LM 曲線向左上方移動。

2. 短期均衡的變化（在固定匯率下，但這裡我們看浮動匯率下的影響）：
   如果匯率不變，LM 左移會使利率上升，產出下降。

3. 浮動匯率下的反應：

   • 利率與資本移動： 緊縮性貨幣政策（LM 左移）會導致本國利率 $r$ 試圖上升。由於 BP 線（在完全資本移動下）要求本國利率 $r$ 等於國際利率 $r^*$，當本國利率試圖上升時，會吸引外國資本流入。
   • 匯率的影響： 資本流入增加對本國貨幣的需求，導致本國貨幣升值（$e$ 下降）。
   • IS 曲線的移動： 本國貨幣升值 ($e$ 下降) 會導致淨出口 $NX(e)$ 下降（出口變貴，進口變便宜）。淨出口是總需求的一部分，因此 IS 曲線會向左移動。
   • 最終均衡： IS 曲線左移，LM 曲線左移。在浮動匯率下，最終均衡必須維持本國利率 $r$ 等於國際利率 $r^*$。
     • LM 左移會推升利率，但匯率升值又會使 IS 左移，進而降低利率。
     • 這個過程會持續到 IS 和 LM 的新均衡點，使得本國利率恰好等於國際利率 $r^*$，且此時匯率 $e$ 已經升值。

對本國的影響：

• 均衡實質利率 ($r$)： 在完全資本移動下，由於 BP 線是水平的（$r = r^*$），本國的均衡實質利率將維持與國際利率 $r^*$ 相等。貨幣政策的影響會通過匯率傳導，而非利率。
• 產出 ($Y$)：

核心觀念

本題測驗新古典經濟成長理論中的 梭羅成長模型（Solow Growth Model） 之靜態與動態比較分析。主要考點與核心公式如下：

1. 生產函數：
   假設總生產函數為勞動增強型（Labor-augmenting / Harrod-neutral）或一般柯布—道格拉斯型，具規模報酬不變（CRS）：

   $$Y = F(K, AL) = AL \cdot f(\tilde{k})$$

   其中 $A$ 為勞動生產力（技術水準），$L$ 為勞動人口，$\tilde{k} \equiv \frac{K}{AL}$ 為每有效勞工資本（capital per effective worker）。
   若以每人變數表示，每人資本為 $k \equiv \frac{K}{L} = A\tilde{k}$，每人生產為 $y \equiv \frac{Y}{L} = A f(\tilde{k})$。

2. 梭羅模型恆常狀態（Steady State, SS）條件：
   資本累積方程式為：

   $$\dot{\tilde{k}} = s f(\tilde{k}) - (n + g + \delta)\tilde{k}$$

   在無技術成長率（$g = 0$）、人口成長率為 $n$、折舊率為 $\delta$、儲蓄率為 $s$ 的恆常狀態下，$\dot{\tilde{k}} = 0$：

   $$s f(\tilde{k}^*) = (n + \delta)\tilde{k}^*$$

3. 外生衝擊之本質辨析：

   • 疾病爆發造成 勞動人口下降（$L \downarrow$）：屬於水準值（level）的一次性外生衝擊，並不改變長期人口成長率 $n$。
   • 勞動生產力下降（$A \downarrow$）：同樣屬於技術水準的一次性下跌，題幹明示「no productivity growth」，故長期的技術成長率維持 $g = 0$。

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解題方法

本題要求分析衝擊對四項指標的長期穩態影響：

1. 對穩態「每人資本」（$k^*$）的影響

• 根據恆常狀態條件： $$s \frac{f(\tilde{k}^*)}{\tilde{k}^*} = n + \delta$$ 由於儲蓄率 $s$、人口成長率 $n$、折舊率 $\delta$ 皆未改變，且生產函數 $f(\cdot)$ 符合新古典假設（邊際報酬遞減），因此每有效勞工資本的穩態值 $\tilde{k}^*$ 保持不變。
• 又每人資本與每有效勞工資本的關係為： $$k^* = A \cdot \tilde{k}^*$$ 疾病導致勞動生產力水準 $A$ 下降（$A \downarrow$），而 $\tilde{k}^*$ 不變，因此新的穩態每人資本必定下降： $$k^* \downarrow$$
• 附註：衝擊發生的瞬間，$L$ 下降使現有每人資本 $k = \frac{K}{L}$ 短暫上升（資本深化），但隨著時間推移，經濟體會朝新的、更低的穩態值 $k^*$ 收斂。

