114 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

本題主要在於測量學中兩種基本的測量方法：光線法（Resection）與自由站法（Free Stationing）的原理、操作步驟、優缺點比較。

一、光線法 (Resection)

• 原理： 光線法是已知點後方交會的一種方法。當儀器架設在一個未知點（待定點）上，但已知周遭至少三個（或以上）已知點的坐標時，透過觀測這些已知點的方位角和（或）距離，利用後方交會的原理，可以計算出儀器架設點的坐標。
• 測量方式：
  1. 在未知點架設經緯儀或全測站儀。
  2. 選擇至少三個（或以上）已知坐標的控制點（例如 A, B, C）。
  3. 對每一個已知點，量測儀器架設點指向該已知點的水平角和（或）斜距。
  4. 利用後方交會的數學模型（例如以角度量測為主時，可用三邊形關係；以距離量測為主時，可用圓與圓交會；或以角度與距離混合時，可用迭代法或最小二乘法求解）計算出儀器架設點的坐標。
• 優點：
  • 對於已知點較少（但至少三個）且儀器架設點位置不明的情況，是一種有效的定位方法。
  • 當已知點分佈較廣時，可以獲得較好的精度。
• 缺點：
  • 需要至少三個已知點。
  • 儀器架設點必須在已知點所形成的範圍內部，否則精度會急劇下降（儀器架設點在已知點形成的三角形內部，稱為前方交會；在外部，稱為後方交會）。
  • 若觀測的已知點接近共線，則精度會嚴重受影響。
  • 若僅使用角度觀測，則可能需要反覆觀測以提高精度。

二、自由站法 (Free Stationing)

• 原理： 自由站法是全測站儀（Total Station）的關鍵技術之一，它允許儀器架設在一個未知點上，但無需預先知道該未知點的坐標。透過量測周遭至少三個（或以上）已知點的方位角和距離，全測站儀內建的程式可以自動計算出儀器架設點的坐標。
• 測量方式：
  1. 在未知點架設全測站儀，進行儀器高和棱鏡高的量測。
  2. 選擇至少三個（或以上）已知坐標的控制點（例如 A, B, C）。
  3. 將儀器指向每一個已知點，輸入該已知點的坐標，並量測水平角、垂直角（或天頂角）及斜距。
  4. 儀器內建軟體會自動進行計算（通常是基於最小二乘法或類似的迭代算法），解算出儀器架設點的坐標。
• 優點：
  • 無需預先知道儀器架設點的坐標，架設靈活性高。
  • 操作簡便，儀器自動計算，減少人為計算錯誤。
  • 精度通常較高，尤其當有足夠多的已知點和較好的幾何分佈時。
  • 可以同時進行角度和距離的量測，提供更穩定的解算。
• 缺點：
  • 需要全測站儀設備和相應的軟體支援。

本題主要探討地面測量中，量測兩點間高差（高程差）的方法、儀器、計算、優缺點與注意事項。

一、方法與儀器

量測兩點間高差主要有兩種方法：水準測量 (Leveling) 和 視距測量 (Stadia Measurement)。

1. 水準測量

• 原理： 利用水平儀產生的水平視線，配合水準尺（標尺）讀數，直接量測兩點間的垂直距離（高差）。
• 儀器：
  • 水準儀 (Level)： 現代多為自動安平水準儀 (Self-leveling level)，內建補償器，儀器自動維持水平。傳統的有定水平水準儀 (Dumpy level)。
  • 水準尺 (Leveling Rod/Staff)： 通常為伸縮式，上面有刻度，用於讀取高程。
  • 尺墊 (Footplate/Station mark)： 放置水準尺的地面，確保水準尺放置穩定。
• 測量方式：
  • 直接水準測量 (Direct Leveling)： 適用於儀器架設點與目標點距離較近，且中間無顯著障礙物的情況。
    1. 在兩點之間架設水準儀。
    2. 將水準尺立於一點（如 A），讀取後視讀數 (backsight, $b$)。
    3. 將水準尺立於另一個點（如 B），讀取前視讀數 (foresight, $f$)。
    4. 若 A 點高程為 $H_A$，則 B 點高程 $H_B = H_A + b - f$。
  • 往返水準測量 (Differential Leveling)： 適用於兩點距離較遠，或中間有高差較大障礙物的情況，需在中間設置若干測站。
    1. 在中間適當位置架設水準儀。
    2. 在起始點 A 立水準尺，讀取後視讀數 $b_1$。
    3. 在中間樁（或點）立水準尺，讀取前視讀數 $f_1$。
    4. 移動水準儀至下一站，在中間樁讀取後視讀數 $b_2$，在目標點 B 讀取前視讀數 $f_2$。
    5. 各測站高差為 $h_i = b_i - f_i$。
    6. 總高差 $H_{AB} = \sum h_i = \sum b_i - \sum f_i$。
    7. 若 A 點高程為 $H_A$，則 B 點高程 $H_B = H_A + H_{AB}$。

