112 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《通訊系統》

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第 1 題

台灣聯合大學系統 112 學年度碩士班招生考試試題
類組：電機類 科目：通訊系統(通訊原理)(300E) 共 5 頁 第 1 頁
計算題(計算題應詳列計算過程,無計算過程者不予計分)

  1. For the graph below, answer the following questions.
    🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    Note that the argument of A(⋅)A(\cdot) will be specified in the subproblems.
    (a) (3%) Can A(τ)A(\tau) be the autocorrelation function of a (possibly complex-valued) wide-sense stationary (WSS) random process? Justify your answer.
    (b) (3%) Can A(f)A(f) be the power spectrum density (PSD) of a real-valued WSS random process? Justify your answer.
    (c) (3%) Suppose λ(t)\lambda(t) is the inverse Fourier transform of A(f)A(f). Plot the Fourier transform of A(2t)A(2t).
    (d) (3%) Suppose a(t)=∑n=−∞∞λ(t−n)a(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \lambda(t-n), where λ(t)\lambda(t) is the inverse Fourier transform of A(f)A(f). Plot the Fourier transform of a(t)a(t).
    (e) (4%) Plot the Fourier transform of s(t)=Re{λ(t)ej2πfct}s(t) = \text{Re}\{\lambda(t)e^{j2\pi f_c t}\}, where λ(t)\lambda(t) is the inverse Fourier transform of A(f)A(f) and fc>2f_c > 2.
🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 1 頁

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核心觀念

採用傅立葉轉換定義

X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πft dt.X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt.

本題用到四項性質：

  • WSS 過程的自相關函數必須滿足共軛對稱：R(−τ)=R∗(τ)R(-\tau)=R^*(\tau)。
  • 實值 WSS 過程的功率頻譜密度必須非負且為偶函數。
  • 時間縮放：x(bt)⟷1∣b∣X(f/b)x(bt)\longleftrightarrow \frac{1}{|b|}X(f/b)。
  • 時域週期化會產生離散線頻譜；取實部則會產生共軛鏡射的頻譜。

解題方法

原圖縱軸為 Λ(⋅)\Lambda(\cdot)，以下記為 A(⋅)A(\cdot)；圖形在負半軸為零，於 (0,1)(0,1) 有實心點，再沿直線下降至 (2,0)(2,0)，其餘位置為零。因此

A(x)={1−x2,0≤x≤2,0,其餘.A(x)= \begin{cases} 1-\dfrac{x}{2},&0\le x\le 2,\\ 0,&\text{其餘}. \end{cases}

原卷 (c) 要求的是 λ(2t)\lambda(2t) 的傅立葉轉換。

(a) 能否作為 WSS 過程的自相關函數？

即使過程為複數值，自相關仍須滿足

R(−τ)=R∗(τ).R(-\tau)=R^*(\tau).

本圖的 A(τ)A(\tau) 是實值函數，因此若作為自相關，必須是偶函數。然而

A(1)=12,A(−1)=0,A(1)=\frac12,\qquad A(-1)=0,

不符合共軛對稱條件。

故 不能作為實值或複數值 WSS 過程的自相關函數。

(b) 能否作為實值 WSS 過程的 PSD？

實值 WSS 過程的自相關為實值偶函數，其傅立葉轉換也必須滿足

SX(−f)=SX(f).S_X(-f)=S_X(f).

圖中的 A(f)A(f) 雖然非負，卻不是偶函數：

A(1)=12≠A(−1)=0.A(1)=\frac12\ne A(-1)=0.

故 不能作為實值 WSS 過程的 PSD；僅有非負性並不足夠。

(c) λ(2t)\lambda(2t) 的傅立葉轉換

由 λ(t)⟷A(f)\lambda(t)\longleftrightarrow A(f)，利用時間縮放性質：

G(f)≡F{λ(2t)}=12A(f2).G(f)\equiv\mathcal F\{\lambda(2t)\} =\frac12A\left(\frac f2\right).

