111 年 國立臺灣大學社會學系碩士班《社會研究方法》

核心觀念

本題考查「兩事件交集機率」的乘法法則，以及條件機率的定義。

條件機率定義為：

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A)>0$$

將等式整理，可得：

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$$

同理，由：

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

可得另一種等價寫法：

$$P(A\cap B)=P(B)\times P(A\mid B)$$

因此，交集機率可以從事件 $A$ 出發，也可以從事件 $B$ 出發計算。

解題方法

直接將題目所求的 $P(A\cap B)$，與乘法法則：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B)$$

逐一比對即可。

題目選項中的 $A/B$ 應視為條件機率記號 $A\mid B$ 的排版表示，亦即 $P(A\mid B)$。

選項分析

A. $P(A)\times P(A/B)$

若 $A/B$ 表示 $A\mid B$，此式為：

$$P(A)\times P(A\mid B)$$

正確的乘法法則應為：

$$P(A)\times P(B\mid A)$$

因此條件機率的事件順序顛倒，錯誤。

B. $P(B)\times P(B\mid A)$

正確的以 $P(B)$ 為基礎的寫法應為：

$$P(B)\times P(A\mid B)$$

本題考驗對標準常態分布 (Standard Normal Distribution) 的理解，以及如何查詢或計算機率值。

標準常態分布是指平均數 $\mu=0$ 且標準差 $\sigma=1$ 的常態分布，通常用變數 $Z$ 表示。其機率密度函數為 $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$。

題目要求計算標準常態變數 $Z$ 落在區間 $(-2, 0)$ 的機率，即 $P(-2 < Z < 0)$。

由於標準常態分布是對稱於平均數 0 的，因此：
$P(-2 < Z < 0) = P(0 < Z < 2)$

我們可以利用標準常態分布表 (Z-table) 或統計軟體來查詢這個機率。標準常態分布表通常提供 $P(0 < Z < z)$ 的值。

查詢 Z=2 的機率：
從標準常態分布表中，我們可以查到 $P(0 < Z < 2)$ 的值。
通常，Z-table 會給出 $P(Z < z)$ 或 $P(0 < Z < z)$。

本題考驗對「抽樣誤差」(Sampling Error) 的理解。

抽樣誤差是指由於僅抽取樣本進行研究，而未能涵蓋母體 (population) 中的所有個體，所造成的樣本統計量 (sample statistic) 與母體參數 (population parameter) 之間的差異。

我們逐一分析各選項：

A. This type of error cannot be totally prevented even when one is using the optimum sample design.

• 這是關於抽樣誤差最核心的描述。即使採用最佳的抽樣設計 (如隨機抽樣)，只要不是普查 (census)，就必然存在抽樣誤差。這是抽樣本身的本質所導致，無法完全消除。

B. This type of error can be controlled by being accurate in calculations.

• 準確的計算可以減少計算誤差 (calculation error)，但不能直接控制或消除抽樣誤差。抽樣誤差與抽樣方法、樣本大小、母體變異性等因素有關，而非計算的準確性。

本題考驗對簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS) 特性的理解。

簡單隨機抽樣是一種基本的抽樣方法，其中母體中的每一個個體都有相等且獨立的機會被選入樣本。

我們逐一分析各選項：

A. Costs of sampling will be minimized.

• 簡單隨機抽樣不一定能使抽樣成本最小化。在實際操作中，如果母體中的個體在地理上分散，簡單隨機抽樣可能需要花費較高的交通和時間成本來接觸選中的個體。其他抽樣方法，如集群抽樣 (cluster sampling)，在地理分散的母體中可能更具成本效益。

B. Some members of the population will still have greater probabilities of being included in the sample than other members of the population.

• 這是簡單隨機抽樣的定義所反對的。在簡單隨機抽樣中，母體中的每個成員都應該有相等的機率被選入樣本。此選項描述的是非隨機抽樣或偏差抽樣的情況。

本題考驗對 Chebyshev's Theorem (切比雪夫不等式) 和 Empirical Rule (經驗法則) 的理解與比較。

1. Chebyshev's Theorem (CT):

   • 適用於任何分布的數據。
   • 給出一個下限，說明至少有多少比例的數據落在平均數 $\mu$ 的 $k$ 個標準差 ($\sigma$) 範圍內。
   • 對於任意 $k > 1$，至少有 $1 - \frac{1}{k^2}$ 的數據落在 $(\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)$ 區間內。
   • 例如，對於 $k=2$，至少有 $1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 75\%$ 的數據落在 $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$ 區間內。
   • 對於 $k=3$，至少有 $1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88.9\%$ 的數據落在 $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$ 區間內。

2. Empirical Rule (ER) (也稱為 68-95-99.7 Rule):

   • 僅適用於近似常態分布 (bell-shaped, mound-shaped) 的數據。
   • 給出一個近似的比例：
     • 約 68% 的數據落在 $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$ 區間內。
     • 約 95% 的數據落在 $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$ 區間內。
     • 約 99.7% 的數據落在 $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$ 區間內。

