109 年 國立臺灣大學社會學系碩士班《社會研究方法》

本題考驗期望值 (Expected Value, EV) 的計算。期望值是機率與其對應數值的加權平均。

計算產品 A 的預期收入：
產品 A 的預期收入 $E(A)$ 計算如下：
$E(A) = (300 \text{K} \times 0.5) + (100 \text{K} \times 0.4) + (0 \text{K} \times 0.1)$
$E(A) = 150 \text{K} + 40 \text{K} + 0 \text{K}$
$E(A) = 190 \text{K}$

計算產品 B 的預期收入：
產品 B 的預期收入 $E(B)$ 計算如下：

本題考驗線性轉換對期望值與標準差的影響。 profit = revenue - cost，其中 cost 是常數。

計算預期利潤 (Expected Profit)：
利潤的定義是：Profit = Revenue - 100K。
根據期望值的線性性質，對於一個隨機變數 $X$ 和常數 $c$，有 $E(X - c) = E(X) - c$。
我們已經從第一題知道產品 A 的預期收入 $E(A) = 190 \text{K}$。
因此，產品 A 的預期利潤 $E(\text{Profit}_A)$ 為：
$E(\text{Profit}_A) = E(\text{Revenue}_A) - 100 \text{K}$
$E(\text{Profit}_A) = 190 \text{K} - 100 \text{K}$
$E(\text{Profit}_A) = 90 \text{K}$

計算利潤的標準差 (Standard Deviation of Profit)：
對於一個隨機變數 $X$ 和常數 $c$，有 $SD(X - c) = SD(X)$。這是因為減去一個常數只會移動隨機變數的分布，但不會改變其離散程度。

核心觀念

本題考查「信賴區間」與「誤差界限」（margin of error, $E$）的意義。

母體比例 $p$ 的 $95\%$ 信賴區間通常寫成：

$$\hat{p} \pm E$$

其中：

• $\hat{p}$：樣本比例
• $E$：誤差界限
• $p$：母體比例

本題給定誤差界限為 $0.035$，因此信賴區間可表示為：

$$\hat{p}-0.035 \leq p \leq \hat{p}+0.035$$

因此，正確的解釋是：在 $95\%$ 的信賴程度下，母體比例與樣本比例的差距不超過 $0.035$。

解題方法

判斷誤差界限時，先掌握信賴區間的結構：

$$\text{信賴區間}=\text{點估計值}\pm\text{誤差界限}$$

本題以樣本比例 $\hat{p}$ 估計母體比例 $p$，所以：

$$\text{信賴區間}=\hat{p}\pm0.035$$

這表示信賴區間的兩端分別距離樣本比例 $\hat{p}$ $0.035$。標準的統計解釋是：若重複抽取樣本並依相同方法建立信賴區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會包含真正的母體比例 $p$。

就本題而言，選項中最符合的敘述是「他有 $95\%$ 的信心，母體比例在樣本比例上下 $0.035$ 的範圍內」，即選項（d）。

選項分析

（a）He is 95% confident that the population proportion is .035.

錯誤。

$0.035$ 是誤差界限，不是母體比例本身。母體比例的信賴區間應以樣本比例 $\hat{p}$ 為中心，形式為：

$$\hat{p}\pm0.035$$

因此不能直接說母體比例是 $0.035$。

（b）The sample proportion he computed is within .035 of the population proportion.

錯誤。

這個敘述只表達：

$$|\hat{p}-p|\leq0.035$$

但沒有包含「$95\%$ 信賴程度」的概念。誤差界限是根據抽樣分布所建立的機率性估計，不代表在每一次抽樣中，樣本比例必然與母體比例相差不超過 $0.035$。

此外，嚴格而言，信賴區間的標準表述是「母體比例位於樣本比例上下 $0.035$ 的區間內」，而非直接宣稱樣本比例必然落在母體比例附近。

核心觀念

本題考查最小平方法迴歸線斜率與兩變項標準差的關係。

令：

• $X$：練習考試成績
• $Y$：正式考試成績
• $b$：以練習考試預測正式考試時的迴歸斜率
• $r$：相關係數
• $S_X$、$S_Y$：練習考試與正式考試成績的標準差

簡單線性迴歸的斜率公式為：

$$b=r\frac{S_Y}{S_X}$$

因此：

$$\frac{S_Y}{S_X}=\frac{b}{r}$$

這個比值可直接判斷兩個測驗何者具有較大的變異程度。

解題方法

題目給定：

$$b=0.997,\qquad r=0.98$$

代入斜率公式：

$$\frac{S_Y}{S_X} = \frac{0.997}{0.98} \approx 1.017$$

因此：

$$S_Y\approx 1.017S_X$$

由於 $1.017>1$，可知：

$$S_Y>S_X$$

也就是正式考試成績的標準差較大，正式考試的分數變異程度高於練習考試。

題目所給的殘差標準差 $S_e=3.278$，代表實際成績與迴歸預測值之間的典型預測誤差，並非用來比較練習考試與正式考試本身的變異程度。

本題考驗對殘差標準差 ($S_e$) 的定義與單位理解。

$S_e$ 是殘差標準差 (Standard Error of the Estimate 或 Residual Standard Deviation)。
殘差 (Residuals) 是實際觀測值與迴歸線預測值之間的差異。
$e_i = y_i - \hat{y}_i$
其中 $y_i$ 是實際的觀測值，$\hat{y}_i$ 是迴歸模型預測的值。

殘差標準差 $S_e$ 是這些殘差的標準差。
$S_e = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} e_i^2}{n-k-1}}$
其中 $n$ 是樣本大小，$k$ 是迴歸模型中的預測變數個數（在此為 1，即練習測驗分數）。

本題主要考驗對多元迴歸中預測值的計算，以及相關係數與因果關係的區別。

已知條件：

• 丈夫與妻子的教育水平相關係數 $r = 0.50$。
• 平均受正規學校教育年數 (丈夫與妻子皆同)：$\mu_X = \mu_Y = 12$ 年。
• 標準差 (丈夫與妻子皆同)：$\sigma_X = \sigma_Y = 3$ 年。
• 假設 $X$ 代表丈夫的教育年數，$Y$ 代表妻子的教育年數。