代入原圖：

G(f)={12−f8,0≤f≤4,0,其餘.G(f)= \begin{cases} \dfrac12-\dfrac f8,&0\le f\le 4,\\ 0,&\text{其餘}. \end{cases}

頻譜由 (0,12)(0,\frac12) 線性下降至 (4,0)(4,0)：

G(f)
 ↑
½●
 │╲
 │ ╲
 │  ╲
─○───●────────→ f
 0   4

縮放後寬度加倍、高度減半，面積仍為 11，符合 λ(2t)\lambda(2t) 在 t=0t=0 的值 λ(0)=1\lambda(0)=1。

(d) a(t)=∑n=−∞∞λ(t−n)a(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lambda(t-n) 的傅立葉轉換

a(t)a(t) 是週期為 11 的週期化訊號，因此其傅立葉轉換為整數頻率上的脈衝：

F{a(t)}=∑k=−∞∞ckδ(f−k).\mathcal F\{a(t)\} =\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\delta(f-k).

依通常的對稱求和解讀此無窮級數，Poisson 求和公式在頻譜跳躍點取左右極限平均：

ck=A(k−)+A(k+)2.c_k=\frac{A(k^-)+A(k^+)}{2}.

連續點則直接取 A(k)A(k)。各整數頻率的係數為

c0=0+12=12,c1=A(1)=12,c2=0+02=0,\begin{aligned} c_0&=\frac{0+1}{2}=\frac12,\\ c_1&=A(1)=\frac12,\\ c_2&=\frac{0+0}{2}=0, \end{aligned}

其餘整數處也皆為零。故

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第 2 題

台灣聯合大學系統112學年度碩士班招生考試試題
類組:電機類科目:通訊系統(通訊原理)(300E) 共5頁第2頁
2. Below are the diagrams of the DSB-SC coherent receiver and the DSB-C envelop
detector, respectively.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
In both diagrams, w(t) is the additive white Gaussian noise with two-sided PSD
No/2, and
where
x(t) = s(t)+n(t),
n(t) = n₁(t) cos(2πfct) – no(t) sin(2πfct)
is the filtered white noise with E[n(t)] = E[n₁(t)] = E[no(t)] = 0 and E[n²(t)] =
E[n}(t)] = E[no(t)] = 2W No. Let m(t) be a zero-mean wide-sense stationary (WSS)
process with E[m²(t)] = P and with bandwidth W.
(a) (7%) Find the output signal-to-noise ratio SNRO of the DSB-SC coherent re-
ceiver, where s(t) = Acm(t) cos(2fct). Note that y(t) is the output induced
by passing input v(t) via an ideal lowpass filter of bandwidth W.
Hint: SNRO is the average power of the signal content in y(t) divided by the
average power of the noise content in y(t).
(b) (7%) Subject to
|Ac[1 + kam(t)]| > √n}(t)+n}(t),
find the SNRO of the DSB-C envelop detector, where
s(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct).
Note that the output of the envelop detector due to input x(t) = x(t) cos(2n fet)
xo(t) sin(2n fet) is given by u(t) = x(t) + x(t), and y(t) = u(t) - E[u(t)].

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

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核心觀念

本題比較兩種接收器的輸出訊號雜訊比：

  1. DSB-SC 同步解調器：乘上本地載波 cos⁡(2πfct)\cos(2\pi f_ct)，再經低通濾波器。
  2. DSB-C 包絡檢波器：利用同相與正交雜訊分量的平方和開根號，再扣除直流分量。

定義輸出訊號雜訊比為

SNRo=輸出訊號平均功率輸出雜訊平均功率.\mathrm{SNR}_o = \frac{\text{輸出訊號平均功率}} {\text{輸出雜訊平均功率}}.

已知

E[m(t)]=0,E[m2(t)]=P,E[m(t)]=0,\qquad E[m^2(t)]=P,

且

E[n12(t)]=E[nq2(t)]=2WN0.E[n_1^2(t)]=E[n_q^2(t)]=2WN_0.

(a) DSB-SC 同步解調器

解題方法

輸入訊號為

s(t)=Acm(t)cos⁡(2πfct),s(t)=A_cm(t)\cos(2\pi f_ct),

通道輸出為

x(t)=Acm(t)cos⁡(2πfct)+n1(t)cos⁡(2πfct)−nq(t)sin⁡(2πfct).x(t)=A_cm(t)\cos(2\pi f_ct) +n_1(t)\cos(2\pi f_ct) -n_q(t)\sin(2\pi f_ct).

同步解調器再乘上 cos⁡(2πfct)\cos(2\pi f_ct)，因此

v(t)=x(t)cos⁡(2πfct).v(t)=x(t)\cos(2\pi f_ct).