比較兩者：

• 適用範圍： CT 適用於任何分布，ER 僅適用於近似常態分布。
• 保守性 (Conservatism)： 由於 CT 適用範圍更廣，不依賴於分布形態，因此它給出的比例通常比 ER 更保守 (即，CT 聲稱的比例下限通常比 ER 在常態分布下的實際比例低)。換句話說，對於常態分布，ER 的比例更精確，而 CT 則給出了一個更低的保證比例。

分析選項：

核心觀念

本題考查：

1. 補事件：事件 $A$ 不發生記為 $A^c$，其機率為
   $P(A^c)=1-P(A)$

2. 獨立事件：若 $A$ 與 $B$ 獨立，則
   $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

   而事件的補事件也彼此獨立，因此
   $P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c)$

題目所問的「neither A nor B will occur」就是「$A$ 不發生且 $B$ 不發生」，即：

$$A^c\cap B^c$$

解題方法

已知：

$$P(A)=0.2,\qquad P(B)=0.7$$

先求兩事件不發生的機率：

$$P(A^c)=1-0.2=0.8$$ $$P(B^c)=1-0.7=0.3$$

由於 $A$ 與 $B$ 獨立，$A^c$ 與 $B^c$ 也獨立，因此：

$$P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c)$$ $$=0.8\times 0.3=0.24$$

所以，$A$ 與 $B$ 都不發生的機率為 $0.24$。

選項分析

• A. 0.14：錯誤。
  $0.14=0.2\times0.7$，這是 $P(A\cap B)$，代表 $A$ 與 $B$ 同時發生的機率，不是兩者都不發生的機率

本題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。

中央極限定理是統計學中的一個重要定理，它描述了當樣本數量足夠大時，樣本統計量 (特別是樣本平均數) 的抽樣分布的形態。

CLT 的核心內容是：
無論母體本身的分布形態如何，只要樣本量 $n$ 足夠大 (通常認為 $n \ge 30$)，則樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布將近似於常態分布。
此外，這個近似常態分布的平均數等於母體平均數 $\mu$，標準差 (稱為標準誤, standard error) 等於母體標準差 $\sigma$ 除以樣本大小的平方根 $\sqrt{n}$。即：
$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ (近似)

現在我們逐一分析選項：

A. The CLT states that the sample mean, $\bar{x}$, is always equal to $\mu$.

• 這是錯誤的。CLT 說明的是樣本平均數的抽樣分布的形態，而不是說任何一個樣本平均數 $\bar{x}$ 都等於母體平均數 $\mu$。樣本平均數 $\bar{x}$ 通常不等於 $\mu$，它們之間的差異就是抽樣誤差。

B. The CLT states that for large samples, $\bar{x}$, is always equal to $\mu$.

本題考驗對「不偏估計量」(Unbiased Estimator) 的定義和性質的理解。

定義：
一個統計量 $T$ 被稱為參數 $\theta$ 的不偏估計量，如果 $T$ 的抽樣分布的期望值 (平均值) 等於參數 $\theta$ 的真實值。
數學表示為：$E(T) = \theta$。

現在我們逐一分析選項：

A. The variance of the sampling distribution of T is $\sigma/\sqrt{n}$.

• 這是錯誤的。$\sigma/\sqrt{n}$ 是母體平均數 $\mu$ 的標準誤 (standard error)。如果 $T$ 是樣本平均數 $\bar{X}$，那麼其抽樣分布的標準差 (標準誤) 就是 $\sigma/\sqrt{n}$。但題目並未說明 $T$ 就是樣本平均數，它只是一個不偏估計量。即使 $T = \bar{X}$，這個公式也應是 $\sigma^2/n$ 的平方根，即 $\sigma/\sqrt{n}$，但題目寫的是 $\sigma/\sqrt{n}$，這本身作為標準差的表達可能正確，但前提是 $T$ 是 $\bar{X}$。更重要的是，題目沒有給定 $T$ 的具體形式，所以不能假設。

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval) 的理解，特別是樣本大小對信賴區間寬度的影響。

信賴區間的結構通常為：
$\text{Point Estimate} \pm \text{Margin of Error}$

其中：

• Point Estimate (點估計量)：通常是樣本統計量，如樣本平均數 $\bar{x}$。
• Margin of Error (誤差範圍)：由信賴水準和樣本大小決定。對於平均數的信賴區間，誤差範圍的公式通常是：
  • 若母體標準差 $\sigma$ 已知： $\text{Margin of Error} = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
  • 若母體標準差 $\sigma$ 未知，使用樣本標準差 $s$： $\text{Margin of Error} = t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

其中，$z_{\alpha/2}$ 或 $t_{\alpha/2, n-1}$ 是與信賴水準相關的臨界值 (critical value)，$\alpha$ 是顯著水準 ($1 - \text{Confidence Level}$)，$n$ 是樣本大小。

題目要求探討「在給定信賴水準下，如果樣本大小 $n$ 減少，會發生什麼情況？」

信賴區間的寬度 (Width) 是：
$\text{Width} = \text{Upper Limit} - \text{Lower Limit} = 2 \times \text{Margin of Error}$

如果樣本大小 $n$ 減少，則 $\sqrt{n}$ 的值也會減少。
在誤差範圍的公式中，$\sqrt{n}$ 出現在分母的位置。
因此，當 $n$ 減少時，$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 會增加。

