115 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

空間資訊學（Spatial Information Science）是一門跨領域的學科，主要研究與空間相關的資訊的獲取、儲存、處理、分析、表達與應用。它整合了地理學、測量學、遙感探測、地理資訊系統（GIS）、全球導航衛星系統（GNSS）、電腦科學、統計學、數學等多個學科的知識與技術。

空間資訊學的核心在於理解和處理「空間數據」，也就是包含地理位置訊息的數據。這些數據描述了地理空間中的各種現象、物體及其相互關係。空間資訊學的研究範疇涵蓋：

1. 空間數據的獲取：透過衛星遙感、航空攝影、地面測量（如 GNSS、全測站儀）、行動裝置感測器等方式，收集地理空間的資訊。
2. 空間數據的組織與儲存：如何有效地組織、管理和儲存龐大的空間數據，使其便於查詢和檢索，例如地理資料庫的建置。

全球導航衛星系統（GNSS）的定位精度會受到電離層（Ionosphere）的影響，因為電離層會使衛星訊號產生延遲和折射，進而引入定位誤差。電離層是地球大氣層中一個高度約在 50 至 1000 公里之間的區域，其中充滿了自由電子和離子。GNSS 訊號（通常是 L 波段的無線電波）在穿過電離層時，其傳播速度會減慢，傳播路徑也會彎曲，且延遲的量與訊號頻率的平方成反比。

減弱電離層影響的有效措施主要有以下幾種：

1. 多頻觀測 (Dual-frequency or Multi-frequency Observation)：

   • 原理：GNSS 衛星會發射多個不同頻率的訊號（例如 GPS 的 L1、L2、L5）。電離層延遲的程度與訊號頻率的平方成反比。如果接收機同時接收並處理兩個或多個不同頻率的訊號，就可以建立一個聯立方程式來消除或大幅減弱電離層延遲對測量結果的影響。
   • 方法：計算兩個頻率訊號（例如 L1 和 L2）的測量值之間的差值。理論上，如果沒有電離層影響，這個差值是零。透過對這個差值的分析，可以估計出電離層延遲的量，並從測量結果中扣除。
   • 應用：這是目前最普遍且最有效的方法，特別是在高精度的 RTK（即時動態定位）或 PPP（精密單點定位）應用中，必須使用雙頻或多頻接收機。

2. 電離層模型的使用 (Ionospheric Modeling)：

   • 原理：建立數學模型來描述電離層的電子含量（Total Electron Content, TEC）隨時間和空間的變化。這些模型可以基於歷史數據、即時觀測數據或預報數據。
   • 方法：
     • 全球模型：例如由國際 GNSS 服務（IGS）提供的全球電離層模型（GIM），可以提供全球範圍內的 TEC 分布圖，使用者可以根據自己的地理位置和觀測時間查詢估計的電離層延遲量，並進行改正。
     • 區域模型：針對特定區域建立更精確的模型。
     • 即時模型：利用地面觀測站的數據即時更新模型。
   • 應用：適用於單頻接收機，或作為雙頻觀測的輔助手段。然而，模型的精度受限於其數據的時空解析度，對於突發性的電離層擾動（如太陽風暴）效果較差。

此題考驗對於 EDM 測量誤差來源的理解與合成計算。EDM（電子測距儀）測量的誤差主要來自儀器本身、定心以及氣象改正等因素。題目中已給定儀器先驗誤差、測站儀器定心誤差及覘標定心誤差。我們需要將這些誤差項合成，計算出最終的斜距觀測誤差量。

核心觀念：
在測量學中，獨立的隨機誤差通常採用均方根（RMS）的方式進行合成。對於系統誤差或未完全消除的誤差，則需要根據其性質進行組合。在此題中，儀器誤差包含系統誤差（常數項）和比例誤差（ppm項），定心誤差可視為隨機誤差處理。

解題步驟：

1. 識別誤差來源與類型：

   • 儀器先驗誤差：$\pm(2\text{ mm} + 2\text{ ppm})$。
     • $2\text{ mm}$ 為常數誤差（系統誤差），與距離無關。
     • $2\text{ ppm}$ 為比例誤差（系統誤差），與測量距離成正比。
   • 測站儀器定心誤差：$\pm 3\text{ mm}$。
   • 覘標定心誤差：$\pm 5\text{ mm}$。

2. 計算比例誤差項：

   • 測量斜距 $D = 627.329\text{ m}$。
   • 比例誤差項 $= 2\text{ ppm} \times D = 2 \times 10^{-3} \times 627.329\text{ m} = 1.254658\text{ m}$。
   • 所以儀器誤差的比例部分為 $\pm 1.255\text{ m}$。