利用

cos⁡2(2πfct)=12[1+cos⁡(4πfct)],\cos^2(2\pi f_ct) = \frac{1}{2}\left[1+\cos(4\pi f_ct)\right],

以及

sin⁡(2πfct)cos⁡(2πfct)=12sin⁡(4πfct),\sin(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_ct) = \frac{1}{2}\sin(4\pi f_ct),

經理想低通濾波器後，所有 2fc2f_c 附近的高頻項被濾除，只留下基頻成分：

y(t)=Ac2m(t)+12n1(t).y(t) = \frac{A_c}{2}m(t)+\frac{1}{2}n_1(t).

因此，輸出訊號部分為

ys(t)=Ac2m(t),y_s(t)=\frac{A_c}{2}m(t),

輸出雜訊部分為

yn(t)=12n1(t).y_n(t)=\frac{1}{2}n_1(t).

輸出訊號功率

Ps=E[ys2(t)]=Ac24E[m2(t)]=Ac2P4.P_s = E[y_s^2(t)] = \frac{A_c^2}{4}E[m^2(t)] = \frac{A_c^2P}{4}.

輸出雜訊功率

Pn=E[yn2(t)]=14E[n12(t)]=14(2WN0)=WN02.P_n = E[y_n^2(t)] = \frac{1}{4}E[n_1^2(t)] = \frac{1}{4}(2WN_0) = \frac{WN_0}{2}.

所以

SNRo,coherent=PsPn=Ac2P/4WN0/2.\mathrm{SNR}_{o,\mathrm{coherent}} = \frac{P_s}{P_n} = \frac{A_c^2P/4}{WN_0/2}.

因此

SNRo,coherent=Ac2P2WN0\boxed{ \mathrm{SNR}_{o,\mathrm{coherent}} = \frac{A_c^2P}{2WN_0} }

(b) DSB-C 包絡檢波器

解題方法

DSB-C 訊號為

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第 3 題

台灣聯合大學系統112學年度碩士班招生考試試題
類組:電機類科目:通訊系統(通訊原理)(300E) 共5頁第3頁
3. Let x(t) = a · g(t) + w(t), 0 ≤ t ≤ T, where a = 1 or -1, g(t) is a nonzero
deterministic pulse signal, and w(t) is a white noise process of zero mean and power
spectral density N02\frac{N_0}{2}. Let h(t) be the impulse response of a linear filter, and let
y(t) = x(t) * h(t) = go(t) + wo(t), where * denotes convolution, go(t) 슥a · g(t) * h(t),
and wo(t) = w(t) * h(t). We wish to find h(t) such that the signal-to-noise ratio
|go(T)|²/E[w²(T)] at t = T is maximized.
(a) (3%) For g(t) = 1/T, 0 ≤ t ≤ T, what is the desirable h(t)?
(b) (12%) For given arbitrary g(t), write the desirable h(t) in terms of g(t) and
show how you obtain the h(t). (Hint: you may need Schwarz's inequality:
∫{-∞}^{∞} |φ₁(t)|² dt ≤ [∫{-∞}^{∞} |φ₁(t)|² dt]¹/² [∫_{-∞}^{∞} |φ₂(t)|² dt]¹/²
with equality if and only if φ1(t)=γφ2(t)φ₁(t) = γ φ₂(t), where γ is any nonzero number and

  • denotes complex conjugate.)
    (c) (7%) Assume that a = 1 or a = -1 with equal probability, and we obtain a
    normalized quantity ỹ(T) = a + ῶ, where ῶ is Gaussian r.v. with zero mean
    and variance σ². Form a maximum-likelihood decision ã of a given ỹ(T), and
    derive the probability Pr(a ≠ a). (Hint: The pdf of a zero-mean Gaussian
    r.v. v with variance σ² is
    f(v) = 1/(√(2π)σ) * exp(-v²/(2σ²)).
    Please express the probability Pr(a ≠ a) in terms of
    erfc(u) = 2/√π ∫_{u}^{∞} exp(-z²) dz.
🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

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核心觀念

本題考查：

  1. 白雜訊通過線性濾波器後的輸出雜訊功率。
  2. 以 Cauchy–Schwarz 不等式推導最佳濾波器，即「匹配濾波器」。
  3. 二元 antipodal signal {+1,−1}\{+1,-1\} 的最大概似決策與錯誤率。

由圖可讀得第 (a) 小題的訊號為

g(t)=T−tT,0≤t≤T.g(t)=\frac{T-t}{T},\qquad 0\le t\le T.

解題方法

在 t=Tt=T 時，

y(T)=∫−∞∞x(τ)h(T−τ) dτ.y(T)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(T-\tau)\,d\tau.

