113 年 國立成功大學電信管理研究所《經濟學》

核心觀念

1. 需求價格彈性（Price Elasticity of Demand, $E_d$）：
   衡量需求量對價格變動的敏感程度。定義為「需求量變動百分比」除以「價格變動百分比」。在經濟學慣例中，為方便比較大小，通常取絕對值表示。

2. 中點法（Midpoint Method / Arc Elasticity）：
   傳統百分比計算會因「起點（基期）」不同而得出不同的彈性值（如從 $200 漲到 $250 與從 $250 跌到 $200 計算結果不同）。中點法以兩點的「平均值」作為分母計算變動百分比，可消除起點選擇的相依性：
   $E_d = \left| \frac{\% \Delta Q}{\% \Delta P} \right| = \left| \frac{\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_1 + Q_2) / 2}}{\frac{P_2 - P_1}{(P_1 + P_2) / 2}} \right|$

3. 影響需求價格彈性的決定因素：

   • 必需品 vs. 奢侈品（Necessity vs. Luxury）：必需品彈性小，奢侈品彈性大。
   • 替代品多寡與時間彈性（Substitutes and Time Horizon）：替代品越多、行程調配越靈活，彈性越大。
   • 支出負擔者（Who Pays the Bill）：自付費用對價格較敏感；公費報銷對價格較不敏感。

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解題方法

子題 (a) 計算需求價格彈性

1. 計算票價變動百分比（$\% \Delta P$）：
   當票價由 $P_1 = 200$ 上升至 $P_2 = 250$：

   • 價格變動量：$\Delta P = 250 - 200 = 50$
   • 價格平均值：$P_{\text{avg}} = \frac{200 + 250}{2} = 225$
   • 價格變動百分比：
     $\% \Delta P = \frac{50}{225} = \frac{2}{9}$

2. 計算商務旅客（Business Travelers）之需求價格彈性：
   當票價從 $200 升至 $250，商務旅客需求量由 $Q_1 = 2000$ 變動至 $Q_2 = 1900$：

   • 數量變動量（取絕對值）：$|\Delta Q| = |1900 - 2000| = 100$
   • 數量平均值：$Q_{\text{avg}} = \frac{2000 + 1900}{2} = 1950$
   • 需求量變動百分比：
     $\% \Delta Q_{\text{business}} = \frac{100}{1950} = \frac{2}{39}$
   • 商務旅客需求價格彈性：
     $E_{d, \text{business}} = \frac{\frac{2}{39}}{\frac{2}{9}} = \frac{2}{39} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{39} = \frac{3}{13} \approx 0.23$

3. 計算度假旅客（Vacationers）之需求價格彈性：
   當票價從 $200 升至 $250，度假旅客需求量由 $Q_1 = 800$ 變動至 $Q_2 = 600$：

   • 數量變動量（取絕對值）：$|\Delta Q| = |600 - 800| = 200$
   • 數量平均值：$Q_{\text{avg}} = \frac{800 + 600}{2} = 700$
   • 需求量變動百分比：

核心觀念

本題旨在測驗個體經濟學中市場均衡（Market Equilibrium）之決定機制，以及政府介入實施價格管制（Price Controls）——包括**價格下限（Price Floor）與價格上限（Price Ceiling）**對市場價格與實際交易量之影響。

1. 市場均衡條件：
   在競爭市場中，市場均衡發生於需求量等於供給量（$Q_d = Q_s$）之價格水準，此時市場結清（Market Clears），無超額需求或超額供給。
2. 價格管制之約束力（Binding）：
   • 價格下限（Price Floor）：政府規定的法定最低售價。唯有當法定下限高於均衡價格（$\text{Price Floor} > P^*$）時，才會產生實質約束力（Binding），導致市場價格上升，並引發超額供給（Excess Supply / Surplus）。
   • 價格上限（Price Ceiling）：政府規定的法定最高售價。唯有當法定上限低於均衡價格（$\text{Price Ceiling} < P^*$）時，才會產生實質約束力（Binding），導致市場價格下降，並引發超額需求（Excess Demand / Shortage）。
3. 短邊法則（Short-side Rule）：
   在自願交易的市場原則下，非均衡狀態時的實際市場成交量由市場兩端較少的一方（即短邊）決定： $$Q = \min(Q_d, Q_s)$$