2. 視距測量 (Stadia Measurement)

• 原理： 利用經緯儀或全測站儀的視距絲（或稱分劃絲），配合已知的水準常數 ($k$) 和視距常數 ($c$)，量測水平視距 (Horizontal distance) 和垂直視距（或天頂角），藉由三角函數關係計算兩點間的高差。
• 儀器：
  • 經緯儀 (Theodolite) 或 全測站儀 (Total Station)： 必須具備視距測量功能，或能量測水平角、垂直角（天頂角）及斜距。
  • 棱鏡 (Prism) 或 反射鏡 (Reflector)： 置於目標點，供全測站儀使用。
• 測量方式：
  1. 在已知點（或中間點）架設儀器，量測儀器高 ($i$)。
  2. 在目標點（或中間點）放置棱鏡，量測棱鏡高 ($e$)。
  3. 量測儀器指向目標點的水平角 ($\alpha$)、垂直角 ($\beta$) 或天頂角 ($\gamma$)，以及斜距 ($S$)。
  4. 計算高差：
     • 若使用天頂角 ($\gamma$)：高差 $h = S \cos \gamma$。
     • 若使用垂直角 ($\beta$)：高差 $h = S \sin \beta$。
     • 若使用視距絲 (stadia hairs)，假設儀器架設點為 P，目標點為 Q，儀器高 $i$，棱鏡高 $e$。

本題主要考察平面直角座標系統間的六參數轉換模型，包含參數的幾何意義、座標轉換計算，以及誤差傳播計算。

一、六參數轉換模型的幾何意義

六參數轉換模型（也稱為相似轉換，Similarity Transformation）用於描述兩個二維平面直角座標系統之間的相對關係。它包含平移、旋轉和尺度變換。

轉換公式為：
$X = ax + by + T_x$
$Y = cx + dy + T_y$

其中：

• $(x, y)$ 是原始座標系統的點座標。

• $(X, Y)$ 是轉換後的新座標系統的點座標。

• $T_x, T_y$ 是平移參數 (Translation Parameters)：表示新座標系統的原點 $(0,0)$ 相對於舊座標系統的 $(T_x, T_y)$ 位置。或者說，舊座標系統的點 $(0,0)$ 在新座標系統下的座標是 $(-T_x, -T_y)$。

• $a, b, c, d$ 四個參數組合了尺度變換 (Scale Transformation) 和旋轉變換 (Rotation Transformation)。

  • 在標準的六參數相似轉換中，尺度因子 $s$ 和旋轉角度 $\theta$ 的關係是：
    $a = s \cos \theta$
    $b = s \sin \theta$
    $c = -s \sin \theta$
    $d = s \cos \theta$
  • 尺度因子 $s$： 代表兩個座標系統之間的尺度比例。如果 $s=1$，則沒有尺度變換；如果 $s>1$，新座標系統的尺度較大；如果 $s<1$，新座標系統的尺度較小。
  • 旋轉角度 $\theta$： 代表新座標系統相對於舊座標系統的旋轉角度。通常是逆時針旋轉。

  從給定的參數 $a, b, c, d$ 可以計算出尺度因子 $s$ 和旋轉角度 $\theta$：
  $s = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2 + d^2}$
  $\tan \theta = b/a$ （或 $c/d$）

  在本題中，給定的參數 $a, b, c, d$ 滿足 $a \approx d$ 且 $b \approx -c$，這表明尺度因子 $s$ 非常接近 1，即尺度變換很小，主要以旋轉為主。

  • $a = 0.9201324$, $b = 0.3917519$
  • $c = -0.3917542$, $d = 0.9201123$
  • $s = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(0.9201324)^2 + (0.3917519)^2} \approx \sqrt{0.846643 + 0.153469} \approx \sqrt{1.000112} \approx 1.000056$
  • $\theta = \arctan(b/a) = \arctan(0.3917519 / 0.9201324) \approx \arctan(0.42575) \approx 23.04^\circ$
  • 或者 $\theta = \arctan(c/d) = \arctan(-0.3917542 / 0.9201123) \approx \arctan(-0.42577) \approx -23.04^\circ$
  • 由於 $a, d$ 為正， $b$ 為正，$c$ 為負，這表示旋轉角度 $\theta$ 應落在第一象限。若 $a = s \cos \theta, b = s \sin \theta$，則 $\theta \approx 23.04^\circ$。
  • 因此，這個六參數轉換模型主要包含了約 $23.04^\circ$ 的旋轉和微小的尺度變換（因子約為 1.000056），以及 $T_x = -0.015$ mm 和 $T_y = 0.028$ mm 的平移。