A. 某婦女的丈夫受正規學校教育年數為18年,預期而言,該名婦女的教育水平為多少年?
這實際上是問：已知丈夫的教育年數 ($X=18$)，預測妻子的教育年數 ($Y$)。
這是一個利用迴歸線進行預測的問題。
迴歸方程為：$\hat{Y} = \mu_Y + r \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X)$
由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} = 1$。
因此，迴歸方程簡化為：$\hat{Y} = \mu_Y + r(X - \mu_X)$
代入已知數值：
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times (18 - 12)$
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times 6$
$\hat{Y} = 12 + 3$
$\hat{Y} = 15$

預期而言，該名婦女的教育水平為 15 年。
【答案】15 年

B. 某男子的妻子受正規學校教育年數為15年,預期而言,該名男子之教育水平為多少年?
這實際上是問：已知妻子的教育年數 ($Y=15$)，預測丈夫的教育年數 ($X$)。
我們需要建立 $X$ 對 $Y$ 的迴歸方程。
迴歸方程為：$\hat{X} = \mu_X + r \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y)$
同樣，由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_X}{\sigma_Y} = 1$。
迴歸方程簡化為：$\hat{X} = \mu_X + r(Y - \mu_Y)$
代入已知數值：
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times (15 - 12)$
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times 3$
$\hat{X} = 12 + 1.5$
$\hat{X} = 13.5$

預期而言，該名男子的教育水平為 13.5 年。
【答案】13.5 年

C. 一般來說,教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻。這是否仍然意味著丈夫的教育水準與妻子的教育水準應為負相關,而非如題中所述的正相關?另外,當丈夫與妻子的教育水平若呈現如題中所述的正相關時,是否意味著在所觀察的樣本中,婦女不可能嫁給教育程度比她們還低的男子?請詳述理由。

第一部分：正相關與「高男娶低女」現象
題目中提到「教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻」。這句話描述了一種社會現象，即「高配低」的婚姻模式。然而，這並不直接意味著丈夫與妻子的教育水平之間應該是「負相關」。

• 相關係數的定義：相關係數衡量的是兩個變數之間線性關係的強度和方向。正相關表示當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加；負相關表示當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。
• 「高男娶低女」與正相關的關係：即使存在「高男娶低女」的現象，丈夫和妻子的教育水平仍然可能呈現正相關。這是因為：
  1. 相關係數是平均趨勢：相關係數描述的是整體樣本的平均趨勢。即使有「高男娶低女」的個案，也可能存在「高男娶高女」或「低男娶高女」等其他組合。如果「高男娶高女」的個案數量足夠多，或者「低男娶低女」的個案也很多，那麼整體上就可能呈現正相關。
  2. 極端值與平均值：一個極端的現象（如「高男娶極低女」）不一定能決定整體變數的相關性。例如，如果大部分夫妻的教育水平都比較接近（例如，丈夫和妻子都受過大學教育），那麼他們之間就會呈現正相關，即使有一些「高男娶低女」的案例。
  3. 「娶」的單向性 vs. 變數的雙向性：社會現象的描述（「男子娶女子」）是單向的，但教育水平的變數是雙向的。我們觀察的是丈夫的教育水平和妻子的教育水平之間的關係。即使男性在婚姻選擇中扮演主導角色，這也不會自動將教育水平的相關性從正轉為負。
• 為什麼題中所述的正相關是合理的：題中給定的相關係數是 0.50，這是一個中等程度的正相關。這意味著，總體來看，丈夫教育水平較高的家庭，妻子教育水平也傾向於較高；反之亦然。這並不排除個別差異，例如一個教育程度很高的男性恰好娶了一個教育程度相對較低的女性。

本題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 的應用，特別是獨立性檢定，用於檢視兩個分類變數之間是否存在關聯。在這裡，我們要檢視「性別」與「錄取結果」之間是否獨立，以判斷是否存在性別歧視。

1. 確立研究問題與統計檢定方法：
研究問題：申請入學的錄取結果是否受到性別的影響？換句話說，「性別」和「錄取結果」這兩個變數是獨立的，還是存在關聯？
統計檢定方法：由於我們有兩個分類變數（性別：男性/女性；錄取結果：錄取/不錄取），適合使用卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence)。

2. 設立虛無與對立假設：

• 虛無假設 ($H_0$)：性別與錄取結果是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率沒有顯著差異，不存在性別歧視。
• 對立假設 ($H_1$)：性別與錄取結果不是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率存在顯著差異，可能存在性別歧視。

3. 計算各組的預期次數 (Expected Frequencies)：
根據虛無假設，如果性別與錄取結果獨立，那麼每個單元格中的預期次數可以透過以下公式計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$

• 男性錄取：$E_{11} = \frac{400 \times 275}{700} \approx 157.14$
• 男性不錄取：$E_{12} = \frac{400 \times 425}{700} \approx 242.86$
• 女性錄取：$E_{21} = \frac{300 \times 275}{700} \approx 117.86$
• 女性不錄取：$E_{22} = \frac{300 \times 425}{700} \approx 182.14$

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量計算公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數，$E_{ij}$ 是預期次數。

• 男性錄取：$\frac{(175 - 157.14)^2}{157.14} = \frac{(17.86)^2}{157.14} \approx \frac{318.98}{157.14} \approx 2.03$
• 男性不錄取：$\frac{(225 - 242.86)^2}{242.86} = \frac{(-17.86)^2}{242.86} \approx \frac{318.98}{242.86} \approx 1.31$
• 女性錄取：$\frac{(100 - 117.86)^2}{117.86} = \frac{(-17.86)^2}{117.86} \approx \frac{318.98}{117.86} \approx 2.71$
• 女性不錄取：$\frac{(200 - 182.14)^2}{182.14} = \frac{(17.86)^2}{182.14} \approx \frac{318.98}{182.14} \approx 1.75$

總卡方統計量：$\chi^2 \approx 2.03 + 1.31 + 2.71 + 1.75 = 7.80$

5. 決定自由度 (Degrees of Freedom, df)：
對於獨立性檢定，自由度計算公式為：$df = (R - 1) \times (C - 1)$，其中 $R$ 是列數，$C$ 是欄數。
在此，$R = 2$ (男性, 女性), $C = 2$ (錄取, 不錄取)。
$df = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1 \times 1 = 1$

6. 判斷統計顯著性：
通常我們會設定一個顯著水準（$\alpha$），例如 $\alpha = 0.05$。
我們要比較計算出的 $\chi^2$ 值 (7.80) 與在 $df=1$ 和 $\alpha=0.05$ 下的卡方臨界值。
查卡方分布表，df=1，$\alpha=0.05$ 時的臨界值約為 3.841。