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval) 概念的正確理解，特別是信賴水準 (Confidence Level) 的含義。

信賴水準 95% 的意思是指，如果我們重複進行多次抽樣，並為每次抽樣計算一個 95% 的信賴區間，那麼在所有這些計算出的區間中，平均而言有 95% 的區間會包含真實的母體參數 (population parameter)。

我們逐一分析選項：

A. 95% of the time the computed interval will include the sample mean.

• 這是錯誤的。信賴區間是用來估計母體參數的，而不是樣本平均數。樣本平均數 $\bar{x}$ 本身就是點估計量，它就在區間的中心（或非常接近中心）。信賴區間的目的是涵蓋母體參數 $\mu$，而不是樣本平均數 $\bar{x}$。

本題考驗對 t 分布 (t-distribution) 特性的理解。

t 分布是一種在統計學中常用於小樣本推論的機率分布，尤其是在母體標準差未知時進行平均數的假設檢定和信賴區間估計。

t 分布有以下幾個主要特性：

1. 對稱性 (Symmetry)：t 分布是以 0 為中心的對稱分布，這意味著其平均數為 0。
2. 單參數 (Single Parameter)：t 分布由一個參數決定，即「自由度」(degrees of freedom, 簡寫為 df 或 $\nu$)。自由度的大小影響 t 分布的形狀。
3. 尾部較厚 (Heavier Tails)：相較於標準常態分布 (Z 分布)，t 分布的尾部更厚，這表示極端值出現的機率較高。這使得在小樣本下，t 分布比 Z 分布需要更大的樣本統計量來達到相同的顯著水準。
4. 隨自由度變化的形狀：
   • 當自由度 $df$ 較小時，t 分布的尾部更厚，分布更平坦。
   • 隨著 $df$ 的增加，t 分布逐漸變得更像標準常態分布。
   • 當 $df \to \infty$ 時，t 分布趨近於標準常態分布。
5. 平均數與標準差：
   • 平均數 (Expected Value) $\mu = 0$ (對於所有 $df > 0$)。
   • 變異數 (Variance) $\sigma^2 = \frac{df}{df-2}$ (對於 $df > 2$)。

本題考驗關於母體變異數 (population variance, $\sigma^2$) 的假設檢定中，所使用的檢定統計量 (test statistic)。

檢定 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ vs. $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$ 是檢定母體變異數是否等於一個特定值 $\sigma_0^2$。

在這種情況下，我們通常使用卡方檢定 (Chi-squared test)。該檢定基於樣本變異數 $s^2$ 與母體變異數 $\sigma_0^2$ 的比例。

卡方檢定統計量 ($X^2$) 的公式為：
$X^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$

其中：

• $n$ 是樣本大小。
• $s^2$ 是樣本變異數。
• $\sigma_0^2$ 是虛無假設 (null hypothesis) 中假設的母體變異數值。

本題考驗對兩種母體變異數比率的檢定統計量的分布理解。

題目中的比例是 $\frac{s_1^2/s_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}$。
這個表達式可以改寫為 $\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$。

我們知道，如果從一個具有變異數 $\sigma^2$ 的常態母體中抽取樣本，則樣本變異數 $s^2$ 與母體變異數 $\sigma^2$ 的比例，除以自由度 $n-1$，會服從卡方分布。
具體來說，如果 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是來自一個平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ 的常態母體的一個樣本，且樣本大小為 $n$，則：
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$

因此，對於兩個獨立的常態母體，第一個母體的樣本變異數 $s_1^2$ (來自大小為 $n_1$ 的樣本) 與其母體變異數 $\sigma_1^2$ 的比例，除以自由度 $n_1-1$，服從自由度為 $n_1-1$ 的卡方分布：
$\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2_{n_1-1}$

同理，對於第二個母體 (來自大小為 $n_2$ 的樣本)：
$\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2_{n_2-1}$

當我們考慮兩個獨立卡方變數的比率，並且將其標準化後，服從 F 分布。
標準化的 F 分布統計量是：
$F = \frac{\chi^2_{df1}/df1}{\chi^2_{df2}/df2}$

將上述卡方變數代入：
$\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2} = \chi^2_{n_1-1}$ =>

本題考驗對「多項分布實驗」(Multinomial Experiment) 的定義和特性的理解。

多項分布實驗是二項分布實驗 (Binomial Experiment) 的推廣，用於描述一個實驗中，每次試驗有 k 個以上的可能結果。其主要特性包括：

1. 固定數量的試驗 (Fixed number of trials)：實驗由 $n$ 次獨立且相同的試驗組成。
2. 結果分類 (Categorical outcomes)：每次試驗的結果必須屬於 $k$ 個互斥且窮盡的類別 (或稱「細胞」)。
3. 獨立性 (Independence)：每次試驗的結果彼此獨立。
4. 機率固定 (Constant probabilities)：對於每一次試驗，每個類別的發生機率是固定的，不隨試驗次數的進行而改變。設 $p_i$ 為第 $i$ 個類別發生的機率，則 $\sum_{i=1}^k p_i = 1$。

