108 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《通訊系統》

這是一道綜合性的簡答題，涵蓋了調變、解調以及雜訊對訊號的影響。

(a) QAM without Up-conversion
核心觀念：QAM 利用載波的振幅與相位來攜帶兩個獨立的資訊，其基本形式是在同一個載波頻率上，但相位差 90 度。

詳解：
QAM (Quadrature Amplitude Modulation) 的基本原理是利用兩個獨立的基頻訊號 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$，分別調變一個載波及其 90 度相移的載波，然後將兩者相加，得到傳送訊號 $s(t)$。
$s(t) = A_c m_1(t) \cos(2\pi f_c t) - A_c m_2(t) \sin(2\pi f_c t)$
其中 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 分別攜帶兩組獨立的資訊。

問題問的是，是否可以在不進行載波上變頻 (up-converting) 的情況下傳輸 QAM 訊號。這裡的「上變頻」通常指的是將基頻訊號 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 轉換到一個較高的載波頻率 $f_c$。QAM 的定義本身就包含了使用一個載波頻率 $f_c$。

如果問題的意思是，是否可以在基頻 (baseband) 傳輸，即 $f_c = 0$，那麼答案是不行。
理由如下：

1. 頻譜重疊問題：如果 $f_c = 0$，則訊號變成 $s(t) = A_c m_1(t) - A_c m_2(t) \sin(\pi \cdot 0 \cdot t) = A_c m_1(t)$。此時，訊號 $s(t)$ 僅由 $m_1(t)$ 決定，而 $m_2(t)$ 的資訊完全消失了。即使我們考慮 $m_2(t)$ 乘以 $\sin(0)$，$\sin(0)=0$，所以 $m_2(t)$ 的資訊無法被傳送。
2. 解調困難：即使我們嘗試用 $f_c=0$ 的載波進行解調，例如將訊號乘以 $\cos(0)$ 和 $\sin(0)$，會得到 $s(t)\cos(0) = s(t)$ 和 $s(t)\sin(0) = 0$。這無法分離出 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$。

因此，QAM 訊號需要一個非零的載波頻率 $f_c$ 來將兩個獨立的資訊訊號分離開來，並在接收端進行解調。若不進行載波上變頻（即 $f_c=0$），則無法傳輸 QAM 訊號。

【答案】不行。QAM 訊號的設計是利用載波的同相 (in-phase) 和正交 (quadrature) 分量來傳輸兩個獨立的資訊。如果載波頻率 $f_c=0$ (即不進行上變頻)，則訊號會變成 $s(t) = A_c m_1(t) \cos(0) - A_c m_2(t) \sin(0) = A_c m_1(t)$，此時 $m_2(t)$ 的資訊將會消失，無法傳輸。

(b) FM 訊號的頻率鑑別器解調原理
核心觀念：頻率鑑別器 (frequency discriminator) 的作用是將頻率的變化轉換為振幅的變化，進而恢復調變訊號。

詳解：
調頻 (FM) 訊號的瞬時頻率與調變訊號 $m(t)$ 成正比，其數學表示為：
$f_i(t) = f_c + k_f m(t)$
其中 $f_c$ 是載波頻率，$k_f$ 是頻率靈敏度。
訊號 $s(t)$ 的形式為：
$s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau)d\tau)$
請注意，這裡的相位項是 $2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau)d\tau$，這表示訊號的瞬時頻率為 $f_c + k_f m(t)$。

頻率鑑別器通常由兩個主要部分組成：

1. 斜坡電路 (Slope Circuit)：這個電路的作用是將輸入訊號的頻率變化轉換為振幅變化。最常見的實現方式是使用一個調諧電路（例如 LC 電路）或稱為「調諧濾波器」。這個調諧電路的中心頻率被設定在略微偏離載波頻率 $f_c$ 的地方。當輸入訊號的頻率變化時，經過這個調諧電路後，其輸出訊號的振幅就會根據該頻率與調諧電路中心頻率的偏差而變化。理想情況下，這個電路的響應是線性的，即輸出振幅與輸入頻率之間存在一個線性關係。
   $V_{out} \propto f_i(t) - f_{center}$
   如果調諧電路的中心頻率 $f_{center}$ 被設定為 $f_c$，且其響應是線性的，那麼經過這個斜坡電路後，輸出的振幅 $V_{out}(t)$ 就會與調變訊號 $m(t)$ 成正比。