因此輸出訊號部分為

go(T)=a∫−∞∞g(τ)h(T−τ) dτ.g_o(T)=a\int_{-\infty}^{\infty}g(\tau)h(T-\tau)\,d\tau.

白雜訊 w(t)w(t) 的雙邊功率頻譜密度為 N0/2N_0/2，所以輸出雜訊變異數為

E{∣wo(T)∣2}=N02∫−∞∞∣h(T−τ)∣2 dτ.E\{|w_o(T)|^2\} =\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|h(T-\tau)|^2\,d\tau.

令 u=T−τu=T-\tau，則最佳化的訊雜比為

SNR=∣∫g(τ)h(T−τ) dτ∣2N02∫∣h(T−τ)∣2 dτ.\mathrm{SNR} = \frac{ \left|\displaystyle\int g(\tau)h(T-\tau)\,d\tau\right|^2 }{ \displaystyle\frac{N_0}{2}\int |h(T-\tau)|^2\,d\tau }.

(a) 求最佳 h(t)h(t)

由匹配濾波器結果，

h(t)=γg∗(T−t),h(t)=\gamma g^*(T-t),

其中 γ\gamma 為任意非零常數。

本題的 g(t)g(t) 為實數函數，因此

h(t)=γg(T−t).h(t)=\gamma g(T-t).

代入

g(t)=T−tT,g(t)=\frac{T-t}{T},

得

h(t)=γT−(T−t)T=γtT,0≤t≤T.h(t) = \gamma\frac{T-(T-t)}{T} = \gamma\frac{t}{T}, \qquad 0\le t\le T.

所以可取

h(t)=tT,0≤t≤T\boxed{ h(t)=\frac{t}{T},\quad 0\le t\le T }

其餘時間為 00。濾波器整體乘上一個非零常數不影響訊雜比，因此 γ\gamma 可任意指定。

(b) 任意 g(t)g(t) 的最佳濾波器

令

ϕ1(τ)=g(τ),ϕ2(τ)=h∗(T−τ).\phi_1(\tau)=g(\tau),\qquad \phi_2(\tau)=h^*(T-\tau).

則

∫g(τ)h(T−τ) dτ=∫ϕ1(τ)ϕ2∗(τ) dτ.\int g(\tau)h(T-\tau)\,d\tau = \int \phi_1(\tau)\phi_2^*(\tau)\,d\tau.

由 Cauchy–Schwarz 不等式，

∣∫ϕ1(τ)ϕ2∗(τ) dτ∣2≤(∫∣ϕ1(τ)∣2 dτ)(∫∣ϕ2(τ)∣2 dτ).\left| \int \phi_1(\tau)\phi_2^*(\tau)\,d\tau \right|^2 \le \left(\int|\phi_1(\tau)|^2\,d\tau\right) \left(\int|\phi_2(\tau)|^2\,d\tau\right).

因此

∣∫g(τ)h(T−τ) dτ∣2≤(∫∣g(τ)∣2 dτ)(∫∣h(T−τ)∣2 dτ).\left| \int g(\tau)h(T-\tau)\,d\tau \right|^2 \le \left(\int|g(\tau)|^2\,d\tau\right) \left(\int|h(T-\tau)|^2\,d\tau\right).

等號成立的條件為

ϕ2(τ)=γϕ1(τ),\phi_2(\tau)=\gamma\phi_1(\tau),

亦即

h∗(T−τ)=γg(τ).h^*(T-\tau)=\gamma g(\tau).

取共軛並令 t=T−τt=T-\tau，得到最佳濾波器

h(t)=γg∗(T−t)\boxed{ h(t)=\gamma g^*(T-t) }

這就是以 TT 為取樣時刻的匹配濾波器。

若 g(t)g(t) 為實數訊號，則簡化為

h(t)=γg(T−t).\boxed{ h(t)=\gamma g(T-t) }.

此時最大輸出訊雜比為

SNRmax⁡=2N0∫−∞∞∣g(t)∣2 dt.\mathrm{SNR}_{\max} = \frac{2}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2\,dt.