現在我們逐一分析選項：

本題考驗對卡方檢定 (Chi-squared test) 在列聯表 (Contingency Table) 中的應用條件和規則的理解。

卡方檢定用於分析兩個類別變數之間是否存在關聯性。在列聯表中，我們比較觀察到的次數 (observed frequencies, $O$) 與根據虛無假設 (通常是獨立性) 計算出的期望次數 (expected frequencies, $E$)。

卡方檢定的主要條件和規則包括：

1. 樣本大小：總樣本數應該足夠大。

2. 期望次數 (Expected Counts)：這是最關鍵的條件之一。為了確保卡方統計量的近似有效性，所有的期望單元格次數 ($E$) 都應該足夠大。

   • 傳統的規則是：所有期望單元格次數應大於或等於 5。
   • 一個更寬鬆的規則是：最多允許 20% 的期望單元格次數小於 5，但沒有一個期望單元格次數應小於 1。
   • 然而，最常見且較為保守的建議是所有期望單元格次數 $\ge 5$。

3. 自由度 (Degrees of Freedom, df)：對於一個 $r \times c$ 的列聯表，檢定獨立性的卡方檢定的自由度是 $df = (r-1)(c-1)$。

現在我們逐一分析選項：

核心觀念

單因子 ANOVA 中：

• 處理平方和：$SS_T$
• 誤差平方和：$SS_E$
• 總平方和：$SS_{\text{Total}}=SS_T+SS_E$
• 均方：$MS=\dfrac{SS}{df}$
• $F=\dfrac{MS_T}{MS_E}$
• 總自由度：$df_{\text{Total}}=n-1$

其中 $n$ 為觀察值總數。

解題方法

題目給定誤差均方：

$$MS_E=25$$

且處理的 $F$ 值為 $2$，因此：

$$F=\frac{MS_T}{MS_E}$$ $$2=\frac{MS_T}{25}$$ $$MS_T=50$$

處理自由度為 $2$，所以處理平方和：

$$SS_T=MS_T\times df_T=50\times 2=100$$

總平方和為 $325$，因此誤差平方和：

$$SS_E=325-100=225$$

誤差自由度為：

$$df_E=\frac{SS_E}{MS_E} =\frac{225}{25}=9$$

總自由度：

本題考驗對相關係數 (correlation coefficient, $r$) 與判定係數 (coefficient of determination, $R^2$) 的理解。

在簡單線性迴歸 (simple linear regression) 中，判定係數 $R^2$ 是由相關係數 $r$ 計算而得的，其關係為 $R^2 = r^2$。

判定係數 $R^2$ 的意義是：
模型中自變數 (independent variable, 如 x) 解釋了應變數 (dependent variable, 如 y) 總變異量的比例。
換句話說，$R^2$ 代表了因變數的總平方和 (Total Sum of Squares, SST) 中，有多少比例的變異量可以被自變數所解釋。

題目給定：

• 相關係數 $r_{xy} = 0.7$。
• 迴歸方法為最小平方法 (least-squares technique)。

首先，計算判定係數 $R^2$：
$R^2 = r_{xy}^2 = (0.7)^2 = 0.49$。

這個 $R^2 = 0.49$ 的意思是，自變數 $x$ 解釋了應變數 $y$ 的總變異量的 49%。
「平方偏差」(squared deviations) 指的就是變異量。
所以，49% 的 $y$ 的平方偏差 (總變異量) 被 $x$ 所解釋。

現在我們分析選項：

本題考驗對卡方適合度檢定 (Chi-square Goodness-of-Fit Test) 的尾部性質的理解。

卡方適合度檢定用於評估一個樣本的觀察次數分布是否與一個理論上的預期分布 (例如，均勻分布、常態分布、或特定比例的類別) 相符。

檢定的統計量是卡方統計量 $X^2$，其計算公式為：
$X^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
其中：

• $O_i$ 是第 $i$ 個類別的觀察次數。
• $E_i$ 是第 $i$ 個類別的期望次數。
• $k$ 是類別的數量。

卡方統計量 $X^2$ 的值總是非負的 ($X^2 \ge 0$)。

• 如果觀察次數與期望次數非常接近，則 $(O_i - E_i)^2$ 的值會很小，導致 $X^2$ 的值接近於 0。
• 如果觀察次數與期望次數差異很大，則 $(O_i - E_i)^2$ 的值會很大，導致 $X^2$ 的值較大。

在進行假設檢定時，虛無假設 $H_0$ 通常是「觀察到的分布與預期分布相符」。
對立假設 $H_1$ 則是「觀察到的分布與預期分布不符」。

核心觀念

本題考查統計推論中**多重比較問題（Multiple Comparisons Problem）與型一誤差膨脹（Type I Error Inflation / Family-wise Error Rate, FWER）**的基本原理，以及為什麼在比較多組母體平均數時，不能直接進行多次獨立樣本 $t$ 檢定（Multiple $t$-tests），而必須採用變異數分析（ANOVA）。

• 型一誤差（Type I Error, $\alpha$）：虛無假說（$H_0$）為真，檢定結果卻錯誤拒絕 $H_0$ 的機率（即「偽陽性」False Positive）。
• 整體型一誤差率（Family-wise Error Rate, FWER）：在同一組研究架構下進行多次假設檢定時，至少犯一次型一誤差的總機率。