2. 對穩態「每人生產」（$y^*$）的影響

• 穩態每人生產為： $$y^* = A f(\tilde{k}^*)$$
• 由於 $\tilde{k}^*$ 不變，而技術水準 $A$ 下降，故穩態每人生產必定下降： $$y^* \downarrow$$

3. 對穩態「每人消費」（$c^*$）的影響

• 在封閉經濟體中，私人儲蓄率為固定常數 $s$，故每人消費為每人產出扣除儲蓄（或投資）：

核心觀念

1. 普通需求函數（Uncompensated / Marshallian Demand Function）：
   題目所給定之需求函數 $Q = \frac{15}{p^2}$ 為未補償需求函數，反映在名目所得固定下，商品價格變動對需求量的總效果。
2. 消費者剩餘變動量（Change in Consumer Surplus, $\Delta CS$）：
   當商品價格由 $p_0$ 變動至 $p_1$ 時，消費者剩餘的變動量為價格軸與需求曲線之間所圍成的面積變化，數學定義為： $$\Delta CS = -\int_{p_0}^{p_1} Q(p) \, dp$$ 當價格上漲（$p_1 > p_0$）時，消費者剩餘減少（$\Delta CS < 0$）。

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解題方法

步驟一：設定積分式
已知需求函數為 $Q(p) = 15 p^{-2}$，價格由起始價格 $p_0 = 1$ 上漲至新價格 $p_1 = 3$。
消費者剩餘之變動量計算如下：

$$\Delta CS = -\int_{1}^{3} 15 p^{-2} \, dp$$

本題考查獨占廠商的第三級價格歧視（Third-Degree Price Discrimination），即跨市場價格歧視。當獨占廠商能有效分割兩個獨立市場且市場間無轉售套利可能（No Arbitrage）時，廠商追求整體利潤最大化的決策法則為將總產量分配於兩市場，使各市場各自產生的邊際收益等於生產邊際成本，亦即滿足 $MR_1=MR_2=MC$ 之條件。

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解題過程

根據題意，廠商生產邊際成本與平均成本皆為常數：
$MC=AC=5$

因為兩市場相互完全隔離，獨占廠商可以在兩個市場獨立進行訂價與產量決策。

1. 市場一（Market 1）之最適決策

• 需求函數與反需求函數：
  已知需求函數為 $Q_1=55-P_1$，整理可得反需求函數：
  $P_1=55-Q_1$

• 總收益與邊際收益：
  市場一的總收益 $TR_1$ 為：
  $TR_1=P_1 \times Q_1=(55-Q_1)Q_1=55Q_1-Q_1^2$
  對 $Q_1$ 微分求得邊際收益 $MR_1$：
  $MR_1=\frac{dTR_1}{dQ_1}=55-2Q_1$

• 利潤最大化條件（$MR_1=MC$）：
  為使市場一利潤極大，廠商會生產至最後一單位產出所帶來的額外收益等於額外成本：
  $55-2Q_1=5 \implies 2Q_1=50 \implies Q_1^*=25$

• 最適價格與市場利潤：
  將 $Q_1^*=25$ 代回反需求函數，求得市場一訂價：
  $P_1^*=55-25=30$
  市場一所貢獻的利潤 $\pi_1$ 為：

本題考查完全競爭廠商在「短期歇業決策（Short-run Shutdown Decision）」的核心觀念。在短期內，固定成本無論生產與否皆已發生且不可收回（屬於沉沒成本），因此廠商只需考慮營業收益是否能涵蓋生產帶來的「變動成本」。當市場價格低於平均變動成本的最小值（即 $P < \min AVC$）時，廠商每多生產一單位產品虧損就會擴大，選擇停業（$Q = 0$）只損失固定成本反而能將虧損最小化。因此，短期歇業價格（Short-run Shutdown Price）即等於平均變動成本的最低點（$\min AVC$），也是邊際成本函數（$MC$）與平均變動成本函數（$AVC$）交點對應的價格。

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詳細解題過程

第一步：拆解總成本函數，求出總變動成本（$VC$）

已知完全競爭廠商的短期總成本函數（$TC$）為：
$TC(Q) = Q^3 - 6Q^2 + 15Q + 20$

總成本包含總固定成本（$FC$）與總變動成本（$VC$），即 $TC(Q) = VC(Q) + FC$：

• 不隨產量 $Q$ 變動的常數項為總固定成本：$FC = 20$
• 隨產量 $Q$ 變動的項次為總變動成本：$VC(Q) = Q^3 - 6Q^2 + 15Q$