(c) 最大概似決策與錯誤率

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第 4 題

台灣聯合大學系統112學年度碩士班招生考試試題
類組:電機類科目:通訊系統(通訊原理)(300E) 共5頁第4頁
4. Let p(t) be a continuous time function, and let P(f) be the Fourier transform of
p(t), defined by
P(f) = { W-|f|/W, -W≤f≤W
{ 0, f ¢ [-W,W]
where W is some constant with W > 1.
(a) (4%) Let T = 1/W. What is the discrete time function a[n] = p(nT) for n =
0,±1, ±2,...?
(b) (4%) Let H(f) be the frequency response of a time function h(t) with
H(f) = { 1, -W≤f≤W
{ |f|/(2W) - 1, W ≤ |f| ≤ 2W
{ 0, f ¢ [-2W,2W].
Let p[n] = p(nT) for n = 0, ±1, ±2,..., where T is a positive number, not yet
specified. Can you reconstruct p(t) from p[n] with h(t)? If yes, how do you
make it? (Hint: Specify the value of T yourself.)

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核心觀念

本題考查兩個觀念：

  1. 三角形頻譜與 sinc⁡2\operatorname{sinc}^2 時域波形的 Fourier transform pair。
  2. 理想取樣造成頻譜週期複製，以及利用重建濾波器 H(f)H(f) 消除頻譜副本。

採用 Fourier transform 定義

P(f)=∫−∞∞p(t)e−j2πft dtP(f)=\int_{-\infty}^{\infty}p(t)e^{-j2\pi ft}\,dt

其反變換為

p(t)=∫−∞∞P(f)ej2πft df.p(t)=\int_{-\infty}^{\infty}P(f)e^{j2\pi ft}\,df.

定義 normalized sinc 函數

sinc⁡(x)=sin⁡(πx)πx.\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.

（a）求 a[n]=p(nT)a[n]=p(nT)

題目給定

P(f)={W−∣f∣W,∣f∣≤W,0,∣f∣>W.P(f)= \begin{cases} W-\dfrac{|f|}{W}, & |f|\le W,\\[6pt] 0, & |f|>W. \end{cases}

令 f=Wxf=Wx，則 df=Wdxdf=Wdx，且

P(Wx)=W(1−∣x∣),∣x∣≤1.P(Wx)=W(1-|x|),\qquad |x|\le 1.

因此

p(t)=∫−WWP(f)ej2πft df=W2∫−11(1−∣x∣)ej2πWtx dx.p(t) =\int_{-W}^{W}P(f)e^{j2\pi ft}\,df =W^2\int_{-1}^{1}(1-|x|)e^{j2\pi Wtx}\,dx.

利用三角形函數的 Fourier transform pair：

∫−11(1−∣x∣)ej2πux dx=sinc⁡2(u),\int_{-1}^{1}(1-|x|)e^{j2\pi ux}\,dx =\operatorname{sinc}^2(u),

可得

p(t)=W2sinc⁡2(Wt).p(t)=W^2\operatorname{sinc}^2(Wt).

題目指定

T=1W.T=\frac{1}{W}.

所以

a[n]=p(nT)=p(nW)=W2sinc⁡2(n).a[n]=p(nT) =p\left(\frac{n}{W}\right) =W^2\operatorname{sinc}^2(n).

當 n=0n=0 時，

sinc⁡(0)=1.\operatorname{sinc}(0)=1.

當 n=±1,±2,…n=\pm1,\pm2,\ldots 時，

sinc⁡(n)=0.\operatorname{sinc}(n)=0.

因此

a[n]={W2,n=0,0,n≠0.\boxed{ a[n]= \begin{cases} W^2, & n=0,\\ 0, & n\ne 0. \end{cases} }

亦可寫成

a[n]=W2δ[n].\boxed{a[n]=W^2\delta[n]}.

（b）能否利用 h(t)h(t) 重建 p(t)p(t)？

解題方法

以週期 TT 取樣：

ps(t)=∑n=−∞∞p(nT)δ(t−nT).p_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}p(nT)\delta(t-nT).

取樣後的頻譜為

Ps(f)=1T∑k=−∞∞P(f−kT).P_s(f)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}P\left(f-\frac{k}{T}\right).

也就是原頻譜以 1T\dfrac{1}{T} 為間隔週期複製。

重建訊號若通過濾波器 H(f)H(f)，再乘上一個比例因子 TT，其頻譜為

Y(f)=TH(f)Ps(f).Y(f)=T H(f)P_s(f).
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第 5 題

台灣聯合大學系統112學年度碩士班招生考試試題
類組:電機類科目:通訊系統(通訊原理)(300E) 共5頁第4頁
5. (10%) Consider a direct sequence spread spectrum system with an m-sequence c of
length n and message u ∈ {-1,+1} with probability Pr(u = -1) = 0.8 and the
input signal is x = √Esuc. The received signal is
y = x + w,
where w ~ N(0, (No/2)I).
Show that the optimal receiver is of the form c¹y. Derive the η. Also, derive
the processing gain.

