108 年 國立政治大學地政學系碩士班土地測量與空間資訊組《測量學》

本題主要在考驗學生對於不同高程系統的理解。

核心觀念：
高程系統是定義地面點垂直位置的方法，主要有以下幾種：

1. 正高 (Orthometric Height): 指從大地水準面（通常以平均海平面為基準）沿著鉛垂線（重力方向）量測到某點的垂直距離。它代表了該點相對於大地水準面的「實際」高度，與重力勢能有關。
2. 正常高 (Normal Height): 指從正常大地水準面（由正常重力位決定的假設大地水準面）沿著正常鉛垂線（正常重力向量方向）量測到某點的垂直距離。正常高是理論上更容易計算和定義的，因為它不直接依賴於實際的重力測量，而是基於一個標準化的正常重力公式。
3. 力高 (Dynamic Height): 指某點相對於假定為零重力位的點，沿著重力線所做的重力位移。它與重力位能的差值有關，單位是「重力勢單位」(geopotential unit)，通常表示為 $m^2/s^2$。力高與正高之間存在關聯，但需要考慮重力異常。

詳細說明：

• 正高 ($H$)：
  正高是我們在日常生活中最常接觸到的「高度」概念，例如海拔高度。它實際上是通過水準測量（Levelling）來實現的，測量的是水準面（通常是平均海平面）到觀測點的垂直距離。數學上，正高與重力位能 ($\Omega$) 的關係為：
  $H = \frac{\Omega_0 - \Omega}{g}$
  其中 $\Omega_0$ 是大地水準面的重力位能，$\Omega$ 是觀測點的重力位能，$g$ 是該點的平均重力加速度。由於實際重力加速度 $g$ 在不同地點會有所變化，因此正高需要考慮實際重力測量。

• 正常高 ($H_n$)：
  正常高是基於一個理論上的「正常大地水準面」和「正常重力」來定義的。

本題主要考驗學生對 GNSS 測量中精度稀釋量 (DOP) 的理解，包括其性質、分類及 RDOP 的定義。

核心觀念：
精度稀釋量 (Dilution of Precision, DOP) 是描述 GNSS 衛星幾何配置對測量精度影響的參數。當衛星分佈良好時，DOP 值較小，測量精度較高；反之，若衛星聚集或分佈不良，DOP 值較大，測量精度會降低，即使接收機和衛星的偽距測量精度很高，也會因為幾何因素而導致最終的位置精度下降。

DOP 的性質：

1. 幾何因子： DOP 是純粹的幾何因子，僅取決於衛星在天空中的相對位置，與衛星本身的狀態、大氣傳播延遲、接收機的電子雜訊等無關。
2. 放大效應： DOP 值越大，測量誤差被放大的比例就越大。例如，一個 DOP 值為 2 的話，表示測量誤差會被放大約 2 倍。
3. 無單位： DOP 是一個無單位的數值。
4. 大於等於 1： DOP 值理論上總是等於或大於 1。DOP=1 表示衛星幾何配置完美，誤差不會被放大。
5. 獨立性： 不同類型的 DOP 值（如 GDOP, PDOP, HDOP, VDOP, TDOP）可以獨立計算，但它們之間存在數學關係。

DOP 的分類：

GNSS 接收機通常至少需要 4 顆衛星才能進行三維定位（X, Y, Z）和時間修正 (T)。DOP 可以分解為以下幾種：

• GDOP (Geometric Dilution of Precision)： 總體幾何精度稀釋量。它考慮了三維位置（X, Y, Z）和時間 (T) 的聯合精度，是所有 DOP 值的總和或組合。
  $GDOP = \sqrt{PDOP^2 + TDOP^2}$
• PDOP (Position Dilution of Precision)： 位置幾何精度稀釋量。它考慮了三維位置（X, Y, Z）的精度。
  $PDOP = \sqrt{HDOP^2 + VDOP^2}$
• HDOP (Horizontal Dilution of Precision)： 水平位置幾何精度稀釋量。它考慮了水平方向（X, Y）的精度。