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第二步：求出平均變動成本函數（$AVC$）

平均變動成本（$AVC$）定義為每單位產量所分擔的變動成本：
$AVC(Q) = \frac{VC(Q)}{Q} = \frac{Q^3 - 6Q^2 + 15Q}{Q} = Q^2 - 6Q + 15$

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第三步：求解平均變動成本的最小值（$\min AVC$）

【解法一】配方法（極值幾何意義）
將二次函數 $AVC(Q)$ 進行配方：
$AVC(Q) = Q^2 - 6Q + 9 + 6 = (Q - 3)^2 + 9$

核心觀念
本題考查個體經濟學與公共財政學中的「利他主義與慈善捐贈（Altruism and Charitable Giving）」模型。核心考點包含：

1. Cobb-Douglas 效用極大化：將他人的消費額視為個人的效用來源（利他偏好），利用經典 Cobb-Douglas 效用函數求解個體在私人生產與慈善捐贈之間的最優配置。
2. 租稅與扣除額政策效果（Charitable Deduction）：分析所得稅率 $t$ 對個人消費與捐贈的影響，並透過改變捐贈的相對價格（租稅補貼效果）與可支配所得（所得效果），比較「有無捐贈扣除額」下的選擇差異，進一步探討該誘因對不同利他程度（$\alpha$）消費者的效果異同。

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(a) 最優選擇求解與 $\alpha$ 的比較靜態分析

1. 最優選擇求解
Lionel 的效用函數為：
$U_1(C_1, C_2) = C_1^\alpha C_2^{1-\alpha}$
其中 $C_1$ 為 Lionel 本身的消費，$C_2$ 為 Cristiano 的消費（即 Lionel 的慈善捐贈額）。
兩種消費的單位價格均為 $p_1 = 1$ 與 $p_2 = 1$，且 Lionel 的總所得為 $I$。其預算限制式為：
$C_1 + C_2 = I$

Lionel 的極大化問題可表示為：
$\max_{C_1, C_2} U_1(C_1, C_2) = C_1^\alpha C_2^{1-\alpha} \quad \text{s.t.} \quad C_1 + C_2 = I$

對效用函數取自然對數建立拉格朗日函數（Lagrangian）：
$\mathcal{L}(C_1, C_2, \lambda) = \alpha \ln C_1 + (1-\alpha) \ln C_2 + \lambda(I - C_1 - C_2)$

分別對 $C_1$ 與 $C_2$ 求一階條件（First-Order Conditions, FOC）：
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_1} = \frac{\alpha}{C_1} - \lambda = 0 \implies \alpha = \lambda C_1$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_2} = \frac{1-\alpha}{C_2} - \lambda = 0 \implies 1-\alpha = \lambda C_2$

將兩式相加可消去偏好參數：
$\alpha + (1-\alpha) = \lambda(C_1 + C_2) \implies 1 = \lambda I \implies \lambda = \frac{1}{I}$

代回一階條件，即可求得 Lionel 的最優選擇：
$C_1^* = \alpha I$
$C_2^* = (1-\alpha) I$

此結果符合 Cobb-Douglas 效用函數固定支出比例的特徵：Lionel 會將所得的 $\alpha$ 比例用於自身消費，$(1-\alpha)$ 比例用於慈善捐贈。

2. 比較靜態分析（Comparative Statics）
針對參數 $\alpha$ 進行偏微分分析：
$\frac{\partial C_1^*}{\partial \alpha} = I > 0$
$\frac{\partial C_2^*}{\partial \alpha} = -I < 0$

經濟意涵說明：
參數 $\alpha$ 代表 Lionel 對「自身消費」的偏好權重，而 $1-\alpha$ 則代表其「利他程度（對 Cristiano 消費的偏好權重）」。當 $\alpha$ 上升時，代表 Lionel 的利他傾向下降（變得較為自私），因此他會增加自身的消費量 $C_1^*$，並減少對 Cristiano 的慈善捐贈量 $C_2^*$。

【答案】

1. Lionel 的最優選擇為：自身消費 $C_1^* = \alpha I$，慈善捐贈 $C_2^* = (1-\alpha) I$。
2. 變動趨勢：當 $\alpha$ 增加時（利他程度下降），自身消費 $C_1^*$ 增加（$\frac{\partial C_1^*}{\partial \alpha} = I > 0$），慈善捐贈 $C_2^*$ 減少（$\frac{\partial C_2^*}{\partial \alpha} = -I < 0$）。