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核心觀念

本題考查直接序列展頻（Direct Sequence Spread Spectrum, DS-SS）接收器的最佳判決，以及展頻處理增益。

已知：

  • 擴頻碼 c=[c1,…,cn]Tc=[c_1,\ldots,c_n]^T 為長度 nn 的 m-sequence，且每個 chip 為 ±1\pm1。
  • 訊息 u∈{−1,+1}u\in\{-1,+1\}。
  • 先驗機率為
P(u=−1)=0.8,P(u=+1)=0.2.P(u=-1)=0.8,\qquad P(u=+1)=0.2.
  • 傳送訊號
x=Es uc.x=\sqrt{E_s}\,u c.
  • 接收訊號
y=Es uc+w,y=\sqrt{E_s}\,u c+w,

其中

w∼N(0,N02I).w\sim\mathcal N\left(0,\frac{N_0}{2}I\right).

由於 ci∈{−1,+1}c_i\in\{-1,+1\}，因此

cTc=∑i=1nci2=n.c^Tc=\sum_{i=1}^{n}c_i^2=n.

接收器應將 yy 投影到已知擴頻碼 cc 的方向上，也就是計算相關器輸出 cTyc^Ty。

解題方法：以 MAP 最佳判決推導

由於兩種訊息 u=+1u=+1 與 u=−1u=-1 所對應的雜訊 covariance 相同，最佳接收器可使用 MAP（Maximum A Posteriori）判決：

u^=arg⁡max⁡u∈{−1,+1}P(u∣y).\hat u=\arg\max_{u\in\{-1,+1\}}P(u\mid y).

根據 Bayes 定理，等價於比較：

p(y∣u=+1)P(u=+1)≷u^=−1u^=+1p(y∣u=−1)P(u=−1).p(y\mid u=+1)P(u=+1) \mathop{\gtrless}_{\hat u=-1}^{\hat u=+1} p(y\mid u=-1)P(u=-1).

條件機率密度

當 u=+1u=+1 時，

y=Esc+w,y=\sqrt{E_s}c+w,

因此

p(y∣u=+1)∝exp⁡(−∥y−Esc∥2N0).p(y\mid u=+1) \propto \exp\left(-\frac{\|y-\sqrt{E_s}c\|^2}{N_0}\right).

當 u=−1u=-1 時，

y=−Esc+w,y=-\sqrt{E_s}c+w,

因此

p(y∣u=−1)∝exp⁡(−∥y+Esc∥2N0).p(y\mid u=-1) \propto \exp\left(-\frac{\|y+\sqrt{E_s}c\|^2}{N_0}\right).

取對數似然比：

ln⁡p(y∣u=+1)p(y∣u=−1)=∥y+Esc∥2−∥y−Esc∥2N0.\ln\frac{p(y\mid u=+1)}{p(y\mid u=-1)} = \frac{\|y+\sqrt{E_s}c\|^2-\|y-\sqrt{E_s}c\|^2}{N_0}.

展開平方項：

∥y+Esc∥2=yTy+2EscTy+EscTc,\|y+\sqrt{E_s}c\|^2 = y^Ty+2\sqrt{E_s}c^Ty+E_sc^Tc, ∥y−Esc∥2=yTy−2EscTy+EscTc.\|y-\sqrt{E_s}c\|^2 = y^Ty-2\sqrt{E_s}c^Ty+E_sc^Tc.

兩式相減後，yTyy^Ty 與 EscTcE_sc^Tc 互相抵消，得到：

ln⁡p(y∣u=+1)p(y∣u=−1)=4EsN0cTy.\ln\frac{p(y\mid u=+1)}{p(y\mid u=-1)} = \frac{4\sqrt{E_s}}{N_0}c^Ty.

因此，MAP 判決只需要使用統計量

z=cTy.z=c^Ty.

這證明最佳接收器必為「與擴頻碼 cc 做相關」的形式。

閾值 η\eta 的推導

MAP 判決條件為：

ln⁡p(y∣u=+1)p(y∣u=−1)≷u^=−1u^=+1ln⁡P(u=−1)P(u=+1).\ln\frac{p(y\mid u=+1)}{p(y\mid u=-1)} \mathop{\gtrless}_{\hat u=-1}^{\hat u=+1} \ln\frac{P(u=-1)}{P(u=+1)}.