---

解題方法

假設研究者要比較 $m$ 個組別的母體平均數（$m \ge 3$），若採用兩兩成對的獨立樣本 $t$ 檢定，總共需執行的檢定次數為：

$$k = \binom{m}{2} = \frac{m(m-1)}{2}$$

若每次檢定設定的顯著水準為 $\alpha$（例如 $\alpha = 0.05$），且每次檢定彼此獨立：

1. 單次檢定中「正確保留真虛無假說（未犯型一誤差）」的機率為：

$$P(\text{No Type I error in 1 test}) = 1 - \alpha$$

2. 在所有虛無假說皆為真的情況下，$k$ 次檢定「全部皆正確保留真虛無假說」的機率為：

$$P(\text{No Type I error in all } k \text{ tests}) = (1 - \alpha)^k$$

3. 因此，「至少犯一次型一誤差（至少錯誤拒絕一個虛無假說）」的整體機率為：

$$\text{FWER} = 1 - (1 - \alpha)^k$$

隨著比較的組數增加，檢定次數 $k$ 呈平方級數增長，導致整體型一誤差率 $\text{FWER}$ 迅速上升（例如：當 $\alpha = 0.05$、$m=4$ 組時需做 $k=6$ 次檢定，$\text{FWER} = 1 - (0.95)^6 \approx 0.265$，即超過 $26.5\%$ 的機率會出現偽陽性）。

這正是執行多次 $t$ 檢定最大的缺點，也是統計學上發展單因子變異數分析（One-way ANOVA）來進行整體檢定（Omnibus test）的核心原因。

---

選項分析

本題考驗對 ANOVA (變異數分析) 中 F 檢定有效性的基本假設的理解。

ANOVA 的 F 檢定用於比較兩個或多個群體（或處理組）的平均數。為了使 F 檢定的結果有效，有三個核心的統計假設需要滿足：

1. 常態性 (Normality)：每個群體的母體分布都應該近似於常態分布。也就是說，來自各組的數據在各自的母體中應該是常態分布的。
2. 獨立性 (Independence)：各組內的觀察值以及各組之間的觀察值都必須是相互獨立的。這通常與抽樣設計有關。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of Variances / Equal Variances)：各個群體的母體變異數應該相等。也就是說，各組數據的離散程度應該大致相同。

現在我們逐一分析選項：

A. normality, large sample sizes, and equal group variances.

• 包含「large sample sizes」是不正確的。

本題考驗對最小平方法 (Least Squares Method) fitting直線的特性的理解。最小平方法是用來找出最適合數據的直線，它最小化實際值與預測值之間差異的平方和。

我們逐一分析各選項：

A. it gives the best fit to the data in the sense that it makes the sum of squared deviations from the line less than any other straight line

• 這是最小平方法的核心定義。最小平方法找到的直線是使得殘差平方和 (sum of squared residuals, SSR) 最小的那條直線。殘差就是實際值與預測值之間的偏差。所以這個說法是正確的。

B. the larger the population from which the sample is drawn, the better the fit.

• 這句話的邏輯是：母體越大，樣本的擬合就越好。這是不正確的。樣本的擬合程度（例如 $R^2$ 值）主要取決於數據點的離散程度、變數之間的關係強度，以及樣本量的大小，而與母體的大小沒有直接關係。即使從一個非常大的母體中抽取一個很小的樣本，如果樣本數據點本身沒有呈現出強烈的線性關係，擬合也不會「更好」。反之，即使母體不大，但樣本數據點完美地落在一直線上，擬合也會是完美的。因此，這個說法是錯誤的。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中，如何對斜率參數 $b_1$ 建立信賴區間。

模型為：

$$y_i=b_0+b_1x_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $b_0$：截距；
• $b_1$：母體斜率；
• $\varepsilon_i$：誤差項；
• $\hat b_1$：由樣本估計出的斜率。

在標準迴歸模型下，斜率估計量的抽樣分配為：

$$\frac{\hat b_1-b_1}{SE(\hat b_1)}\sim t_{n-2}$$

因此，$b_1$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為：

$$\hat b_1\pm t_{\alpha/2,n-2}SE(\hat b_1)$$

這個有限樣本的 $t$ 分配結果，主要建立在誤差項 $\varepsilon_i$ 服從常態分配的假設上：

$$\varepsilon_i\overset{iid}{\sim}N(0,\sigma^2)$$

常態誤差使得 $\hat b_1$ 具有常態抽樣分配，並使標準化後的統計量服從 $t$ 分配，因而能精確建構斜率的信賴區間。

解題方法

判斷關鍵在於：題目問的是「哪一項假設允許建構斜率的信賴區間」，不是問迴歸模型本身需要哪些條件。

在簡單線性迴歸中，斜率估計量可寫為：

$$\hat b_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}$$

將 $y_i=b_0+b_1x_i+\varepsilon_i$ 代入，可得：

$$\hat b_1 = b_1+ \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)\varepsilon_i} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}$$

當誤差項為常態分配時，分子是常態隨機變數，因此：

$$\hat b_1\sim N\left( b_1,\, \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2} \right)$$

實務上 $\sigma^2$ 未知，必須用殘差變異數 $s^2$ 估計。此時：

$$SE(\hat b_1) = \frac{s}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}}$$

