110 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

核心觀念

將未知的三段距離設為 $x_1=AB$、$x_2=BC$、$x_3=CD$，再依各觀測量代表的距離寫成觀測方程。等權觀測的間接觀測平差以最小平方法求未知數：

$$\hat{\boldsymbol{x}}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\boldsymbol{l}$$

平差後的 $AD=x_1+x_2+x_3$。其標準誤由協方差矩陣計算：

$$m_{AD}=s_0\sqrt{\boldsymbol{c}^{T}(A^{T}A)^{-1}\boldsymbol{c}}$$

其中 $\boldsymbol{c}=(1,1,1)^T$，$s_0$ 為單位權標準誤。

解題方法與計算

依圖中各距離的起訖點，六個觀測方程為：

$$\begin{aligned} x_1&=l_1\\ x_1+x_2&=l_2\\ x_1+x_2+x_3&=l_3\\ x_3&=l_4\\ x_2+x_3&=l_5\\ x_1+x_2+x_3&=l_6 \end{aligned}$$

因此：

$$A= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1\\ 0&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&1 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{l}= \begin{bmatrix} 100.01\\200.00\\300.02\\99.94\\200.02\\398.98 \end{bmatrix}$$

各觀測等權，故權矩陣可取單位矩陣。計算得：

$$A^TA= \begin{bmatrix} 4&3&2\\ 3&4&3\\ 2&3&4 \end{bmatrix}, \qquad A^T\boldsymbol{l}= \begin{bmatrix} 999.01\\1099.02\\998.96 \end{bmatrix}$$

核心觀念

本題測驗工程測量中水準儀（Level）之構造軸線定義、軸線幾何條件關係，以及儀器檢驗與校正程序。
水準測量係利用水平視線測定地面兩點間高程差。為確保觀測時視線處於精確水平狀態，且儀器旋轉時不破壞水平性，水準儀的各主要軸線之間必須維持嚴格的幾何正交或平行條件。本題重點包含：

1. 水準儀四條主要軸線之定義：垂直軸（$VV$）、視準軸（$CC$）、水準管軸（$LL$，自動水準儀則對應補償器作用後之水平視線）、圓水準器軸（$L'L'$）。
2. 三項核心幾何條件及其滿足順序之物理意義。
3. 對應之檢驗原理：反轉法（檢驗垂直與旋轉對稱性）、平移法（檢驗十字絲橫絲水平性）、釘樁法（Peg Test，檢驗視準軸誤差 $c$）。

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解題方法

解答申論題時，宜採「先名詞定義與圖解、次列幾何條件、再述檢驗步驟」的三段式結構：

1. 定軸線：定義水準儀的四大主要軸線與十字絲橫絲。
2. 繪幾何關係圖：以示意圖標明垂直軸、視準軸、水準管軸、圓水準器軸的相對幾何位置（正交或平行）。
3. 依序說明檢驗方法：檢校順序不可顛倒（前項校正不得影響後項，若後項校正會破壞前項則須重新校正），依序說明：
   • 圓水準器軸平行垂直軸（或水準管軸垂直於垂直軸）；
   • 十字絲橫絲垂直於垂直軸（呈水平）；
   • 視準軸平行於水準管軸（釘樁法 / Peg Test）。

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詳細解析與圖解說明

一、水準儀之主要軸線定義

1. 垂直軸（Vertical Axis, $VV$）：儀器本體繞基座旋轉的旋轉中軸。
2. 水準管軸（Axis of Plate Level Tube, $LL$）：管狀水準器內壁縱向圓弧最高點之切線。
3. 圓水準器軸（Axis of Circular Level, $L'L'$）：通過圓水準器內球面上頂點的法線。
4. 視準軸（Line of Collimation, $CC$）：望遠鏡物鏡光心與十字絲交點（十字絲中心）的連線。
5. 十字絲橫絲（Horizontal Crosshair）：十字絲環上之水平細絲。

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二、各軸幾何關係示意圖

水準儀正常工作時，各軸線之幾何關係如下圖所示：

               視準軸 (CC) ── 水平視線
        ─────────────────────────── [物鏡]
                   │           │
   圓水準器軸      │   水準管軸│(LL)
     (L'L')        │   ────────┼────────
       │           │           │
       │           │ 垂直軸    │
       │           │  (VV)     │
       │           │   │       │
       ▼           │   ▼       │
   ┌───────┐       │ ┌───┐     │
   │ 圓水準│       │ │基 │     │
   └───┬───┘       │ │座 │     │
       │           │ └───┘     │
                   ▼

幾何關係摘要：

• $L'L' \parallel VV$（圓水準器軸平行垂直軸）
• $LL \perp VV$（水準管軸垂直於垂直軸）
• 十字絲橫絲 $\perp VV$（十字絲橫絲垂直於垂直軸，即水平）
• $CC \parallel LL$（視準軸平行於水準管軸；自動水準儀則為補償後 $CC \perp VV$）