3. 合成各項誤差：

   • 在此問題中，我們通常將所有誤差視為獨立的誤差來源，並使用均方根（Root Mean Square, RMS）的方法進行合成。
   • 儀器誤差的常數項：$E_{inst\_const} = \pm 2\text{ mm} = \pm 0.002\text{ m}$。
   • 儀器誤差的比例項（已計算）：$E_{inst\_prop} = \pm 1.255\text{ m}$。
   • 測站儀器定心誤差：$E_{center\_inst} = \pm 3\text{ mm} = \pm 0.003\text{ m}$。
   • 覘標定心誤差：$E_{center\_target} = \pm 5\text{ mm} = \pm 0.005\text{ m}$。

   注意：定心誤差（Centering error）在垂直角觀測時會產生較大的影響，但在水平距離或斜距的計算中，其影響通常較小，除非是傾斜距離。然而，題目要求計算斜距觀測誤差，且給定定心誤差，我們應將其納入考量。

   在實際工程應用中，定心誤差對距離的影響可以透過幾何關係計算。假設定心誤差是垂直於視線方向的，則在距離 $D$ 處，定心誤差 $\delta$ 引起的距離誤差 $\Delta D$ 大約為 $\Delta D \approx \delta \times \sin(\theta)$，其中 $\theta$ 是儀器與目標連線與水平面之間的夾角。然而，題目並未提供仰角或俯角資訊，且通常在 EDM 誤差分析中，若無特別說明，定心誤差也常被視為獨立的誤差項直接合成。

   另一種常見的處理方式是，將儀器誤差（常數項和比例項）視為獨立的系統誤差，而定心誤差視為隨機誤差。但題目中未明確指出其性質，一般情況下，儀器常數誤差和比例誤差是系統性的，而定心誤差則帶有隨機性。

   假設所有誤差項均可獨立合成：
   若將所有誤差視為獨立的誤差來源，且它們的聯合效應是這些誤差的平方和的平方根（RMS 合成）：
   $E_{total} = \sqrt{E_{inst\_const}^2 + E_{inst\_prop}^2 + E_{center\_inst}^2 + E_{center\_target}^2}$

   將單位統一為公尺 (m)：
   $E_{inst\_const} = 0.002\text{ m}$
   $E_{inst\_prop} = 1.255\text{ m}$
   $E_{center\_inst} = 0.003\text{ m}$
   $E_{center\_target} = 0.005\text{ m}$

   $E_{total} = \sqrt{(0.002)^2 + (1.255)^2 + (0.003)^2 + (0.005)^2}$
   $E_{total} = \sqrt{0.000004 + 1.575025 + 0.000009 + 0.000025}$
   $E_{total} = \sqrt{1.575063}$
   $E_{total} \approx 1.255015\text{ m}$

   另一種常見的解釋：
   儀器誤差 $\pm(a + b \times D)$ 是儀器的固有誤差。定心誤差是獨立的誤差。
   如果將定心誤差也視為距離誤差，則需要考慮其幾何影響。但若題目直接給出定心誤差，且要求計算「斜距觀測誤差量」，最直接的理解是將這些誤差項直接合成。

   考量到 ppm 誤差佔主導地位：
   觀察到比例誤差 $1.255\text{ m}$ 遠大於其他常數誤差項（0.002 m, 0.003 m, 0.005 m）。
   因此，合成的總誤差將主要由比例誤差項決定。

   再仔細審視題目：
   EDM 的儀器先驗誤差 $\pm(2\text{ mm} + 2\text{ ppm})$ 通常指對測量結果的總影響。
   測站儀器與覘標的定心誤差，是獨立的誤差來源。
   在合成誤差時，如果題目沒有特別說明，通常是將所有獨立的誤差項，按照其性質（隨機或系統）進行合成。
   最保險的做法是將所有誤差項視為獨立的，並進行 RMS 合成。

   $E_{inst} = \pm(0.002 + 2 \times 10^{-3} \times 627.329) \text{ m} = \pm(0.002 + 1.254658) \text{ m} = \pm 1.256658 \text{ m}$
   $E_{center} = \pm(0.003 + 0.005) \text{ m} = \pm 0.008 \text{ m}$ （這裡將兩定心誤差直接相加，若視為獨立隨機誤差，則應開根號。但題目給的是 $\pm$ 表示範圍，通常合併時也按此方式。）

   標準處理方式（將所有誤差視為獨立的，使用 RMS 合成）：
   儀器常數誤差 $e_c = 0.002\text{ m}$
   儀器比例誤差 $e_p = 2\text{ ppm} \times 627.329\text{ m} = 1.254658\text{ m}$
   儀器定心誤差 $e_{inst\_c} = 0.003\text{ m}$
   覘標定心誤差 $e_{target\_c} = 0.005\text{ m}$