2. 包絡檢波器 (Envelope Detector)：包絡檢波器是一個非線性電路，通常由一個二極體、一個電阻和一個電容組成。它的作用是提取輸入訊號的包絡（即振幅）。由於經過斜坡電路後，訊號的振幅已經與調變訊號 $m(t)$ 成正比，包絡檢波器就能夠將這個振幅變化提取出來，從而恢復出調變訊號 $m(t)$。

總結操作原理：
FM 訊號 $s(t)$ 的頻率變化攜帶了資訊 $m(t)$。

1. 斜坡電路將輸入訊號的頻率變化轉換成輸出訊號的振幅變化。理想的斜坡電路輸出振幅與瞬時頻率成線性關係。
2. 調變訊號 $m(t)$ 引起 $s(t)$ 的瞬時頻率變化，即 $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$。
3. 經過斜坡電路後，輸出訊號的振幅 $V_{out}(t)$ 會與 $f_i(t)$ 成正比，進而與 $m(t)$ 成正比。
4. 包絡檢波器檢測出這個變化的振幅，從而恢復出原始的調變訊號 $m(t)$。

這是一個關於隨機訊號通過線性系統（積分器）的題目，涉及隨機過程的功率頻譜密度計算。

(a) 計算 $X(t)$ 的功率頻譜密度 $S_X(f)$
核心觀念：隨機訊號 $X(t) = A(t) \cos(2\pi f_c t + \phi)$ 的功率頻譜密度可以透過其自相關函數 $R_X(\tau)$ 的傅立葉轉換得到。對於週期性調變訊號，頻譜會集中在載波頻率及其附近的頻率。

詳解：
我們已知 $X(t) = A(t) \cos(2\pi f_c t + \phi)$。
$A(t)$ 是 WSS 隨機過程，其功率頻譜密度為 $S_A(f)$。
$\phi$ 是在 $[0, 2\pi]$ 上均勻分佈的隨機變數，且與 $A(t)$ 無關。
$f_c$ 是常數載波頻率。

首先，我們計算 $X(t)$ 的自相關函數 $R_X(\tau) = E[X(t)X^*(t-\tau)]$。
$R_X(\tau) = E[A(t) \cos(2\pi f_c t + \phi) \cdot A(t-\tau) \cos(2\pi f_c (t-\tau) + \phi)]$
由於 $A(t)$ 是 WSS 過程，且與 $\phi$ 無關，我們可以利用期望值的性質：
$R_X(\tau) = E[A(t)A(t-\tau)] E[\cos(2\pi f_c t + \phi) \cos(2\pi f_c (t-\tau) + \phi)]$
$R_X(\tau) = R_A(\tau) E[\cos(2\pi f_c t + \phi) \cos(2\pi f_c t - 2\pi f_c \tau + \phi)]$
使用三角恆等式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$：
$\cos(2\pi f_c t + \phi) \cos(2\pi f_c (t-\tau) + \phi) = \frac{1}{2} [\cos(2\pi f_c \tau) + \cos(2\pi f_c (2t-\tau) + 2\phi)]$
現在計算期望值：
$E[\cos(2\pi f_c t + \phi) \cos(2\pi f_c (t-\tau) + \phi)] = E[\frac{1}{2} (\cos(2\pi f_c \tau) + \cos(2\pi f_c (2t-\tau) + 2\phi))]$
$= \frac{1}{2} \cos(2\pi f_c \tau) + \frac{1}{2} E[\cos(2\pi f_c (2t-\tau) + 2\phi)]$
由於 $\phi$ 是在 $[0, 2\pi]$ 上均勻分佈的隨機變數，對於任何非零頻率 $f'$，我們有 $E[\cos(2\pi f' t + 2\phi)] = 0$。
在這裡，$f' = f_c(2t-\tau)/t$ (如果 $t$ 是變數)，但更簡單地，因為 $\phi$ 是獨立且均勻分佈的，所以 $E[\cos(\text{angle}+2\phi)] = 0$。
因此，
$E[\cos(2\pi f_c t + \phi) \cos(2\pi f_c (t-\tau) + \phi)] = \frac{1}{2} \cos(2\pi f_c \tau)$
所以，
$R_X(\tau) = R_A(\tau) \cdot \frac{1}{2} \cos(2\pi f_c \tau)$
最後，我們計算 $S_X(f)$，它是 $R_X(\tau)$ 的傅立葉轉換。
$S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} = \mathcal{F}\{R_A(\tau) \cdot \frac{1}{2} \cos(2\pi f_c \tau)\}$
我們知道 $\cos(2\pi f_c \tau) = \frac{1}{2}(e^{j2\pi f_c \tau} + e^{-j2\pi f_c \tau})$。
$S_X(f) = \frac{1}{2} \mathcal{F}\{R_A(\tau) \cdot \frac{1}{2}(e^{j2\pi f_c \tau} + e^{-j2\pi f_c \tau})\}$
$S_X(f) = \frac{1}{4} \mathcal{F}\{R_A(\tau) e^{j2\pi f_c \tau}\} + \frac{1}{4} \mathcal{F}\{R_A(\tau) e^{-j2\pi f_c \tau}\}$
利用頻移性質 $\mathcal{F}\{g(\tau)e^{j2\pi f_0 \tau}\} = G(f-f_0)$，其中 $G(f) = \mathcal{F}\{g(\tau)\}$。
$S_X(f) = \frac{1}{4} S_A(f-f_c) + \frac{1}{4} S_A(f+f_c)$
這表示 $X(t)$ 的功率頻譜是 $A(t)$ 的功率頻譜 $S_A(f)$ 在 $\pm f_c$ 處的搬移，並且振幅減半。