本題考驗對常態分配 (Normal Distribution) 特性的理解，包括機率計算、Z分數轉換、百分位數概念，以及中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。

已知條件：TOEIC 成績呈常態分配，平均值 $\mu = 530$，標準差 $\sigma = 100$。

A. 考生分數介於250到630分的機率為何?(2分)
我們需要計算 $P(250 \le X \le 630)$。首先將分數轉換為 Z 分數：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

• 對於 $X = 250$：$Z_1 = \frac{250 - 530}{100} = \frac{-280}{100} = -2.80$
• 對於 $X = 630$：$Z_2 = \frac{630 - 530}{100} = \frac{100}{100} = 1.00$

現在我們需要計算 $P(-2.80 \le Z \le 1.00)$。
這可以表示為 $P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$。
查閱標準常態分配表 (附件一)：

• $P(Z \le 1.00) \approx 0.8413$ (這是累積機率，即從負無限大到 1.00 的面積)
• $P(Z \le -2.80) = P(Z \ge 2.80)$ (由於常態分配的對稱性)
  從附件一的 Right-Tail Probabilities 表來看，查找 2.80 的值：
  對於 $Z=2.8$，右尾機率是 0.0026。所以 $P(Z \ge 2.80) = 0.0026$。
  因此，$P(Z \le -2.80) = 0.0026$。
  或者，使用累積機率表，查找 -2.80 的值，通常是 $P(Z \le -2.80) \approx 0.0026$。

所以，機率為：
$P(250 \le X \le 630) = P(-2.80 \le Z \le 1.00) = P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$
$P(250 \le X \le 630) \approx 0.8413 - 0.0026 = 0.8387$

【答案】約 0.8387

B. 若某校研究所甄試入學將 TOEIC 成績高於630者列為審核加分的標準,假設有200位學生
報名甄試該研究所,且所有參加甄試學生皆有TOEIC 成績,且其成績也呈現常態分配,請
問有多少甄試學生能夠獲得加分?(2分)
我們需要計算 $P(X > 630)$，然後乘以學生總數。
從 A 部分的計算，我們知道 $X = 630$ 對應的 Z 分數是 $Z = 1.00$。
所以，我們需要計算 $P(Z > 1.00)$。
查閱附件一的 Standard Normal Distribution Table (Right-Tail Probabilities)：
對於 $Z=1.0$，右尾機率 (即 $P(Z > 1.00)$) 是 0.1587。

因此，能獲得加分的學生比例是 0.1587。
學生總數為 200。
獲得加分的學生人數 = $200 \times P(X > 630) = 200 \times 0.1587 \approx 31.74$。
由於人數必須是整數，我們通常會四捨五入。

【答案】約 32 位學生。

C. 承上題B,若假設要以 TOEIC 成績先篩選前30%的學生作為二階段口試的門檻,則應該如何
指定該標準?(2分)
這是一個尋找百分位數 (percentile) 的問題。我們要找出一個分數 $X_{cut}$，使得 $P(X \ge X_{cut}) = 0.30$。

核心觀念

本題考查「迴歸斜率」與「兩變項變異程度」的關係。

若以練習測驗分數 $X$ 預測正式測驗分數 $Y$，簡單線性迴歸的斜率為：

$$b=r_{XY}\frac{s_Y}{s_X}$$

其中：

• $b$：迴歸斜率
• $r_{XY}$：練習測驗與正式測驗的相關係數
• $s_X$：練習測驗的標準差
• $s_Y$：正式測驗的標準差

題目給定 $b=0.997$，但沒有提供相關係數 $r_{XY}$。因此，不能直接把 $0.997$ 解讀為兩個測驗標準差的比值。

解題方法

由斜率公式可得：

$$\frac{s_Y}{s_X}=\frac{b}{r_{XY}} =\frac{0.997}{r_{XY}}$$

正式測驗是否比練習測驗具有更大的變異，取決於 $r_{XY}$：

• 若 $r_{XY}<0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}>1$，正式測驗的變異較大。
• 若 $r_{XY}=0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}=1$，兩者變異相同。
• 若 $r_{XY}>0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}<1$，練習測驗的變異較大。

本題考驗對殘差標準差 ($S_e$) 的定義與單位理解。

$S_e$ 是殘差標準差 (Standard Error of the Estimate 或 Residual Standard Deviation)。
殘差 (Residuals) 是實際觀測值與迴歸線預測值之間的差異。
$e_i = y_i - \hat{y}_i$
其中 $y_i$ 是實際的觀測值，$\hat{y}_i$ 是迴歸模型預測的值。

殘差標準差 $S_e$ 是這些殘差的標準差。
$S_e = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} e_i^2}{n-k-1}}$
其中 $n$ 是樣本大小，$k$ 是迴歸模型中的預測變數個數（在此為 1，即練習測驗分數）。

本題主要考驗對多元迴歸中預測值的計算，以及相關係數與因果關係的區別。

已知條件：

• 丈夫與妻子的教育水平相關係數 $r = 0.50$。
• 平均受正規學校教育年數 (丈夫與妻子皆同)：$\mu_X = \mu_Y = 12$ 年。
• 標準差 (丈夫與妻子皆同)：$\sigma_X = \sigma_Y = 3$ 年。
• 假設 $X$ 代表丈夫的教育年數，$Y$ 代表妻子的教育年數。

A. 某婦女的丈夫受正規學校教育年數為18年,預期而言,該名婦女的教育水平為多少年?
這實際上是問：已知丈夫的教育年數 ($X=18$)，預測妻子的教育年數 ($Y$)。
這是一個利用迴歸線進行預測的問題。
迴歸方程為：$\hat{Y} = \mu_Y + r \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X)$
由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} = 1$。
因此，迴歸方程簡化為：$\hat{Y} = \mu_Y + r(X - \mu_X)$
代入已知數值：
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times (18 - 12)$
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times 6$
$\hat{Y} = 12 + 3$
$\hat{Y} = 15$

預期而言，該名婦女的教育水平為 15 年。
【答案】15 年

B. 某男子的妻子受正規學校教育年數為15年,預期而言,該名男子之教育水平為多少年?
這實際上是問：已知妻子的教育年數 ($Y=15$)，預測丈夫的教育年數 ($X$)。
我們需要建立 $X$ 對 $Y$ 的迴歸方程。
迴歸方程為：$\hat{X} = \mu_X + r \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y)$
同樣，由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_X}{\sigma_Y} = 1$。
迴歸方程簡化為：$\hat{X} = \mu_X + r(Y - \mu_Y)$
代入已知數值：
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times (15 - 12)$
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times 3$
$\hat{X} = 12 + 1.5$
$\hat{X} = 13.5$