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三、各軸應滿足的幾何條件及檢驗方法

條件一：圓水準器軸應平行於垂直軸（$L'L' \parallel VV$）或水準管軸應垂直於垂直軸（$LL \perp VV$）

• 幾何要求：當垂直軸豎直時，氣泡必須居中；儀器旋轉任意角度，氣泡均不偏離。
• 檢驗方法（反轉法）：
  1. 安置水準儀，轉動腳螺旋使氣泡精確居中。
  2. 將望遠鏡（或照準部）繞垂直軸平旋 $180^\circ$。
  3. 觀察結果：
     • 若氣泡仍保持在中央，表示條件滿足。
     • 若氣泡偏離中央，偏離格數為 $2\epsilon$，則表示存在軸線誤差 $\epsilon$（此即垂直軸不垂直或水準軸不平行垂直軸之兩倍角誤差）。

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條件二：十字絲橫絲應垂直於垂直軸（即橫絲呈水平狀態）

• 幾何要求：當垂直軸鉛直時，十字絲橫絲必須呈水平線，以避免觀測時因目標未恰好落在十字絲中心而產生讀數偏差。
• 檢驗方法（點瞄準法／平移法）：
  1. 整平儀器，在約 $20 \sim 30\text{ m}$ 處牆面或水準尺上清晰標定一微小固定點 $P$。
  2. 轉動微動螺旋，使十字絲橫絲之一端（如左端）精確切合於 $P$ 點。

核心觀念

本題旨在測驗數位攝影測量中製作「數位正射影像」（Digital Orthophoto）之完整作業流程、幾何原理與數學模型。

1. 正射影像（Orthophoto）的定義：
   中心投影（透視投影）之航攝影像具有像片傾斜位移（Tilt Displacement）與地形高差位移（Relief Displacement）。正射影像係利用數位高程模型（DEM）將透視投影糾正為垂直正投影（Orthogonal Projection），具備一致的比例尺與幾何量測功能。
2. 共線條件方程式（Collinearity Equations）：
   攝影測量之基礎數學模型，描述物空間點、投影中心與像空間點三點共線的幾何關係： $$x - x_0 = -f \frac{m_{11}(X - X_L) + m_{12}(Y - Y_L) + m_{13}(Z - Z_L)}{m_{31}(X - X_L) + m_{32}(Y - Y_L) + m_{33}(Z - Z_L)}$$ $$y - y_0 = -f \frac{m_{21}(X - X_L) + m_{22}(Y - Y_L) + m_{23}(Z - Z_L)}{m_{31}(X - X_L) + m_{32}(Y - Y_L) + m_{33}(Z - Z_L)}$$ 其中 $(x, y)$ 為像點座標，$(x_0, y_0, f)$ 為像機內方位元素，$M = [m_{ij}]$ 為由三個旋轉角 $(\omega, \phi, \kappa)$ 構成之旋轉矩陣，$(X_L, Y_L, Z_L)$ 為外方位元素之投影中心坐標，$(X, Y, Z)$ 為物方地圖坐標。
3. 正射糾正方式：
   實務上均採用反向投影法（Indirect Method / Backward Projection），以正射影像網格為基準，透過 DEM 查出高程，經共線條件式反推原始航片之像坐標，再以灰階內插取樣，以避免正投影法（Direct Method）所造成的影像破洞與重疊重採樣問題。

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解題方法

由一組立體像對產製重疊區正射影像之標準作業流程，可切入為六大關鍵步驟：

步驟一：準備輸入資料與設定先驗參數

• 給定資料：
  1. 重疊區域之量測型立體影像對（左片、右片）。
  2. 像機檢校報告（內方位元素，Interior Orientation Parameters, IOP）：相機主距（焦距 $f$）、像主點坐標 $(x_0, y_0)$、透鏡對稱輻射畸變參數 $(K_1, K_2, K_3)$ 及偏心畸變參數 $(P_1, P_2)$。
  3. 地面控制點（Ground Control Points, GCPs）：已知物方坐標 $(X, Y, Z)$ 之特徵點。
• 設定參數：
  正射影像之製圖坐標系統（如 TWD97）、輸出圖幅範圍、空間解析度（Ground Sample Distance, GSD）及重採樣內插法。

步驟二：內部定向（Interior Orientation, IO）

• 原理：
  建立像元坐標（Row, Column）與像平面坐標（$x, y$）之仿射轉換（Affine Transformation），並利用檢校參數修正透鏡畸變差，將影像重建回曝光瞬間的感光面幾何狀態。
• 數學關係： $$x = a_0 + a_1 \cdot \text{col} + a_2 \cdot \text{row}$$ $$y = b_0 + b_1 \cdot \text{col} + b_2 \cdot \text{row}$$ 並加入透鏡畸變改正 $\Delta x, \Delta y$。

