111 年 國立政治大學地政學系碩士班《測量學》

本題主要在考察學生對於導線測量平差方法的理解，包含簡易平差與嚴密平差的計算原理、差異性，以及提升導線測量精度與可靠度的技術。

核心觀念：

1. 導線測量平差： 導線測量是工程測量中常用的一種方法，用於確定一系列相互連接的測站點位。由於測量過程中不可避免存在誤差，必須透過平差計算來消除或減小這些誤差，以獲得最優的測站座標。
2. 簡易平差 (Bowditch Method / Transit Rule)： 假設導線測量中的角度誤差與邊長誤差的影響程度與邊長成正比，將總誤差按邊長比例分配。
3. 嚴密平差 (Least Squares Method)： 以最小二乘原理為基礎，考慮到觀測值的精度（權度），使觀測量與平差後之較佳值之間的殘差平方和最小。
4. 精度與可靠度： 導線測量精度影響其應用範圍，可靠度則關乎測量結果是否值得信賴。

解題步驟：

(a) 簡易平差與嚴密平差之計算方式與差異性：

• 簡易平差 (Bowditch Method)：

  • 原理： 假設導線的閉合差（角度閉合差與座標閉合差）是各測段誤差的累計。將角度閉合差按測段數比例分配，將座標閉合差按測段長度比例分配。
  • 計算方式：
    1. 計算角度閉合差 $\Delta \alpha = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{obs,i} - \alpha_{adj}$，其中 $\alpha_{obs,i}$ 是觀測角度，$\alpha_{adj}$ 是正確總角度（如 180° 或 360°）。
    2. 將角度閉合差 $\Delta \alpha$ 按測段數平均分配給每一測角，即給第 $i$ 個測角改正 $\delta \alpha_i = -\frac{\Delta \alpha}{n}$。
    3. 計算各測段的方位角。
    4. 計算各測段的 $\Delta x = L \cos \theta$ 和 $\Delta y = L \sin \theta$，其中 $L$ 是邊長，$\theta$ 是方位角。
    5. 計算座標閉合差 $\Delta X = \sum \Delta x$ 和 $\Delta Y = \sum \Delta y$。
    6. 將座標閉合差按邊長比例分配給各測段的 $\Delta x$ 和 $\Delta y$。例如，第 $i$ 個測段的 $\Delta x$ 改正量為 $v_{x,i} = -\frac{L_i}{\sum L_j} \Delta X$。
    7. 計算改正後的 $\Delta x'$ 和 $\Delta y'$，並據以計算各測站的座標。
  • 差異性：
    • 權度假設： 簡易平差隱含假設所有測角和測邊的權度相等，或誤差與邊長成正比。
    • 數學基礎： 較為簡便，經驗法則，非嚴格的統計學原理。
    • 精度： 在誤差分佈較為均勻的情況下，效果尚可，但不如嚴密平差。
    • 適用性： 適用於精度要求不高的工程測量，或作為嚴密平差前的初步平差。

• 嚴密平差 (Least Squares Method)：

  • 原理： 根據最小二乘原理，使觀測量與平差值之間的殘差（誤差）的平方和最小。考慮到觀測值的精度（權度），權度大的觀測量受到的改正較小。
  • 計算方式：
    1. 建立導線的觀測方程式，將各測角和測邊觀測值表示為待求的未知數（如點座標）的函數。
    2. 寫出觀測值與待求參數之間的關係式，並考慮到誤差。
    3. 建立法方程 (Normal Equations)：$\mathbf{N} \mathbf{x} = \mathbf{W}$，其中 $\mathbf{N}$ 是係數矩陣，$\mathbf{x}$ 是待求參數的改正量，$\mathbf{W}$ 是常數項。
    4. 解法方程，求得參數的改正量 $\mathbf{x}$。
    5. 計算平差值，並可進一步計算中誤差、精度指標等。
  • 差異性：
    • 權度假設： 顯式考慮觀測值的權度，權度反映了觀測值的精度。
    • 數學基礎： 基於嚴格的統計學原理（最小二乘法）。