預期而言，該名男子的教育水平為 13.5 年。
【答案】13.5 年

C. 一般來說,教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻。這是否仍然意味著丈夫的教育水準與妻子的教育水準應為負相關,而非如題中所述的正相關?另外,當丈夫與妻子的教育水平若呈現如題中所述的正相關時,是否意味著在所觀察的樣本中,婦女不可能嫁給教育程度比她們還低的男子?請詳述理由。

第一部分：正相關與「高男娶低女」現象
題目中提到「教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻」。這句話描述了一種社會現象，即「高配低」的婚姻模式。然而，這並不直接意味著丈夫與妻子的教育水平之間應該是「負相關」。

• 相關係數的定義：相關係數衡量的是兩個變數之間線性關係的強度和方向。正相關表示當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加；負相關表示當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。
• 「高男娶低女」與正相關的關係：即使存在「高男娶低女」的現象，丈夫和妻子的教育水平仍然可能呈現正相關。這是因為：
  1. 相關係數是平均趨勢：相關係數描述的是整體樣本的平均趨勢。即使有「高男娶低女」的個案，也可能存在「高男娶高女」或「低男娶高女」等其他組合。如果「高男娶高女」的個案數量足夠多，或者「低男娶低女」的個案也很多，那麼整體上就可能呈現正相關。
  2. 極端值與平均值：一個極端的現象（如「高男娶極低女」）不一定能決定整體變數的相關性。例如，如果大部分夫妻的教育水平都比較接近（例如，丈夫和妻子都受過大學教育），那麼他們之間就會呈現正相關，即使有一些「高男娶低女」的案例。
  3. 「娶」的單向性 vs. 變數的雙向性：社會現象的描述（「男子娶女子」）是單向的，但教育水平的變數是雙向的。我們觀察的是丈夫的教育水平和妻子的教育水平之間的關係。即使男性在婚姻選擇中扮演主導角色，這也不會自動將教育水平的相關性從正轉為負。

本題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 的應用，特別是獨立性檢定，用於檢視兩個分類變數之間是否存在關聯。在這裡，我們要檢視「性別」與「錄取結果」之間是否獨立，以判斷是否存在性別歧視。

1. 確立研究問題與統計檢定方法：
研究問題：申請入學的錄取結果是否受到性別的影響？換句話說，「性別」和「錄取結果」這兩個變數是獨立的，還是存在關聯？
統計檢定方法：由於我們有兩個分類變數（性別：男性/女性；錄取結果：錄取/不錄取），適合使用卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence)。

2. 設立虛無與對立假設：

• 虛無假設 ($H_0$)：性別與錄取結果是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率沒有顯著差異，不存在性別歧視。
• 對立假設 ($H_1$)：性別與錄取結果不是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率存在顯著差異，可能存在性別歧視。

3. 計算各組的預期次數 (Expected Frequencies)：
根據虛無假設，如果性別與錄取結果獨立，那麼每個單元格中的預期次數可以透過以下公式計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$

• 男性錄取：$E_{11} = \frac{400 \times 275}{700} \approx 157.14$
• 男性不錄取：$E_{12} = \frac{400 \times 425}{700} \approx 242.86$
• 女性錄取：$E_{21} = \frac{300 \times 275}{700} \approx 117.86$
• 女性不錄取：$E_{22} = \frac{300 \times 425}{700} \approx 182.14$

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量計算公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數，$E_{ij}$ 是預期次數。

• 男性錄取：$\frac{(175 - 157.14)^2}{157.14} = \frac{(17.86)^2}{157.14} \approx \frac{318.98}{157.14} \approx 2.03$
• 男性不錄取：$\frac{(225 - 242.86)^2}{242.86} = \frac{(-17.86)^2}{242.86} \approx \frac{318.98}{242.86} \approx 1.31$
• 女性錄取：$\frac{(100 - 117.86)^2}{117.86} = \frac{(-17.86)^2}{117.86} \approx \frac{318.98}{117.86} \approx 2.71$
• 女性不錄取：$\frac{(200 - 182.14)^2}{182.14} = \frac{(17.86)^2}{182.14} \approx \frac{318.98}{182.14} \approx 1.75$

總卡方統計量：$\chi^2 \approx 2.03 + 1.31 + 2.71 + 1.75 = 7.80$

5. 決定自由度 (Degrees of Freedom, df)：
對於獨立性檢定，自由度計算公式為：$df = (R - 1) \times (C - 1)$，其中 $R$ 是列數，$C$ 是欄數。
在此，$R = 2$ (男性, 女性), $C = 2$ (錄取, 不錄取)。
$df = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1 \times 1 = 1$

6. 判斷統計顯著性：
通常我們會設定一個顯著水準（$\alpha$），例如 $\alpha = 0.05$。
我們要比較計算出的 $\chi^2$ 值 (7.80) 與在 $df=1$ 和 $\alpha=0.05$ 下的卡方臨界值。
查卡方分布表，df=1，$\alpha=0.05$ 時的臨界值約為 3.841。

本題考驗對常態分配 (Normal Distribution) 特性的理解，包括機率計算、Z分數轉換、百分位數概念，以及中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。

已知條件：TOEIC 成績呈常態分配，平均值 $\mu = 530$，標準差 $\sigma = 100$。

A. 考生分數介於250到630分的機率為何?(2分)
我們需要計算 $P(250 \le X \le 630)$。首先將分數轉換為 Z 分數：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

• 對於 $X = 250$：$Z_1 = \frac{250 - 530}{100} = \frac{-280}{100} = -2.80$
• 對於 $X = 630$：$Z_2 = \frac{630 - 530}{100} = \frac{100}{100} = 1.00$

現在我們需要計算 $P(-2.80 \le Z \le 1.00)$。
這可以表示為 $P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$。
查閱標準常態分配表 (附件一)：

• $P(Z \le 1.00) \approx 0.8413$ (這是累積機率，即從負無限大到 1.00 的面積)
• $P(Z \le -2.80) = P(Z \ge 2.80)$ (由於常態分配的對稱性)
  從附件一的 Right-Tail Probabilities 表來看，查找 2.80 的值：
  對於 $Z=2.8$，右尾機率是 0.0026。所以 $P(Z \ge 2.80) = 0.0026$。
  因此，$P(Z \le -2.80) = 0.0026$。
  或者，使用累積機率表，查找 -2.80 的值，通常是 $P(Z \le -2.80) \approx 0.0026$。