步驟三：外部定向與光束法平差（Exterior Orientation & Bundle Adjustment）

• 原理：
  求解立體像對在曝光瞬間之空間位置與姿態（外方位元素，Exterior Orientation Parameters, EOP：$X_L, Y_L, Z_L, \omega, \phi, \kappa$）。
• 作業內容：
  1. 相對定向（Relative Orientation）：在重疊區域內選取同名像點（Tie Points），利用共線條件式或共面條件式（Coplanarity Condition），消除像差並重建兩張像片之相對立體幾何空間模型。

核心觀念

本題評量衛星大地測量與衛星定位測量（GNSS）的基礎理論與實務品質管制作業，包含兩大核心面向：

1. GNSS 誤差分類與機制：測距訊號由太空傳播至地表接收機所承受之各類誤差，依其來源通常分為「衛星端」、「傳播路徑端（大氣）」及「接收機與測站環境端」三大類。
2. GNSS 靜態基線解算品質檢核機制：基線解算（Baseline Processing）是利用雙差（Double Difference, DD）觀測量消除大部分公共誤差並解算整數週波未定值（Ambiguity）。初期的觀測量檢核是在網形平差（Network Adjustment）之前，利用獨立基線解算輸出之統計指標與閉合條件，迅速篩選並挑出異常基線或劣質觀測時段。

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解題方法

子題一：GNSS 衛星定位誤差來源分類說明

GNSS 測距觀測方程式（以虛擬距離 $P$ 與載波相位 $\Phi$ 為例）隱含各項誤差累積：

$$P = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I + T + M_P + \varepsilon_P$$ $$\Phi = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + \lambda N - I + T + M_\Phi + \varepsilon_\Phi$$

其中 $\rho$ 為衛星與接收機間之幾何距離，$c$ 為光速，$\delta t^s$ 與 $\delta t_r$ 分別為衛星與接收機鐘差，$I$ 為電離層延遲，$T$ 為對流層延遲，$N$ 為整數週波未定值，$\lambda$ 為載波波長，$M$ 為多路徑效應，$\varepsilon$ 為隨機雜訊。

誤差來源可有系統地依「訊號產生 $\to$ 傳播 $\to$ 接收」之鏈結分為三大類：

1. 衛星端相關誤差（Satellite-related errors）：

   • 衛星軌道誤差（Ephemeris Error / Orbit Error）：廣播星曆推算之衛星空間坐標與真實軌道存在偏差。可透過相對定位（基線差分）大幅消除，或採用 IGS 精密星曆改善。
   • 衛星鐘差與頻率漂移（Satellite Clock Bias and Drift）：衛星原子鐘的時間偏移。基線差分中之「單差／雙差」可完全消除此項。
   • 相對論效應（Relativistic Effects）：狹義相對論（高速運動致鐘變慢）與廣義相對論（地心重力位能減弱致鐘變快），由接收機軟體依衛星軌道偏心率進行週期性改正修正。
   • 衛星天線相位中心偏差與變動（Antenna Phase Center Offset/Variation, PCO/PCV）：衛星天線電氣相位中心與衛星質心（質量中心）不一致造成的系統誤差。

2. 傳播路徑相關誤差（Propagation path errors）：

   • 電離層延遲（Ionospheric Delay）：高度約 50～1000 km 之電離層屬色散介質（Dispersive medium），使測距碼延遲、載波相位超前。可利用雙頻觀測組合（無電離層線性組合，Ionosphere-free combination, $LC$）消除一階電離層效應（約佔 99.9%）。
   • 對流層延遲（Tropospheric Delay）：高度約 0～50 km 之非色散介質，包含乾分量（約佔 90%，由大氣壓力決定，可藉標準大氣模型精密計算）與濕分量（約佔 10%，受水氣分布影響大，需搭配對流層天頂延遲 ZTD 參數估算）。

3. 接收機與測站環境相關誤差（Receiver and site-related errors）：

   • 接收機鐘差（Receiver Clock Bias）：接收機內部多採用石英鐘，精度較低。在基線解算中藉由衛星間求差（差分法）可徹底消除。
   • 接收機天線相位中心偏差與變化（Receiver APC PCO/PCV）：天線幾何中心與電氣相位中心之偏移。需依 NGS 或 IGS 提供之天線校正檔（.atx）校正，野外作業應將天線朝向正北定向。
   • 多路徑效應（Multipath Effect）：衛星訊號經由地面、建物或水面反射後進入天線所造成的干涉誤差。此誤差不隨距離相關，無法透過基線差分消除；需藉由天線扼流圈（Choke Ring）、抑徑板、選點避開反射面、以及適度提高仰角遮蔽角（Elevation Mask，如設為 $15^\circ$）來抑制。
   • 週波跳躍（Cycle Slip）：因訊號暫時遮蔽、微弱或強干擾導致載波計數中斷，使整數週波未定值突變。基線解算前須預處理進行偵測與修復。
   • 對心誤差與量高誤差（Centering and Antenna Height Measurement Errors）：儀器架設的人為操作誤差，直接引進點位成果之系統偏差。