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(b) 所得稅、捐贈扣除額與租稅誘因分析

1. 無捐贈扣除額之所得稅體系（Income Tax without Deduction）
在所得稅率為 $t$ 且無捐贈扣除額時，Lionel 的應稅所得為 $I$，稅後可支配所得為 $(1-t)I$。
預算限制式為：
$C_1 + C_2 = (1-t)I$

本題核心考點為**寡占市場理論（Oligopoly Theory）中的古諾模型（Cournot Duopoly Model）與卡特爾勾結（Cartel / Collusion）**之比較。核心觀念在於：在非合作賽局下，廠商各自追求個人利潤最大化，因忽略其產量對競爭對手的負外部性，導致總產量高於卡特爾勾結產量、價格較低；反之，若兩廠商形成卡特爾合作，將整體視為單一獨占者並平分市場，能消除內部競價外部性，使市場價格上升並達到總利潤最大化，進而讓個別廠商獲得比 Cournot 競爭下更高的利潤。

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一、Cournot 雙頭壟斷均衡（Cournot Duopoly Equilibrium）

在 Cournot 模型中，兩家廠商在彼此不知道對方產量的狀況下同時決定產量（非合作賽局），且均假設對方的產量為給定值。

1. 廠商 A 的利潤極大化決策

市場需求函數為 $p = 10 - Q = 10 - q_A - q_B$。
廠商 A 的總成本函數為 $TC_A(q_A) = 2 + q_A$，邊際成本 $MC_A = \frac{dTC_A}{dq_A} = 1$。
廠商 A 的利潤函數可表示為：
$\pi_A = p \cdot q_A - TC_A(q_A) = (10 - q_A - q_B)q_A - (2 + q_A) = 9q_A - q_A^2 - q_A q_B - 2$

對 $q_A$ 求解一階條件（First-Order Condition, FOC），即邊際收益等於邊際成本（$MR_A = MC_A$）：
$\frac{\partial \pi_A}{\partial q_A} = 9 - 2q_A - q_B = 0$

整理後得到廠商 A 的反應函數（Reaction Function）：
$q_A = R_A(q_B) = \frac{9 - q_B}{2}$

2. 廠商 B 的利潤極大化決策

同理，廠商 B 的總成本函數為 $TC_B(q_B) = 2 + q_B$，邊際成本 $MC_B = 1$。
廠商 B 的利潤函數為：
$\pi_B = p \cdot q_B - TC_B(q_B) = (10 - q_A - q_B)q_B - (2 + q_B) = 9q_B - q_B^2 - q_A q_B - 2$

對 $q_B$ 求解一階條件：
$\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 9 - 2q_B - q_A = 0$

整理後得到廠商 B 的反應函數：
$q_B = R_B(q_A) = \frac{9 - q_A}{2}$

3. 求解 Cournot 納許均衡

由於兩廠商成本結構與地位完全對稱，在均衡時必然有 $q_A^C = q_B^C = q^C$。代入反應函數求解：
$2q^C + q^C = 9 \implies 3q^C = 9 \implies q^C = 3$

因此：

• 個別廠商產量：$q_A^C = 3$，$q_B^C = 3$
• 市場總產量：$Q^C = q_A^C + q_B^C = 3 + 3 = 6$
• 市場均衡價格：$p^C = 10 - 6 = 4$
• 個別廠商利潤：
  $\pi_A^C = p^C \cdot q_A^C - TC_A(q_A^C) = 4 \times 3 - (2 + 3) = 12 - 5 = 7$
  $\pi_B^C = p^C \cdot q_B^C - TC_B(q_B^C) = 4 \times 3 - (2 + 3) = 12 - 5 = 7$
• 市場總利潤：$\pi_{total}^C = \pi_A^C + \pi_B^C = 7 + 7 = 14$

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二、卡特爾勾結均衡（Cartel Collusion Equilibrium）

當兩家廠商組成卡特爾（Cartel）合作時，目標是共同決定總產量 $Q$ 以極大化產業總利潤（Joint Profit Maximization），然後平分市場產量與利潤。

1. 產業聯合利潤極大化

由於 $MC_A = MC_B = 1$，卡特爾在兩工廠間分配生產的邊際成本均相等。
產業總成本函數為：