   總誤差 $E = \sqrt{e_c^2 + e_p^2 + e_{inst\_c}^2 + e_{target\_c}^2}$
   $E = \sqrt{(0.002)^2 + (1.254658)^2 + (0.003)^2 + (0.005)^2}$
   $E = \sqrt{0.000004 + 1.574172 + 0.000009 + 0.000025}$
   $E = \sqrt{1.574210}$
   $E \approx 1.254675\text{ m}$

   另一種較為簡化的處理方式：
   將儀器誤差（常數項和比例項）視為一項，定心誤差視為另一項。
   儀器誤差總計：$E_{inst} = 0.002 + 1.254658 = 1.256658\text{ m}$
   定心誤差總計：$E_{center\_total} = \sqrt{0.003^2 + 0.005^2} = \sqrt{0.000009 + 0.000025} = \sqrt{0.000034} \approx 0.00583\text{ m}$
   （如果定心誤差是獨立的隨機誤差，則合併為 RMS。如果題目是給定範圍 $\pm 3\text{ mm}$ 和 $\pm 5\text{ mm}$，也可以看作是各自的極限誤差，合併時取最大值，或按概率理論處理。）

   最常見的處理方式：
   將所有誤差源視為獨立，並將它們的絕對值進行合成。
   儀器常數誤差：$0.002\text{ m}$
   儀器比例誤差：$1.255\text{ m}$
   儀器定心誤差：$0.003\text{ m}$
   覘標定心誤差：$0.005\text{ m}$

   總誤差 $= 0.002 + 1.255 + 0.003 + 0.005 = 1.265\text{ m}$ （這是直接相加，比較保守的估計，但通常不這樣做）

   回到標準 RMS 合成，並考慮儀器誤差的組成：
   儀器誤差 $E_{inst} = \pm(0.002 + 2 \times 10^{-3} \times 627.329) = \pm 1.256658\text{ m}$。
   此項本身已經包含了常數和比例誤差。
   定心誤差 $E_{center} = \pm 0.003\text{ m}$ (儀器) 和 $\pm 0.005\text{ m}$ (覘標)。
   假設定心誤差是獨立的隨機誤差，它們的合成誤差是 $\sqrt{0.003^2 + 0.005^2} = \sqrt{0.000009 + 0.000025} = \sqrt{0.000034} \approx 0.00583\text{ m}$。

   現在我們有兩大類誤差：

   1. 儀器誤差：$\pm 1.256658\text{ m}$

核心觀念

本題考查附合導線的：

• 已知邊方位角計算；
• 外角推算各導線邊方位角；
• 由距離與方位角計算坐標增量；
• 導線坐標閉合差及其平差。

採用坐標定義：第一坐標為東坐標 $X$，第二坐標為北坐標 $Y$。方位角由北方向順時針量測，因此：

$$\Delta X=L\sin\alpha,\qquad \Delta Y=L\cos\alpha$$

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一、計算已知邊方位角

由 $A$、$B$ 坐標：

$$\Delta X_{AB}=541.360-500.132=41.228$$ $$\Delta Y_{AB}=685.650-675.650=10.000$$

因此：

$$\alpha_{AB} =90^\circ-\tan^{-1}\left(\frac{10.000}{41.228}\right) =76^\circ21'58''$$

外角推算公式為：

$$\alpha_{\text{下一邊}} = \alpha_{\text{前一邊}}+\beta-180^\circ$$

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二、推算各導線邊方位角

在 $B$ 點：

$$\alpha_{B1} = 76^\circ21'58'' + 190^\circ10'25'' - 180^\circ = 86^\circ32'23''$$

在 $1$ 點：

$$\alpha_{12} = 86^\circ32'23'' + 165^\circ13'55'' - 180^\circ = 71^\circ46'18''$$

在 $2$ 點：

$$\alpha_{23} = 71^\circ46'18'' + 230^\circ10'45'' - 180^\circ = 121^\circ57'03''$$

在 $3$ 點：

$$\alpha_{3C} = 121^\circ57'03'' + 91^\circ10'45'' - 180^\circ = 33^\circ07'48''$$

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三、計算各邊坐標增量

導線邊	距離 $L$	方位角 $\alpha$	$\Delta X=L\sin\alpha$	$\Delta Y=L\cos\alpha$
$B1$	41.620	$86^\circ32'23''$	$+41.544$	$+2.500$
$12$	50.342	$71^\circ46'18''$	$+47.830$	$+15.705$