109 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

本題主要探討 GNSS（全球導航衛星系統）加密控制測量中的誤差來源、消除方法、平差計算的結果以及平差程序。

一、原始觀測量之誤差影響與消除

GNSS 觀測量主要包含衛星到接收機之間的距離（或偽距）以及載波相位觀測值。這些觀測值會受到以下幾大類誤差的影響：

1. 衛星端誤差：

   • 衛星軌道誤差 (Satellite Orbit Errors)： GNSS 衛星的實際軌道與播送的星曆（Ephemeris）可能存在差異。
     • 消除方法： 使用高精度的精密星曆（Precise Ephemeris）進行後處理，或透過區域性網路解算時，利用已知點進行約束。
   • 衛星鐘誤差 (Satellite Clock Errors)： 衛星的原子鐘會有微小漂移。
     • 消除方法： 接收機利用觀測資料中的衛星鐘差改正參數進行修正。精密星曆中也包含了衛星鐘差的精密資訊。

2. 傳播誤差：

   • 電離層延遲 (Ionospheric Delay)： 衛星訊號通過電離層時會產生延遲，且延遲量與訊號頻率的平方成反比。
     • 消除方法：
       • 雙頻接收機： 利用 L1 和 L2 頻段的觀測值，可以解算出電離層延遲量並進行消除。
       • 單頻接收機： 只能透過模型（如 Klobuchar 模型）進行估算和改正，精度較差。
       • 多頻接收機： 精度更高，可消除更高階的電離層效應。
   • 對流層延遲 (Tropospheric Delay)： 訊號通過對流層時也會產生延遲，與氣象條件（溫度、壓力、濕度）有關。
     • 消除方法： 使用標準大氣模型（如 Saastamoinen 或 Hopfield 模型）並結合實測或預報的氣象數據進行改正。也可透過解算參數的方式在平差中估算。

3. 接收機端誤差：

   • 接收機鐘誤差 (Receiver Clock Errors)： 接收機的石英鐘會產生時鐘誤差。
     • 消除方法： 在解算時，接收機鐘差是一個需要解算的未知參數，或是透過載波相位觀測值可以極大地減弱其影響。
   • 接收機雜訊 (Receiver Noise)： 接收機電子元件產生的隨機雜訊。
     • 消除方法： 透過長時間的觀測和平均，以及精密平差計算來降低隨機雜訊的影響。
   • 多路徑效應 (Multipath Effect)： 衛星訊號經由周圍物體反射後到達接收機，產生訊號延遲。
     • 消除方法： 選擇開闊的場地進行觀測，使用抗多路徑的天線，並透過接收機的濾波器和後處理軟體進行抑制。
   • 天線相位中心偏差 (Antenna Phase Center Variations)： 天線對不同入射角訊號的響應不同。
     • 消除方法： 使用經過標定的天線，並在其相位中心偏差模型進行改正。

4. 觀測操作誤差：

   • 接收機天線架設誤差 (Antenna Setup Errors)： 接收機天線架設不垂直或測量天線高（Height）時產生偏差。
     • 消除方法： 嚴格要求天線架設垂直，並仔細準確地測量天線高。
   • 操作人員錯誤： 記錄錯誤、儀器設定錯誤等。
     • 消除方法： 嚴格的作業規範、多人覆核、使用自動記錄設備。

二、最終測算結果與平差計算

GNSS 加密控制測量最終的測算結果通常是三維座標（X, Y, Z），或基於特定座標系統轉換後的平面座標（X, Y）和高程（H）。

平差計算的結果是經過平差的、最優的測量點座標。

三、平差計算程序

GNSS 加密控制測量的平差程序，通常採用最小二乘法 (Least Squares Method) 進行。其基本步驟如下：

1. 建立觀測模型：
   • 偽距觀測： 建立觀測偽距與待求座標（接收機位置、衛星位置、鐘差）之間的函數關係。
   • 載波相位觀測： 建立觀測載波相位差與待求座標、整數週波模糊度（Integer Ambiguity）之間的函數關係。加密控制測量通常依賴載波相位觀測來達到高精度，因此整數週波模糊度的固定是關鍵。

