112 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

本題主要在考驗考生對於地球重力位模型相關基本名詞的理解與區別。

(1) 大地水準面 (Geoid)：
大地水準面是指一個假設的、與平均海水面重合的、不受潮汐、洋流等影響的、並且延伸至大陸底下的閉合曲面。它是一個重力等位面，也就是說，在這個曲面上的所有點，其重力位勢都相同。大地水準面是定義大地高 (Orthometric Height) 的基準面。

(2) 似大地水準面 (Quasi-geoid)：
似大地水準面是一個與大地水準面非常接近的曲面，但它是在一個假設的、無內陸水的、只考慮大地水準面以上的水體（海洋）的重力位勢模型下定義的。在陸地上，似大地水準面是由大地水準面的外插或內插來定義的。它主要用於配合大地水準面，以便在某些計算中使用。

(3) 大地起伏值 (Geoid Undulation, $N$)：
大地起伏值是指大地水準面與參考橢球體之間的垂直距離。通常定義為大地水準面到參考橢球體頂點的距離，即 $N = h - H$，其中 $h$ 是大地體高 (Ellipsoidal Height)，$H$ 是大地高 (Orthometric Heigh

本題主要考驗考生如何利用已知兩點在兩種不同坐標系統下的對應關係，建立轉換模型，進而求得未知點的坐標。此處我們採用相似轉換 (Similarity Transformation)，因為題目僅提供兩點的對應關係，且題目未提及尺度變換或傾斜，故假設尺度不變且旋轉角度一致。

首先，我們需要建立國家坐標系統 (E, N) 與地方任意系統 (X, Y) 之間的轉換關係。由於只有兩對已知點 (A, B)，我們可以假設這是一個二維的相似轉換，其形式為：
$E = aX + bY + c$
$N = -bX + aY + d$

其中 $a, b$ 為尺度與旋轉參數，$c, d$ 為平移參數。

利用已知點 A 和 B 的坐標，我們可以列出以下四個方程式：

對於點 A：
(1) $588933.451 = a(5492.081) + b(3218.679) + c$
(2) $418953.421 = -b(5492.081) + a(3218.679) + d$

對於點 B：
(3) $588539.761 = a(6515.987) + b(4009.588) + c$
(4) $420185.869 = -b(6515.987) + a(4009.588) + d$

我們需要解出 $a, b, c, d$。
首先，計算 AB 在兩種系統下的差值：
$\Delta E = E_B - E_A = 588539.761 - 588933.451 = -393.690$
$\Delta N = N_B - N_A = 420185.869 - 418953.421 = 1232.448$
$\Delta X = X_B - X_A = 6515.987 - 5492.081 = 1023.906$
$\Delta Y = Y_B - Y_A = 4009.588 - 3218.679 = 790.909$

由相似轉換的性質，我們有：
$\Delta E = a \Delta X + b \Delta Y$
$\Delta N = -b \Delta X + a \Delta Y$

代入數值：
(5) $-393.690 = a(1023.906) + b(790.909)$
(6) $1232.448 = -b(1023.906) + a(790.909)$

我們可以解這個聯立方程式來求 $a$ 和 $b$。
將 (6) 式乘以 $790.909 / 1023.906 \approx 0.77241$，得到 $951.724 = -0.77241 b (1023.906) + 0.77241 a (790.909)$
這一步驟計算可能比較繁瑣，我們直接利用矩陣法或代入法求解。

由 (5) 式， $b = (-393.690 - 1023.906a) / 790.909$
代入 (6) 式：
$1232.448 = -1023.906 * [(-393.690 - 1023.906a) / 790.909] + a(790.909)$
$1232.448 = (393.690 * 1023.906 + 1023.906^2 * a) / 790.909 + a(790.909)$
$1232.448 * 790.909 = 403109.17 + 1048383.57 a + a(790.909^2)$
$974774.47 = 403109.17 + 1048383.57 a + 625526.78 a$
$974774.47 - 403109.17 = (1048383.57 + 625526.78) a$