【答案】$S_X(f) = \frac{1}{4} S_A(f-f_c) + \frac{1}{4} S_A(f+f_c)$。

(b) 計算積分器的衝激響應並繪圖
核心觀念：積分器是時間上積分的線性系統，其衝激響應是單位階躍函數。

詳解：
積分器的輸出為 $Y(t) = \int_{t-T}^{t} X(\tau)d\tau$。
這是一個有限時間窗口的積分器。
一個線性時不變 (LTI) 系統的輸出 $Y(t)$ 可以表示為輸入 $X(t)$ 與系統衝激響應 $h(t)$ 的卷積：$Y(t) = X(t) * h(t)$。
卷積的定義是：
$Y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau) h(t-\tau) d\tau$
或者，等價地：
$Y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) X(t-\tau) d\tau$

我們給定的積分器輸出是：
$Y(t) = \int_{t-T}^{t} X(\tau)d\tau$
我們可以將其改寫成卷積的形式。令 $\tau' = t-\tau$，則 $d\tau' = -d\tau$。當 $\tau = t-T$ 時，$\tau' = T$。當 $\tau = t$ 時，$\tau' = 0$。
$Y(t) = \int_{T}^{0} X(t-\tau') (-d\tau') = \int_{0}^{T} X(t-\tau') d\tau'$
將這個形式與卷積定義 $Y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau') X(t-\tau') d\tau'$ 比較，我們可以識別出衝激響應 $h(t)$。
$h(t) = \begin{cases} 1 & \text{for } 0 \le t \le T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
這個衝激響應 $h(t)$ 是在時間區間 $[0, T]$ 上為 1，其他時間為 0 的矩形脈衝。
這也可以寫成：
$h(t) = u(t) - u(t-T)$
其中 $u(t)$ 是單位階躍函數。

繪圖：
衝激響應 $h(t)$ 的圖形是一個在 $t=0$ 到 $t=T$ 之間高度為 1 的矩形脈衝。

    ^ h(t)
    |
  1 +-------+
    |       |
    |       |
  0 +-------+------> t
    0       T

【答案】衝激響應為 $h(t) = u(t) - u(t-T)$，即在區間 $[0, T]$ 上為 1，其他地方為 0 的矩形脈衝。
繪圖：一個從 $t=0$ 到 $t=T$ 的高度為 1 的矩形脈衝。