代入前述結果：

4EsN0cTy≷u^=−1u^=+1ln⁡0.80.2.\frac{4\sqrt{E_s}}{N_0}c^Ty \mathop{\gtrless}_{\hat u=-1}^{\hat u=+1} \ln\frac{0.8}{0.2}.

整理得：

cTy≷u^=−1u^=+1η,c^Ty \mathop{\gtrless}_{\hat u=-1}^{\hat u=+1} \eta,

其中

η=N04Esln⁡P(u=−1)P(u=+1).\eta = \frac{N_0}{4\sqrt{E_s}} \ln\frac{P(u=-1)}{P(u=+1)}.

由 P(u=−1)=0.8P(u=-1)=0.8、P(u=+1)=0.2P(u=+1)=0.2：

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第 6 題

台灣聯合大學系統112學年度碩士班招生考試試題
類組:電機類科目:通訊系統(通訊原理)(300E) 共5頁第4頁
6. Let X be a random variable with the probability mass function [0.48, 0.26, 0.13,
0.03, 0.02, 0.04, 0.04].
(a) (7%) Construct two different Huffman codes whose sets of codeword lengths
are not the same.
(b) (7%) Compute the expected lengths of the two codes constructed in part (a).
Also, are the expected lengths smaller than the entropy H(X) (in bits)?

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核心觀念

本題考查：

  1. Huffman 演算法：每次合併機率最小的兩個節點。
  2. 碼字長度與平均碼長：
    Lˉ=∑ipili\bar{L}=\sum_i p_i l_i
  3. 熵：
    H(X)=−∑ipilog⁡2piH(X)=-\sum_i p_i\log_2 p_i
  4. Huffman 碼的基本性質：
    H(X)≤LˉHuffman<H(X)+1H(X)\leq \bar{L}_{\text{Huffman}}<H(X)+1

因此，任何 Huffman 碼的平均碼長都不會小於熵。

解題方法

令七個符號依機率表示為

符號x1x2x3x4x5x6x7p(xi)0.480.260.130.030.020.040.04\begin{array}{c|ccccccc} \text{符號} & x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6&x_7\\ \hline p(x_i)&0.48&0.26&0.13&0.03&0.02&0.04&0.04 \end{array}

依機率由小到大排列：

0.02, 0.03, 0.04, 0.04, 0.13, 0.26, 0.480.02,\ 0.03,\ 0.04,\ 0.04,\ 0.13,\ 0.26,\ 0.48

Huffman 合併過程為：

0.02+0.03=0.050.02+0.03=0.05

0.04+0.04=0.080.04+0.04=0.08

0.05+0.08=0.130.05+0.08=0.13

此時有原本的 0.130.13 與新形成的 0.130.13，合併為

0.13+0.13=0.260.13+0.13=0.26

接著：

0.26+0.26=0.520.26+0.26=0.52

最後：

0.48+0.52=10.48+0.52=1

因此各符號的碼字長度固定為：

機率符號碼字長度0.48x110.26x220.13x330.04x650.04x750.03x450.02x55\begin{array}{c|c|c} \text{機率} & \text{符號} & \text{碼字長度}\\ \hline 0.48 & x_1 & 1\\ 0.26 & x_2 & 2\\ 0.13 & x_3 & 3\\ 0.04 & x_6 & 5\\ 0.04 & x_7 & 5\\ 0.03 & x_4 & 5\\ 0.02 & x_5 & 5 \end{array}

(a) Huffman 碼

依上述合併樹，可建構一組 Huffman 碼：

符號p(xi)碼字x10.480x20.2610x30.13110x40.0311100x50.0211101x60.0411110x70.0411111\begin{array}{c|c|c} \text{符號} & p(x_i)&\text{碼字}\\ \hline x_1&0.48&0\\ x_2&0.26&10\\ x_3&0.13&110\\ x_4&0.03&11100\\ x_5&0.02&11101\\ x_6&0.04&11110\\ x_7&0.04&11111 \end{array}

另一組不同的 Huffman 碼可由交換左右分支得到：

符號p(xi)碼字x10.481x20.2600x30.13010x40.0301100x50.0201101x60.0401110x70.0401111\begin{array}{c|c|c} \text{符號} & p(x_i)&\text{碼字}\\ \hline x_1&0.48&1\\ x_2&0.26&00\\ x_3&0.13&010\\ x_4&0.03&01100\\ x_5&0.02&01101\\ x_6&0.04&01110\\ x_7&0.04&01111 \end{array}