所以，機率為：
$P(250 \le X \le 630) = P(-2.80 \le Z \le 1.00) = P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$
$P(250 \le X \le 630) \approx 0.8413 - 0.0026 = 0.8387$

【答案】約 0.8387

B. 若某校研究所甄試入學將 TOEIC 成績高於630者列為審核加分的標準,假設有200位學生
報名甄試該研究所,且所有參加甄試學生皆有TOEIC 成績,且其成績也呈現常態分配,請
問有多少甄試學生能夠獲得加分?(2分)
我們需要計算 $P(X > 630)$，然後乘以學生總數。
從 A 部分的計算，我們知道 $X = 630$ 對應的 Z 分數是 $Z = 1.00$。
所以，我們需要計算 $P(Z > 1.00)$。
查閱附件一的 Standard Normal Distribution Table (Right-Tail Probabilities)：
對於 $Z=1.0$，右尾機率 (即 $P(Z > 1.00)$) 是 0.1587。

因此，能獲得加分的學生比例是 0.1587。
學生總數為 200。
獲得加分的學生人數 = $200 \times P(X > 630) = 200 \times 0.1587 \approx 31.74$。
由於人數必須是整數，我們通常會四捨五入。

【答案】約 32 位學生。

C. 承上題B,若假設要以 TOEIC 成績先篩選前30%的學生作為二階段口試的門檻,則應該如何
指定該標準?(2分)
這是一個尋找百分位數 (percentile) 的問題。我們要找出一個分數 $X_{cut}$，使得 $P(X \ge X_{cut}) = 0.30$。

核心觀念

本題考查「迴歸斜率」與「兩變項變異程度」的關係。

若以練習測驗分數 $X$ 預測正式測驗分數 $Y$，簡單線性迴歸的斜率為：

$$b=r_{XY}\frac{s_Y}{s_X}$$

其中：

• $b$：迴歸斜率
• $r_{XY}$：練習測驗與正式測驗的相關係數
• $s_X$：練習測驗的標準差
• $s_Y$：正式測驗的標準差

題目給定 $b=0.997$，但沒有提供相關係數 $r_{XY}$。因此，不能直接把 $0.997$ 解讀為兩個測驗標準差的比值。

解題方法

由斜率公式可得：

$$\frac{s_Y}{s_X}=\frac{b}{r_{XY}} =\frac{0.997}{r_{XY}}$$

正式測驗是否比練習測驗具有更大的變異，取決於 $r_{XY}$：

• 若 $r_{XY}<0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}>1$，正式測驗的變異較大。
• 若 $r_{XY}=0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}=1$，兩者變異相同。
• 若 $r_{XY}>0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}<1$，練習測驗的變異較大。

本題考驗對殘差標準差 ($S_e$) 的定義與單位理解。

$S_e$ 是殘差標準差 (Standard Error of the Estimate 或 Residual Standard Deviation)。
殘差 (Residuals) 是實際觀測值與迴歸線預測值之間的差異。
$e_i = y_i - \hat{y}_i$
其中 $y_i$ 是實際的觀測值，$\hat{y}_i$ 是迴歸模型預測的值。

殘差標準差 $S_e$ 是這些殘差的標準差。
$S_e = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} e_i^2}{n-k-1}}$
其中 $n$ 是樣本大小，$k$ 是迴歸模型中的預測變數個數（在此為 1，即練習測驗分數）。

本題主要考驗對多元迴歸中預測值的計算，以及相關係數與因果關係的區別。

已知條件：

• 丈夫與妻子的教育水平相關係數 $r = 0.50$。
• 平均受正規學校教育年數 (丈夫與妻子皆同)：$\mu_X = \mu_Y = 12$ 年。
• 標準差 (丈夫與妻子皆同)：$\sigma_X = \sigma_Y = 3$ 年。
• 假設 $X$ 代表丈夫的教育年數，$Y$ 代表妻子的教育年數。

A. 某婦女的丈夫受正規學校教育年數為18年,預期而言,該名婦女的教育水平為多少年?
這實際上是問：已知丈夫的教育年數 ($X=18$)，預測妻子的教育年數 ($Y$)。
這是一個利用迴歸線進行預測的問題。
迴歸方程為：$\hat{Y} = \mu_Y + r \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X)$
由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} = 1$。
因此，迴歸方程簡化為：$\hat{Y} = \mu_Y + r(X - \mu_X)$
代入已知數值：
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times (18 - 12)$
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times 6$
$\hat{Y} = 12 + 3$
$\hat{Y} = 15$

預期而言，該名婦女的教育水平為 15 年。
【答案】15 年

B. 某男子的妻子受正規學校教育年數為15年,預期而言,該名男子之教育水平為多少年?
這實際上是問：已知妻子的教育年數 ($Y=15$)，預測丈夫的教育年數 ($X$)。
我們需要建立 $X$ 對 $Y$ 的迴歸方程。
迴歸方程為：$\hat{X} = \mu_X + r \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y)$
同樣，由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_X}{\sigma_Y} = 1$。
迴歸方程簡化為：$\hat{X} = \mu_X + r(Y - \mu_Y)$
代入已知數值：
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times (15 - 12)$
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times 3$
$\hat{X} = 12 + 1.5$
$\hat{X} = 13.5$

預期而言，該名男子的教育水平為 13.5 年。
【答案】13.5 年

C. 一般來說,教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻。這是否仍然意味著丈夫的教育水準與妻子的教育水準應為負相關,而非如題中所述的正相關?另外,當丈夫與妻子的教育水平若呈現如題中所述的正相關時,是否意味著在所觀察的樣本中,婦女不可能嫁給教育程度比她們還低的男子?請詳述理由。

第一部分：正相關與「高男娶低女」現象
題目中提到「教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻」。這句話描述了一種社會現象，即「高配低」的婚姻模式。然而，這並不直接意味著丈夫與妻子的教育水平之間應該是「負相關」。