(c) 計算 $Y(t)$ 的功率頻譜密度 $S_Y(f)$
核心觀念：線性系統的輸出功率頻譜密度等於輸入功率頻譜密度乘以系統傳達函數的平方模。

詳解：
系統的衝激響應為 $h(t) = u(t) - u(t-T)$。
系統的傳達函數 (transfer function) $H(f)$ 是衝激響應 $h(t)$ 的傅立葉轉換。

這是一道關於訊號能量與其在正交基底下的展開係數之間的關係的題目。

核心觀念：

1. 訊號能量的定義：一個訊號 $s(t)$ 的能量 $E_s$ 定義為：
   $E_s = \int_{-\infty}^{\infty} |s(t)|^2 dt$
2. 正交基底的性質：如果 $\{\phi_i(t)\}$ 是一個完備的正交基底，那麼對於任何兩個基底函數 $\phi_i(t)$ 和 $\phi_j(t)$，它們的內積為：
   $\langle \phi_i(t), \phi_j(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi_i(t) \phi_j^*(t) dt = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}$
   （如果訊號是實數，則 $\phi_j^*(t) = \phi_j(t)$）。這裡假設基底是標準正交化的 (orthonormal)。

詳解：
給定的訊號 $s(t)$ 可以表示為三個正交基底函數 $\{\phi_1(t), \phi_2(t), \phi_3(t)\}$ 的線性組合：
$s(t) = s_1\phi_1(t) + s_2\phi_2(t) + s_3\phi_3(t)$
其中 $s_1, s_2, s_3$ 是展開係數。假設這些係數是常數，且訊號和基底函數都是實數。

我們要計算 $s(t)$ 的能量 $E_s$。
$E_s = \int_{-\infty}^{\infty} |s(t)|^2 dt$
$E_s = \int_{-\infty}^{\infty} \left( s_1\phi_1(t) + s_2\phi_2(t) + s_3\phi_3(t) \right)^2 dt$
展開平方項：
$\left( s_1\phi_1(t) + s_2\phi_2(t) + s_3\phi_3(t) \right)^2 =$
$(s_1\phi_1(t))^2 + (s_2\phi_2(t))^2 + (s_3\phi_3(t))^2 + 2(s_1\phi_1(t))(s_2\phi_2(t)) + 2(s_1\phi_1(t))(s_3\phi_3(t)) + 2(s_2\phi_2(t))(s_3\phi_3(t))$
$= s_1^2 \phi_1^2(t) + s_2^2 \phi_2^2(t) + s_3^2 \phi_3^2(t) + 2s_1s_2 \phi_1(t)\phi_2(t) + 2s_1s_3 \phi_1(t)\phi_3(t) + 2s_2s_3 \phi_2(t)\phi_3(t)$

現在對每一項進行積分：

這是一道關於資訊理論中訊號所能代表的資訊量計算的題目，核心是利用資訊熵的概念。

核心觀念：
資訊理論中，如果一個事件（或符號）有 $N$ 種可能且發生的機率均等，那麼它所包含的資訊量（或稱資訊熵）為 $\log_2 N$ 位元 (bits)。

詳解：
(a) 訊號集有 32 個等可能符號
題目描述：有一個訊號集 $\{s_1, s_2, \dots, s_{32}\}$，其中有 32 個不同的訊號。這些訊號以「均等機率」(equal probability) 傳送，並且接收端能夠「正確接收」(receives the Tx signal correctly)。
這意味著，在接收端，我們能夠區分這 32 種訊號中的任何一種。
從資訊理論的角度來看，我們需要計算這個訊號集所代表的資訊量（或資訊熵）。
訊號的數量 $N = 32$。
由於每個訊號的機率均等，每個訊號發生的機率是 $P(s_i) = 1/N = 1/32$。
每個符號所代表的資訊量（資訊熵 $H$）為：
$H = \log_2 N$
$H = \log_2 32$
由於 $2^5 = 32$，所以：
$H = 5 \text{ bits}$
這表示平均而言，每個傳送的訊號能夠代表 5 位元的資訊。