本題旨在考察學生對於兩種主要的衛星定位技術：PPP (Precise Point Positioning) 和 RTK (Real Time Kinematic) 的理解，包括它們的觀測計算原理及兩者之間的差異。

核心觀念：

1. 衛星定位測量： 利用衛星發射的信號（如 GPS、GLONASS、Galileo、BeiDou）來確定接收機在地球上的位置。
2. PPP (Precise Point Positioning)： 一種高精度單接收機定位技術，它利用全球參考站網路提供的精確衛星星曆和鐘差產品，結合接收機的觀測數據，來解算接收機的精確位置。
3. RTK (Real Time Kinematic)： 一種實時動態高精度定位技術，它通過在已知基準點上設置一個基準站，實時播發差分改正訊息給移動接收機，以消除或減小大氣延遲、衛星鐘差等誤差，從而實現厘米級的定位精度。

解題步驟：

(a) PPP (Precise Point Positioning) 定位原理：

• 觀測數據： PPP 主要利用單一接收機觀測到的偽距 (Pseudorange) 和載波相位 (Carrier Phase) 觀測值。
• 觀測方程：
  $P_i^j = \rho_i^j + c(dt_i - dCT^j) + T_i^j + \epsilon_{P_i^j}$
  $\lambda \phi_i^j = \rho_i^j + c(dt_i - dCT^j) + T_i^j + N_i^j + \epsilon_{\phi_i^j}$
  其中：
  • $P_i^j$：接收機 $i$ 觀測衛星 $j$ 的偽距。
  • $\phi_i^j$：接收機 $i$ 觀測衛星 $j$ 的載波相位（以週為單位）。
  • $\rho_i^j$：接收機 $i$ 與衛星 $j$ 之間的幾何距離。
  • $c$：光速。
  • $dt_i$：接收機 $i$ 的接收機鐘差。
  • $dCT^j$：衛星 $j$ 的衛星鐘差。
  • $T_i^j$：電離層延遲（PPP 需精密模型或觀測值進行改正）。
  • $N_i^j$：整週模糊度（載波相位觀測值需要解算）。
  • $\lambda$：載波波長。
  • $\epsilon$：觀測雜訊。
• 精密產品： PPP 的關鍵在於使用由專業分析中心（如 IGS）提供的精密星曆 (Precise Ephemeris) 和精密鐘差 (Precise Clock Corrections)。這些產品能夠極大地減小衛星軌道和鐘差誤差。
• 誤差改正： 除了衛星鐘差和軌道誤差，PPP 還需要精密模型來改正電離層延遲、對流層延遲，並處理接收機鐘差。
• 計算方法： 通常採用最小二乘法或濾波方法 (如卡爾曼濾波)，將接收機的鐘差、三維座標、對流層延遲參數、整週模糊度等作為待求參數進行解算。
• 定位精度： 經過一段時間的觀測（通常 30 分鐘到數小時），PPP 可以達到 10-20 cm 的平面精度和 20-30 cm 的高程精度（靜態定位）。

(b) RTK (Real Time Kinematic) 定位原理：

• 系統架構： RTK 系統包含一個基準站 (Base Station) 和一個或多個移動站 (Rover Station)。
• 基準站： 基準站安裝在已知座標的點上，觀測衛星信號，並計算其觀測值與真實座標之間的差分改正訊息。這些差分改正訊息包含對衛星鐘差、軌道誤差、電離層和對流層延遲的改正。
• 移動站： 移動站（即待定位的接收機）同時觀測衛星信號，並接收來自基準站的差分改正訊息。
• 觀測方程與改正：
  • 移動站接收到的衛星信號會受到與基準站近似相同的誤差影響（如電離層、對流層延遲）。
  • 基準站將其觀測到的誤差（相對已知點）打包成差分訊息，通過無線電或網路傳輸給移動站。
  • 移動站將這些差分改正訊息應用於自身的觀測值，以消除或減小大部分誤差。
  • RTK 的核心是利用載波相位觀測值和整週模糊度的實時解算。
• 計算方法：
  • 單差 (Single Difference)： 基準站和移動站對同一顆衛星進行觀測，消除衛星鐘差。
  • 雙差 (Double Difference)： 基準站和移動站對兩顆衛星進行觀測，消除衛星鐘差和接收機鐘差。
  • 整週模糊度固定： RTK 的關鍵在於快速、準確地固定載波相位的整週模糊度。一旦模糊度固定，便可以實現實時的厘米級定位。

