115 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《地理資訊系統》

空間資料內插（Spatial Interpolation）是地理資訊系統（GIS）中一項重要的空間分析技術，其核心原理是利用已知地點的樣本點數據，推估未知地點的數值。這個過程假設空間上相近的點，其屬性值也越相近。

基本原理：
空間資料內插的基礎是一個空間自相關（Spatial Autocorrelation）的概念，即「凡是空間上相近的事物，其屬性值也越相近」（Tobler's First Law of Geography）。當我們擁有一組已知位置的觀測值（例如某地的氣溫、某點的土壤濃度），我們希望藉由這些已知點來預測或估計未知的區域（例如兩已知觀測點之間、或某個未測量區域）的屬性值。內插方法就是建立一個數學模型，根據已知點的位置及其屬性值，來計算未知點的預測值。

常見的內插方法：

1. 反距離加權法 (Inverse Distance Weighting, IDW)

   • 原理： IDW 假設一個未知點的屬性值，是所有已知點屬性值的加權平均。權重的大小與該已知點到未知點的距離成反比，距離越近的點，其權重越大，對預測值的影響也越大。
   • 公式：
     $Z(x) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{d_i^p} Z(x_i)}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{d_i^p}}$
     其中 $Z(x)$ 是未知點 $x$ 的預測值，$Z(x_i)$ 是第 $i$ 個已知點的屬性值，$d_i$ 是第 $i$ 個已知點到未知點 $x$ 的距離，$p$ 是指數（通常取 2），$n$ 是參與計算的已知點數量。
   • 優點： 簡單易懂，計算快速。
   • 缺點： 預測值不會超過樣本點中的最大值或最小值；對樣本點的聚集性敏感；無法模擬地表趨勢。

2. 克里金法 (Kriging)

   • 原理： 克里金法是一種更複雜的地統計學方法，它不僅考慮點之間的距離，還考慮了點之間的空間相關性結構（變異函數，Variogram）。克里金法將樣本點的屬性值視為一個隨機變數，並假設這個隨機變數在空間上存在相關性。

本題主要在探討地理資訊系統中兩種基本資料類型：連續性資料與非連續性資料，以及它們在 GIS 中對應的資料模型。

1. 連續性資料 (Continuous Data) 與非連續性資料 (Discrete Data)

• 連續性資料 (Continuous Data)：

  • 定義： 指在空間上可以無限分割，並且其數值可以在一定範圍內連續變化的資料。在任何兩個數值之間，都可以找到無數個中間值。
  • 例子：
    • 高程 (Elevation)： 地表的海拔高度，任意兩點之間都存在無數個高程值。
    • 溫度 (Temperature)： 氣溫在空間上是連續變化的，任意兩點之間都有中間溫度。
    • 降雨量 (Precipitation)： 降雨強度在空間上也是連續分佈的。
    • 坡度 (Slope)、坡向 (Aspect)： 這些地表形態的衍生屬性也是連續的。
    • 空氣污染濃度 (Air Pollution Concentration)： 污染物在空氣中的濃度分佈。
  • 特性： 通常表現為平滑的表面，適合進行空間內插分析。

• 非連續性資料 (Discrete Data)：

  • 定義： 指在空間上是離散的、不連續的，其數值通常是整數或類別，並且具有明確的界線。每個特徵代表一個獨立的實體，其屬性值不具有內插的可能性。
  • 例子：
    • 道路 (Roads)： 道路是線狀特徵，有明確的起點和終點，不能在兩點之間進行內插。
    • 建築物 (Buildings)： 建築物是面狀特徵，有明確的邊界，代表一個獨立的實體。
    • 河流 (Rivers)： 河流通常被視為線狀或多邊形（有寬度的情況），是離散的。
    • 行政區界 (Administrative Boundaries)： 如國家、省、縣市、鄉鎮市區的界線，是明確的分割。
    • 土地利用類別 (Land Use Categories)： 如「住宅區」、「商業區」、「工業區」、「農田」，這些是離散的類別。
    • 樹木 (Trees)： 單獨的樹木是點狀特徵。
  • 特性： 通常表現為點、線、面等幾何圖形，屬性值是類別或計數。

2. GIS 中的資料模型與比較

GIS 主要使用兩種空間資料模型來表現地理空間資訊：向量模型 (Vector Model) 和 網格模型 (Raster Model)。

• 網格模型 (Raster Model)：

  • 表現方式： 將地理空間區域劃分為規則的網格（或稱為畫素，Pixel）。每個網格單元都有一個唯一的值，代表該單元內的屬性值。
  • 適用資料類型： 主要用於表現連續性資料。例如，高程、溫度、降雨量、影像資料（衛星影像、航空照片）等，都可以用網格模型來表示。每個畫素的值就代表了該位置的連續屬性值。
  • 優點：
    • 處理連續性空間變異非常有效率。
    • 適合影像處理和遙感資料。
    • 空間分析（如疊圖分析）相對簡單。
  • 缺點：
    • 對於表現離散的點、線、面特徵時，邊界會產生鋸齒狀（aliasing），精度較差。
    • 儲存空間可能較大，尤其是當解析度很高時。
    • 屬性資料通常僅限於單一數值或類別。

• 向量模型 (Vector Model)：

  • 表現方式： 使用點 (Point)、線 (Line) 和面 (Polygon) 等幾何圖形來表示地理特徵。
    • 點： 用一組座標 (x, y) 表示，用於代表單一位置的特徵（如：井、測站、樹木）。

本題主要探討兩種在台灣常用的地理坐標系統：經緯度系統與橫麥卡托二度分帶系統，並分析其概念與適用性。

1. 經緯度系統 (Longitude-Latitude System)