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解題方法與推導步驟

(a) 求解飛盤之市場均衡價格與均衡數量

由題目所給定之供需排程表（Demand and Supply Schedule）：

價格（Price）	需求量（$Q_d$）	供給量（$Q_s$）	市場狀態
$11	1 百萬個	15 百萬個	超額供給 14 百萬個
$10	2 百萬個	12 百萬個	超額供給 10 百萬個
$9	4 百萬個	9 百萬個	超額供給 5 百萬個
$8	6 百萬個	6 百萬個	市場結清（均衡）
$7	8 百萬個	3 百萬個	超額需求 5 百萬個
$6	10 百萬個	1 百萬個	超額需求 9 百萬個

當價格為 $8 時，$Q_d = 6\text{ 百萬個} = Q_s$，滿足市場結清條件。

• 均衡價格（$P^*$）：$8
• 均衡數量（$Q^*$）：$6\text{ 百萬個}$

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(b) 政府設定高於均衡價格 $2 的價格下限（Price Floor）

1. 計算價格下限水準： $$\text{Price Floor} = P^* + \$2 = \$8 + \$2 = \$10$$
2. 約束力檢驗：
   法定最低價格 $10 高於自由市場均衡價格 $8，依法交易價格不得低於 $10，故該價格下限具約束力（Binding）。
3. 市場價格與實際銷售量：
   • 新市場價格：$10
   • 在價格 $10 下，需求量 $Q_d = 2\text{ 百萬個}$，供給量 $Q_s = 12\text{ 百萬個}$。
   • 根據短邊法則，實際售出數量由買方需求量決定： $$Q = \min(Q_d, Q_s) = \min(2, 12) = 2\text{ 百萬個}$$
   • 此時市場產生 $12 - 2 = 10\text{ 百萬個}$ 之超額供給（市場過剩）。

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(c) 廢除價格下限，改設低於均衡價格之價格上限（Price Ceiling）

1. 約束力檢驗：
   國會設定之價格上限 P_c < P^* = \8$。由於法定最高價格低於自由市場均衡價格，市場自發調節向上之機制受阻，故該價格上限具約束力（Binding）。

核心觀念

本題評量總體經濟學中**國民所得衡量（National Income Accounting）**的核心概念，涵蓋名目 GDP、實質 GDP、GDP 平減指數之定義、計算與經濟福祉的詮釋：

1. 名目國內生產毛額（Nominal GDP, $NGDP_t$）：
   以當期（當年度）市場價格衡量的最終財貨與勞務之產出總值。 $$NGDP_t = \sum (P_{i,t} \times Q_{i,t})$$
2. 實質國內生產毛額（Real GDP, $RGDP_t$）：
   以基期（Base Year）固定價格衡量的最終財貨與勞務之產出總值，用於剔除物價變動的影響，純粹反映「實質產出數量」的變動。 $$RGDP_t = \sum (P_{i,\text{base}} \times Q_{i,t})$$
3. GDP 平減指數（GDP Deflator）：
   衡量一國境內所生產之所有最終財貨與勞務的整體物價水準指標，基期數值固定為 $100$。 $$\text{GDP Deflator}_t = \frac{NGDP_t}{RGDP_t} \times 100$$
4. 經濟福祉（Economic Well-being）的衡量：
   經濟福祉代表社會大眾滿足實質物質生活需求的能力，取決於實際生產與消費的財貨與勞務數量（即實質產出），因此應以**實質 GDP（Real GDP）**而非名目 GDP 來衡量。

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解題方法與詳細推導

以 2020 年為基期（Base Year），基期價格分別為：

• 牛奶基期價格 $P_{\text{milk}, 2020} =$$1
• 蜂蜜基期價格 $P_{\text{honey}, 2020} =$$2

為了完整解答各子題，先行整理各年度的總體指標數據表：

年份	計算式	名目 GDP ($NGDP$)	實質 GDP ($RGDP$)	GDP 平減指數 ($\text{Deflator}$)
2020	$NGDP = 1 \times 100 + 2 \times 50 = 200$<br>$RGDP = 1 \times 100 + 2 \times 50 = 200$	$200	$$$200	$100$
2021	$NGDP = 1 \times 200 + 2 \times 100 = 400$<br>$RGDP = 1 \times 200 + 2 \times 100 = 400$	$400	$$$400	$100$
2022	$NGDP = 2 \times 200 + 4 \times 100 = 800$<br>$RGDP = 1 \times 200 + 2 \times 100 = 400$	$800	$$$400	$200$