本題主要考察學生對航空攝影測量生產 1:1000 地形圖的流程的掌握，以及對該流程自動化程度的評估。

核心觀念：

1. 地形圖： 表示地表高程、地物、地貌的圖紙，比例尺越大，表示的地理資訊越詳細。1:1000 地形圖屬於大比例尺地形圖，精度要求高。
2. 航空攝影測量： 利用航空攝影機從空中拍攝地表影像，然後通過立體測圖原理，從重疊影像中提取地形和地物資訊的測量方法。
3. 自動化程度： 指生產過程中，由電腦或自動化設備取代人工操作的程度。

解題步驟：

(a) 產製千分之一地形圖程序：

產製 1:1000 地形圖的航空攝影測量流程，通常包含以下幾個階段：

1. 規劃與設計階段：

   • 任務確定： 明確測繪區域、精度要求（1:1000 地形圖通常要求等高距為 1-2 米，高程精度等同於等高距的 1/2 或 1/3）。
   • 航線設計： 根據測繪區域的範圍、形狀、地形特徵，設計航線，確定飛行高度（決定地面解析度 GSD）、航向重疊率（通常 60-80%）和旁向重疊率（通常 20-30%）。
   • 地面控制點布設： 在航攝區域內布設足夠數量的地面控制點（Ground Control Points, GCPs）和驗證點。這些點需要有高精度的已知座標（通常由 GPS 等測量方法獲得）。控制點的密度和分佈對後續的定向和測圖精度至關重要。
   • 像片幾何品質檢查： 確保相機性能良好，像片清晰，無模糊、曝光不均等問題。

2. 外業航空攝影階段：

   • 飛行與拍攝： 按照設計的航線和重疊率，使用航空攝影機進行拍攝。
   • 實時 GPS/IMU 數據採集： 現代航空攝影系統常配備有 GPS 和慣性測量單元 (IMU)，記錄每張像片的相對姿態資訊（空間位置和姿態角），這稱為航空攝影測量外業量測 (OBIA) 或直接地理參考 (Direct Georeferencing)。

3. 內業數據處理階段：

   • 像片定向 (Orientation)：
     • 空中三角測量 (Aerial Triangulation, AT)： 這是核心步驟。利用地面控制點 (GCPs) 和像片間的同名點，通過像對的相對定向和整體約束（由 GCPs 提供），計算出每張像片的絕對相對定向參數（即像片的外方位元素：絕對位置 $X_0, Y_0, Z_0$ 和絕對姿態角 $\omega, \phi, \kappa$）。
     • 自動相對定向 (Auto Relative Orientation, ARO)： 利用自動匹配算法尋找像對間的同名點，並計算相對定向參數，以建立立體模型。
     • 空中三角測量（嚴密平差）： 使用嚴密平差方法，將所有像片、地面控制點、像間同名點的觀測值納入平差計算，求解所有像片的外方位元素，並進行精度評估。
   • 立體模型構建與數據採集 (Stereo Compilation)：
     • 數字高程模型 (DEM) / 數字地形模型 (DTM) 的生成：
       • 自動影像匹配 (Auto Image Matching, AIM)： 利用立體像對，通過自動影像匹配算法，在影像上密集提取同名點，生成大量的三維空間點（稱為密集匹配點雲）。
       • DSM (Digital Surface Model) 生成： 密集匹配點雲直接構建的表面模型，包含地物（如建築物、樹木）的高度。
       • DTM (Digital Terrain Model) 生成： 從 DSM 中通過點雲分類（識別和剔除地物點）和插值，生成純粹的地表高程模型。
     • 地物採集 (Feature Extraction)：

本題考察學生對空間資料坐標轉換的理解，重點在於兩種常見的轉換模型：四參數正形轉換和六參數仿射轉換的幾何意義、參數求解與檢驗，以及如何進行統計檢定以選擇合適的模型。