• 相關係數的定義：相關係數衡量的是兩個變數之間線性關係的強度和方向。正相關表示當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加；負相關表示當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。
• 「高男娶低女」與正相關的關係：即使存在「高男娶低女」的現象，丈夫和妻子的教育水平仍然可能呈現正相關。這是因為：
  1. 相關係數是平均趨勢：相關係數描述的是整體樣本的平均趨勢。即使有「高男娶低女」的個案，也可能存在「高男娶高女」或「低男娶高女」等其他組合。如果「高男娶高女」的個案數量足夠多，或者「低男娶低女」的個案也很多，那麼整體上就可能呈現正相關。
  2. 極端值與平均值：一個極端的現象（如「高男娶極低女」）不一定能決定整體變數的相關性。例如，如果大部分夫妻的教育水平都比較接近（例如，丈夫和妻子都受過大學教育），那麼他們之間就會呈現正相關，即使有一些「高男娶低女」的案例。
  3. 「娶」的單向性 vs. 變數的雙向性：社會現象的描述（「男子娶女子」）是單向的，但教育水平的變數是雙向的。我們觀察的是丈夫的教育水平和妻子的教育水平之間的關係。即使男性在婚姻選擇中扮演主導角色，這也不會自動將教育水平的相關性從正轉為負。

本題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 的應用，特別是獨立性檢定，用於檢視兩個分類變數之間是否存在關聯。在這裡，我們要檢視「性別」與「錄取結果」之間是否獨立，以判斷是否存在性別歧視。

1. 確立研究問題與統計檢定方法：
研究問題：申請入學的錄取結果是否受到性別的影響？換句話說，「性別」和「錄取結果」這兩個變數是獨立的，還是存在關聯？
統計檢定方法：由於我們有兩個分類變數（性別：男性/女性；錄取結果：錄取/不錄取），適合使用卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence)。

2. 設立虛無與對立假設：

• 虛無假設 ($H_0$)：性別與錄取結果是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率沒有顯著差異，不存在性別歧視。
• 對立假設 ($H_1$)：性別與錄取結果不是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率存在顯著差異，可能存在性別歧視。

3. 計算各組的預期次數 (Expected Frequencies)：
根據虛無假設，如果性別與錄取結果獨立，那麼每個單元格中的預期次數可以透過以下公式計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$

• 男性錄取：$E_{11} = \frac{400 \times 275}{700} \approx 157.14$
• 男性不錄取：$E_{12} = \frac{400 \times 425}{700} \approx 242.86$
• 女性錄取：$E_{21} = \frac{300 \times 275}{700} \approx 117.86$
• 女性不錄取：$E_{22} = \frac{300 \times 425}{700} \approx 182.14$

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量計算公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數，$E_{ij}$ 是預期次數。

• 男性錄取：$\frac{(175 - 157.14)^2}{157.14} = \frac{(17.86)^2}{157.14} \approx \frac{318.98}{157.14} \approx 2.03$
• 男性不錄取：$\frac{(225 - 242.86)^2}{242.86} = \frac{(-17.86)^2}{242.86} \approx \frac{318.98}{242.86} \approx 1.31$
• 女性錄取：$\frac{(100 - 117.86)^2}{117.86} = \frac{(-17.86)^2}{117.86} \approx \frac{318.98}{117.86} \approx 2.71$
• 女性不錄取：$\frac{(200 - 182.14)^2}{182.14} = \frac{(17.86)^2}{182.14} \approx \frac{318.98}{182.14} \approx 1.75$

總卡方統計量：$\chi^2 \approx 2.03 + 1.31 + 2.71 + 1.75 = 7.80$

5. 決定自由度 (Degrees of Freedom, df)：
對於獨立性檢定，自由度計算公式為：$df = (R - 1) \times (C - 1)$，其中 $R$ 是列數，$C$ 是欄數。
在此，$R = 2$ (男性, 女性), $C = 2$ (錄取, 不錄取)。
$df = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1 \times 1 = 1$

6. 判斷統計顯著性：
通常我們會設定一個顯著水準（$\alpha$），例如 $\alpha = 0.05$。
我們要比較計算出的 $\chi^2$ 值 (7.80) 與在 $df=1$ 和 $\alpha=0.05$ 下的卡方臨界值。
查卡方分布表，df=1，$\alpha=0.05$ 時的臨界值約為 3.841。

本題考驗對常態分配 (Normal Distribution) 特性的理解，包括機率計算、Z分數轉換、百分位數概念，以及中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。

已知條件：TOEIC 成績呈常態分配，平均值 $\mu = 530$，標準差 $\sigma = 100$。

A. 考生分數介於250到630分的機率為何?(2分)
我們需要計算 $P(250 \le X \le 630)$。首先將分數轉換為 Z 分數：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

• 對於 $X = 250$：$Z_1 = \frac{250 - 530}{100} = \frac{-280}{100} = -2.80$
• 對於 $X = 630$：$Z_2 = \frac{630 - 530}{100} = \frac{100}{100} = 1.00$

現在我們需要計算 $P(-2.80 \le Z \le 1.00)$。
這可以表示為 $P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$。
查閱標準常態分配表 (附件一)：

• $P(Z \le 1.00) \approx 0.8413$ (這是累積機率，即從負無限大到 1.00 的面積)
• $P(Z \le -2.80) = P(Z \ge 2.80)$ (由於常態分配的對稱性)
  從附件一的 Right-Tail Probabilities 表來看，查找 2.80 的值：
  對於 $Z=2.8$，右尾機率是 0.0026。所以 $P(Z \ge 2.80) = 0.0026$。
  因此，$P(Z \le -2.80) = 0.0026$。
  或者，使用累積機率表，查找 -2.80 的值，通常是 $P(Z \le -2.80) \approx 0.0026$。

所以，機率為：
$P(250 \le X \le 630) = P(-2.80 \le Z \le 1.00) = P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$
$P(250 \le X \le 630) \approx 0.8413 - 0.0026 = 0.8387$

【答案】約 0.8387

B. 若某校研究所甄試入學將 TOEIC 成績高於630者列為審核加分的標準,假設有200位學生
報名甄試該研究所,且所有參加甄試學生皆有TOEIC 成績,且其成績也呈現常態分配,請
問有多少甄試學生能夠獲得加分?(2分)
我們需要計算 $P(X > 630)$，然後乘以學生總數。
從 A 部分的計算，我們知道 $X = 630$ 對應的 Z 分數是 $Z = 1.00$。
所以，我們需要計算 $P(Z > 1.00)$。
查閱附件一的 Standard Normal Distribution Table (Right-Tail Probabilities)：
對於 $Z=1.0$，右尾機率 (即 $P(Z > 1.00)$) 是 0.1587。