本題主要考驗學生對梯形面積公式的掌握以及利用誤差傳播定律計算面積誤差的能力。

核心觀念：

1. 梯形面積公式： 梯形的面積 $A$ 可以表示為兩平行邊長（上底 $a$ 和下底 $b$）與高 $h$ 的乘積的一半。然而，題目給的參數是邊長 $a$、$b$ 和角度 $\theta$。若我們假設 $a$ 和 $b$ 是兩個平行邊，而 $\theta$ 是其中一個底角，那麼高 $h$ 可以表示為 $h = a \sin\theta$ 或 $h = b \sin\theta$ （這取決於圖示，但題目敘述「等腰梯形」且邊長為 $a$、$b$，通常是指平行邊的長度）。若圖一確實如題目所述，是「一等腰梯形，其邊長分別為a，b，角度 $\theta$」，則我們需要更清晰的定義。
   根據圖示： 圖一是個等腰梯形，標示了平行邊的長度為 $a$ 和 $b$（顯然 $a$ 是上底，$b$ 是下底，且 $a < b$），以及腰長為 $c$。題目敘述「邊長分別為a其誤差為oa,b其誤差為ob,角度日其誤差為oe」，這裡的 $\theta$ 應該是指梯形的底角，而不是腰與底的夾角。題目文字與圖示有出入，假設題目敘述中的 $\theta$ 指的是圖示中腰長 $c$ 與底邊 $b$ 的夾角。然而，題目又說「邊長分別為a，b」，所以 $a$ 和 $b$ 是平行邊。題目給的誤差是 $\sigma_a$, $\sigma_b, \sigma_\theta$。
   澄清： 題目敘述「邊長分別為a其誤差為oa,b其誤差為ob,角度日其誤差為oe」與圖示「a, b 為平行邊，腰長為 c」之間存在矛盾。若依據圖示，梯形面積 $A = \frac{a+b}{2}h$。而 $h = c \sin\theta$。所以 $A = \frac{a+b}{2} c \sin\theta$。但題目又給了 $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_\theta$。
   假設： 為了能解答，我們必須做出一個合理的假設。最常見的等腰梯形面積公式是基於平行邊 $a, b$ 和高 $h$。如果題目給的是腰長 $c$ 和底角 $\theta$，則 $h = c \sin\theta$。若題目給的是平行邊 $a, b$ 和底角 $\theta$（假設是下底角），那麼高 $h$ 的關係會更複雜。
   再仔細看題目敘述： 「一等腰梯形，其邊長分別為a其誤差為oa,b其誤差為ob,角度日其誤差為oe」。這句話通常是指梯形的「重要」邊長。對於梯形，平行邊 $a, b$ 是最重要的。腰長 $c$ 也是邊長。角度 $\theta$ 也是關鍵參數。
   圖示分析： 圖一顯示了梯形的兩個平行邊 $a$ 和 $b$，以及腰長 $c$。同時標示了一個角度，這個角度是腰 $c$ 和底邊 $b$ 之間的夾角，我們稱之為 $\theta$。
   推導面積公式： 梯形的面積 $A$ 為：
   $A = \frac{a+b}{2} h$
   其中 $h$ 是梯形的高。從圖示可以看出，高 $h$ 可以表示為 $h = c \sin\theta$。
   因此，梯形的面積公式為：
   $A = \frac{a+b}{2} c \sin\theta$
   然而，題目給的誤差是 $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_\theta$，並沒有給腰長 $c$ 的誤差。這表示我們可能需要重新解讀題目。
   另一種可能性： 題目敘述「邊長分別為a其誤差為oa,b其誤差為ob,角度日其誤差為oe」，可能指的是平行邊 $a, b$ 以及一個角度 $\theta$。這個角度 $\theta$ 的意義不明確。
   再仔細閱讀題目文字與圖示： 題目文字說「邊長分別為a其誤差為oa, b其誤差為ob, 角度 $\theta$ 其誤差為 $\sigma_\theta$」。圖示中，a 和 b 是平行邊。腰長是 c。角度 $\theta$ 是腰 $c$ 和底邊 $b$ 的夾角。
   假設題目意圖： 題目可能想問的是，如果我們知道平行邊 $a$、$b$ 以及腰長 $c$ 和底角 $\theta$，面積如何計算。但誤差只給了 $a, b, \theta$。這表示 $c$ 可能不是獨立變數，或者有其他隱含關係。
   最常見的等腰梯形參數： 通常是知道上底 $a$、下底 $b$ 和高 $h$。或者知道上底 $a$、下底 $b$ 和腰長 $c$。或者知道上底 $a$、下底 $b$ 和底角 $\theta$。
   若題目給的是平行邊 a, b 和腰長 c，以及腰與底的夾角 $\theta$：
   則 $h = c \sin\theta$。面積 $A = \frac{a+b}{2} c \sin\theta$。
   若題目給的是平行邊 a, b 和底角 $\theta$（腰與底的夾角）：
   則 $h = (b-a)/2 \tan\theta$ 這是錯誤的。
   正確關係： 從圖示來看，腰長 $c$ 和底角 $\theta$ 是關鍵。高 $h = c \sin\theta$。梯形的另一半邊長關係是 $b = a + 2 \times c \cos\theta$。
   所以，如果我們知道 $a, c, \theta$，則：
   $b = a + 2 c \cos\theta$
   $h = c \sin\theta$
   $A = \frac{a+b}{2} h = \frac{a + (a + 2 c \cos\theta)}{2} c \sin\theta = (a + c \cos\theta) c \sin\theta = ac \sin\theta + c^2 \sin\theta \cos\theta$
   但是題目給的誤差是 $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_\theta$。這意味著 $a, b, \theta$ 是獨立的觀測量，而 $c$ 可能不是獨立的，或者題目敘述有誤。
   最合理的解釋： 題目文字「邊長分別為a其誤差為oa,b其誤差為ob,角度日其誤差為oe」指的是平行邊 $a, b$ 和一個角度 $\theta$。圖示中的腰長 $c$ 則與 $a, b, \theta$ 存在關聯。
   從圖示看：
   腰長 $c$ 是獨立的參數，它與底邊 $b$ 的夾角是 $\theta$。
   梯形的高 $h = c \sin\theta$。
   平行邊之間的距離為 $b-a = 2 \times (\text{從 } b \text{ 端點劃垂直線到對稱軸的距離})$。
   從圖示看，腰長 $c$ 和底邊 $b$ 的夾角是 $\theta$。
   那麼，從腰的頂點向下作垂線，與底邊 $b$ 的垂足之間的距離為 $c \cos\theta$。
   所以，下底 $b$ 和上底 $a$ 的差值的一半是 $c \cos\theta$。
   即 $\frac{b-a}{2} = c \cos\theta$。
   因此，梯形面積 $A = \frac{a+b}{2} h = \frac{a+b}{2} (c \sin\theta)$。
   但是，題目給的誤差是 $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_\theta$。 這暗示 $a, b, \theta$ 是我們測量得到的獨立參數。