• 概念：

  • 經緯度系統是一種基於球面幾何的地理坐標系統，用於確定地球表面上任何一點的位置。它將地球視為一個球體（或橢球體），並定義了兩組角度。
  • 經度 (Longitude)： 指從本初子午線（Prime Meridian，通常指格林威治子午線）向東或向西的角度，範圍是東經 0° 至 180°，西經 0° 至 180°。
  • 緯度 (Latitude)： 指從赤道向北或向南的角度，範圍是北緯 0° 至 90°，南緯 0° 至 90°。
  • 基準橢球體 (Datum)： 經緯度系統需要一個參考橢球體（如 WGS84、TWD67、TWD97）作為地球模型的基礎。
  • 表示方式： 通常以度 (°)、分 (')、秒 ('') 為單位，例如 N 25° 02' 46'' , E 121° 33' 04''。

• 適用性 (對台灣本島而言)：

  • 優點：
    • 全球通用性： 經緯度是國際通用的地理坐標系統，便於與國際資料交換。
    • 概念直觀： 對於理解地球表面位置的概念較為直觀。
  • 缺點：
    • 距離與面積計算困難： 由於地球是球體，經緯度之間的線性距離並不均勻，計算實際距離和面積時較為複雜，需要用到球面三角學或投影轉換。
    • 測量與繪圖不便： 在地圖上，經緯度線通常是彎曲的（除了赤道和子午線），不利於進行精確的測量和繪圖。
    • 台灣地區的應用： 雖然可以用經緯度表示台灣的位置，但若要進行大範圍的土地測量、工程規劃或面積計算，則需要額外的轉換和校正，不夠直接。

2. 橫麥卡托二度分帶系統 (Transverse Mercator, TM, 2-degree Zone System)

• 概念：
  • 橫麥卡托投影 (Transverse Mercator, TM) 是一種將球體或橢球體表面的地理坐標轉換到平面坐標（通常是 X, Y 座標）的投影方法。它實際上是麥卡托投影 (Mercator Projection) 的一種變形，將麥卡托投影的中央子午線（赤道）旋轉 90 度，使其沿著一個子午線（通常是較短的子午線）進行投影。
  • 二度分帶 (2-degree Zone)： 為了減小投影變形，TM 投影將地球表面（或特定區域）沿著經度方向劃分成若干個帶，每個帶的寬度為 2 度。例如，台灣地區通常被劃分為 8 個帶（從 119°E 到 127°E，每個帶寬 2°）。

本題考驗的是 GIS 的空間分析能力，特別是如何結合面狀圖層（村里界）與屬性資料（人口數），計算出一個新的屬性（人口密度），並將其視覺化為主題圖。

核心概念：

• 空間疊加 (Spatial Overlay)： 將不同圖層的空間資訊與屬性資訊結合。
• 空間連接 (Spatial Join)： 根據空間關係（如點在面內、面與面相交）將一個圖層的屬性連接到另一個圖層。
• 屬性計算 (Attribute Calculation)： 利用現有屬性欄位進行運算，產生新的屬性欄位。
• 資料視覺化 (Data Visualization)： 將分析結果以地圖（主題圖）的形式呈現。

解題步驟：

1. 資料準備與檢查：

   • 全國村里界圖層： 確保此圖層的坐標系統與臺北市的圖層一致。檢查圖層是否乾淨，沒有重疊或拓撲錯誤。
   • 臺北市各里人口統計資料： 確保人口數資料是針對每個「里」的，並且有明確的里別識別碼（例如里代碼、里名稱），能與村里界圖層中的里別識別碼對應。資料時間範圍為 2020-2024 年。

2. 獲取臺北市的里界圖層：

   • 從全國村里界圖層中，篩選出屬於臺北市的村里，形成一個單獨的「臺北市里界」圖層。這通常透過空間查詢 (Spatial Query) 或屬性查詢 (Attribute Query) 來完成，例如篩選出里別識別碼開頭為「A」的里（假設「A」代表臺北市）。

3. 獲取各里的面積資訊：

   • 在「臺北市里界」圖層的屬性表中，計算每個里的面積。大多數 GIS 軟體都提供計算面狀圖層面積的功能。請注意，計算面積時應使用適合的投影坐標系統（例如 TM 二度分帶，以公尺為單位），以確保計算的準確性。假設計算出的面積欄位為 Area_sq_m（平方公尺）。

4. 合併人口資料與里界圖層：

   • 將 2020-2024 年的臺北市各里人口統計資料，與「臺北市里界」圖層進行連接。最常見的方法是使用「空間連接」(Spatial Join) 或「屬性連接」(Attribute Join)。
   • 空間連接 (Spatial Join)： 如果人口資料是點狀（例如各里的中心點），則可以將人口資料的屬性連接到包含該點的里面。
   • 屬性連接 (Attribute Join)： 如果人口資料已經是按里別整理好的表格，並且里別識別碼可以與里界圖層的屬性欄位匹配，則可以直接進行屬性連接。
   • 假設我們選擇 2023 年的人口資料（例如，假設人口數欄位為 Population_2023），將其連接到「臺北市里界」圖層，使得每個里多出一個 Population_2023 的屬性欄位。

5. 計算人口密度：

   • 在連接了人口資料的「臺北市里界」圖層的屬性表中，新增一個欄位，例如 Pop_Density_2023。
   • 利用 GIS 的屬性計算器 (Field Calculator)，計算人口密度。人口密度通常定義為「人口數 / 面積」。
   • 公式：
     $\text{Pop\_Density\_2023} = \frac{\text{Population\_2023}}{\text{Area\_sq\_m}}$
   • 注意單位：如果人口數是人，面積是平方公尺，則人口密度單位為「人/平方公尺」。為了更易讀，通常會轉換為「人/平方公里」。例如，如果 Area_sq_km 是以平方公里為單位，則：