因此，能獲得加分的學生比例是 0.1587。
學生總數為 200。
獲得加分的學生人數 = $200 \times P(X > 630) = 200 \times 0.1587 \approx 31.74$。
由於人數必須是整數，我們通常會四捨五入。

【答案】約 32 位學生。

C. 承上題B,若假設要以 TOEIC 成績先篩選前30%的學生作為二階段口試的門檻,則應該如何
指定該標準?(2分)
這是一個尋找百分位數 (percentile) 的問題。我們要找出一個分數 $X_{cut}$，使得 $P(X \ge X_{cut}) = 0.30$。

核心觀念

本題考查「迴歸斜率」與「兩變項變異程度」的關係。

若以練習測驗分數 $X$ 預測正式測驗分數 $Y$，簡單線性迴歸的斜率為：

$$b=r_{XY}\frac{s_Y}{s_X}$$

其中：

• $b$：迴歸斜率
• $r_{XY}$：練習測驗與正式測驗的相關係數
• $s_X$：練習測驗的標準差
• $s_Y$：正式測驗的標準差

題目給定 $b=0.997$，但沒有提供相關係數 $r_{XY}$。因此，不能直接把 $0.997$ 解讀為兩個測驗標準差的比值。

解題方法

由斜率公式可得：

$$\frac{s_Y}{s_X}=\frac{b}{r_{XY}} =\frac{0.997}{r_{XY}}$$

正式測驗是否比練習測驗具有更大的變異，取決於 $r_{XY}$：

• 若 $r_{XY}<0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}>1$，正式測驗的變異較大。
• 若 $r_{XY}=0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}=1$，兩者變異相同。
• 若 $r_{XY}>0.997$，則 $\frac{s_Y}{s_X}<1$，練習測驗的變異較大。

本題考驗對殘差標準差 ($S_e$) 的定義與單位理解。

$S_e$ 是殘差標準差 (Standard Error of the Estimate 或 Residual Standard Deviation)。
殘差 (Residuals) 是實際觀測值與迴歸線預測值之間的差異。
$e_i = y_i - \hat{y}_i$
其中 $y_i$ 是實際的觀測值，$\hat{y}_i$ 是迴歸模型預測的值。

殘差標準差 $S_e$ 是這些殘差的標準差。
$S_e = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} e_i^2}{n-k-1}}$
其中 $n$ 是樣本大小，$k$ 是迴歸模型中的預測變數個數（在此為 1，即練習測驗分數）。

本題主要考驗對多元迴歸中預測值的計算，以及相關係數與因果關係的區別。

已知條件：

• 丈夫與妻子的教育水平相關係數 $r = 0.50$。
• 平均受正規學校教育年數 (丈夫與妻子皆同)：$\mu_X = \mu_Y = 12$ 年。
• 標準差 (丈夫與妻子皆同)：$\sigma_X = \sigma_Y = 3$ 年。
• 假設 $X$ 代表丈夫的教育年數，$Y$ 代表妻子的教育年數。

A. 某婦女的丈夫受正規學校教育年數為18年,預期而言,該名婦女的教育水平為多少年?
這實際上是問：已知丈夫的教育年數 ($X=18$)，預測妻子的教育年數 ($Y$)。
這是一個利用迴歸線進行預測的問題。
迴歸方程為：$\hat{Y} = \mu_Y + r \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X - \mu_X)$
由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} = 1$。
因此，迴歸方程簡化為：$\hat{Y} = \mu_Y + r(X - \mu_X)$
代入已知數值：
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times (18 - 12)$
$\hat{Y} = 12 + 0.50 \times 6$
$\hat{Y} = 12 + 3$
$\hat{Y} = 15$

預期而言，該名婦女的教育水平為 15 年。
【答案】15 年

B. 某男子的妻子受正規學校教育年數為15年,預期而言,該名男子之教育水平為多少年?
這實際上是問：已知妻子的教育年數 ($Y=15$)，預測丈夫的教育年數 ($X$)。
我們需要建立 $X$ 對 $Y$ 的迴歸方程。
迴歸方程為：$\hat{X} = \mu_X + r \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y - \mu_Y)$
同樣，由於 $\sigma_X = \sigma_Y = 3$，所以 $\frac{\sigma_X}{\sigma_Y} = 1$。
迴歸方程簡化為：$\hat{X} = \mu_X + r(Y - \mu_Y)$
代入已知數值：
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times (15 - 12)$
$\hat{X} = 12 + 0.50 \times 3$
$\hat{X} = 12 + 1.5$
$\hat{X} = 13.5$

預期而言，該名男子的教育水平為 13.5 年。
【答案】13.5 年

C. 一般來說,教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻。這是否仍然意味著丈夫的教育水準與妻子的教育水準應為負相關,而非如題中所述的正相關?另外,當丈夫與妻子的教育水平若呈現如題中所述的正相關時,是否意味著在所觀察的樣本中,婦女不可能嫁給教育程度比她們還低的男子?請詳述理由。

第一部分：正相關與「高男娶低女」現象
題目中提到「教育程度高的男子很有可能娶教育程度比他們低的女子為妻」。這句話描述了一種社會現象，即「高配低」的婚姻模式。然而，這並不直接意味著丈夫與妻子的教育水平之間應該是「負相關」。

• 相關係數的定義：相關係數衡量的是兩個變數之間線性關係的強度和方向。正相關表示當一個變數增加時，另一個變數也傾向於增加；負相關表示當一個變數增加時，另一個變數傾向於減少。
• 「高男娶低女」與正相關的關係：即使存在「高男娶低女」的現象，丈夫和妻子的教育水平仍然可能呈現正相關。這是因為：
  1. 相關係數是平均趨勢：相關係數描述的是整體樣本的平均趨勢。即使有「高男娶低女」的個案，也可能存在「高男娶高女」或「低男娶高女」等其他組合。如果「高男娶高女」的個案數量足夠多，或者「低男娶低女」的個案也很多，那麼整體上就可能呈現正相關。
  2. 極端值與平均值：一個極端的現象（如「高男娶極低女」）不一定能決定整體變數的相關性。例如，如果大部分夫妻的教育水平都比較接近（例如，丈夫和妻子都受過大學教育），那麼他們之間就會呈現正相關，即使有一些「高男娶低女」的案例。
  3. 「娶」的單向性 vs. 變數的雙向性：社會現象的描述（「男子娶女子」）是單向的，但教育水平的變數是雙向的。我們觀察的是丈夫的教育水平和妻子的教育水平之間的關係。即使男性在婚姻選擇中扮演主導角色，這也不會自動將教育水平的相關性從正轉為負。

