113 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

本題主要在測試考生對於高程系統基本概念的理解。

(1) 大地水準面 (Geoid):
大地水準面是指一個與平均海平面重合，且不受潮汐、洋流影響的假設性自由水面，並在地球重力作用下延伸至陸地的假想曲面。它是一個重力等位面，代表著地球的平均海平面。大地水準面是定義大地高程的基準面。

(2) 正高 (Orthometric Height):
正高是指從大地水準面起，沿著鉛垂線（重力線）到地面點的距離。在實際測量中，正高通常是透過水準測量（如精密水準測量）來獲得的，它代表了點相對於平均海平面的高度。正高的計算需要考慮大地水準面的起伏。

本題主要考驗水準測量中，多路線觀測求得同一點高程時，如何進行最或是值計算與其標準誤差的推算。

核心觀念：
當有多個獨立觀測值來決定同一個未知數時，最或是值是各觀測值以其權數為依據的加權平均值。標準誤差則是反映最或是值精度的指標。

解題步驟：

首先，我們需要確定各觀測值之間的權數。在水準測量中，權數通常與觀測值的精度成反比，而精度又與觀測的距離（水準線長度）有關。一般而言，相同精度的儀器和方法下，觀測距離越長，精度越低，權數越小。若假設各路線的單位長度測量中誤差相同，則權數與路線長度成反比。

令 $w_i$ 為測線 $i$ 的權數，$L_i$ 為測線 $i$ 的長度。則 $w_i \propto \frac{1}{L_i}$。
我們取 $L_2$ 為基準，其長度為 1 KM，設其權數為 $w_2 = 1$。
則 $w_1 = \frac{L_2}{L_1} w_2 = \frac{1}{2} \times 1 = 0.5$。
$w_3 = \frac{L_2}{L_3} w_2 = \frac{1}{2} \times 1 = 0.5$。

計算各路線的 $H_B$ 值：
$H_{B,1} = H_A + \Delta h_{L1} = 100.000 + 9.990 = 109.990$ m
$H_{B,2} = H_A + \Delta h_{L2} = 100.000 + 10.000 = 110.000$ m
$H_{B,3} = H_A + \Delta h_{L3} = 100.000 + 10.015 = 110.015$ m

(1) 求 $B$ 點高程 $H_B$ 的最或是值：
最或是值 $\hat{H}_B$ 為各觀測值乘以其權數的加權平均值：
$\hat{H}_B = \frac{\sum w_i H_{B,i}}{\sum w_i}$
$\hat{H}_B = \frac{w_1 H_{B,1} + w_2 H_{B,2} + w_3 H_{B,3}}{w_1 + w_2 + w_3}$
$\hat{H}_B = \frac{0.5 \times 109.990 + 1 \times 110.000 + 0.5 \times 110.015}{0.5 + 1 + 0.5}$
$\hat{H}_B = \frac{54.995 + 110.000 + 55.0075}{2}$
$\hat{H}_B = \frac{220.0025}{2} = 110.00125 \text{ m}$

(2) 求該最或是值之標準誤差：
首先，我們需要計算各觀測值的殘差 (residuals) $v_i = H_{B,i} - \hat{H}_B$。

本題主要在探討全球導航衛星系統 (GNSS) 中，訊號傳播過程中可能產生的誤差及其原因。

核心觀念：
GNSS 的定位原理是透過接收衛星發射的訊號，利用訊號傳播時間計算接收機與衛星之間的距離（偽距離），再透過多顆衛星的距離進行三維座標解算。訊號在傳播過程中，會受到地球大氣層、接收機本身、衛星軌道等因素的影響，進而產生誤差。本題聚焦於「訊號傳播」相關的誤差。

訊號傳播誤差主要來自於：

1. 電離層延遲 (Ionospheric Delay)：

   • 原因：電離層是地球高層大氣中的一個區域，其中含有自由電子和離子。GNSS 訊號（特別是 L 波段的訊號）在穿過電離層時，會受到自由電子濃度的影響而產生折射，導致訊號傳播速度減慢，傳播時間增加，進而影響偽距離的量測。
   • 影響：電離層延遲的影響程度與訊號頻率的平方成反比。單頻接收機受此影響較大，而雙頻接收機可以透過觀測不同頻率的訊號，消除或減弱電離層的影響。電離層的電子含量會隨時間（日夜變化、太陽活動週期）和地理位置而變化，因此電離層延遲的誤差也具有時空變異性。

2. 對流層延遲 (Tropospheric Delay)：

   • 原因：對流層是地球大氣層中最低的一層，包含水蒸氣、氮氣、氧氣等氣體。訊號在穿過對流層時，會因為氣體密度和濕度的變化而產生折射，導致訊號傳播速度減慢，傳播時間增加。

核心觀念

本題考查全站儀三維定位：

1. 由斜距與垂直角求水平距離及高程差：
   $D= S\cos V,\qquad \Delta h=S\sin V$
2. 由 $A、B$ 已知平面坐標及 $PA、PB$ 的水平距離，作平面後方交會。
3. 儀器高必須納入高程計算。
4. 圖示的 $\gamma$ 為外角，因此 $P$ 點內角為：
   $\theta=180^\circ-\gamma=102^\circ11'52''$

解題方法

一、計算 $A、B$ 至 $P$ 的水平距離

對 $A$ 點：

$$D_{PA}=PA\cos V_1 =667.413\cos24^\circ33'42'' \approx607.021\text{ m}$$

對 $B$ 點：

$$D_{PB}=PB\cos V_2 =612.354\cos26^\circ35'08'' \approx547.609\text{ m}$$

二、計算 $P$ 點高程

$P$ 點儀器視準軸高程為 $H_P+h_{ip}$，而 $A、B$ 點的目標高程分別為 $z_A+h_{rA}$、$z_B+h_{rB}$。

由 $A$ 點觀測：

$$H_P+h_{ip} =z_A+h_{rA}-PA\sin V_1$$ $$H_P =432.173+1.743-667.413\sin24^\circ33'42''-1.685$$ $$H_P\approx154.805\text{ m}$$

由 $B$ 點觀測：

$$H_P =428.795+1.743-612.354\sin26^\circ35'08''-1.685$$ $$H_P\approx154.802\text{ m}$$

兩者相差約 $0.003\text{ m}$，屬於四捨五入誤差，因此取：

$$\boxed{z_P\approx154.804\text{ m}}$$

三、由平面坐標求 $P$ 點位置

$A、B$ 的平面坐標差為：

$$\Delta x=x_B-x_A=808.763\text{ m}$$ $$\Delta y=y_B-y_A=393.346\text{ m}$$