在常態誤差假設下，將未知的 $\sigma$ 替換成 $s$ 後，統計量服從自由度為 $n-2$ 的 $t$ 分配：

$$\frac{\hat b_1-b_1}{SE(\hat b_1)} \sim t_{n-2}$$

所以可以使用 $t$ 臨界值建立信賴區間。故本題最直接且正確的選項是誤差項常態分配。

選項分析

A. $y$ is independent of $x_1$

錯誤。

第一，簡單線性迴歸的目的正是描述 $x$ 與 $y$ 之間的關係。若 $y$ 與 $x$ 完全獨立，母體斜率通常為零，將失去以 $x$ 解釋 $y$ 的迴歸意義。

本題考驗對複迴歸 (Multiple Regression) 結果的解讀，特別是估計係數、標準誤、以及模型假設的理解。

給定的迴歸方程為：
$y_i = 6.4 + 3.26x_i - 3.87z_i + \epsilon_i$

括號中的數字是估計的標準誤 (estimated standard errors, SE)：

• SE of intercept (6.4) is 0.48.
• SE of coefficient of $x_i$ (3.26) is 2.21.
• SE of coefficient of $z_i$ (-3.87) is 1.11.
  樣本大小 $n=20$。

我們需要判斷哪個解釋不是完全正確的。

A. $x_i$ has a positive effect on $y_i$.

• 係數 $\hat{\beta}_1 = 3.26$ 是正數，表示當 $x_i$ 增加時，$y_i$ 傾向於增加 (在控制 $z_i$ 的情況下)。
• 檢定這個係數的顯著性：$t_{x_i} = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{3.26}{2.21} \approx 1.475$。
• 對於 $n=20$，自由度 $df = n-k-1 = 20-2-1 = 17$ (k=2 個自變數)。
• 查 t 分布表，在 df=17 下，雙尾 0.10 的臨界值約為 1.746，雙尾 0.05 的臨界值約為 2.110。
• 由於 $t_{x_i} \approx 1.475$ 小於顯著水準 0.05 或 0.10 的臨界值，這個正向效應在統計上不顯著。
• 但是，題目問的是「正向效應」，係數本身是正的，這表示「方向」是正向的。即使不顯著，係數的方向仍然是正的。所以，「有正向效應」這個說法，從係數符號來看是正確的，只是其統計顯著性不高。
• 嚴格來說，只能說「趨勢是正向的」，但說「有正向效應」時，通常暗示了統計顯著性。

B. y decrease as $z_i$ increases.

• 係數 $\hat{\beta}_z = -3.87$ 是負數，表示當 $z_i$ 增加時，$y_i$ 傾向於減少 (在控制 $x_i$ 的情況下)。
• 檢定這個係數的顯著性：$t_{z_i} = \frac{\hat{\beta}_z}{SE(\hat{\beta}_z)} = \frac{-3.87}{1.11} \approx -3.486$。
• 這個 t 值 (-3.486) 的絕對值大於 df=17 下的顯著水準 0.05 或 0.01 的臨界值 (約 2.110 或 2.900)。

本題考驗對「虛擬變數」(Dummy Variable) 在迴歸模型中應用的規則。

虛擬變數（或稱指示變數, indicator variable）是用來將類別變數 (categorical variable) 轉換為數值變數，以便在迴歸模型中使用。

假設一個類別變數有 $L$ 個類別 (levels)。
在迴歸模型中，我們通常使用 $L-1$ 個虛擬變數來代表這個類別變數。這種方法稱為「參考類別」(reference category) 或「虛擬變數陷阱」(dummy variable trap) 的處理方式。

具體來說：

• 我們選擇其中一個類別作為「參考類別」。
• 對於其他 $L-1$ 個類別，我們分別創建一個虛擬變數。
• 當觀察值屬於某個類別時，對應的虛擬變數取值為 1，否則為 0。
• 參考類別的所有虛擬變數都取值為 0。

這樣做的目的是避免共線性 (multicollinearity)。如果我們為每個類別都創建一個虛擬變數 (共 $L$ 個)，並且同時包含截距項，那麼這 $L$ 個虛擬變數與截距項之間就會存在完全的線性關係 (例如，所有虛擬變數的總和等於 $L$ 個截距項的係數，這會導致模型無法唯一確定係數)。

現在我們逐一分析選項：

A. The number of dummy variables entered for the qualitative variable is always one less than the number of levels of the qualitative variable.