【答案】5 bits。

這是一道關於二元訊號在加性高斯白雜訊 (AWGN) 通道下的錯誤機率計算題目，需要用到最佳接收機的理論。

核心觀念：

1. 最佳接收機：在 AWGN 通道下，最佳接收機是匹配濾波器 (matched filter) 或相關器 (correlator)，它會計算接收訊號與已知訊號樣本的相似度。
2. 二元符號錯誤機率：對於二元調變（例如 BPSK、BFSK 等）在 AWGN 通道下，如果兩個訊號 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 具有相同的能量 $E$ 且正交，則使用最佳接收機時，符號錯誤的平均機率 $P_e$ 為：
   $P_e = Q\left(\sqrt{\frac{E_{diff}}{N_0}}\right)$
   其中 $E_{diff}$ 是兩個訊號之間的最小距離的平方， $N_0$ 是雜訊功率譜密度，而 $Q(x)$ 是標準高斯 Q 函數，定義為 $Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2/2} dt$。
   對於正交訊號，最小距離的平方 $E_{diff}$ 就是兩個訊號能量之和，因為它們的內積為零。
   $E_{diff} = \int_0^{3T} (s_1(t) - s_2(t))^2 dt = \int_0^{3T} s_1^2(t) dt + \int_0^{3T} s_2^2(t) dt - 2 \int_0^{3T} s_1(t)s_2(t) dt$
   由於訊號正交，最後一項為 0。
   $E_{diff} = E_{s_1} + E_{s_2}$
   題目提到 $E$ 是訊號能量，並且通常假設兩個訊號具有相同的能量，所以 $E_{s_1} = E_{s_2} = E$。
   因此，$E_{diff} = E + E = 2E$。
   所以錯誤機率為：
   $P_e = Q\left(\sqrt{\frac{2E}{N_0}}\right)$
   題目給定 $E/N_0 = 4$。
   $P_e = Q\left(\sqrt{2 \times 4}\right) = Q(\sqrt{8})$
   $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$。
   $P_e = Q(2\sqrt{2})$
   題目也提到可以使用錯誤函數 (error function, erf) 或互補錯誤函數 (complementary error function, erfc) 來表示。
   $Q(x) = \frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$。
   所以，
   $P_e = \frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} \text{erfc}(2)$

詳解：

1. 確認訊號特性：
   • 訊號 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 在區間 $[0, 3T]$ 上定義。
   • 訊號是正交的，表示 $\int_0^{3T} s_1(t)s_2(t) dt = 0$。

核心觀念

本題考查離散無記憶通道的互資訊與通道容量：

$$C=\max_{p(X=x_0)=p} I(X;Y).$$

若輸出 $Y$ 能唯一判斷輸入 $X$，則 $H(X|Y)=0$，因此

$$I(X;Y)=H(X),$$

最大值在等機率輸入 $p=\frac12$ 時取得，容量為 $1$ bit。

---

(a) Channel 1

由圖可知，Channel 1 為確定且可逆的交叉通道：

• $x_0\to y_1$，機率為 $1$；
• $x_1\to y_0$，機率為 $1$。

因此由 $Y$ 可以完全判斷 $X$，所以

$$H(X|Y)=0.$$

互資訊為

$$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X).$$

其中二元熵為

$$H(X)=h_2(p) =-p\log_2p-(1-p)\log_2(1-p).$$

二元熵在 $p=\frac12$ 時最大，因此

$$p^*=\frac12, \qquad C_1=1\text{ bit}.$$

---

(b) Channel 2

由圖可知：

• $x_0\to y_0$，機率為 $1$；
• $x_1\to e$，機率為 $\frac12$；
• $x_1\to y_1$，機率為 $\frac12$。

雖然 $x_1$ 會產生兩種輸出，但 $y_0$ 只可能由 $x_0$ 產生，而 $e$、$y_1$ 只可能由 $x_1$ 產生。因此仍可由 $Y$ 完全判斷 $X$：

$$H(X|Y)=0.$$

故

$$I(X;Y)=H(X)=h_2(p).$$

最大化二元熵可得

$$p^*=\frac12, \qquad C_2=1\text{ bit}.$$

亦可由熵公式驗算：

$$H(Y)=h_2(p)+(1-p),$$

而