本題探討導線測量中兩種主要的平差方法：簡易平差與嚴密平差，比較其差異性、相關性，並詳述嚴密平差的觀測方程式、粗差偵測及精度檢核。

一、簡易平差 (Bowditch Method / Compass Rule) 與嚴密平差 (Least Squares Adjustment) 之差異性與相關性

1. 簡易平差 (Bowditch Method / Compass Rule)：

   • 基本原理： 假設所有觀測值（角度和距離）具有相同的相對精度，將閉合差（角度閉合差、座標閉合差）按比例或等量分配到各測段上，以消除閉合差。
   • 觀測方程式： 通常不顯式建立觀測方程式，而是直接在測段的測量值（如方位角、邊長）上進行修正。
   • 優點： 計算簡單，適用於精度要求不高的工程測量。
   • 缺點： 未考慮各觀測值本身的精度差異，理論上不如嚴密平差嚴謹。對於導線中的方向角、邊長等，其精度可能不同，此方法將其視為均勻。
   • 應用： 主要用於較小的、精度要求不高的導線網。

2. 嚴密平差 (Least Squares Adjustment)：

   • 基本原理： 以觀測值（角度、距離、座標等）的權為基礎，應用最小二乘原理，使觀測值與計算值之間的改正數（殘差）的平方和最小，從而求得最優的待定點座標和改正值。
   • 觀測方程式： 顯式建立觀測量與待定參數（點座標、方位角等）之間的函數關係。
   • 優點： 理論基礎紮實，能充分利用所有觀測值的信息，並能根據觀測值的精度賦予不同的權，得到最可靠的結果。同時，能提供嚴謹的誤差傳播分析和精度評定。
   • 缺點： 計算相對複雜，需要專業軟體輔助。
   • 應用： 適用於所有精度的導線網，特別是對精度要求高的控制測量。

3. 差異性總結：

   • 理論基礎： 簡易平差基於經驗法則，嚴密平差基於統計學的最小二乘原理。
   • 精度考慮： 簡易平差假設觀測值精度均勻；嚴密平差則能根據各觀測值的實際精度（權）進行加權。
   • 計算複雜度： 簡易平差簡單，嚴密平差複雜。
   • 結果可靠性： 嚴密平差結果更為可靠，且能提供詳細的精度資訊。

4. 相關性：

   • 目標一致： 兩者最終目的都是要解決導線網的閉合差問題，求得各點的最佳座標。
   • 簡易平差可視為嚴密平差的近似： 在某些特殊情況下（例如，所有觀測值精度極為接近），簡易平差的結果會與嚴密平差結果接近。嚴密平差是更為通用和精確的方法。

二、導線嚴密平差的基本觀測方程式

導線嚴密平差通常採用間接平差（Observation Equations Method），將導線的點座標和方位角作為待定參數。

假設導線由 $n+1$ 個點組成 (從點 0 到點 $n$)，測量了 $n$ 個邊長 $d_i$ 和 $n$ 個方向角（或內角）$\alpha_i$。

1. 待定參數：

   • 點的座標：$(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$。如果已知起點座標 $(x_0, y_0)$，則待定參數為 $2n$ 個。
   • 導線方位角：如果導線是開放的，則需要測量/計算每個邊的方位角。如果導線是閉合的，則方位角可以由座標推算。若以邊長和方向角（或內角）為觀測量，則待定參數還可能包含方位角。