二、計算 $P$ 點的 $(X_p, Y_p)$ 坐標

給定：
$x_p = -102.284$ mm
$y_p = -46.885$ mm
$a = 0.9201324$
$b = 0.3917519$
$c = -0.3917542$
$d = 0.9201123$
$T_x = -0.015$ mm
$T_y = 0.028$ mm

代入轉換公式：
$X_p = ax_p + by_p + T_x$
$X_p = (0.9201324)(-102.284) + (0.3917519)(-46.885) + (-0.015)$
$X_p = -94.1211656 - 18.3779995 - 0.015$
$X_p = -112.5141651$ mm

$Y_p = cx_p + dy_p + T_y$
$Y_p = (-0.3917542)(-102.284) + (0.9201123)(-46.885) + (0.028)$
$Y_p = 40.0562575 - 43.1412984 + 0.028$
$Y_p = -3.0569409$ mm

四捨五入至小数点后三位（與原始點座標精度相當）：
$X_p \approx -112.514$ mm
$Y_p \approx -3.057$ mm

三、計算 $P$ 點的其中誤差 ($\sigma_{X_p}, \sigma_{Y_p}$)

我們需要使用誤差傳播定律 (Law of Propagation of Errors)。
給定參數的誤差（標準差）如下：
$\sigma_a = 0.0000132$
$\sigma_b = 0.0000134$
$\sigma_c = 0.0000126$
$\sigma_d = 0.0000123$
$\sigma_{T_x} = 0.001$
$\sigma_{T_y} = 0.001$

並且題目假設轉換參數之間為零相關 (zero correlation)。
我們也需要考慮觀測點 $(x_p, y_p)$ 的誤差，但題目中未給出，通常在這種情況下，我們假設點的觀測誤差很小，或者將其納入總體誤差計算。但如果題目沒有給出點的誤差，則我們只考慮參數的誤差傳播。

誤差傳播定律：
若 $F = f(p_1, p_2, ..., p_n)$，其中 $p_i$ 是相互獨立的隨機變量，其均值為 $\mu_i$ 且標準差為 $\sigma_{p_i}$。則 $F$ 的方差 $\sigma_F^2$ 為：
$\sigma_F^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial p_i} \right)^2 \sigma_{p_i}^2$

計算 $\sigma_{X_p}^2$：
$X_p = ax_p + by_p + T_x$
$\frac{\partial X_p}{\partial a} = x_p$
$\frac{\partial X_p}{\partial b} = y_p$
$\frac{\partial X_p}{\partial T_x} = 1$
$\frac{\partial X_p}{\partial x_p} = a$ (如果考慮點的誤差)
$\frac{\partial X_p}{\partial y_p} = b$ (如果考慮點的誤差)

假設我們只考慮參數的誤差傳播：
$\sigma_{X_p}^2 = \left( \frac{\partial X_p}{\partial a} \right)^2 \sigma_a^2 + \left( \frac{\partial X_p}{\partial b} \right)^2 \sigma_b^2 + \left( \frac{\partial X_p}{\partial T_x} \right)^2 \sigma_{T_x}^2$
$\sigma_{X_p}^2 = (x_p)^2 \sigma_a^2 + (y_p)^2 \sigma_b^2 + (1)^2 \sigma_{T_x}^2$

核心觀念

本題考查：

1. 利用坐標差判定邊長、方向與垂直關係。
2. 利用多邊形坐標面積公式計算宗地面積。
3. 利用分割後面積條件，求分割點 $Q$ 在邊界 $AD$ 上的位置。
4. 題代表列坐標至公厘，末位存在四捨五入誤差，因此幾何判定應視為測量坐標之合理精度。

一、宗地形狀與矩形證明

各邊坐標差如下：

由坐標可知：

• $AB$ 與 $CD$ 方向相反且長度約相等；
• $BC$ 與 $AD$ 方向相反且長度約相等；
• $AB$ 的方向斜率約為 $-1$，$BC$ 的方向斜率約為 $1$，兩者互相垂直。

因此，$ABCD$ 為平行四邊形，且具有一個直角，故可判定為矩形。

其形狀為一個旋轉約 $45^\circ$ 的矩形，頂點依序為：

二、宗地面積

採用坐標法：

代入四點坐標，或將 $A$ 設為相對坐標原點，可得：