本題主要考驗考生對 GNSS 定位測量中誤差來源的理解，以及如何利用觀測數據進行誤差的消除與削弱。求差法 (Differencing) 是 GNSS 數據處理中非常重要的一種技術，可以有效減低或消除某些類型的誤差。

GNSS 觀測中主要的誤差來源包括：

1. 衛星軌道誤差：衛星實際軌道與預報軌道之間的差異。
2. 衛星鐘誤差：衛星原子鐘的計時誤差。
3. 接收機鐘誤差：地面接收機的計時誤差。
4. 對流層延遲誤差：電磁波通過對流層時發生的延遲。
5. 電離層延遲誤差：電磁波通過電離層時發生的延遲。
6. 多路徑效應：信號經由地面反射後到達接收機，造成延遲。
7. 接收機雜訊。

求差法主要利用 GNSS 系統的觀測特點（如雙頻觀測、多個衛星觀測、時間序列觀測）來進行誤差的消除與削弱。常見的求差方式及其消除或削弱的誤差如下：

1. 載波相位測量 (Carrier Phase Measurement)

• 原理：利用載波的相位資訊進行測量，其精度遠高於偽距測量。
• 求差方式：
  • 單差 (Single Differencing, SD)：
    • 衛星-接收機單差：同一時間，一個接收機觀測兩顆不同的衛星。
    • 接收機-衛星單差：同一時間，兩台接收機觀測同一顆衛星。
    • 消除誤差：可以消除接收機鐘誤差。對於接收機-衛星單差，還可以部分消除衛星鐘誤差（如果兩接收機觀測同一衛星的時間差很小）。
  • 雙差 (Double Differencing, DD)：
    • 原理：將單差進一步進行，即在同一時間，兩台接收機觀測兩顆衛星。
    • 消除誤差：可以同時消除衛星鐘誤差和接收機鐘誤差。
    • 削弱誤差：能夠有效削弱衛星軌道誤差和電離層延遲誤差（尤其是雙頻觀測時）。
  • 三差 (Triple Differencing, TD)：
    • 原理：在雙差的基礎上，對時間進行差分，即觀測時間序列的相鄰觀測值進行差分。
    • 消除誤差：可以消除雙差中的整數週波模糊度 (Integer Ambiguity) 的固定（如果能夠成功固定）。
    • 削弱誤差：進一步削弱衛星軌道誤差和電離層延遲誤差。

2. 偽距測量 (Pseudorange Measurement)

• 原理：利用衛星發射的信號到達接收機的時間乘以光速得到。
• 求差方式：
  • 接收機-衛星單差：同一時間，兩台接收機觀測同一顆衛星。
    • 消除誤差：可以消除接收機鐘誤差。
  • 衛星-接收機單差：同一時間，一個接收機觀測兩顆不同的衛星。
    • 消除誤差：可以消除衛星鐘誤差。
  • 雙差 (Double Differencing, DD)：
    • 原理：在單差的基礎上進行，即同一時間，兩台接收機觀測兩顆衛星。
    • 消除誤差：可以同時消除衛星鐘誤差和接收機鐘誤差。
    • 削弱誤差：可以削弱電離層延遲誤差（通過雙頻觀測的組合），對流層延遲誤差（如果兩接收機距離很近），衛星軌道誤差。

3. 雙頻觀測 (Dual-Frequency Observation)

• 原理：GNSS 衛星發射兩種不同頻率的信號（如 GPS 的 L1 和 L2）。
• 求差方式：
  • 無延遲觀測 (Ionosphere-Free Combination)：
    • 原理：將兩種頻率的觀測值進行線性組合，可以完全消除電離層延遲誤差。
    • 消除誤差：消除電離層延遲誤差。

核心觀念

本題考查三角高程測量。先利用水平角 $\alpha、\beta$ 與已知邊 $AB$ 求出兩測站至煙囪垂足投影點的水平距離，再利用垂直角求出煙囪頂點 $P$ 的高程。

三角高程公式為：

其中 $s$ 為測站至 $P$ 點垂直投影的水平距離。

解題方法

已知：

水平三角形中：

由正弦定理，A 點至煙囪垂足的水平距離為：

代入得：

B 點至煙囪垂足的水平距離為：