2. 觀測方程式 (以測量邊長和方向角為例)：

   • 邊長觀測方程式：
     對於第 $i$ 段導線（從點 $i-1$ 到點 $i$），其觀測邊長為 $d_i$，真實邊長為 $d_{i,true}$。
     $d_{i,true} = \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2}$
     將其線性化（泰勒級數展開），並移項得到觀測方程式形式：
     $v_{d_i} = \frac{\partial d_{i,true}}{\partial x_{i-1}} v_{x_{i-1}} + \frac{\partial d_{i,true}}{\partial y_{i-1}} v_{y_{i-1}} + \frac{\partial d_{i,true}}{\partial x_i} v_{x_i} + \frac{\partial d_{i,true}}{\partial y_i} v_{y_i} + \frac{\partial d_{i,true}}{\partial d_i} d_i - d_i^{obs} = 0$
     其中 $v_{d_i}$ 是邊長觀測值的殘差，$v_{x_{i-1}}, v_{y_{i-1}}, v_{x_i}, v_{y_i}$ 是點座標的改正數。
     經過微分和整理，通常表示為：
     $\Delta d_i = \frac{x_i - x_{i-1}}{d_i} \Delta x_i + \frac{y_i - y_{i-1}}{d_i} \Delta y_i - \frac{x_i - x_{i-1}}{d_i} \Delta x_{i-1} - \frac{y_i - y_{i-1}}{d_i} \Delta y_{i-1} - (\text{觀測值} - \text{計算值})$
     或者更簡潔地寫成：
     $\Delta d_i = a_i \Delta x_i + b_i \Delta y_i + c_i \Delta x_{i-1} + d_i \Delta y_{i-1} + f_i = 0$
     其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是設計矩陣的係數，$\Delta x, \Delta y$ 是待求的座標改正數，$f_i$ 是觀測值與根據近似值計算出的值之間的差值。

   • 方位角（或方向角/內角）觀測方程式：
     對於第 $i$ 段導線，其觀測方位角為 $A_i$。真實方位角 $A_{i,true}$ 與點座標 $(x_{i-1}, y_{i-1})$ 和 $(x_i, y_i)$ 相關：
     $A_{i,true} = \operatorname{atan2}(x_i - x_{i-1}, y_i - y_{i-1})$
     線性化後得到觀測方程式：
     $v_{A_i} = \frac{\partial A_{i,true}}{\partial x_{i-1}} v_{x_{i-1}} + \frac{\partial A_{i,true}}{\partial y_{i-1}} v_{y_{i-1}} + \frac{\partial A_{i,true}}{\partial x_i} v_{x_i} + \frac{\partial A_{i,true}}{\partial y_i} v_{y_i} + A_{i,true}^{calc} - A_i^{obs} = 0$
     其中 $v_{A_i}$ 是方位角觀測值的殘差。
     經過微分和整理，通常表示為：

本題要求說明使用無人機（UAV）進行小範圍（矩形區域，約 700m x 600m）地形圖測繪的程序，目標比例尺為 1:1000。

無人機航空攝影測量（UAV Photogrammetry）進行 1:1000 地形圖測繪程序

此流程涵蓋了從任務規劃到成果交付的整個過程。

一、任務規劃與設計 (Mission Planning & Design)

1. 確定測繪目標與精度要求：

   • 比例尺：1:1000。
   • 精度要求：對於 1:1000 的地形圖，通常要求平面位置中誤差不超過 0.2mm * 比例尺 = 0.2mm * 1000 = 0.2 公尺（20 公分），高程中誤差不超過 0.1 公尺（10 公分）。這些數值需參考相關測繪規範。
   • 地形特徵：了解區域的地形起伏、植被覆蓋情況、建築物密集度等，以規劃航線和相機參數。

2. 區域勘查與現況分析：

   • 實地勘查欲測區域，了解 GPS 訊號狀況、有無禁飛區、地形障礙物（高樓、山丘）、植被影響等。
   • 繪製工作區域圖，標示測繪範圍、已知控制點位置（若有）。