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子題二：GNSS 靜態觀測加密控制測量之基線初步檢核方法

在進行自由網平差或約束平差之前，必須在「基線解算階段」進行初步檢核，以排除觀測條件不良之時段與問題基線。實務上有以下四項核心檢核程序：

1. 單基線解算之內部統計指標檢核（Internal Quality Statistics）：

核心觀念

本題考核遙測學（Remote Sensing）與空間資訊領域中「影像分類精度評估（Accuracy Assessment）」的核心工具——誤差矩陣（Error Matrix，亦稱混淆矩陣 Confusion Matrix）。

誤差矩陣是一個 $n \times n$ 的方陣，透過將「分類結果（Classification Result）」與「地面真值／參考資料（Ground Truth / Reference Data）」進行交叉比對，量化呈現各類別之間的分類正確與誤判情形。

在數學符號定義上，給定矩陣元素 $X_{ij}$：

• 第 $i$ 列（Row $i$）：代表演算法將像元分類為類別 $A_i$ 的個數。
• 第 $j$ 行（Column $j$）：代表地面真實情況為類別 $A_j$ 的個數。
• 對角線元素 $X_{ii}$：代表分類結果與地面真值完全吻合的正確像元數。
• 列邊際和（Row Margins）：$X_{i+} = \sum_{j=1}^{n} X_{ij}$，代表分類為類別 $A_i$ 的總像元數。
• 行邊際和（Column Margins）：$X_{+j} = \sum_{i=1}^{n} X_{ij}$，代表真值為類別 $A_j$ 的總像元數。
• 總樣本數（Total Pixels）：$N = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{ij} = \sum_{i=1}^{n} X_{i+} = \sum_{j=1}^{n} X_{+j}$。

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解題方法

評估遙測影像分類成果時，單一指標不足以全面反映品質，必須從「整體精度」、「個別類別精度（包含生產者與使用者角度）」以及「排除隨機一致性的統計檢定」三個維度進行推導與列式：

1. 整體精度（Overall Accuracy, OA）

• 物理意義：所有被正確分類的像元總數占評估樣本總數的百分比，反映分類模型的整體正確水準。
• 計算式：

$$\text{OA} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{ii}}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{ii}}{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{ij}}$$

2. 生產者精度（Producer's Accuracy, PA）與漏分誤差（Omission Error, OE）

• 物理意義：
  • 生產者精度：從「地面真值」的角度出發，某類別真實存在的像元中，有多少比例被製圖者正確辨別出來。反映分類圖的製作品質與地物被偵測的完整程度。
  • 漏分誤差：地面上屬於該類別的像元，卻被遺漏而分至其他類別的比例。
• 計算式（針對類別 $A_k$）：

$$\text{PA}_k = \frac{X_{kk}}{X_{+k}} = \frac{X_{kk}}{\sum_{i=1}^{n} X_{ik}}$$ $$\text{OE}_k = 1 - \text{PA}_k = \frac{X_{+k} - X_{kk}}{X_{+k}} = \frac{\sum_{i \neq k}^{n} X_{ik}}{\sum_{i=1}^{n} X_{ik}}$$

3. 使用者精度（User's Accuracy, UA）與多分誤差／佣金誤差（Commission Error, CE）

• 物理意義：
  • 使用者精度：從「圖資使用者」的角度出發，在分類圖上被標註為某類別的像元中，實際在地面上確實為該類別的比例。反映終端使用者拿著圖資到現場時的可信度（即統計學上的陽性預測值 PPV）。
  • 多分誤差（佣金誤差）：圖面上被分類為該類別的像元中，實際卻屬於其他地物而遭誤納的比例。
• 計算式（針對類別 $A_k$）：

$$\text{UA}_k = \frac{X_{kk}}{X_{k+}} = \frac{X_{kk}}{\sum_{j=1}^{n} X_{kj}}$$ $$\text{CE}_k = 1 - \text{UA}_k = \frac{X_{k+} - X_{kk}}{X_{k+}} = \frac{\sum_{j \neq k}^{n} X_{kj}}{\sum_{j=1}^{n} X_{kj}}$$

4. Kappa 分析指標（Kappa Coefficient of Agreement, $\hat{K}$）