• 這是正確的。

本題考驗對二次函數 (quadratic function) 的圖形及其行為的理解。

給定的方程是 $\hat{y} = 2 + 3.1x - 1.5x^2$。這是一個二次函數，其圖形是一個拋物線。

這個函數的形式是 $\hat{y} = ax^2 + bx + c$，其中 $a = -1.5$, $b = 3.1$, $c = 2$。
由於二次項係數 $a = -1.5$ 是負數，所以這個拋物線的開口是向下的。

開口向下的拋物線有一個最高點 (maximum point)，這個點是拋物線的頂點。
頂點的 x 座標可以通過公式 $x = -b/(2a)$ 來計算。
$x = -\frac{3.1}{2 \times (-1.5)} = -\frac{3.1}{-3} = \frac{3.1}{3} \approx 1.033$。

這意味著：

• 當 $x$ 小於約 1.033 時，隨著 $x$ 的增加，$\hat{y}$ 會增加。
• 當 $x$ 等於約 1.033 時，$\hat{y}$ 達到最大值。
• 當 $x$ 大於約 1.033 時，隨著 $x$ 的增加，$\hat{y}$ 會減少。

所以，這個函數的行為是：當 $x$ 增加時，$\hat{y}$ 先增加到一個最大值，然後開始減少。

現在我們逐一分析選項：

分層抽樣 (Stratified Sampling)

分層抽樣是一種機率抽樣方法，其主要目的是提高樣本的代表性，並在某些情況下提高估計的效率。

核心概念：

1. 分層 (Stratification)：首先將母體 (population) 根據某個或某些相關的特徵（例如：年齡、性別、地區、教育程度、收入等級等）劃分成若干個互斥且窮盡的子群體，這些子群體稱為「層」(strata)。
2. 層內抽樣 (Sampling within strata)：然後，從每一個層中獨立地抽取一個樣本。
3. 樣本組合 (Combining samples)：最後，將從各層抽取的樣本組合起來，形成最終的總體樣本。

目的與優點：

• 提高代表性：確保母體中不同子群體（層）在樣本中得到適當的比例表示，特別是當某些層的比例很小時，分層抽樣可以保證這些層的樣本量足夠，避免在簡單隨機抽樣中可能因機率小而被忽略。

知情同意 (Informed Consent)

知情同意是倫理學和研究方法論中的一項重要原則，尤其在涉及人類參與者的研究中。它指的是在研究參與者自願參與一項研究之前，必須充分告知他們關於研究的相關資訊，並獲得他們在理解這些資訊後，自願同意參與的過程。

核心要素：

1. 充分告知 (Disclosure)：研究者必須向潛在的參與者提供關於研究的全面、準確且易於理解的資訊，包括：
   • 研究的目的和背景。
   • 研究的程序和方法（包括預計的參與時間、採取的措施等）。
   • 研究的潛在風險、不適或副作用，以及可能的益處。
   • 參與的自願性，以及參與者有權隨時退出研究，且不會受到任何懲罰或影響。
   • 參與者個人資訊的保密措施，以及數據的使用方式。
   • 緊急情況下的聯繫方式，以及研究的相關諮詢管道。
   • 任何可能的利益衝突。

效度 (Validity)

在研究方法論中，效度是指一個測量工具或研究設計能夠準確地測量到其預定要測量的概念或變數的程度。簡單來說，就是「測得準不準」、「研究的結論是否真實」。

效度可以從不同的角度來理解，最常見的是以下幾種：

1. 測量工具的效度 (Measurement Validity)：
   • 內容效度 (Content Validity)：測量工具是否涵蓋了所要測量的概念的所有重要面向。例如，一份數學測驗如果只考加法，就缺乏對乘法、除法等內容的涵蓋，內容效度就不足。
   • 表面效度 (Face Validity)：測量工具看起來是否能夠測量到想要測量的概念。這是一種主觀的判斷，由受試者或非專業人士根據表面的樣子來判斷。
   • 效標效度 (Criterion Validity)：測量工具的結果與某個外部的效標 (criterion) 的相關程度。
     • 同時效度 (Concurrent Validity)：測量工具的結果與現有的、已證實有效的效標同時期的結果相關的程度。例如，一個新的憂鬱症量表得分與已廣泛使用的憂鬱症量表得分的相關性。
     • 預測效度 (Predictive Validity)：測量工具的結果在預測未來效標表現上的能力。例如，大學入學考試成績預測大學期間學業成績的能力。
   • 建構效度 (Construct Validity)：測量工具是否準確地測量了其聲稱要測量的理論建構 (theoretical construct)。

橫斷面研究 (Cross-sectional Study)

橫斷面研究是一種觀察性研究設計，其特點是在某一個特定的時間點，對研究對象（個體、群體或社群）的某個或某些變數進行一次性的測量和數據收集。

核心特徵：

1. 時間點 (Single Point in Time)：數據收集發生在單一時間點，如同「橫切」或「快照」一般，捕捉當下狀態。
2. 觀察性 (Observational)：研究者僅觀察和記錄現有的變數，不對研究對象進行干預或操縱。
3. 同時測量 (Simultaneous Measurement)：通常一次性測量自變數和應變數（或感興趣的變數）。

目的：

• 描述現況：了解某個時間點上，特定變數在母體中的分佈情況（例如，某地區高齡人口的健康狀況、某時期學生的學習動機分佈）。
• 探討關聯性：在同一時間點上，探討不同變數之間是否存在關聯（例如，探討運動習慣與睡眠品質之間的關係）。

此題為研究設計題，要求結合量化與質化研究方法，探討少子化成因。題目要求提出一個解釋少子化成因的假設，並設計相應的研究。

第一步：提出少子化成因的假設

少子化成因眾多，題目也列舉了一些，如高房價、育兒成本、薪資停滯、性別不平等、女性教育程度提高、價值觀改變等。我們需要選擇其中一個或幾個，形成一個可驗證的假設。

這裡我們提出一個假設：「高育兒成本與低薪資停滯共同造成了年輕世代對生育的經濟壓力，進而降低生育意願。」
這個假設結合了經濟因素（育兒成本、薪資）和個人決策（生育意願）。