本題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 的應用，特別是獨立性檢定，用於檢視兩個分類變數之間是否存在關聯。在這裡，我們要檢視「性別」與「錄取結果」之間是否獨立，以判斷是否存在性別歧視。

1. 確立研究問題與統計檢定方法：
研究問題：申請入學的錄取結果是否受到性別的影響？換句話說，「性別」和「錄取結果」這兩個變數是獨立的，還是存在關聯？
統計檢定方法：由於我們有兩個分類變數（性別：男性/女性；錄取結果：錄取/不錄取），適合使用卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence)。

2. 設立虛無與對立假設：

• 虛無假設 ($H_0$)：性別與錄取結果是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率沒有顯著差異，不存在性別歧視。
• 對立假設 ($H_1$)：性別與錄取結果不是獨立的。也就是說，男性和女性的錄取率存在顯著差異，可能存在性別歧視。

3. 計算各組的預期次數 (Expected Frequencies)：
根據虛無假設，如果性別與錄取結果獨立，那麼每個單元格中的預期次數可以透過以下公式計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$

• 男性錄取：$E_{11} = \frac{400 \times 275}{700} \approx 157.14$
• 男性不錄取：$E_{12} = \frac{400 \times 425}{700} \approx 242.86$
• 女性錄取：$E_{21} = \frac{300 \times 275}{700} \approx 117.86$
• 女性不錄取：$E_{22} = \frac{300 \times 425}{700} \approx 182.14$

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量計算公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數，$E_{ij}$ 是預期次數。

• 男性錄取：$\frac{(175 - 157.14)^2}{157.14} = \frac{(17.86)^2}{157.14} \approx \frac{318.98}{157.14} \approx 2.03$
• 男性不錄取：$\frac{(225 - 242.86)^2}{242.86} = \frac{(-17.86)^2}{242.86} \approx \frac{318.98}{242.86} \approx 1.31$
• 女性錄取：$\frac{(100 - 117.86)^2}{117.86} = \frac{(-17.86)^2}{117.86} \approx \frac{318.98}{117.86} \approx 2.71$
• 女性不錄取：$\frac{(200 - 182.14)^2}{182.14} = \frac{(17.86)^2}{182.14} \approx \frac{318.98}{182.14} \approx 1.75$

總卡方統計量：$\chi^2 \approx 2.03 + 1.31 + 2.71 + 1.75 = 7.80$

5. 決定自由度 (Degrees of Freedom, df)：
對於獨立性檢定，自由度計算公式為：$df = (R - 1) \times (C - 1)$，其中 $R$ 是列數，$C$ 是欄數。
在此，$R = 2$ (男性, 女性), $C = 2$ (錄取, 不錄取)。
$df = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1 \times 1 = 1$

6. 判斷統計顯著性：
通常我們會設定一個顯著水準（$\alpha$），例如 $\alpha = 0.05$。
我們要比較計算出的 $\chi^2$ 值 (7.80) 與在 $df=1$ 和 $\alpha=0.05$ 下的卡方臨界值。
查卡方分布表，df=1，$\alpha=0.05$ 時的臨界值約為 3.841。

本題考驗對常態分配 (Normal Distribution) 特性的理解，包括機率計算、Z分數轉換、百分位數概念，以及中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。

已知條件：TOEIC 成績呈常態分配，平均值 $\mu = 530$，標準差 $\sigma = 100$。

A. 考生分數介於250到630分的機率為何?(2分)
我們需要計算 $P(250 \le X \le 630)$。首先將分數轉換為 Z 分數：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

• 對於 $X = 250$：$Z_1 = \frac{250 - 530}{100} = \frac{-280}{100} = -2.80$
• 對於 $X = 630$：$Z_2 = \frac{630 - 530}{100} = \frac{100}{100} = 1.00$

現在我們需要計算 $P(-2.80 \le Z \le 1.00)$。
這可以表示為 $P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$。
查閱標準常態分配表 (附件一)：

• $P(Z \le 1.00) \approx 0.8413$ (這是累積機率，即從負無限大到 1.00 的面積)
• $P(Z \le -2.80) = P(Z \ge 2.80)$ (由於常態分配的對稱性)
  從附件一的 Right-Tail Probabilities 表來看，查找 2.80 的值：
  對於 $Z=2.8$，右尾機率是 0.0026。所以 $P(Z \ge 2.80) = 0.0026$。
  因此，$P(Z \le -2.80) = 0.0026$。
  或者，使用累積機率表，查找 -2.80 的值，通常是 $P(Z \le -2.80) \approx 0.0026$。

所以，機率為：
$P(250 \le X \le 630) = P(-2.80 \le Z \le 1.00) = P(Z \le 1.00) - P(Z \le -2.80)$
$P(250 \le X \le 630) \approx 0.8413 - 0.0026 = 0.8387$

【答案】約 0.8387

B. 若某校研究所甄試入學將 TOEIC 成績高於630者列為審核加分的標準,假設有200位學生
報名甄試該研究所,且所有參加甄試學生皆有TOEIC 成績,且其成績也呈現常態分配,請
問有多少甄試學生能夠獲得加分?(2分)
我們需要計算 $P(X > 630)$，然後乘以學生總數。
從 A 部分的計算，我們知道 $X = 630$ 對應的 Z 分數是 $Z = 1.00$。
所以，我們需要計算 $P(Z > 1.00)$。
查閱附件一的 Standard Normal Distribution Table (Right-Tail Probabilities)：
對於 $Z=1.0$，右尾機率 (即 $P(Z > 1.00)$) 是 0.1587。

因此，能獲得加分的學生比例是 0.1587。
學生總數為 200。
獲得加分的學生人數 = $200 \times P(X > 630) = 200 \times 0.1587 \approx 31.74$。
由於人數必須是整數，我們通常會四捨五入。

【答案】約 32 位學生。

C. 承上題B,若假設要以 TOEIC 成績先篩選前30%的學生作為二階段口試的門檻,則應該如何
指定該標準?(2分)
這是一個尋找百分位數 (percentile) 的問題。我們要找出一個分數 $X_{cut}$，使得 $P(X \ge X_{cut}) = 0.30$。