核心觀念：

1. 坐標系統轉換： 將同一地理空間中的點，從一個坐標系統轉換到另一個坐標系統。
2. 正形轉換 (Conformal Transformation)： 轉換後保持角度不變，局部尺度（比例因子）均勻。
3. 仿射轉換 (Affine Transformation)： 轉換後保持直線平行性不變，但角度和局部尺度可能發生變化。
4. 參數求解： 通過已知點的對應關係，建立方程組求解轉換參數。
5. 統計檢定： 評估不同轉換模型對數據的擬合程度，選擇最佳模型。

解題步驟：

(a) 四參數正形轉換與六參數仿射轉換的幾何意義：

• 四參數正形轉換 (Four-Parameter Conformal Transformation)：

  • 幾何意義： 這種轉換模型可以實現旋轉 (Rotation)、尺度縮放 (Scale) 和平移 (Translation)。它假設兩個坐標系統之間，局部區域的形狀（角度）保持不變，但整體會有一個統一的縮放比例。
  • 數學表達式：
    設 $(x, y)$ 為原坐標系統的坐標，$(x', y')$ 為目標坐標系統的坐標。
    $x' = a_0 + ax - by + y'$
    $y' = b_0 + bx + ay - x'$
    其中：
    • $a_0, b_0$：平移參數（X 和 Y 方向的位移）。
    • $a, b$：旋轉和尺度參數。通常寫成 $a = s \cos \theta$, $b = s \sin \theta$，其中 $s$ 是統一的尺度因子，$\theta$ 是旋轉角度。
    • $a_0 = x_{ref} - ax_{ref} + by_{ref}$
    • $b_0 = y_{ref} - bx_{ref} - ay_{ref}$
      （這裡的 $a_0, b_0$ 是以某個參考點 $(x_{ref}, y_{ref})$ 為基準的表達，更通用的表達是將 $a_0, b_0$ 作為獨立的平移參數）。
      更常見的表達為：
      $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cos \theta & -s \sin \theta \\ s \sin \theta & s \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix}$
      其中 $t_x, t_y$ 是平移參數。
  • 特性：
    • 保持角度不變。
    • 保持尺度比例均勻（尺度因子 $s$ 對所有方向都相同）。
    • 保持直線的平行性。
    • 需要至少 兩個點對（共 4 個對應關係）才能唯一確定參數。

• 六參數仿射轉換 (Six-Parameter Affine Transformation)：

  • 幾何意義： 這種轉換模型比四參數轉換更廣泛，它允許非均勻的尺度縮放 (Non-uniform Scaling)、剪切 (Shearing)、旋轉和平移。它保持直線的平行性，但局部區域的角度和尺度比例可能發生變化。
  • 數學表達式：
    $x' = a_0 + a_1 x + a_2 y$
    $y' = b_0 + b_1 x + b_2 y$
    其中：
    • $a_0, b_0$：平移參數。
    • $a_1, a_2, b_1, b_2$：尺度、旋轉、剪切參數。
      這六個參數可以分解為：
      $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \end{pmatrix}$
      矩陣 $\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}$ 可以進一步分解為尺度、旋轉和剪切的組合。例如，若 $a_1 = s_x \cos \theta$, $a_2 = -s_y \sin \theta$, $b_1 = s_x \sin \theta$, $b_2 = s_y \cos \theta$，則包含了沿 X 和 Y 方向不同的尺度縮放 $s_x, s_y$ 和旋轉 $\theta$。若 $a_1, b_2$ 和 $a_2, b_1$ 的關係不滿足正形條件，則會產生剪切變形。
  • 特性：
    • 保持直線的平行性。
    • 允許沿不同方向有不同的尺度縮放。
    • 允許剪切變形。
    • 角度和局部尺度會發生變化。
    • 需要至少 三個點對（共 6 個對應關係）才能唯一確定參數。

(b) 如何確保求解參數的正確性？

確保參數求解的正確性，主要通過以下幾個方面：

1. 足夠且分佈良好的對應點：
   • 數量： 至少需要滿足模型所需的最小點對數量（四參數需要 2 對，六參數需要 3 對）。