這兩組碼字不同，但其碼字長度集合皆為

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第 7 題

台灣聯合大學系統112學年度碩士班招生考試試題
類組:電機類科目:通訊系統(通訊原理)(300E) 共5頁第5頁
7. Let C be a binary linear code with the following parity check matrix
H =
「1 1 1 1 000
[0 1 1 0 1 1 0
[0 1 0 1 0 1 1
(a) (6%) Find a generator matrix G for C.
(b) (4%) Determine the code rate of C.
(c) (6%) Let v = [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0] be the received signal. Compute the syndrome.
Find an error vector of weight 1 that has the same syndrome of v. Use syn-
drome decoder to decode v.

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核心觀念

本題考查二元線性碼的生成矩陣、碼率與症候解碼。題目的同位檢查矩陣為

H=[111100001101100101011].H= \begin{bmatrix} 1&1&1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&1&1&0\\ 0&1&0&1&0&1&1 \end{bmatrix}.

所有運算均在二元有限體 GF(2)\mathrm{GF}(2) 上進行，因此加法為模 22 加法，且 1+1=01+1=0。

  • 碼字條件：列向量 cc 是合法碼字，若且唯若 HcT=0Hc^T=0。
  • 生成矩陣：對 [n,k][n,k] 線性碼，GG 是秩為 kk 的 k×nk\times n 矩陣，且滿足 HGT=0HG^T=0；訊息 uu 對應的碼字為 c=uGc=uG。
  • 碼率：R=k/nR=k/n，其中 k=n−rank⁡(H)k=n-\operatorname{rank}(H)。
  • 症候解碼：若接收向量 v=c+ev=c+e，則 s=HvT=H(c+e)T=HeT.s=Hv^T=H(c+e)^T=He^T. 因此症候只由錯誤向量決定。找到相同症候的錯誤向量 e^\hat e 後，解碼結果為 c^=v+e^\hat c=v+\hat e。

解題方法

(a) 求生成矩陣 GG

令任意碼字為 c=(x1,x2,…,x7)c=(x_1,x_2,\ldots,x_7)。由 HcT=0Hc^T=0 得

{x1+x2+x3+x4=0,x2+x3+x5+x6=0,x2+x4+x6+x7=0.\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ x_2+x_3+x_5+x_6=0,\\ x_2+x_4+x_6+x_7=0. \end{cases}

採用自由變數法，將四個自由變數選為

x3=a,x4=b,x6=d,x7=f.x_3=a,\qquad x_4=b,\qquad x_6=d,\qquad x_7=f.

第三式先給出

x2=b+d+f.x_2=b+d+f.

代入第一式與第二式，可得

x1=x2+x3+x4=(b+d+f)+a+b=a+d+f,x5=x2+x3+x6=(b+d+f)+a+d=a+b+f.\begin{aligned} x_1&=x_2+x_3+x_4 =(b+d+f)+a+b=a+d+f,\\ x_5&=x_2+x_3+x_6 =(b+d+f)+a+d=a+b+f. \end{aligned}

因此，所有碼字均可表示成

c=(a+d+f, b+d+f, a, b, a+b+f, d, f).c=(a+d+f,\ b+d+f,\ a,\ b,\ a+b+f,\ d,\ f).

依序取 (a,b,d,f)(a,b,d,f) 為四個單位向量，即得到四個基底碼字：

c1=(1,0,1,0,1,0,0),c2=(0,1,0,1,1,0,0),c3=(1,1,0,0,0,1,0),c4=(1,1,0,0,1,0,1).\begin{aligned} c_1&=(1,0,1,0,1,0,0),\\ c_2&=(0,1,0,1,1,0,0),\\ c_3&=(1,1,0,0,0,1,0),\\ c_4&=(1,1,0,0,1,0,1). \end{aligned}

故一組生成矩陣為

G=[1010100010110011000101100101].G= \begin{bmatrix} 1&0&1&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&1&0&0\\ 1&1&0&0&0&1&0\\ 1&1&0&0&1&0&1 \end{bmatrix}.

GG 的第 3,4,6,73,4,6,7 欄組成 I4I_4，故四列線性獨立；又各列均滿足碼字條件，因此

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