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(a) 計算 2022 年的名目 GDP、實質 GDP 與 GDP 平減指數

1. 2022 年名目 GDP ($NGDP_{2022}$)：

   $$NGDP_{2022} = (P_{\text{milk}, 2022} \times Q_{\text{milk}, 2022}) + (P_{\text{honey}, 2022} \times Q_{\text{honey}, 2022})$$ $$NGDP_{2022} = (\$2 \times 200) + (\$4 \times 100) = \$400 + \$400 = \$800$$

2. 2022 年實質 GDP ($RGDP_{2022}$)（以 2020 年為基期）：

   $$RGDP_{2022} = (P_{\text{milk}, 2020} \times Q_{\text{milk}, 2022}) + (P_{\text{honey}, 2020} \times Q_{\text{honey}, 2022})$$ $$RGDP_{2022} = (\$1 \times 200) + (\$2 \times 100) = \$200 + \$200 = \$400$$

3. **2022 年 GDP 平減指數 ($\text{GDP Deflator}_{2022}

核心觀念

1. 期望效用理論（Expected Utility Theory, EUT）：
   在不確定性（Uncertainty）決策環境中，理性的決策者依據「期望效用極大化」（Maximization of Expected Utility）而非「期望報酬極大化」來進行選擇。

   • 某樂透 $\tilde{W} = \{W_1, p_1; W_2, p_2; \dots; W_n, p_n\}$ 的期望值（Expected Value）為： $$E[W] = \sum_{i=1}^{n} p_i W_i$$
   • 該樂透的期望效用（Expected Utility）為： $$E[U(W)] = \sum_{i=1}^{n} p_i U(W_i)$$

2. 風險偏好（Risk Preference）與效用函數之幾何特徵：

   • 風險趨避者（Risk Averter）：面對公平賭局（期望值為零的風險）會選擇拒絕。其財富邊際效用遞減（Diminishing Marginal Utility of Wealth），效用函數 $U(W)$ 呈現嚴格凹函數（Strictly Concave），即： $$U'(W) > 0 \quad \text{且} \quad U''(W) < 0$$
   • 詹森不等式（Jensen's Inequality）：若 $U(W)$ 為嚴格凹函數，則確定獲得期望值財富的效用必嚴格大於承擔風險的期望效用： $$U(E[W]) > E[U(W)]$$

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詳細解題推導

(a) 繪製 Jamal 的效用函數並判斷其風險偏好

1. 一階與二階導數分析：
   Jamal 的效用函數為 $U(W) = W^{1/2} = \sqrt{W}$（其中 $W > 0$）：

   • 一階導數（邊際效用）： $$U'(W) = \frac{d}{dW}\left(W^{1/2}\right) = \frac{1}{2}W^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{W}} > 0$$ 表示財富越多效用越高（滿足不滿足性，Nonsatiation）。
   • 二階導數： $$U''(W) = \frac{d}{dW}\left(\frac{1}{2}W^{-1/2}\right) = -\frac{1}{4}W^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{W^3}} < 0$$ 二階導數恆小於 0，表示邊際效用隨財富增加而遞減。

2. 風險態度判斷：
   因為 $U''(W) < 0$，Jamal 的效用函數為嚴格凹函數（Strictly Concave），具備財富邊際效用遞減之特徵，因此 Jamal 是風險趨避者（Risk Averse）。

3. 圖形描繪（Graph of $U(W)$）：

   • 橫軸為財富 $W$（百萬美元），縱軸為效用水準 $U$。
   • 曲線過原點 $(0, 0)$，並通過關鍵座標點 $(1, 1)$、$(4, 2)$、$(9, 3)$。
   • 圖形自原點向右上方延伸，斜率逐漸變平緩（凸向天頂、向下彎曲），呈現嚴格凹函數曲線（如下圖示意）：

    U (效用)
    ^
  3 |-----------------------. (9, 3)
    |                      /
  2 |------------. (4, 2) /
    |           /|       /
  1 |----. (1,1)/|      /
    |   /|     | |     /   U(W) = W^(1/2) (嚴格凹函數)
  0 +----+-----+-------+-------------------> W (財富，百萬美元)
    0    1     4       9

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(b) 比較方案 A 與 B 的期望獎金（Expected Prize）

• 方案 A（確定獲得 $4 million）：

  $$E[W_A] = 4 \text{（百萬美元）}$$

• 方案 B（以機率 0.6 獲得 $1 million，機率 0.4 獲得 $9 million）：