3. 航線規劃 (Flight Planning)：

   • 飛行模式： 根據區域大小和地形，選擇自動飛行模式（如固定翼無人機）或手動/半自動模式（如多旋翼無人機）。對於 700m x 600m 的區域，多旋翼無人機較為常見且靈活。
   • 飛行區域與邊界： 設定無人機的飛行邊界，確保完全覆蓋目標區域。
   • 航高 (Altitude)： 根據目標比例尺和相機感光元件尺寸、鏡頭焦距，計算所需的航高。
     • 比例尺 $1:M = \frac{GSD}{h}$，其中 $GSD$ (Ground Sampling Distance) 是地面解析度，$h$ 是航高。
     • 對於 1:1000 地形圖，通常要求 GSD 在 5-10 cm 之間。若要求 GSD=5cm，相機像素尺寸為 $p$ (μm)，焦距為 $f$ (mm)，則 $h = \frac{GSD \times f}{p} = \frac{50 \text{mm} \times f}{p}$。
     • 例如，若相機為 1 吋感光元件，像素 3.45μm，鏡頭 25mm 焦距，則 $h \approx \frac{50 \times 25}{3.45} \approx 362$ 公尺。
   • 航向重疊率 (Overlap)：
     • 旁向重疊率 (Side Overlap)： 相鄰航帶之間的重疊率，通常為 60-75%。
     • 順向重疊率 (Forward Overlap)： 同一航線上相鄰照片之間的重疊率，通常為 70-80%。
     • 高重疊率有利於立體測量和密集點雲生成，對於 1:1000 地形圖，建議採用較高的重疊率。
   • 航線設計： 規劃無人機飛行的路徑，確保影像之間有足夠的重疊，並涵蓋整個區域。對於矩形區域，通常規劃為平行航線。

4. 相機參數設定：

   • 曝光參數： 根據光照條件設定 ISO、快門速度、光圈，確保影像清晰，無模糊。
   • 影像格式： RAW 格式可保留更多細節，便於後續處理。
   • 影像解析度： 選擇能滿足 GSD 要求的解析度。

5. 地面控制點 (Ground Control Points, GCPs) 的設置與測量：

   • 目的： 為影像定向和模型地理配準提供已知座標，確保測繪成果的絕對精度。
   • 數量與分佈： 在測繪區域的邊緣和內部均勻佈置 GCPs，數量根據區域大小和精度要求而定（通常每個航帶至少有 2-3 個 GCPs）。對於 700m x 600m 的區域，可能需要 8-12 個或更多。
   • 標識： GCPs 應使用明顯的標記，易於在影像中識別。
   • 測量： 使用高精度 GNSS RTK/PPK 或全站儀等方法，精確測量 GCPs 的三維座標。

6. 飛行前檢查：

   • 檢查無人機、電池、遙控器、相機、GPS 模組等設備是否正常。
   • 確認飛行計劃已正確載入。
   • 檢查天氣狀況（風力、能見度、降雨等）。

二、無人機飛行與數據採集 (Flight Operation & Data Acquisition)

1. 執行飛行任務： 按照預定的航線和參數，自動或手動操控無人機進行飛行和影像採集。

本題探討如何在效率與精度之間取得平衡，測量並計算六個位於同一直線上且相互通視的點。

核心觀念：

• 效率： 指測量過程所需的時間、人力和儀器。
• 精度： 指計算出的點位與真實點位之間的符合程度。
• 相互通視： 表示這些點位於一條直線上，且中間沒有遮擋物，可以直接進行視線觀測。

測量與計算策略：

由於六個點相互通視且位於同一直線上，這提供了簡化測量和提高效率的機會。最有效率的方式是利用導線測量與導線平差的原理，但針對此特殊情況進行優化。

步驟與說明：

1. 選擇基準點與基準方向：

   • 選擇基準點： 在六個點中，選擇其中一個點作為基準點（例如，最左側或最右側的點），假設其座標已知或被定義為原點。
   • 確定基準方向： 選擇這六個點所在直線的方向作為基準方向。這可以透過以下方式之一確定：
     • 方法一（最直接，最推薦）： 一次性導線測量
       • 選擇其中一個點（例如，點 1）作為起始點，其座標可設為 $(0,0)$。
       • 從點 1 開始，依次測量點 1 到點 2 的距離 $d_{12}$、點 2 到點 3 的距離 $d_{23}$，依此類推，直到點 5 到點 6 的距離 $d_{56}$。
       • 同時，在點 2、3、4、5 上，利用儀器（如全站儀）確認後方的點（如點 1）和前方的點（如點 3）是否在同一條直線上。由於題目已說明「相互通視」且「位於同一直線」，這意味著在點 2 處，視線同時通過點 1 和點 3；在點 3 處，視線同時通過點 2 和點 4，以此類推。
       • 效率考量： 這種方法只需要測量六個點之間的六段距離，並進行簡單的直線驗證。
     • 方法二（利用全站儀的測設功能）：
       • 在其中一個點（例如，點 1）架設全站儀，對準另一個點（例如，點 2），設定為基準方向。
       • 利用全站儀的測設功能（如測設點或導線），在點 1 處，根據已測量的邊長 $d_{12}$，直接測設點 2 的位置。
       • 然後，在點 2 處，利用全站儀，將後方的點 1 和前方的點 3 瞄準在同一條直線上（這實際上是驗證，因為題目已給定條件）。
       • 再測量點 2 到點 3 的距離 $d_{23}$，並在點 2 處，利用測設功能，或直接利用後方點 1 和已知方向，來確定點 3 的位置。
       • 重複此過程，依次測設點 4, 5, 6。