第二步：設計量化研究 (15分)

研究目標： 驗證「高育兒成本與低薪資停滯共同造成年輕世代生育意願降低」的假設。

1. 數據需求與測量方法：

• 依變項 (Dependent Variable, Y)：生育意願 (Fertility Intention)

  • 測量方法：問卷調查。可以設計量表，詢問受訪者未來生育子女的計畫、理想子女數、對生育的態度等。例如，使用李克特量表 (Likert scale) 評估「我計劃在未來五年內生育」、「我認為擁有一個孩子是可行的」等陳述句的同意程度。也可以直接詢問「您未來打算生育幾個小孩？」
  • 指標：可以是一個連續變數（理想子女數）、一個排序變數（生育意願程度：非常願意到非常不願意）或是一個類別變數（已計畫生育、考慮生育、不計畫生育）。

• 自變項 (Independent Variables, X)：

  • 育兒成本 (Cost of Child-rearing)
    • 測量方法：問卷調查。詢問受訪者對於養育一個孩子預計需要花費的金額（包含教育、醫療、日常開銷等），或詢問對於特定育兒開銷（如托育費用、補習費用）的感知壓力。也可以收集客觀數據，如不同地區的托育費用、教育支出平均值。
    • 指標：感知育兒成本（量表分數）、預計育兒花費金額、或利用客觀數據（如地區平均育兒費用）。
  • 薪資停滯 (Wage Stagnation)
    • 測量方法：問卷調查。詢問受訪者過去五年或十年的薪資變化情況，或詢問他們對自己薪資增長速度的感知。也可以收集客觀數據，如個人過去幾年的實際薪資收入、或根據年齡/職位/行業的平均薪資增長率。
    • 指標：感知薪資增長緩慢程度、個人薪資增長率、或與同儕相比的薪資水平。

• 控制變項 (Control Variables)：

  • 人口學變項：
    • 年齡 (Age)：不同年齡層的生育觀念和經濟狀況可能不同。測量方法：直接詢問。
    • 性別 (Gender)：男女生育意願和對成本的感受可能不同。測量方法：直接詢問。
    • 教育程度 (Education Level)：女性教育程度提高是題目中提到的因素之一。測量方法：詢問最高學歷。
    • 婚姻狀況 (Marital Status)：已婚、未婚、同居等。測量方法：直接詢問。
    • 居住地區 (Region of Residence)：如都會區與非都會區的房價、物價、生活壓力差異。測量方法：詢問居住城市或地區。
  • 價值觀變項 (Value Orientation)：
    • 對傳統家庭價值觀的認同程度：例如，對「養兒防老」、「傳宗接代」等觀念的看法。測量方法：李克特量表。
    • 對個人發展的重視程度：例如，對事業發展、個人興趣、生活品質的重視程度。測量方法：李克特量表。
  • 其他經濟因素：
    • 房價負擔能力 (Housing Affordability)：如房價所得比、每月房貸/租金佔收入比例。測量方法：問卷或收集客觀數據。

2. 統計分析方法：

• 描述性統計 (Descriptive Statistics)：首先對所有變項進行描述性統計分析，包括計算平均數、標準差、頻率分佈等，以了解樣本的基本特徵和變項的分佈情況。
• 相關性分析 (Correlation Analysis)：計算自變項（育兒成本、薪資停滯）與依變項（生育意願）之間的皮爾森相關係數，初步了解它們的線性關係強度和方向。
• 複迴歸分析 (Multiple Regression Analysis)：
  • 將生育意願作為依變項 (Y)。
  • 將育兒成本和薪資停滯作為主要自變項 (X1, X2)。
  • 將人口學變項、價值觀變項、房價等納入控制變項 (X3, X4, ...)。
  • 模型形式：$Y = \beta_0 + \beta_1 \text{Cost} + \beta_2 \text{Wage} + \beta_3 \text{Age} + ... + \epsilon$
  • 分析重點：
    • 檢查 $\beta_1$ (育兒成本的係數) 和 $\beta_2$ (薪資停滯的係數) 的符號、大小和統計顯著性 (p-value)。
    • 如果 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都是負數且統計顯著，則支持「高育兒成本和低薪資停滯會降低生育意願」的假設。
    • 同時，檢查控制變項的影響，確保自變項對依變項的影響是獨立存在的。
    • 評估模型的整體擬合優度，如 $R^2$ 值。
• 其他統計方法 (可選)：
  • 結構方程模型 (Structural Equation Modeling, SEM)：如果假設的關係較為複雜（例如，認為薪資停滯影響房價，再共同影響生育意願），SEM 可以更靈活地建模。
  • 分組比較 (Group Comparison)：例如，比較高育兒成本組與低育兒成本組的生育意願是否存在顯著差異 (t-test 或 ANOVA)。

3. 推論限制 (Limitations)：

• 相關不等於因果 (Correlation is not Causation)：儘管複迴歸分析可以控制一些變項，但橫斷面數據本質上難以建立嚴格的因果關係。可能存在未測量的混淆變數。