核心觀念

本題考查水準儀的視準軸誤差及遠近校正法。

若視準軸與水準軸不平行，標尺讀數會隨視距產生誤差，可表示為：

$$\delta r=cD$$

其中：

• $c$：單位距離的視準軸誤差
• $D$：儀器至標尺的距離
• $\delta r$：標尺讀數誤差

遠近校正法利用兩次儀器位置，使同一對標尺的距離差方向相反，以消除高程差並求得視準軸誤差。

一、計算視準軸誤差

由圖二可知：

• $AB=25\text{ m}$
• $BC=25\text{ m}$
• $CD=25\text{ m}$

因此：

• 儀器位於 $A$ 時：$AC=50\text{ m}$
• 儀器位於 $D$ 時：$DB=50\text{ m}$

儀器位於 $A$

表一讀數為：

$$r_B=1.306\text{ m},\qquad r_C=1.112\text{ m}$$

觀測高程差：

$$\Delta_A=r_C-r_B =1.112-1.306 =-0.194\text{ m}$$

儀器位於 $D$

表一讀數為：

$$r_B=1.632\text{ m},\qquad r_C=1.426\text{ m}$$

觀測高程差：

$$\Delta_D=r_C-r_B =1.426-1.632 =-0.206\text{ m}$$

兩次觀測差為：

$$\Delta_A-\Delta_D =(-0.194)-(-0.206) =0.012\text{ m}$$

由於兩次觀測的距離差方向相反，總有效距離差為：

$$25+25=50\text{ m}$$

故單位距離視準軸誤差為：

$$c=\frac{0.012}{50} =0.00024$$

因此：

$$\boxed{c=0.00024\text{ m/m}}$$

亦可表示為：

$$c=0.24\text{ mm/m} =24\text{ mm/100 m}$$

若換算為角度：

$$i\approx 0.00024\text{ rad}$$ $$i=0.00024\times206265 \approx49.5''$$

視準軸誤差約為 $49.5$ 秒。