2. 測量邊長：

   • 使用高精度測距儀（如全站儀）測量相鄰點之間的距離。
   • 精度要求： 為了確保「確實位於同一直線上」，需要對邊長測量給予足夠的精度。測量多次（如往返測）取平均值，或使用精度較高的測距儀。
   • 同時驗證直線性： 在測量邊長的同時，在每個中間點（點 2, 3, 4, 5）進行簡單的直線驗證：
     • 在點 2 架設儀器，先瞄準點 1，然後旋轉儀器（若有測距功能，則在點 1 處設置反射鏡），再瞄準點 3。由於相互通視，理論上可以一次完成。
     • 更精確的驗證方式是：在點 2 架設儀器，先測量點 1 的方向和距離，然後再測量點 3 的方向和距離。如果點 1、2、3 在同一條直線上，則從點 2 測量點 1 的方位角，與從點 2 測量點 3 的方位角應該相差 0 度或 180 度（取決於定義）。

3. 計算與平差：

   • 方法一（一次性導線平差）：
     • 將點 1 設為已知點（如 $(0,0)$），並定義點 1 到點 2 的直線方向為基準方位角（如 0 度或 90 度）。
     • 利用測量到的六段邊長 $d_{12}, d_{23}, ..., d_{56}$，根據基準方位角，可以依次計算出所有點的座標：
       • $x_2 = x_1 + d_{12} \cos(\theta_1)$
       • $y_2 = y_1 + d_{12} \sin(\theta_1)$
       • 其中 $\theta_1$ 是從點 1 到點 2 的方位角。
     • 平差處理： 由於只有六個點和六段邊長，且方向已知（在同一直線上），這本身就是一個非常簡單的導線。理論上，如果測量精度足夠，且方向確實為直線，則可以直接計算。

核心觀念

梯形面積為

$$S=\frac{AD+BC}{2}\,h$$

其中高由 $AB$ 與底邊 $BC$ 的夾角求得：

$$h=AB\sin\angle ABC$$

因此

$$S=\frac{AD+BC}{2}\,AB\sin\angle ABC$$

面積中誤差則使用誤差傳播公式：

$$m_S^2=\left(\frac{\partial S}{\partial AD}m_{AD}\right)^2+ \left(\frac{\partial S}{\partial BC}m_{BC}\right)^2+ \left(\frac{\partial S}{\partial AB}m_{AB}\right)^2+ \left(\frac{\partial S}{\partial B}m_B\right)^2$$

其中角度中誤差必須以弧度表示。

解題方法

設

$$a=AD=9.00\text{ m},\quad b=BC=11.00\text{ m}$$ $$c=AB=10.00\text{ m},\quad B=60^\circ$$

梯形高為

$$h=c\sin B=10\sin60^\circ=5\sqrt3\text{ m}$$

故面積

$$S=\frac{9+11}{2}\times 5\sqrt3 =50\sqrt3 =86.60\text{ m}^2$$

面積中誤差

面積函數為

$$S=\frac{a+b}{2}c\sin B$$

各偏微分為

$$\frac{\partial S}{\partial a} =\frac{\partial S}{\partial b} =\frac{c\sin B}{2} =5\sin60^\circ =4.3301$$